chuyen de dai so 8

ôn tập toán lớp 8 năm học :2010-2011
Bài1: Thực hiện các phép tính sau:
a) (2x - y)(4x
2
- 2xy + y
2
) b) (6x
5
y
2
- 9x
4
y
3
+ 15x
3
y
4
): 3x
3
y
2
c) (2x
3
- 21x
2
+ 67x - 60): (x - 5) d) (x
4
+ 2x
3
+x - 25):(x

2
+5)
e) (27x
3
- 8): (6x + 9x
2
+ 4)
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau:
a) [(3x 2)(x + 1) (2x + 5)(x
2
1)] : (x + 1)
b) (2x + 1)
2
2(2x + 1)(3 x) + (3 x)
2

c) (x 1)
3
(x + 1)(x
2
x + 1) (3x + 1)(1 3x)
d) (x
2
+ 1)(x 3) (x 3)(x
2
+ 3x + 9)
e) (3x + 2)
2
+ (3x - 2)
2

2(3x + 2)(3x - 2) + x
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + y)
2
- (x - y)
2
b) (a + b)
3
+ (a - b)
3
- 2a
3
c) 9
8
.2
8
- (18
4
- 1)(18
4
+ 1)
Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x,y
A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x
2
- 6x + 9) - 2(4x
3
- 1)
C = (x - 1)
3
- (x + 1)

3
+ 6(x + 1)(x - 1)
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- y
2
- 2x + 2y b) 2x + 2y - x
2
- xy
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2
d) x
2
- 25 + y
2
+ 2xy
e) a
2
+ 2ab + b
2
- ac - bc f) x
2
- 2x - 4y
2
- 4y

g) x
2
y - x
3
- 9y + 9x h) x
2
(x-1) + 16(1- x)
n) 81x
2
- 6yz - 9y
2
- z
2
m)xz-yz-x
2
+2xy-y
2

p) x
2
+ 8x + 15 k) x
2
- x 12
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 4x
2
25 + (2x + 7)(5 2x) 9) x
3
+ x
2

y 4x 4y
2) 3(x+ 4) x
2
4x 10) x
3
3x
2
+ 1 3x
3) 5x
2
5y
2
10x + 10y 11) 3x
2
6xy + 3y
2
12z
2
4) x
2
xy + x y 12) x
2
2x 15
5) ax bx a
2
+ 2ab b
2
13) 2x
2
+ 3x 5

6) x
2
+ 4x y
2
+ 4 14) 2x
2
18
7) x
3
x
2
x + 1 15) x
2
7xy + 10y
2

8) x
4
+ 6x
2
y + 9y
2
- 1 16) x
3
2x
2
+ x xy
2
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. 16x
3
y + 0,25yz
3
21. (a + b + c)
2
+ (a + b c)
2
4c
2
2. x
4
4x
3
+ 4x
2
22. 4a
2
b
2
(a
2
+ b
2
c
2
)
2
3. 2ab
2

a
2
b b
3
23. a
4
+ b
4
+ c
4
2a
2
b
2
2b
2
c
2
2a
2
c
2
4. a
3
+ a
2
b ab
2
b
3

24 a(b
3
c
3
) + b(c
3
a
3
) + c(a
3
b
3
)
1
.
5. x
3
+ x
2
– 4x - 4 25. a
6
– a
4
+ 2a
3
+ 2a
2
6. x
3
– x

2
– x + 1 26. (a + b)
3
– (a – b)
3
7. x
4

+ x
3
+ x
2
- 1 27. X
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – y
3
8. x
2
y
2
+ 1 – x
2
– y
2
28. X
m + 4
+ x
m + 3

– x - 1
10. x
4
– x
2
+ 2x - 1 29. (x + y)
3
– x
3
– y
3
11. 3a – 3b + a
2
– 2ab + b
2
30. (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
12. a
2
+ 2ab + b
2
– 2a – 2b + 1 31. (b – c)
3
+ (c – a)

3
+ (a – b)
3
13. a
2
– b
2
– 4a + 4b 32. x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
14
.
a
3
– b
3
– 3a + 3b 33. (x + y)
5
– x
5
– y
5
15. x
3
+ 3x
2

– 3x - 1 34
.
(x
2
+ y
2
)
3
+ (z
2
– x
2
)
3
– (y
2
+ z
2
)
3
16. x
3
– 3x
2
– 3x + 1 35.
17. x
3
– 4x
2
+ 4x - 1 36.

18. 4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– 1)
2
37.
19. (xy + 4)
2
– (2x + 2y)
2
38.
20. (a
2
+ b
2
+ ab)
2
– a
2
b
2
– b
2
c
2

– c
2
a
2
39.
Bµi tËp 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. x
2
– 6x + 8 23. x
3
– 5x
2
y – 14xy
2
2. x
2
– 7xy + 10y
2
24. x
4
– 7x
2
+ 1
3. a
2
– 5a - 14 25. 4x
4
– 12x
2
+ 1

4. 2m
2
+ 10m + 8 26. x
2
+ 8x + 7
5. 4p
2
– 36p + 56 27. x
2
– 13x + 36
6. x
3
– 5x
2
– 14x 28. x
2
+ 3x – 18
7. a
4
+ a
2
+ 1 29. x
2
– 5x – 24
8. a
4
+ a
2
– 2 30. 3x
2

– 16x + 5
9. x
4
+ 4x
2
+ 5 31. 8x
2
+ 30x + 7
10. x
3
– 10x - 12 32. 2x
2
– 5x – 12
11. x
3
– 7x - 6 33. 6x
2
– 7x – 20
12. x
2
– 7x + 12 34. x
2
– 7x + 10
13. x
2
– 5x – 14 35. x
2
– 10x + 16
14
.

4 x
2
– 3x – 1 36. 3x
2
– 14x + 11
15. 3 x
2
– 7x + 4 37. 5x
2
+ 8x – 13
16. 2 x
2
– 7x + 3 38. x
2
+ 19x

+ 60
17. 6x
3
– 17x
2
+ 14x – 3 39. x
4
+ 4x
2
- 5
18. 4x
3
– 25x
2

– 53x – 24 40. x
3
– 19x + 30
2
19. x
4
– 34x
2
+ 225 41. x
3
+ 9x
2
+ 26x + 24
20. 4x
4
– 37x
2
+ 9 42. 4x
2
– 17xy + 13y
2
21. x
4
+ 3x
3
+ x
2
– 12x - 20 43. - 7x
2
+ 5xy + 12y

2
22. 2x
4
+ 5x
3
+ 13x
2
+ 25x + 15 44. x
3
+ 4x
2
– 31x - 70
Bµi tËp 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. x
4
+ x
2
+ 1 17. x
5
- x
4
- 1
2. x
4
– 3x
2
+ 9 18. x
12
– 3x
6

+ 1
3. x
4
+ 3x
2
+ 4 19. x
8
- 3x
4
+ 1
4. 2x
4
– x
2
– 1 20. a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a + 1
5. x
4
y
4
+ 4 21. m
3
– 6m

2
+ 11m - 6
6. x
4
y
4
+ 64 22. x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1
7. 4 x
4
y
4
+ 1 23. x
3
+ 4x
2
– 29x + 24
8. 32x
4
+ 1 24. x
10
+ x
8
+ x
6

+ x
4
+ x
2
+ 1
9. x
4
+ 4y
4
25. x
7
+ x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ 1
10. x
7
+ x
2
+ 1 26. x
5
– x
4
– x
3

– x
2
– x - 2
11. x
8
+ x + 1 27. x
8
+ x
6
+ x
4
+ x
2
+ 1
12. x
8
+ x
7
+ 1 28. x
9
– x
7
– x
6
– x
5
+ x
4
+ x
3

+ x
2
+ 1
13. x
8
+ 3x
4
+ 1 29. a(b
3
– c
3
) + b(c
3
– a
3
) + c(a
3
– b
3
)
14
.
x
10
+ x
5
+ 1 30.
15. x
5
+ x + 1 31.

16. x
5
+ x
4
+ 1 32.
Bµi tËp 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1. x
2
+ 2xy – 8y
2
+ 2xz + 14yz – 3z
2
2. 3x
2
– 22xy – 4x + 8y + 7y
2
+ 1
3. 12x
2
+ 5x – 12y
2
+ 12y – 10xy – 3
4. 2x
2
– 7xy + 3y
2
+ 5xz – 5yz + 2z
2
5. x
2

+ 3xy + 2y
2
+ 3xz + 5yz + 2z
2
6. x
2
– 8xy + 15y
2
+ 2x – 4y – 3
7. x
4
– 13x
2
+ 36
8. x
4
+ 3x
2
– 2x + 3
9. x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1
Bµi tËp 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
1. (a – b)
3
+ (b – c)

3
+ (c – a)
3
2. (a – x)y
3
– (a – y)x
3
– (x – y)a
3
3. x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2
– y
2
)
4. (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3

5. 3x
5
– 10x
4
– 8x
3
– 3x
2
+ 10x + 8
3
6. 5x
4
+ 24x
3
15x
2
118x + 24
7. 15x
3
+ 29x
2
8x 12
8. x
4
6x
3
+ 7x
2
+ 6x 8
9. x

3
+ 9x
2
+ 26x + 24
Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a(b + c)(b
2
c
2
) + b(a + c)(a
2
c
2
) + c(a + b)(a
2
b
2
)
2. ab(a b) + bc(b c) + ca(c a)
3. a(b
2
c
2
) b(a
2
c
2
) + c(a
2
b

2
)
4. (x y)
5
+ (y z)
5
+ (z x)
5
5. (x + y)
7
x
7
y
7
6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7. (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
8. a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a

2
) + c(a
2
+ b
2
) + 2abc
9. a
3
(b c) + b
3
(c a) + c
3
(a b)
10. abc (ab + bc + ac) + (a + b + c) 1
Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x 12
2. (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2

3. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) 12
4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
5. (x
2
+ 2x)
2
+ 9x
2
+ 18x + 20
6. x
2
4xy + 4y
2
2x + 4y 35
7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) 12
9. 4(x
2
+ 15x + 50)(x
2

+ 18x + 72) 3x
2
Bài 7 :Tìm x biết:
a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1
c) 2(x+5) - x
2
-5x = 0 d) (2x-3)
2
-(x+5)
2
=0
e) 3x
3
- 48x = 0 f) x
3
+ x
2
- 4x = 4
Baứi 8: Chửựng minh ủaỳng thửực:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x + + = + +
;
bieỏt raống 2x = a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + =
; bieỏt raống a + b + c = 2p

Bài 1: Thực hiện phép tính
4






+






+


+
2
1
:
1
21
)
2
x
xx
x
xx

a







+
++



222
3
1
1
12
1
.
1
1
1
)
xxxx
xx
x
b
3322
2

2
.
2
2222
)
yx
y
yx
y
yx
yx
yx
yx
c










+
+



+

+







+
3
15
12:
62
5
3 )
x
x
x
x
xd
Bài 2: Cho biểu thức:

+








+
+





=
1
3
1:
22
3
22
3
22
2

x
x
x
x
xx
x
A
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2005.
c) Tìm giá trị của x để A có giá trị bằng 1002.
Bài 3: Cho biểu thức:






+
+

+


+
=
3
5
2:
9
1
3
2
3
2
2
x
x
x
x
xx
x
B
a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B biết |x| = 1.
c) Tìm x biết
2
1
=B
.
d) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức:
44
:
842
2
82
2
2
2
23
2
2
2
+








+

+

=
xx
x
xxx

x
x
xx
C
a) Rút gọn C.
b) Tính giá trị của biểu thức C tại các giá trị của x thoả mãn |x - 3| = 1.
Bài 5: Cho biểu thức:
1
1
:1
1
1
1
1
2







+

+
+
=
x
xx
D

a) Rút gọn D.
b) Tính giá trị của D tại x =
2
.
c) Tìm giá trị của x để biểu thức D có giá trị bằng 0.
Bài 6: Cho biểu thức:
)1(:
1
1
1
2
1
2







+


+

=
x
x
x
x

x
x
E
a) Rút gọn E.
b) Tính giá trị của biểu thức E tại x =
3
1

.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức E nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:
x
x
xx
x
xxx
G
5
22
:
32
1
11
2
3
2
22
+

+

+

=
a) Rút gọn G.
5
b) Tính giá trị của G biết x(x 2) = 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên.
Bài 1: Giải phơng trình sau
1/ 14x-(2x+7) = 3x+(12x-13) ; 2/ 2x+33 3(12-x) = 9 +2(x+3)
3/ 2,5(x-3) -3(x- 4) = 9 (5x-15,3) ; 4/ 3x-
2
1
+5(x-2) =
3
2
(x+1)
Bài 2: Giải phơng trình sau
1/
1
8

3
2
1
3
+
+
=
xx
; 2/
2
12
6
2
3
1
=
+

+ xxx
3/
5 3 7 1 4 2
5.
6 4 7
x x x
+
=
; 4/
3(2 1) 3 2 2(3 1)
5 .
4 10 5

x x x
+ +
=
5/
3(2 1) 5 3 1 7
4 6 3 12
x x x
x
+ + +
+ = +
Bài 3: Giải phơng trình sau
1)
1 5
2 x
x 3 x 1
+ = +

2)
2
2 3
x 3
x 4x 21
=

+
3)
2 2
1 1
4
x 2x 3 x 1

+ =
+ + +
4)
2
2x 1 2x 1 8
2x 1 2x 1
4x 1
+
=
+

5)
2
3x 1 2x 5 4
1
x 1 x 3
x 2x 3
+
+ =
+
+
6)
1 2 3 4
.
99 98 97 96
x x x x
+ + + +
+ = +
7)
109 107 105 103

4 0.
91 93 95 97
x x x x

+ + + + =
Bài 4: Giải phơng trình sau
a/ (x+5)(x-1) = 2x(x-1)
b/ 5(x+3)(x-2) -3 (x+5)(x-2) = 0
c/ 2x
3
+ 5x
2
-3x = 0.
d/ (x-1)
2
+2 (x-1)(x+2) +(x+2)
2
=0
e/ x
2
+2x +1 =4(x
2
-2x+1)
Bài 5: Giải phơng trình sau
2
2 2 2
2
1 5 12
1// 1
2 2

4
5 5 25
2 //
5 2 10 2 50
1 7 3
3//
3 3
9
y
y y
y
y y y
y y y y y
x x x
x x
x
+
= +
+

+ +
=
+

=
+

6
Bài 6: Giải phơng trình sau
2

2
3 2
3 2 11
1)
2 4 3
1 65
2)
8
2 1 5( 1)
3)
1 1
2
4) 0
1
1
1 2 5 4
5)
1
1 1
x x
x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x

x x x

+ =

+ =
+
=
+
=



+ =

+ +
Dạng: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Bài 1:Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 63 , hiệu của chúng là 9 ?
Bài 2: Tìm 2 số biết tổng của chúng là 100. Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số
thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai.
Bài 3: Hai thùng dầu ,thùng này gấp đôi thùng kia ,sau khi thêm vào thùng nhỏ 15 lít ,bớt ở
thùng lớn 30 lít thì số dầu thùng nhỏ bằng
4
3
số dầu ở thùng lớn.Tính số dầu ở mỗi thùng lúc ban
đầu?
Bài 4: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 82 m, chiều dài hơn chiều rộng 11m. Tính chiều dài
và chiều rộng?
Bài 5 : Có 12% số học sinh trong lớp không làm đợc bài 32% làm sai , còn lại 28 em làm
đúng .Tính số học sinh trong lớp
Bài 6: Cả 3 thùng có tất cả 64,2 kg đờng thùng thứ hai có số đờng bằng

5
4
số đờng thùng thùng
1, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% số đờng thùng 2.Tính số đờng mỗi thùng ?
A. toán có nội dung số học
Bài 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng 2 chữ số là 16 , nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta đợc
số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị .
Bài 2 : Cho một số có hai chữ số tổng hai chữ số bằng là 7 . Nếu viết theo thứ tự
ngợc lại ta đợc số mới lớn hơn số đã cho 27 đơn vị . Tìm số đã cho ?
B. toán chuyển động
Bài 1: Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách nhau 70 km và sau một
giờ thì gặp nhau. Tính vận tóc của mỗi xe , biết rằng vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B 10
km/h .
Bài 2: Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở về với vận tốc 40 km/h.
Cả đi lẫn về mất 5h 24 phút . Tính chiều dài quãng đờng AB ?
Bài 3: Một ngời đi xe đạp từ A đén B. Một giờ sau, một xe máy cũng đi xe máy từ A đến B và
đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 h 30

. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy
gấp đôi vận tốc của xe đạp và quãng đờng AB dài 80 km.
Bai 1:`Mt ngi i xe p , mt ngi i xe mỏy , mt ngi i ụ tụ cựng i t A n B . H
khi hnh t A theo th t núi trờn lỳc 6h ; 7h ; 8h . Vn tc trung bỡnh ca h theo th t trờn
7
l 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hi lỳc ụ tụ chớnh gia v trớ xe p v xe mỏy thỡ ụ tụ ó cỏch
A bao nhiờu km. ỏp s: 50km.
2) Mt ca nụ xuụi dũng t bn A lỳc 5h 30 phỳt n bn B v ngh li õy 2h15phuts d
hng , sau ú li quay v A. n A lỳc 13h45 phỳt . Tớnh k/c gia hai bn A v B bit rng vn
tc ca nụ khi nc yờn lng l 24,3km/h v vn tc dũng nc chy l 2,7km/h. ỏp s: 72km.
C. toán kế hoạch thực làm
Bài 1 Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhng mỗi tuần đã vợt mức 6 tấn

nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vợt mức đánh bắt 10 tấn . Tính
mức cá đánh bắt theo kế hoạch ?
Bài 2 : Theo kế hoạch ,đội sản xuất cần gieo mạ trong 12 ngày .Đến khi thực hiện đội đã nâng
mức thêm 7 ha mỗi ngày vì thế hoàn thành gieo mạ trong 10 ngày .Hỏi mỗi ngay đội gieo đợc
bao nhiêu ha và gieo đợc bao nhiêu ha ?
Bài 3 : Một xởng đóng giầy cần phải hoàn thành kế hoạch trong 25 ngày.
Thực tế, xởng đã vợt mức mỗi ngày 6 đôi nên sau 20 ngày chẳng những hoàn thành kế hoạch mà
còn làm thêm đợc 20 đôi giày. Hổi xởng phải đóng bao nhiêu đôi giày theo kế hoạch ?
Bài 4 : Một xí nghiệp dệt theo hợp đồng làm trong 20 ngày. Khi làm năng suất tăng 20 % do đó
trong 18 ngày hoàn thành số thảm cần dệt và dệt thêm đợc 24 tấm nữa. Tính số thảm xí nghiệp
dệt theo hợp đồng ?
D. toán phần trăm
Bài 1 : Năm trớc cả hai cánh đồng thu hoạch đợc 650 tạ thóc Năm nay cánh đồng thứ nhất năng
suất tăng 50 %, cánh đồng thứ hai năng suất tăng 70 % nên tổng số cả hai cánh đồng thu đợc
1080 tạ thóc . Hãy tính số thóc thu đợc mỗi cánh đồng của năm trớc ?
Bài 2 : Tháng giêng cả hai tổ may đợc 720 bộ quần áo .Sang tháng thứ hai,do cải tiến kĩ thuật ,tổ
1 vợt mức 15 %, tổ 2 vợt mức 12 % nên cả hai tổ may đợc 819 bộ quần áo
Hỏi trong tháng hai mỗi tổ may đợc bao nhiêu bộ quần áo ?
1) Mt phõn s cú t kộm mu s 8 n v , nu tng t s 3 n v v tng mu s 5 n v thỡ
c phõn s mi bng 3/4 . Tỡm phõn s ban u.
2) Mt hỡnh ch nht cú chu vi 450m . Nu gim chiu di i 20% , tng chiu rng them 25%
thỡ c hỡnh ch nht mi cú chu vi khụng i. Tớnh chiu di chiu rng ca vn.
3) Mt tu ỏnh cỏ d nh trung bỡnh mi ngy bt c 3 tn cỏ. Nhng thc t mi ngy bt
them c 0.8 tn nờn chng nhng hon thnh sm 2 ngy m cũn bt them c 2 tn cỏ. Hi
mc cỏ d nh bt theo k hoch l bao nhiờu?
4) Hai kho cha 450 tn hng. Nu chuyn 50 tn t kho I sang kho II thỡ s hng kho I bng
5/4 s hng kho II. Tớnh s hng trong mi kho.
5) Hai vũi nc chy vo mt cỏi b thỡ y sau 3h20 . Ngi ta cho vũi J chy trong 2h v
vũi II chy trong 2h thỡ c 4/5 b . Tớnh thi gian mi vũi chy mt mỡnh y b.
6) Hai mỏy cy cụng sut khỏc nhau phi cy mt tha rung . nu mi mỏy lm vic riờng mt

mỡnh thỡ mỏy th I cn 20h , mỏy th II cn 15h mi cy xong tha rung . Nụng trng giao
cho mỏy th I cy trong mt thi gian ri ngh v mỏy II cy tip cho xong. Bit thi gian mỏy I
lm ớt hn mỏy II l 3h20. Tớnh thi gian mi mỏy ó cy.
chủ đề: tam giác đồng dạng
8
1) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). Mt cỏt tuyn song song vi AB ln lt ct cỏc on
thng AD, BD, AC, BC ti M, N, P, Q.
a/ CMR : MN = PQ.
b/ Gi E l giao im ca AD v BC, F l giao im ca AC v BD. CMR : ng
thng EF i qua trung im ca AB v DC.
2) Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AD, trng tõm G. ng thng d qua G ct AB,AC ln
lt ti M, N. CMR:
3
AB AC
AM AN
+ =
.
3) Mt ng thng i qua nh A ca hỡnh bỡnh hnh ABCD ct ng chộo BD E v
ct BC , DC theo th t K, G. Chng minh rng:
a/
2
.AE EK EG=
b/
1 1 1
AE AK AG
= +
c/ Khi ng thng thay i v trớ nhng vn i qua A thỡ tớch BK.DG cú giỏ tr khụng i.
4) Cho hỡnh thang ABCD (AB// CD), M l trung im ca CD. Gi I l giao im ca AM
v BD, K l giao im ca BM v AC.
a/ CMR: IK // AB.

b/ ng thng IK ct AD, BC theo th t E, F.CMR: EI = IK = KF.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 60
o
. Gọi M, N lần lợt là trung điểm
của BC và AD. E là điểm đối xứng với A qua B.
a) Tứ giác ABMN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh: Tứ giác AEMN là hình thang cân.
c) Chứng minh: Ba điểm E, M, D thẳng hàng.
Bài 11: Cho ABC vuông tại A, đờng cao AH. Gọi E, F, M lần lợt là trung điểm của các cạnh
AB, AC, BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) Tứ giác EHMF là hình thang cân.
c) Giả sử AB = 6cm, BC = 10cm. Hãy tính diện tích tam giác EHF.
Bài 12: Cho hình thang CDEF (CD//EF). Gọi A, B, M, N lần lợt là trung điểm của CD, CE, EF,
DF.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMN là hình bình hành.
b) Nếu CDEF là hình thang cân thì ABMN là hình gì? Vì sao?
c) Hình thang CDEF cần thêm điều kiện gì thì ABMN là hình vuông? Vẽ hình minh họa.
Bài 13: Cho hình thoi ABCD, gọi E là điểm đối xứng với A qua B; F là điểm đối xứng với A qua
D.
a) Chứng minh: Các tứ giác BDFC và BDCE là hình bình hành, suy ra C là trung điểm của
EF.
b) Chứng minh: Tứ giác BDFE là hình thang cân.
c) Biết diện tích của hình thoi ABCD là 8cm
2
. Tính diện tích BDFE.
Bài 14: Cho ABC, vẽ phân giác AD. Từ D kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC tại E. Từ E
kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại F. Chứng minh:
9
a) Tứ giác BFEC là hình thang.

b) Tứ giác BFED là hình bình hành.
c) AE = BF.
d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BFED là hình thoi.
Bài 15: Cho ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua
AB; E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC; F là giao điểm của
DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Các tứ giác ADBM và ADCN là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh: M đối xứng với N qua A.
d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AEDF là hình vuông.
Bài 16: Cho ABC, góc A = 90
o
, AB = 6cm, AC = 8cm.
a) Tính BC.
b) Kẻ AH BC. Tính diện tích ABC và AH.
c) Qua H kẻ HE AB, HF AC.
Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? Chứng minh: AH = EF.
Bài 17: Cho ABC, trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Trên tia đối của tia OB lấy
điểm D sao cho OD = OB.
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD là hình bình hành.
b) Xác định dạng của tứ giác AMCD? Giải thích?
c) Tìm điều kiện của ABC để tứ giác AMCD là hình chữ nhật.
Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,
CD.
a) Các tứ giác AEFD và AECF là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
Chứng minh: Tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh: Các đờng thẳng AC, BD, EF, MN đồng quy.
d) Hình bình hành ABCD cần điều kiện gì để tứ giác EMFN là hình vuông.
1) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A , AB < AC , ng phõn giỏc AD. ng vuụng gúc vi DC

ti D ct AC E. Chng minh rng:
a) Tam giỏc ABC v tam giỏc DEC ng dng
b) DE = BD.
2) Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm ; AC = 21cm. Trờn cnh AB ly im E sao cho AE =
7cm , trờn cnh AC ly im D sao cho AD = 5cm . C/minh rng: a) Tam giỏc ABD v tam giỏc
ACE ng dng.
b) Tam giỏc IBE v tam giỏc ICD ng dng ( I l giao im ca BD v CE )
c) IB. ID = IC . IE
3) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A , ng cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm .Gi D l hỡnh
chiu ca H trờn AC , E l hỡnh chiu ca H trờn AB.
10
a) C/mỡnh rng: Tam giỏc ADE v tam giỏc ABC ng dng.
b)Tớnh din tớch tam giỏc ADE.
4) Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H . gi M ; N theo th t l trung im ca BC ; AC. Gi O
l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc.
a)C/minh rng : Tam giỏc OMN v tam giỏc HAB ng dng. Tỡm t s ng dng.
b) So sỏnh di ca AH v OM
c) Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC . C/minh rng tam giỏc HAG v tam giỏc OMG
ng dng.
d) C/minh 3 im H ; G ; O thng hng v GH = 2GO.
5) Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( A = D= 90 ) cú hai ng chộo vuụng gúc vi nhau ti
O . AB = 4cm ; CD = 9cm.
a) C/minh rng cỏc tam giỏc AOB v DAB ng dng.
b) Tớnh di AB.
c) Tớnh t s din tớch ca tam giỏc OAB v tam giỏc OCD.
6) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ; AB = 1 ; AC = 3 . Trờn cnh AC ly cỏc im D ; E sao cho
AD = DE = EC .
a) Tớnh di BD.
b) C/minh rng cỏc tam giỏc BDE v CDB ng dng
c) Tớnh tng: DEB + DCB.

I Một số bài toán và phơng pháp chứng minh đẳng thức và m au: ối
quan hệ đại số:
1. Phơng pháp chứng minh vế trái (VT)bằng vế phải (VP)
Muốn chứng minh đẳng thức A(x,y, ,z) = B(x,y, ,z) thì ta có thể biến đổi đại số của VT hoặc
VP để VT=VP.
Bài toán 1: Chứng minh rằng:
1. a
3
- b
3
= ( a b)
3
+ 3ab( a-b)
2. ( b-c)
3
+ (c-a)
3
+ (a-b)
3
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Phơng pháp (PP): Trong bài toán này vế trái trái của đẳng thức là các hằng đẳng thức vì vậy chúng
ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp để giải.
Lời giải:
1. Đặt VT = a
3
+ b
3
= (a- b)
3
+3a

2
b - 3ab
2
= ( a b)
3
+ 3ab( a-b) = VP (ĐPCM)
2. Đặt VT= b
3
-3b
2
c+3bc
2
-c
3
+c
3
-3c
2
a+3ca
2
-a
3
+a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3

11
= 3(-b
2
c+bc
2
-c
2
a+ca
2
-a
2
b+ab
2
)
= 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM)
Bài toán 2: Chứng minh rằng:
yx
yxyyxx
yxyx

=
+
++ 1
22
32
3223
22
PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm đợc bài này ta cần phân
tích tử và mẫu thức thành nhân tử từ đó rút gọn các nhân tử chung.
Lời giải: Ta có 2x

2
+3xy+y
2
=(x+1)(2x+y)
2x
3
+x
2
y -2 xy
2
-y
3
= (2x+y)(x-y)(x+y)
Khi đó:
( )( )
( )( )( )
yxyxyxyx
yxyx
yxyyxx
yxyx

=
++
++
=
+
++ 1
2
2
22

32
3223
22
(ĐPCM).
Bài toán 3: Với ba số a,b,c là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( ) ( )( )
accbbabcac
ba
abcb
ac
caba
cb

+

+

=


+


+

222
PP: Đây là một bài toán nếu nhìn bình thờng thì ta nghĩ ngay đến việc quy đồng và thực hiện
cộng ba phân thức với nhau, nhng nếu làm nh vậy ta sẻ đi đến một biểu thức tơng đối khó.
Với bài này ta nên thêm bớt vào tử thức để có thể đa về các phân thức có mẫu bằng 1.
Lời giải:

Đặt VT =
))(())(())(( bcac
ba
abcb
ac
caba
cb


+


+


=
))((
)()(
))((
)()(
abcb
abbc
caba
caab

+
+

+
+

))((
)()(
bcac
bcca

+
=
bcacabcbcaba


+



+



111111

accbba
+

+

=
222
= VP (ĐPCM).
Chú ý. Bài toán trên có thể biến đổi tơng tơng bằng cách chuyển VP sang VT.
2. Bài toán có điều kiện:

Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng
là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thờng băn
khoăn không biết sử dụng giả thiết nh thế nào cho đúng ?. Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy
12
cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán. Sau đây là một số bài
toán nh thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán.
Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0. Chứng minh rằng:
(a
2
+b
2
+c
2
)
2
= 2(a
4
+b
4
+c
4
)
PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa 2 và 4 vậy thì việc sử dụng GT a+b+c =0
nh thế nào để làm xuất hiện các luỹ thừa cần dùng.
Lời giải: Do a+b+c = 0 nên (a+b+c)
2
=0


a

2
+b
2
+c
2
= -( 2ab+2bc+2ac)


(a
2
+b
2
+c
2
)
2
= 4(ab+bc+ac)
2


a
4
+b
4
+c
4
+2a
2
b
2

+2b
2
c
2
+2a
2
c
2
= 4(a
2
b
2
+b
2
c
2
+a
2
c
2
+2ab
2
c+2a
2
bc+2abc
2
)


a

4
+b
4
+c
4
= 2a
2
b
2
+2b
2
c
2
+2a
2
c
2
+8abc(a+b+c) do a+b+c =0 nên


a
4
+b
4
+c
4
= 2a
2
b
2

+2b
2
c
2
+2a
2
c
2
= 2(a
2
b
2
+b
2
c
2
+a
2
c
2
).
Mặt khác: (a
2
+b
2
+c
2
)
2
= 4(a

2
b
2
+b
2
c
2
+a
2
c
2
) +2abc(a+b+c)


(a
2
+b
2
+c
2
)
2
= 4(a
2
b
2
+b
2
c
2

+a
2
c
2
) (do a+b+c =0)
Khi đó: 2(a
4
+b
4
+c
4
)= (a
2
+b
2
+c
2
)
2
(ĐPCM)
Bài toán 2: Cho a
2
+b
2
=1 , c
2
+d
2
=1, ac+bd=0.Chứng minh rằng:
ab+cd=0.

PP: Đây là một bài toán sử dụng giả thiết tơng đối khó vì HS không biết sử dụng các luỹ thừa
2 nh thế nào. Với bài này cần cho HS biết cách sử dụng số 1 hợp lý vào biểu thức cần chứng
minh vì ab+cd = ab.1+cd.1 ; cuối cùng là đa về nhân tử để sử dụng ac+bd=0 .
Lời giải: Ta có ab+cd= ab(c
2
+d
2
)+cd(a
2
+b
2
)
= ab c
2
+abd
2
+cda
2
+cdb
2
=ac(bc+ad) +bd(ad+bc)
= (bc+ad)(ac+bd)= 0 (do ac+bd=0)
Vậy ab+cd=0.
Bài toán 3: Chứng minh rằng Nếu:
c
z
b
y
a
x

==
thì:
(x
2
+y
2
+c
2
)( a
2
+b
2
+c
2
) = (ax+by+cz)
2

PP : Bài toán này có GT là một dãy tỉ số bằng nhau vì vậy cần sử dụng kiến thức tỉ lệ thức để
vận dụng vào trong quá trình giải.
13
Lời giải Đặt
c
z
b
y
a
x
==
= k. Do đó x=ak , y=bk, c=kc.
VT= (a

2
+b
2
+c
2
)
2
k
2

VP= (a
2
+b
2
+c
2
)
2
k
2
Suy ra: VP=VT
Vậy (x
2
+y
2
+c
2
)( a
2
+b

2
+c
2
) = (ax+by+cz)
2
Bài toán 4: Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a
3
+b
3
+c
3
=1.
Chứng minh rằng: a
2005
+b
2005
+c
2005
=1.
PP. Đây là bài toán khó đối với HS vì luỹ thừa lớn nên HS thờng không biết sử lý nh thế nào.
Với bài này chúng ta nên dạy cho HS cách phán đoán trớc khi giải: Bài này ta có thể dự đoán
một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng 0.
Lời giải: Do a
3
+b
3
+c
3
=1 và a+b+c=1 ta có. a
3

+b
3
+c
3
= a+b+c


3(a+b)(b+c)(c+a)=0


a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
Nếu a=-b ta có a
2005
+b
2005
+c
2005
= a
2005
- a
2005
+c
2005
= c
2005
= 1 vì a-a+c=1
Tơng tự ta cũng có kết luận nh trên
Vậy a
2005
+b

2005
+c
2005
=1
Bài toán 5: Cho x+y = a + b và x
2
+y
2
=a
2
+b
2
Chứng minh rằng:
x
2009
+y
2009
= a
2009
+b
2009
( Trong đề chọn HSG tỉnh năm 2009)
PP: Đây là một bài toán với yêu cầu chứng minh với số mũ tơng đối lớn vì vậy cần hớng
dẫn học sinh định hớng trớc khi giải là: Sử dụng giả thiết để chỉ ra có các cặp lá hai số
đối nhau hợc các cặp bằng nhau.
Lời giải:
Từ x+y = a + b

x-a=b-y
Từ x

2
+y
2
=a
2
+b
2


x
2
- a
2
=b
2
-y
2

(x-a)(x+a) = (b-y)(b+y)
Suy ra (b-y)(x+a) - (b-y)(b+y) = 0


(b-y)(x+a-b-y)=0


b=y hoặc x+a-b-y=0
Nếu b=y

x=a

x
2009
+y
2009
= a
2009
+b
2009
Nếu x+a-b-y=0

x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy ra x=b

y=a


x
2009
+y
2009
= a
2009
+b
2009
( ĐPCM)
14
Bài toán 6. Cho
cbacba ++
=++
1111
Chứng minh rằng:

200920092009200920092009
1111
cbacba ++
=++
PP. Bài toán này trớc khi làm cần hớng dẫn HS xét xem bài toán xảy ra dấu bằng khi nào?.
Bài toán này xảy ra khi ba số a; b; c đôi một đối nhau, chính vì vậy từ giả thiết ta biến đổi t-
ơng đơng để đa về dạng (a+b)(b+c)(c+a) = 0
Lời giải:
Ta có:
)(
)(1111
cbac
ba
ab
ba
ccbaba ++
+
=
+

++
=+



0
)(
=
++
+

+
+
cbac
ba
ab
ba
(a+b)(b+c)(c+a) = 0
Suy ra : a=-b; b=-c; c=-a
Nếu a = -b Ta có
2009200920092009200920092009200920092009
11111111
cbaccaacba ++
==+

+=++
Tơng tự ta cũng có các kết luận nh trên với b=-c; c=-a
Vậy
200920092009200920092009
1111
cbacba ++
=++
Mở rộng : Bài toán trên có thể chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) hoặc chứng minh
rằng:
cbacba ++
=++
1111
sảy ra khi và vhỉ khi a=-b; b=-c; c=-a.
Bài toán 7: a. CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by và x+y+z 0.
Thì
2

1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+ cba
PP: Trong bài điều kiện tởng nh bình thờng x+y+z 0 thì lại là điều kiện cần xem xét đầu
tiên vì nó gợi cho ta việc cộng ba giả thiết đầu lại với nhau. Từ đó kết hợp với mỗi giả thiết để
làm xuất hiện
1 1 1
; ;
1 1 1a b c+ + +
Lời giải:
a. Ta có x+y+z = 2(ax+by+cz) . Khi đó:
15
x+y+z = 2(ax + x) = 2x( a+1)
zyx
x
a ++
=
+

2
1

1
Tơng tự ta có:
zyx
y
b ++
=
+
2
1
1
và
zyx
z
c ++
=
+
2
1
1

Suy ra:
=
+
+
+
+
+ 1
1
1
1

1
1
cba
zyx
z
zyx
y
zyx
x
++
+
++
+
++
222
= 2
Vậy
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+ cba

Bài toán 8: CMR: Nếu
1
111
=
zyx
va x =y +z thì
1
111
222
=++
zyx
PP. Bài trên đẳng thức yêu cầu chứng minh có luỹ thừa 2 và nó là phân luỹ thừa của một hằng
đẳng thức vì vậy để tạo ra nó cần có cái nhìn về GT . Ta có thể tạo ra bằng cách bình phơng hai
vế của
1
111
=
zyx
.
Lời giải: Ta có
1
111
=
zyx


1
222111
222

=+++
zxyzxy
zyx



=++
222
111
zyx
1+
zxyzxy
222
+


=++
222
111
zyx
1+
1
22
1
22
=+=

+
yzyzyzyz
zy
x
(vì x=y+z)
Vậy
1
111
222
=++
zyx

Bài toán 9: Cho
1=
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
. CMR:
0

222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
PP. Bài toán này cũng là một bài toán khó khi các em HS tìm cách tạo ra a
2
, ,trong đẳng
thức cần chứng minh. Ta thấy rằng mẫu của GT cũng nh dẳng thức cần chứng minh là nh
nhau nên chúng ta không nên sử lý đối với mẫu mà tạo ra các luỹ thừa bằng cách nhân cả hai
vế của GT với (a +b+c)
Lời giải: Ta có
1=
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a

16


cbacba
ba
c
ca
b
cb
a
++=++
+
+
+
+
+
))((


0
)()()(
222
222
222
=
+
+
+
+

+

++=+
+
++
+
++
+
++=
+
++
+
+
++
+
+
++

ba
c
ca
b
cb
a
cbac
ba
c
b
ca
b

a
cb
a
cba
ba
cbac
ca
bcab
cb
cbaa
Vậy
0
222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
cb
a
Khi
1=
+
+
+
+

+ ba
c
ca
b
cb
a
Bài toán 10: a. Cho
2
111
=++
cba
(1) và
2
111
222
=++
cba
(2).
CMR: a+b+c=abc
b.
2=++
z
c
y
b
x
a
(1) và
0=++
c

z
b
y
a
x
(2). CMR:
4
2
2
2
2
2
2
=++
z
c
y
b
x
a
PP: Bình phơng hai vế của của (1), biến đổi để sử dụng giả thiết (2).
Lời giải: a. Từ (1) ta có
4
111
2
=

++
cba



4
111
2
111
222
=






++++
acbcab
cba



acbcab
111
++
=0 ( vì
2

111
222
=++
cba
)


a+b+c=abc (ĐPCM).
b. Tacó:
2=++
z
c
y
b
x
a



4)(
2
=++
z
c
y
b
x
a

42
2
2
2
2
2
2
=








+++++
xz
ac
yz
bc
xy
ab
z
c
y
b
x
a

17


42
2
2
2
2
2
2
=








++
+++
xyz
acybcxabz
z
c
y
b
x
a
Mặt khác

0=++
c
z
b
y
a
x
Nên
xyz
acybcxabz ++
=0
Vậy
4
2
2
2
2
2
2
=++
z
c
y
b
x
a

Bài toán 11: Cho
,0,0,

= ca
cb
ba
c
a
a-b 0 và b-c 0.
CMR:
ccbbaa
1111


=

+
PP: Quy đồng hai vế của giả thiết và của yêu cầu CM để chỉ ra đẳng thức đúng.
Lời giải: Từ
cb
ba
c
a


=


a(b-c) = c(a-b) (1)
Từ
ccbbaa
1111

=

+



acbbac
1111


=

+



)()( cba
cba
bac
cba

+
=

+


a(b-c) = c(a-b) (2)

Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
Bài toán 12: Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 và
0=++
z
c
y
b
x
a

CMR: ax
2
+ by
2
+cz
2
=0.
PP: Sử dụng giả thiết x+y+z =0 để thay x ,y,z vào biể thức A = ax
2
+ by
2
+cz
2
, đặt nhân tử
chung và thy a,b,c ở a+b+c=0 và biểu thức
Lời giải: Từ x+y+z =0 Ta có: x
2
= (y+z)
2
; y

2
= (x+z)
2
; z
2
= (x+y)
2
Đặt A = ax
2
+ by
2
+cz
2

= a(y+z)
2
+b(x+z)
2
+c(x+y)
2
= ay
2
+2axy+az
2
+ bx
2
+2bxz+bz
2
+cx
2

+2cxy+cy
2
= x
2
(b+c)+y
2
(a+c)+z
2
(a+b)+2(axy+bxz+cxy)
Mà a+b+c=0 nên b+c=-a; a+c=-b; a+b=-c
Khi đó: A = -ax
2
by
2
cz
2
+2(axy+bxz+cxy)
18
Mặt khác:
0=++
z
c
y
b
x
a

axy+bxz+cxy = 0.
Suy ra A = -ax
2

by
2
cz
2
= ax
2
+ by
2
+cz
2


ax
2
+ by
2
+cz
2
=0.
Vậy ax
2
+ by
2
+cz
2
=0.
Bài toán 13: Cho
.
111
x

xz
z
yz
y
xy +
=
+
=
+
CMR: x=y hoặc y=z hoặc x=z hoặc x
2
y
2
z
2
=1.
PP: Đối với các bài kiểu này thì chúng ta cần hớng HS đến việc sử dụng giả thiết để biến đổi
về dạng tích (x-y)(y-z)(z-x)(x
2
y
2
z
2
-1) = 0
Lời giải:
y
xy 1+
=
z
yz 1+

x+
z
y
y
11
+=


x-y =
yz
11

=
yz
zy
Tơng tự ta có: y-z=
xz
xz
; z-x =
xy
yx

Suy ra (x-y)(y-z)(z-x) =
222
))()((
zyx
xzzyyx

(x-y)(y-z)(z-x)(x
2
y
2
z
2
-1) = 0


x=y hoặc y=z hoặc z=x hoặc x
2
y
2
z
2
=1. (ĐPCM).
Bài tập đề nghị:
1. Cho
0=

+

+
ba
c
ac
b
cb

a
. CMR:
0
)()()(
222
=

+

+
ba
c
ac
b
cb
a
2. CMR: Nếu (a
2
-bc)(b-abc) = (b
2
- ac)(a-abc) và a,b,c, a-b khác 0
Thì
.
111
cba
cba
++=++
3. CMR: Nếu x+y+z=a và
azyx
1111

=++
thì tồn tại một trong ba số
bằng a.
4. CMR:Nếu m=a+b+c thì:
( am+bc)(bm+ac)(cm+ab)= (a+b)
2
(b+c)
2
(c+a)
2
19
5. CMR: Nếu a+b+c=0 và abc 0 thì:

9=







+

+

+

+

cb
a
ac
b
ba
c
b
ac
a
cb
c
ba
3. Một số bài toán về quan hệ đại số trong toán học:
Trong dạy học môn toán đặc biệt là đại số các đối tợng đại số luôn có mối quan hệ nhất định
nào đó, việc chứng minh đợc mối quan hệ đó không phải là khó nhng cũng không phải là dễ
đối với một số đối tợng HS của chúng ta. Việc cung cấp cho HS đặc biệt là HS khá, giỏi là rất
cần thiết không những lớp 8 mà còn là hành trang cho HS sau này. Với một lợng bài không
nhiều nhng tôi tin rằng sau khi các em làm xong các bài toán sau thì có thể vững tin vào các
bài khác khi bắt gặp.
Về phơng pháp chung với các bài toán loại này thờng là: áp dụng hợp lý giả thiết của bài
toán để đa về dạng tích hoặc là tổng các bình phơng, cũng có thể sử dạng điều kiện sảy ra dấu
bằng trong bất đẳng thức.
Bài toán 1: CMR: Nếu x
2

+y
2
+z
2
=xy+yz+xz thì x=y=z.
PP: Bài toán này để suy ra đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết về dạng tổng các bình phơng.
Lời giải: Ta có: x
2
+y
2
+z
2
=xy+yz+xz


2x
2
+2y
2
+2z
2
=2xy+2yz+2xz


2x
2
-2y
2
-2z
2

-2xy-2yz-2xz = 0


(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
= 0
Do (x-y)
2
0 ; (y-z)
2
0 ; (z-x)
2
0 Nên: (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
= 0



( )

= 0x-z
0 = z)-(y
0 =y)-(x
2
2
2


zyx
xz
zy
yx
xz
zy
yx
==





=
=
=

=
=
=
0
0
0
Vậy nếu x
2
+y
2
+z
2
=xy+yz+xz thì x=y=z.
Bài toán 2: Cho a. b,c là ba số dơng. CMR: (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc khi và chỉ khi
a=b=c.
PP: Ta biến đổi tơng đơng giả thiết để đa về dạng tổng các bình phơng, nhng bài này ta sử
dụng bất đẳng thức (x+y)
2
4xy thì đ ợc kết quả dễ dàng hơn.
20
Lời giải: Do a,b,c là ba số dơng nên ta có:
(a+b)
2
4ab
(b+c)
2
4bc
(c+a)

2
4ac
Suy ra (a+b)
2
(b+c)
2
(c+a)
2
64a
2
b
2
c
2


(a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
Vậy (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc khi và chỉ khi a=b=c.
Bài toán 3: CMR: Trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau. Nếu:
a
2
(b-c)+b
2
(c-a)+c
2
(a-b) = 0
PP: Đa về dạng tích đối với a,b,c.
Lời giải: Ta có: a
2
(b-c)+b

2
(c-a)+c
2
(a-b) = 0


a
2
(b-c) + b
2
c b
2
a +c
2
a-c
2
b =0


a
2
(b-c) +bc(b-c) a(b
2
-c
2
) =0


(b-c)( a
2

+bc ab-ac) = 0


(b-c)( a-b)(c-a) = 0


b-c=0 hoặc a-b=0 hoặc c-a=0


b=c hoặc a=b hoặc c=a
Vậy Trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài toán 4: CMR: Nếu ba số x,y,z là ba số dơng thoả mãn
x
3
+y
3
+z
3
=3xyz thì x=y=z.
PP: Bài toán này để suy ra đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết về dạng tổng các bình phơng.
Lời giải: Ta có: x
3
+y
3
+z
3
=3xyz


x

3
+y
3
+z
3
-3xyz = 0


(x+y+z)(x
2
+y
2
+z
2
-xy-yz-zx)=0
Do x,y,z dơng nên x+y+z dơng khi đó
(x+y+z)(x
2
+y
2
+z
2
-xy-yz-zx)=0


x
2
+y
2
+z

2
-xy-yz-zx = 0
21


2x
2
-2y
2
-2z
2
-2xy-2yz-2xz = 0


(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
= 0
Do (x-y)
2
0 ; (y-z)
2
0 ; (z-x)
2
0 Nên: (x-y)
2
+(y-z)

2
+(z-x)
2
= 0



( )





= 0x-z
0 = z)-(y
0 =y)-(x
2
2
2


zyx
xz
zy
yx
xz
zy
yx
==

=
=
=






=
=
=
0
0
0
Vậy: Nếu ba số x,y,z là ba số dơng thoả mãn
x
3
+y
3
+z
3
=3xyz thì x=y=z.
Bài toán 5: CMR: Nếu a
4
+b

4
+c
4
+d
4
= 4abcd và a,b,c,d là các số dơng
Thì: a=b=c=d.
PP: Bài toán này để suy ra đợc a=b=c= d ta cần biến đổi giả thiết về dạng tổng các bình ph-
ơng.
Lời giải: Ta có: a
4
+b
4
+c
4
+d
4
= 4abcd


a
4
+b
4
+c
4
+d
4
- 4abcd = 0

(a
4
+b
4
2a
2
b
2
) +( c
4
+d
4
- 2c
2
d
2
) +( 2a
2
b
2
+2c
2
d
2


( a
2
-b

2
)
2
+( c
2
-d
2
)
2
+2(ab-cd)
2
=0
Do ( a
2
-b
2
)
2
0, ( c
2
-d
2
) 0, 2(ab-cd)
2
0 Nên:
( a
2
-b
2
)

2
+( c
2
-d
2
)
2
+2(ab-cd)
2
=0

( a
2
-b
2
)
2
=0, ( c
2
-d
2
)
2
=0, 2(ab-cd)
2
=0

a
2
-b

2
=0 và c
2
-d
2
và ab-cd

a= b, c=d, ab=cd.


a=b=c=d
Vậy a=b=c=d.
Bài toán 6: Cho a,b,c là các số hữu tỉ thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=1.
CMR: (1+a
2
)(1+b
2
)(1+c
2
) là bình phơng của một số hữu tỉ?
PP: Thay 1= ab +bc+ca vào (1+a
2
),(1+b
2
),(1+c
2
) để phân tích thành nhân tử.
Lời giải: Do ab+bc+ca=1
Nên 1+a
2

=ab+bc+ca+a
2
= (a+b)(a+c)
22
1+b
2
= ab+bc+ca+b
2
=( a+b)(b+c)
1+c
2
= ab+bc+ca+c
2
= (b+c)(c+a)
Khi đó: (1+a
2
)(1+b
2
)(1+c
2
) = (a+b)
2
(b+c)
2
(c+a)
2
=
[ ]
2
))()(( accbba +++

Vậy (1+a
2
)(1+b
2
)(1+c
2
) là bình phơng của một số hữu tỉ.
Bài tập 7: Cho
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
++=++
. CMR: ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau.
PP: Phân tích giả thiết về dạng tích.
Lời giải: Ta có
c
a
b
c
a
b

a
c
c
b
b
a
++=++



a
2
c +b
2
a+c
2
b =b
2
c+c
2
a+a
2
b


a
2
c +b
2
a+c

2
b - b
2
c-c
2
a-a
2
b =0


(a
2
c - c
2
a) +( b
2
a - b
2
c) (a
2
b- c
2
b) = 0


ac(a-c) + b
2
(a-c) b(a
2
- c

2
) = 0


(a-c)(ac +b
2
- ab bc) = 0


(a-c)(b-c)(a-b) =0


a-c =0; b-c = 0; a-b = 0


a= c ; b=c; a=b.
Vậy: ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau.
23
HÕt
(Chóc c¸c em «n tËp tèt)
24