Bài tập Chương 1 phương trình lượng giác

 HXH

1
Phương trình lượng giác

I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin 2 cos2 0
x x
 

2.
sin3 2cos3 0
x x
 

3.
2
4sin 1
x


4 .
2 2
sin sin 2 1
x x
 

5.
3

cos(sin )
2
x 

6.
sin 4
1
cos6
x
x


7. sin 2x = 2cos x
8.
sin .cot5
1
cos9
x x
x


9.
tan3 tan5
x x


10. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
11.
sin 2
2cos

1 sin
x
x
x
 


Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm
3
;
2
x



 

 
 
của phương trình
1
sin cos cos .sin
8 8 2
x x
 
 

II - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.

cos2 3sin 2
x x
 

2.
4 2
4sin 12cos 7
x x
 

3.
2
25sin 100cos 89
x x
 

4.
4 4
sin 2 cos 2 sin2 cos2
x x x x
 
5.
6 6
2 2
sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x





6.
2
3
tan 9
cos
x
x
 

Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin
2
x – ( 2m -1) sin x + m
2
-1 = 0 ( m là tham số )

III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
sin3 3 cos3 2
x x
 

2.
2

1
sin 2 sin
2
x x
 

3.
2sin17 3 cos5 sin5 0
x x x
  

4.
2sin (cos 1) 3 cos2
x x x
 

5.
3sin 4 cos4 sin 3 cos
x x x x
  
6.
3cos sin 2 3(cos2 sin )
x x x x
  
7.
sin 3 cos sin 3cos 2
x x x x
   

Bài 2 : Cho

3sin 2
2 cos2
x
y
x



1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Cho phương trình m sin x + 2 cos x = 1-m
Xác định m để
1. Phương trình vô nghiệm
2. Phương trình có nghiệm

IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
1)
2
2sin 2 2 3sin 2 cos2 3
x x x
 

2)
1
4sin 6cos
cos
x x
x
 

3)
3
sin3 2cos
x x

4)
2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4
x x x
  

5)
3 3
cos sin sin cos
x x x x
  

6)
3
8cos ( ) cos3
3
x x

 
7)
3 1
8cos
sin cos
x
x x

 
 HXH

2
8)
3
2sin ( ) 2sin
4
x x

 

9)
sin3 cos3 2cos 0
x x x
  

Bài 2 : Cho phương trình ( m +3) ( 1+sinx cos x) = (m+2) cos
2
x
1. Giải phương trình khi m = -3 ; m = 0
2. Tìm m để phương trình có nghiệm

V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình

1 .
12(sin cos ) 4sin cos 12 0
x x x x
   

2 .
sin 2 5(sin cos ) 1 0
x x x
   

3 .
5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0
x x x
    

4 .
1
sin 2 (sin cos ) 0
2
x x x
   

5 .
5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0
x x x
    

6 .
3 3
2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0
x x x x x
    

7 .

1 1
(sin cos 1)(sin2 )
2 2
x x x

   

8 .
sin cos 4sin2 1
x x x
  

9 .
sin cos sin2 0
x x x
  

10 .
2(sin cos ) tan cot
x x x x
  

11 .
cot tan sin cos
x x x x
  

12 .
2sin 2 1 sin cos
2sin 2 1 sin cos 1

x x x
x x x
 

  

Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1. Giải phương trình với m = -
2

2. Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1

VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1.
2
1
cot 1 0
sin
x
x
  
2.
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x

x
  


B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1.
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
x x x x
  
3.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 0
x x x
  

2.
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x
  
.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x

 
C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 .
cos cos2 cos3 cos4 0
x x x x
   

2.
1 sin cos3 cos sin 2 cos2
x x x x x
    

3.
3
2cos cos2 sin 0
x x x
  

4 .
cos cos3 2cos5 0
x x x
  

5 .
3 3
cos sin sin2 sin cos
x x x x x
   

6 .
2 3
sin cos sin 0
x x x
  

7.
2
1 sin
tan
1 cos
x
x
x




8 .
3 3
sin cos sin cos
x x x x
  

9 .
cos cos5
8sin sin3
cos3 cos
x x
x x

x x
 
10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos
2
x

D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
3 1
8cos KQ x= ; x=
sin sin 12 2 3
k
x k
x x
  

   
2.
2
1 cos2
1 cot 2 KQ x=
sin 2 4
x
g x k
x



   

 HXH

3
3.
4 4
4
sin 2 cos 2 k
cos 4 KQ x =
2
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x

 


 

4.
2
cos (1 cot ) 3
3cos KQ x= ;
4 6
2 sin( )
4
x x
x k x k

x
 
 

   
   


5.
2
cos 2sin cos
3 KQ x= 2
2cos sin 1 6
x x x
k
x x



 
 

Bài 2: Giải các phương trình
1.
tan 3x= tan 5x

2.
tan2xtan7x=1

3.

sin 4x
1
co s 6x


4.
sin cot5
1
cos9
x x
x


5.
3
sin( )
cos2
4
sin( 2 ) cos( )
2 4
x
x
x x

 


 

6.

cos3 .tan5 sin 7
x x x


Bài 3 : Giải các phương trình
1.
sin sin 2 sin3
3
cos cos2 cos3
x x x
x x x
 

 

2.
2
1 2sin 3 2sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
  



3.
3 3
sin cos
cos2

2cos sin
x x
x
x x




4.
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos
x
x x

  

5.
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 

6.
2
3tan3 cot 2 2tan
sin 4

x x x
x
  

7.
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
  
8.
2 2
2 2
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
  
Bài 4:
a) Tìm các nghiệm
;3
2
x


 

 

 
của phương trình
5 7
sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin
2 2
x x x
 
    
b) Tìm các nghiệm


0;2
x

 của phương trình
cos3 sin3
5(sin ) cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x

  


c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện
3
2 2 4
x
 

 
của phương trình
sin cos 1 sin
2 2
x x
x
  
d) Tìm các nghiệm thoã mãn
2
x

của phương trình
2 2
1
(cos5 cos7 ) cos 2 sin 3 0
2
x x x x
   


Phương trình lượng giác có chứa tham số
Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x
D

thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t

T


* Với mỗi t
T

thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x
D


Xác định m để các phương trình sau :
1. Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm
;
3 2
x
 
 
 
 
 

 HXH

4
2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm
0 ;
2
x


 

 
 

3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x

 

 
 

4. ( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0
5. m cos
2
2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm
0 ;
4
x

 

 
 

6. cos 4x -
2

4tan
1 tan
x
x

= 2 m có nghiệm
0 ;
2
x

 

 
 

7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm
0 ;
2
x

 

 
 

8. Cos 2x = m cos
2
x
1 tan
x

 có nghiệm
0;
3

 
 
 

9. tan
2
x + cot
2
x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 : Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có n nghiệm x
D


Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :
1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 cos dúng hai nghiệm phân biệt
;
2 2
x
 

 

 
 

2. m sin
2
x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x
3
0;
2
x

 

 
 

3. m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm


0;
x


4. ( 1- m) tan
2
x -
2
1 3 0
cos
m
x
  
có nhiều hơn một nghiệm

0;
2
x

 

 
 

5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos
2
x có đúng hai nghiệm
0;
2
x

 

 
 

6. cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm
0;
2
x

 

 
 

7. sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm


0;3
x



8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm
;3
6
x


 

 
 