de hsg toan 7( hot)

Trờng THCS trấn đầm hà
Đề thi giao lu học sinh giỏi năm học 2009-2010
Môn : Toán 7
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(1,5 điểm )
So sánh các số sau:
2
300
và 3
200


Câu2 (3,5 điểm )
Tìm các số a
1
, a
2
, a
3
, .,a
100
, biết:
100
1
1

a
=
99
2
2

a
=
98
3
3

a
= .=
1
100
100

a
Và a
1
+ a
2
+ a
3
+ + a
100
= 10100
Câu 3(3,0 điểm )
Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y 2 = 0
M = x
3
+ x
2
y 2x

2
xy - y
2
+ 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thức P(x) = x
2
+ 2mx + m
2
và Q(x) = x
2
+ (2m +1 )x + m
2
Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)
Câu5 (8 điểm )
Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đờng cao .Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân
ABE và ACF, vuông ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh
a)

ABI =

BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE
c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 6 (2 điểm )
Chứng minh rằng tổng các bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phơng
=====Hết====
đáp án biểu điểm
Câu
đáp án

điểm
1 2
300
= (2
3
)
100
= 8
100
3
200
= (3
2
)
100
= 9
100
Vì 8
100
< 9
100
.Do đó 2
300
<3
200
0,5
0,5
0,5
2
100

1
1

a
=
99
2
2

a
=
98
3
3

a
= .=
1
100
100

a

áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
1...99100
)100...21()...(
10021
+++
++++++
aaa

=
1...99100
)...(
10021
+++
+++
aaa
- 1
=
5050
10100
- 1 = 2 1 = 1

a
1
= a
2
= = a
100
= 101
1,5
1
1
3
Từ P(1) = Q(-1) ,suy ra 1+2m +m
2
=1 (2m +1) +m
2

m =
4
1
2,0
4 Biến đổi mỗi đa thức theo hớng làm xuất hiện thừa số x + y 2
M = ( x
3
+ x
2
y 2x) (xy +y
2
- 2y ) + (x+y -2 ) + 1
= x
2
(x + y 2) y(x + y 2) + (x + y 2) +2008
=x
2
.0 y.0 + 0 + 2008 = 2008
0,5
1,0
1,0
0,5
5
- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng đợc
a) Ta có

IAB = 180
0
-

BAH =180
0
(90
0
-

ABC) =90
0
+

ABC =

EBC

ABI =

BEC (c g c)
b)

ABI =

BEC( câu a ) nên BI = EC (hai cạnh tơng ứng ).

ECB =

BIA hay

ECB =

BIH.

Gọi M là giao điểm của CE với AB ,ta có :

MCB +

MBC =

BIH +

IBH = 90
0
, do đó CE

BI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF , BE là ba đờng cao.Vậy AH, CF , BE đồng quy tại một điểm.
1,0
2,5
3,5
1
6 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n

N và N

2
Ta có A = (n 2)
2
+ (n 1)
2
+ n
2
+ (n +1)

2
+ (n+2)
2
= 5(n
2
+ 2)
Vì n
2
không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n
2
+ 2) không chia hết cho 5, vì thế 5(n
2
+ 2)
không là số chính phơng, hay A không phải là số chính phơng .
2
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.
I
B
E
F
C
A
H
M