mẹo nhỏ tính tích phân từng phần

1
VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG
PHẦN
LÊ ANH DŨNG
(Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang)
Khi tính tích phân bằng công thức tích phân từng phần
udv uv vdu
 
 
, nếu
ta chọn u, v một cách khéo léo thì thành phần
vdu

sẽ đơn giản và việc tính tích phân sẽ
đơn giản hơn. Bài viết này trao đổi với các bạn một số kĩ năng khi tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng phần.
1. Tách tích phân thành 2 phần, từng phần 1 phần sao cho phần còn lại khử vdu
Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =
2x 2
e (x 4x 1)dx
 

Bình thường ta đặt u = x
2
+ 4x + 1 thì phải tích phân từng phần 2 lần; để tránh điều này,
ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần còn lại.
2
2x
2x
2x

du 2xdx
u x
; nên vdu= xe dx
1
v e
dv e dx
2


 







 
 
 
 



sẽ khử hết xe
2x
do đó ta thêm vào u :
+ 3x để phần còn lại chỉ còn xe
2x
.

Lời giải. I =
2x 2 2x 2 2x
e (x 4x 1)dx e (x 3x)dx e (x 1)dx
     
  
Đặt
2
2x
u x 3x
dv e dx
 








, chọn
2x
du (2x 3)dx
1
v e
2
 











Khi đó: I =
2x 2 2x 2x
1 1
e (x 3x) e (2x 3)dx e (x 3)dx
2 2
    
 
=
2x 2 2x 2x 2 2x
1 3 1 3
e (x 3x) e dx e (x 3x) e C
2 2 2 4
     

Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau
x 3 2
I e (x 4x 1)dx
  

Tương tự ví dụ trên
3 2
2 x
x x
u x du 3x dx

; nên vdu= 3x e dx
dv e dx v e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sẽ khử hết 3x
2
e
x
do đó ta thêm vào u : x
2
để phần còn lại còn lại 3x
2
3 2 2
2 x
x x
u x x du (3x 2x)dx
; nên vdu=(3x +2x)e dx
dv e dx v e
   
 
 
 

 
 
 
 
 
sẽ khử hết 2xe
x
do đó ta lại
thêm vào u: -2x để phần còn lại chỉ còn 2x.
Lời giải.
x 3 2 x 2
I e (x x 2x)dx e (3x 2x 1)dx
     
 
2
Đặt:
3 2
x
u x x 2x
dv e dx
  








, chọn

2
x
du (3x 2x 2)dx
v e
  








x 3 2 x 2 x 2
I e (x x 2x) e (3x 2x 2)dx e (3x 2x 1)dx
        
 
x 3 2 x x 3 2
e (x x 2x) e dx e (x x 2x 1) C
        

Trên cơ sở đó, ta có thể sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho bài toán tính tích
phân từng phần của hàm số
ax b n n 1
n n 1 1 0
e (a x a x a a )dx
 

   


(n-2)/a
n/a
(n-1)/a
_
x
_
x
b
n - 3
b
n - 2
b
n - 1
=a
n
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức
a
1
a
n-2
a
n-1
a
n
n
n 1
k k 1 k 1
b a
k 2

b a b
a

 







 
(Nhân lên, lấy hệ số của đa thức trừ rồi hạ xuống)
Thí dụ 3: Tính I =
1
2x 5 3
0
e (x 4x x 1)dx
  

Ta lập sơ đồ sau ngoài nháp để tính u
5
2
-
3
2
1
-
5
2

x
_
1
1
2
1
3
2
2
5
2
n=5, a =2
1
0
hệ số của đa thức của u
hệ số của đa thức
-4
0
1
3
Trình bày:
I =
1 1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0 0
5 3 5 5 3 3
e x x x x x dx e x 5x x x 1 dx
2 2 2 2 2 2
   
 

 
        
 
 
 
 
   
 
Đặt
2x
5 4 3 2
u x
dv e dx
5 3 5
x x x x
2 2 2





   






,
4 3 2

2x
du 5x
v
5
10x 3x 3x
2
1
e
2





   










1
1
2x 5 4 3 2 2x 4 3 2
0
0

1
2x 4 3 2
0
1 5 3 5 5 3 3 5
I e x x x x x e x 5x x x dx
2 2 2 2 2 2 2 4
5 3 3
e x 5x x x 1 dx
2 2 2
   
         
   
   
 
    
 
 


1
1
2x 5 4 3 2 2x
0
0
1
2x 5 4 3 2 2
0
1 5 3 5 1
e x x x x x e dx
2 2 2 2 4

1 5 3 5 1 1 1
e x x x x x e
2 2 2 2 4 8 8
 
     
 
 
 
       
 
 

Thí dụ 4: Tính tích phân I =
2 2
e
3
1
x ln x 2x 2
ln x dx
x
 
 









 

Chú ý:
2 4 3
1
(x 1)' 2x; (ln x)' = 4. ln x
x
  , ta tách I thành 2 tích phân để khử vdu
Lời giải. I =
2 2
e e e
4 3 4 3
1 1 1
x 1 x 1
x ln x + 2 ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx
x x
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  
Đặt
4

u ln x
dv xdx









chọn
2
3
4ln x
du dx
x
1
v (x 1)
2

 














Suy ra I =


2 4
2 2
e e
1 1
x 1 ln x
x 1 x 1
e
2 ln x dx 2 ln x dx
1
2 x x

 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 



2 4
2
x 1 ln x
e 1
e
1
2 2


 
2. Thêm hằng số cho v
4
Trong các bài toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v một hằng số C thích hợp
để thành phần vdu khử bớt phân số.
Thí dụ 5: Tính tích phân I =
1
3
0
(2x 1) ln(x )dx
1
 

Lời giải. Đặt
3
u ln(x )

dv (2x 1)dx
1

 








, chọn
3
2 2
2
2
3x 3x
du
x (x 1)(x )
v x
dx
1 x 1
x
 








  




 


1
Bình thường ta lấy v = x
2
– x, nhưng ở đây ta chọn C = + 1 mục đích là khử bớt mẫu số
trong vdu.
Khi đó: I =
1
1
3
0
0
2
2
3x
(x x 1)ln(x ) dx
x 1
+1  


=

1
1
0
0
2
1
ln 2 3 x 1 dx ln 2 ln
x 1
x 3
3 x x 1 2ln 2
2 2
     

 
 




   

 




 
 
 


Thí dụ 6: Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x



Đặt u =
ln(sin cos )
x x


du =
cos sin
sin cos
x x
dx
x x


v =
2
1
cos
dx

x
chọn
sin cos
tan
cos
x x
x
x
v + 1

 
Bình thường ta hay lấy v = tanx nhưng ở đây ta thêm C = 1 để khử mẫu
Khi đó: I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x

  



=
/4

0
3
2ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x    


3. Cách chọn thành phần dv
Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm của dv. Trong trường hợp dv không có trong bảng
nguyên hàm cơ bản, ta phải tách tích để lấy được nguyên hàm của dv theo biến số mới .
Thí dụ 7: Tính tích phân
π
4
2
2
0
x
dx
(xsin x cos x)

Để giảm bậc mẫu thì
2
1
(xsin x cos x)

phải nằm trong thành phần dv; để tìm được
nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx
5
Lời giải.
π π

4 4
2
2 2
0 0
x x cos x x
dx dx
cos x
(xsin x cos x) (x sin x cos x)
.

 
 
 
Đặt
2 2
x
u
cos x
x cos x d(xsin x cos x)
dv dx
(xsin x cos x) (xsin x cos x)

 
 
 














chọn
2
x sin x cos x
du dx
cos x
1
v
x sin x cos x


















Khi đó I =
π
π
4
4
2
0
0
π
4
0
x dx
tan x
cos x(xsin x cos x)
cos x
2
π 4 π
π 4 4 π
  



 

Thí dụ 8: Tính tích phân
8
4 2

0
1
3
( 1)
x dx
x 

Để giảm bậc lớn ở dưới mẫu, ta có thể dùng tích phân từng phần. Để khử bậc 2 dưới mẫu
thì
4 2
1
( 1)
x 
phải nằm ở dv. Nhưng để lấy được nguyên hàm theo x
4
thì ta cần (x
4
)’ = 4x
3
.
Đặt
5
3 4
4 2 4 2
u x
x dx 1 d(x 1)
dv
4
(x 1) (x 1)



 
 





, chọn
4
4
du 5x dx
1 1
v
4
x 1

 






Vậy I =
1 1
1
3 3
8 5 4
3

4 2 4 4
0
0 0
x dx x 5 x
dx
4
(x 1) 4(x 1) x 1
  
  
 
=
1 1 1
3 3 3
4
4 4 2 2
0 0 0
x 1 1 1
dx 1 dx 1 dx
x 1 x 1 2(x 1) 2(x 1)
    
   
 
 














 
 
  
Ta có
1
1
3
3
2
0
0
1 1 x 1 1 1 3 1
1 dx x ln ln
4 x 1 4
2(x 1)
3 3 1
 
    



 
 














 
 

Đặt x = tant. Ta tính được Tính
1
3
2
0
1
dx
2(x 1)
π
12



Vậy I =
1 1 3 1

ln
4
3 3 1
π
12




Cuối cùng chúng tôi xin đưa ra một số bài tập để các bạn tự luyện tập
Tính các tích phân sau:
6
1)
2
2
1
ln(1 x)
dx.
x


2)
1
3 2
2x
0
x 2x 3x 1
dx
e
  


3)
e
3
1
ln xdx

4)
sin x
e ( xcos x)dx



2
0
1
5)
2
x
0
1 sin x
dx
(1 cos x)e




6)
1
0

2 3
1
dx
(x )1

_ HẾT_