Giáo án dạy thêm tích phân bằng phưong pháp đổi biến số

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững hai công thức đổi biến số
- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II/ Nội dung bài dạy
* Công thức đổi biến số dạng 1
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc đổi biến số dạng 1:
* Công thức đổi biến số dạng 2
( )
( )
( ( )) '( ) ( )
b
b
a a
f x x dx f t dt
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
∫ ∫
* Quy tắc đổi biến số dạng 2:

• Tính các tích phân sau:
1)
∫
+
−
7
0
3
2
1
2
dx
x
xx
2)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
3)
∫
+
−
1
0
5

4
2
)13(
12
dx
x
x
4)
∫
+
32
5
2
4
1
dx
xx
5)
∫
++
e
dx
x
xxx
1
ln)ln31(
6)
∫
+
3ln

0
3
2
)1(
dx
e
e
x
x
7)
∫
+
2ln
0
1
1
dx
e
x
8)
1
5 3 3
0
(1 )x x dx−
∫
9)
1 5
2
2
4 2

1
1
1
x
dx
x x
+
+
− +
∫
10)
7
2
7
7 2
1
1
(1 )
x
dx
x x
−
+
∫
11)
11 4
1
dx
x x+
∫

12) I =
3
3
x
dx
2
1
x 16
∫
−
13)
3
2
2
0
sin cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
14)
2
2
0
cos
sin 3 cos
x

dx
x x
π
+
∫
15)
2
4
sin cos
3 sin 2
x x
dx
x
π
π
+
+
∫
16)
2
6 3 5
0
1 cos sin cosx x xdx
π
−
∫
17)
3
4
6

sin cos
dx
x x
π
π
∫
18)
sin 2 sin
dx
x x−
∫
19)
( 1)
(1 )
x
x dx
x xe
+
+
∫
Đặt t = 1 + xe
x
20)
ln( )
3 ln
ex dx
x x+
∫
21)
(1 ln )

x
x x dx+
∫
22)
2
2 2
0
4x x dx−
∫
23)
1
4 2
0
4 3
dx
x x+ +
∫
24)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
25)
1

2
0
3
x
dx
e +
∫
26)
1
4 2
0
1
xdx
x x+ +
∫
27)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
28)
2

2
2
2
3
1
x dx
x −
∫
29)
2
cos
dx
x x
∫
30)
3
3 2
2
0
1
x x
dx
x
+
+
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 2 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững công thức tích phân từng phần và hiểu bản chất công thức

- HS vận dụng thành thạo công thức trong các bài toán liên quan
II/ Nội dung bài dạy
31)
2
2
0
sin xdx
π
 
 ÷
 
∫
32)
8
4 4
0
(sin cos )x x dx
π
+
∫
33)
10
2
1
lgx xdx
∫
34)
3
2
0

(3 1) sin(4 )
3
x x dx
π
π
− −
∫
35)
1
2 2 3
3
2
( 2 1)
x
x x e dx
−
+
−
+ −
∫
36)
sin ln(tan )x x dx
∫
37)
3
2
3
sin
cos
x x

dx
x
π
π
−
∫
38)
6
2
0
sin (2 )
6
x
dx
x
π
π
+
∫
39)
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x
π
+
+

∫
40)
3
1
( 1 7ln )ln
e
x x x
dx
x
+ +
∫
41)
2
2
sin 3
0
sin cos
x
e x xdx
π
∫
42)
0
2
cos ln(1 cos )x x dx
π
−
+
∫
43)

4
2
0
tanx xdx
π
∫
44)
cos(ln )x dx
∫
45)
sin
cos
cos2
x
x
e
x dx
e
∫
46)
1 cos
2
0
(1 sin )
ln
1 cos
x
x
dx
x

π
+
+
+
∫
47)
6
2
1
3x dx+
∫
48)
2 2 2
1
a
x x a dx+
∫
49)
2
3
ln ( 1)x
dx
x
+
∫
50)
2
2
ln( 1 )
1

x x x
dx
x
+ +
+
∫
51)
1
2 2
1
(1 )
dx
x
−
+
∫
52)
1
9
4 3
0
(1 )
x
dx
x+
∫
53)
1 sin
1 cos
x

x
e dx
x
+
+
∫
54)
2
2
2
0
( sin cos )
x dx
x x x
π
+
∫

Bài 3 TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC; HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần, bảng
các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm đa thức và hàm hữu tỉ.
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
II/ Nội dung bài dạy
Bài toán tổng quát. Cho P(x) và Q(x) là các đa thức. Tính tích phân sau:
( )
( )
b
a

P x
dx
Q x
∫
Giáo viên nêu cách giải sau đó áp dụng vào giải các bài tập sau:
Ví dụ:
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
1/ I =
( )
( )
( ) ( )
0 0 0 0 0
2 2 2
2
1 1 1 1 1
4 4
3 2 3 4 4 2
3ln
1 3 3 3
1 3
4 3
x dx
dx dx dx dx
x x
x x
x x
− − − − −
+
= + − + = +
− −

− −
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2/ I =
( )
( )
2 2 2 2
2
3
1 1 1 1
2 1
1 1 2 4
ln
3 1 3 1 3 3
1
x dx
dx dx dx
x x x x
x x
−
= − − =
+ − +
+
∫ ∫ ∫ ∫
3/
( )
1 1 1
2
4
2 2

0 0 0
1 2 2 2 2 2 2
ln 3 2 2
1 4 4
2 1 2 1
x x x
dx dx dx
x
x x x x
 
− − +
= − = −
 ÷
+
− + + +
 
∫ ∫ ∫
4/
( ) ( )
1 7
ln
2 5
2 7 7
dx x
c
x x
x
−
= +
− +

+
∫
5/
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 3
1
3 6 9 6 3 6 9
x x
dx
dx
x x x x x x
+ − +
= =
+ + + + + +
∫ ∫
=
( ) ( )
( )
2
3 9
1 1 1 1 1 1
ln
18 3 6 6 6 18
6
x x
c
x x x x
x

+ +
 
− − + = +
 ÷
+ + + +
 
+
∫
6/
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
6 6
5
6 6
12 6
6 6 6 6
1 2
1 1 1 1
3 2 6 6
1 2 2 1
x x
x dx
d x d x
x x
x x x x
 
− −

 ÷
= = −
 ÷
− +
− − − −
 
∫ ∫ ∫


6
6
1 2
ln
6 1
x
c
x
−
= +
−
7/
( )
( )
2 2
2
3 2 2
2
3
1 1 1 3
ln

3 3 3 3 6
3
x x
dx xdx dx x
dx c
x x x x x
x x
− −
−
 
= = − = +
 ÷
− −
−
 
∫ ∫ ∫ ∫
8/
( )
( ) ( )
4 4
9 5 5
5 4 4
1 1 1 1
3
1 1
3 3 3
3 3
e e e e
x x
dx dx dx

dx
x x x
x x x x
 
+ −
 ÷
= = − =
 ÷
+
+ +
 
∫ ∫ ∫ ∫
=
( )
( )
4 4
3 4
5 5 4 4 4
4
1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1 1 1
ln
1
3 3 3 9 9 3 12 36 3
3
e e e e e
x x dx
e
dx dx dx x dx x

x x x x x x
x x
 
+ −
 
 ÷
− = − + = − −
 ÷
 ÷
+ +
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
9/
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
3 2
1 1
3 3
3 2 9 12 7 11
3 2 3 2 11
d x
dx dt
x x x t t

x x
−
= = =
 
− − − −
− − −
 
∫ ∫ ∫

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
11
3 2 11
1 1 1 1
ln
3 3 3 6
11 11
3 2
t t
x
tdt dt
dt c
t
t t t

x
− −
− −
= = − = +
− −
−
∫ ∫ ∫
• Bài tập về nhà:
Bài 1: I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx−
∫
I =
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx+ + +
∫
I =
3
2 3
0
x (1 x) dx−
∫
I =
1
5 3 6
0

x (1 x ) dx−
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
2
4
x 4 dx
−
−
∫
I =
2
3 2
1
x 2x x 2 dx
−
− − +
∫
I =
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
Bài 2: I =
1
2

0
3
dx
x 4x 5− −
∫
I =
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2
−
+ + +
∫
I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)+
∫

I =
2
1
2
0
x

dx
4 x−
∫
I =
1
2
5
1
dx
2x 8x 26
−
+ +
∫
I =
1
2
0
x
dx
4 x−
∫

I =
1
2
2
0
4x 1
dx
x 3x 2

−
− +
∫
I =
4
2
1
1
dx
(1 x) x+
∫
I =
1
2
0
x 3
dx
(x 1)(x 3x 2)
−
+ + +
∫

I =
1
4
2
2
0
x
dx

x 1−
∫
I =
3
3
2
1
x
dx
x 16−
∫
I =
2 2
1
( 3 2)
dx
x x+ +
∫
I=
2
4 1
2 5 2
x
dx
x x
+
− +
∫
I=
4 2

3
2 3 7 3
3 2
x x x
dx
x x
− + +
− +
∫
I=
2
( 1)( 2)(3 )
x
dx
x x x+ + −
∫
Bài 3: I =
3
2
3
1
dx
x 3+
∫
I =
1
3
0
4x
dx

(x 1)+
∫
I =
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3)+ +
∫

I=
4
1
6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫
I =
2
2
4
1
1 x
dx
1 x

−
+
∫
I =
3 2
1
2
0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
+ + +
+ +
∫

I =
3
1
2 3
0
x
dx
(x 1)+
∫
I =
1
3
0
3
dx

x 1+
∫
I=
2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫

I =
3
6 2
1
1
dx
x (1 x )+
∫
I=
5 3
dx
x x+
∫
I=
3
6
6 2
1
2 1

(1 )
x
dx
x x
+
+
∫
Bài 4: I =
5
2
5
1
1 x
dx
x(1 x )
−
+
∫
I =
7
3
8 4
2
x
dx
1 x 2x+ −
∫
Bài 5:

0

2
3 2
1
4 11 9
3 3 7
x x
dx
x x x
−
+ +
+ + −
∫

ln13
ln5
(3 ) 1
x
x x
e
dx
e e+ −
∫

3
6 4 2
4 4 1
x x
dx
x x x
−

+ + +
∫
4
4 5
( 1)
( 5)( 5 1)
x
dx
x x x x
−
− − +
∫

2
0
3sin 4cos 5
dx
x x
π
+ +
∫

sin 2cos 3
sin 2cos 3
x x
dx
x x
+ −
− +
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ
A/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các bài toán
tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B/ Nội dung bài dạy
I. Dạng 1. Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c+ +
∫
Nx:
2
2
ln
du
u u k c
u k
= + + +
+
∫
.
Thật vậy: Đặt
2
2 2
1
u dt dx

t u u k dt t dx
t
u k u k
 
= + + ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+ +
 

⇒
2
ln
du dt
t c
t
u k
= = +
+
∫ ∫
* Nếu a > 0, biến đổi
2 2
ax bx c u k+ + = +
* Nếu a < 0,
2 2 2
ax bx c k u+ + = −
, đặt t = k.sinu
Ví dụ :
( ) ( )
1 2
dx

x x+ +
∫
=?
Cách 1: Làm theo phương pháp trên.
Cách 2: * Nếu x > -1, đặt:
1 1 2
1 2
2 1 2 2 1. 2
dt dx
t x x dt dx
t
x x x x
 
= + + + ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+ + + +
 
( ) ( )
( )
2 2ln 2ln 1 2
1 2
dx dt
t c x x c
t
x x
⇒ = = + = + + + +
+ +
∫ ∫
* Nếu x < -2 , đặt:
1 1 2

( 1) ( 2)
2 ( 1) 2 ( 2) 1. 2
dt dx
t x x dt dx
t
x x x x
 
−
= − + + − + ⇒ = − ⇒ − =
 ÷
 ÷
− + − + + +
 
( ) ( )
( )
2 2ln 2ln ( 1) ( 2)
1 2
dx dt
t c x x c
t
x x
⇒ = − = − + = − − + + − + +
+ +
∫ ∫
Cách 3. Sử dụng phép thế ơle.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
2
2 5 2
dx

x x− +
∫
2)
2
2
1
3 5 4
dx
x x− +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
3)
7
2 1
3
2
1
4 6 3
dx
x x
−
−
− −
∫
4)
2
7 8 10
dx
x x− −
∫

II. Dạng 2. Tích phân dạng:
( )
2
mx n dx
ax bx c
+
+ +
∫
Biến đổi:
( ) ( )
2 2 2
2
2 2
mx n dx ax b dc
m mb dx
n
a a
ax bx c ax bx c ax bx c
+ +
 
= + −
 ÷
 
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
( )
1
2

0
4
4 5
x dx
x x
+
+ +
∫
2)
( )
0
2
1
2
2 2
x dx
x x
−
+
+ +
∫
3)
( )
0
2
2
1
4 5
x dx
x x

−
−
− − +
∫
4)
2
2
1
2 1
4 12 5
x
dx
x x
−
− + −
∫
III. Dạng 3. Tích phân dạng
(
)
2
,f x ax bx c dx+ +
∫
Cách giải: Sử dụng phép thế Ơle.
+ Nếu a > 0, đặt
2
ax bx c t ax+ + = ±
+ Nếu c > 0, đặt
2
ax bx c tx c+ + = ±
+ Nếu ttb2: ax

2
+ bx + c có nghiệm x
0
, đặt
( )
2
0
ax bx c t x x+ + = −
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1 1
dx
x x+ + +
∫
(HVKTQS – 99) 2)
2
1
dx
x x x− − +
∫
3)
2
1 1
dx
x x+ − −
∫
4)
( )
( )

2
1 1
dx
x x+ +
∫
Bài 4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ (TIẾP)
A/ Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững phương pháp đổi biến số, phương pháp lượng giác hoá các bài toán
tích phân, bảng các nguyên hàm cơ bản.
- HS nắm vững phương pháp tính tích phân các hàm vô tỉ
- HS vận dụng thành thạo vào giải toán
B/ Nội dung bài dạy
IV. Dạng 4. Tích phân dạng
( )
2
dx
mx n ax bx c+ + +
∫
Cách giải: Đặt mx+n = 1/t
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Tổng quát:
( )
( )
2
px q dx
mx n ax bx c
+
+ + +
∫
Bài 4. Tính các tích phân sau:

1)
2
( 1) 2 2
dx
x x x+ + +
∫
2)
1
2
2
1
2
(2 3) 4 12 5
dx
x x x
−
+ + +
∫
3)
2
(3 2)
( 1) 3 3
x dx
x x x
+
+ + +
∫
V. Dạng 5. Tích phân dạng:
,
n

ax b
f x dx
cx d
 
+
 ÷
+
 
∫
Cách giải: Đặt
n
n
n
ax b dt b
t x
cx d a ct
+ −
= ⇒ =
+ −
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1)
1
0
1
1
1 2
x
dx
x
π

−
= −
+
∫
2)
( )
5
3 3
3
3
1 3 1
5
1
xdx
x x c
x
= + − + +
+
∫
(đhan-01)
3)
6
4
4
2ln3 1
2 2
x dx
x x
−
× = −

+ +
∫
4)
2 5
3 6
2
1 1 1
1 1 1
x x
dx I
x x x
 
+ +
   
 
− =
 ÷  ÷
− − −
 
   
 
∫
Đặt
( )
6 5
6
26
6
1 1 12
1 1

1
x t t
t x dx dt
x t
t
+ +
= ⇒ = ⇒ =
− −
−
( )
3 4
3I t t dt⇒ = −
∫
5 4
6 6
3 1 3 1
5 1 4 1
x x
c
x x
+ +
   
= − +
 ÷  ÷
− −
   
VI. Một số tích phân khác.
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1)
( )

3 2 2 2 2
1
1 1 1
2
x x dx x x d x− = − − −
∫ ∫
. (HVHCQG – SP – 01)
Đặt
( )
2 2
1 2 1t x tdt d x= − ⇒ = −
( )
3 2 2
1
1 1 . .2
2
x x dx t t tdt⇒ − = − −
∫ ∫
2)
( )
4 2
5
2 2
3
1
2
3 3
x d x
x dx
x x

+
=
+ +
∫ ∫
. Đặt
2
3t x= +
3)
2
1
1
x
dx
x
+
+
∫
Đặt
1t x= +
4)
( )
( ) ( )
2 2
2
4 2
2 2
1. 1
1 1
3 2 2
1 2

x d x
x x
dx
x x
x x
+ +
+
=
− +
− −
∫ ∫
Đặt
2
1t x= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2
2 3 3 2 3
t dt dt dt
I
t t t t t
⇒ = = +
− − − − −
∫ ∫ ∫
=
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 2

1
3 2 ln
3 2 2 3 2
t t
dt dt
c
t t t t
− +
= − = +
− − + −
∫ ∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
5)
3
1 1
xdx
x x+ + +
∫
6)
3
(2 1) 3 5x xdx− −
∫
7)
5
2
3
x dx
x +
∫
Đặt

2 2 2
3 3t x x t xdx tdt= + ⇒ = − ⇒ =
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1)
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
1
1
2
1 1 1 1
d x
xdx
x x x x
+
=
− + − +
∫ ∫
. Đặt
2
2
1
2
dt
t x I
t
= + ⇒ =
−

∫
2)
( )
1
2 2
0
3 5 2
xdx
x x− −
∫
Đặt
2
2t x= −
3)
( )
3
2 2
2
2 3
dx
x x− +
∫
Đặt
2
3
x
t
x
=
+

Bài 8. Tính các tích phân sau:
1)
( )
3
2
2 2
0
3 3x x− −
∫
2)
( )
1
2 2
0
4 4
dx
x x− −
∫
3)
( )
2 2
0
0
a
x a x dx a− >
∫
4)
( )
1
2

2
5
2
0
1
x dx
x−
∫
BTVN
Bài 1: I =
2
1
0
x
dx
(x 1) x 1+ +
∫
I =
2
1
x
dx
1 x 1+ −
∫
I =
3
8
1
x 1
dx

x
+
∫

I =
1
0
x 1 xdx−
∫
I =
7
2
1
dx
2 x 1+ +
∫
I =
4
1
2
dx
x 5 4
−
+ +
∫

I =
1
0
x 1 x dx−

∫
I =
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2

+
+
∫
I =
1
3
3
1
dx
x 4 (x 4)
−
+ + +
∫
I =
1
0
x
dx
2x 1+
∫
I =
9
3
1
x. 1 xdx−
∫
I =
1
0
1

dx
3 2x−
∫
Bài 2: I =
4
2
2
1
dx
x 16 x−
∫
I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9−
∫
I =
2
2 3
0
x (x 4) dx+
∫
I =
2
4
4 3
3

x 4
dx
x
−
∫
I =
2
2
2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫
I =
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
1
5 2
0

x 1 x dx+
∫
I =
2
3
2
0
(x 3) x 6x 8 dx− − +
∫
I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫
I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4+
∫
I =
3
3 2
0
x . 1 x dx+

∫
I =
4
2
7
1
dx
x 9 x+
∫

I =
1
15 8
0
x 1 x dx+
∫
I =
5 3
3
2
0
x 2x
dx
x 1
+
+
∫
I =
3
7

3
2
0
x
dx
1 x+
∫
I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1−
∫
I =
3
2
2

1
2
1
dx
x 1 x−
∫

I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1−
∫
I =
2
3
1
1
dx
x 1 x+
∫
I =
2
1
3
0
3x

dx
x 2+
∫
Bài 3: I =
1
2 2
3
1
dx
x 4 x−
∫
I =
2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫
I =
1
2 3
0
(1 x ) dx−
∫
I =
1
2
0
1

dx
4 x−
∫
I =
3
2
1
1
dx
4x x−
∫
I =
2
2
1
4x x 5dx
−
− +
∫
I =
2
2
2
2
0
x
dx
1 x−
∫
I =

2
1
2
2
2
1 x
dx
x
−
∫
I =
2
1
2
0
x
dx
4 x−
∫
I =
1
2
0
3x 6x 1dx− + +
∫
Bài 4: I =
2
2
0
4 x dx+

∫
I =
3
2
2
1
dx
x 1−
∫
I =
0
2
1
1
dx
x 2x 9
−
+ +
∫
I =
2
2
2
2x 5
dx
x 4x 13
−
−
+ +
∫

I =
1
2
0
x 1dx+
∫
I =
2
3
2
1
x 1
dx
x
+
∫
I =
2
1
2
0
x
dx
x 4+
∫
Bài 5: I =
2
0
x
dx

2 x 2 x+ + −
∫
I =
1
0
3
dx
x 9 x+ −
∫
I =
2
1
x
dx
x 2 2 x+ + −
∫
I =
1
0
1
dx
x 1 x+ +
∫

Bài 6: I =
6
4
x 4 1
. dx
x 2 x 2

−
+ +
∫
I =
3
1
2
0
x
dx
x 1 x+ +
∫
I =
1
2
1
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
3
2
4
1
x x

dx
x
−
∫
I =
1
2
2
1
2
1
dx
(3 2x) 5 12x 4x
−
+ + +
∫
I =
1
3
1
2
x
dx
x 1+
∫
Bài 7:
1)
8
4
4

( 1)
x x
dx
x x
−
+
∫
2)
2
3
( 1)( 1)
dx
x x− +
∫
3)
a x
dx
a x
+
−
∫
4)
, 0
2
x
dx a
a x
>
−
∫

5)
2
4 3x x dx− + −
∫
6)
2 2
dx
x x a+
∫
7)
0
2
1
1 2 2
dx
x x
−
+ + +
∫
8)
2
1
dx
x x x− − +
∫
9)
2 2
( )
dx

ax b cx d+ +
∫
10)
2 2
( )
xdx
ax b cx d+ +
∫
11)
5
2
2
2 2x x
dx
x
+ +
∫
12)
3 2
1x x dx−
∫
13)
2 2
( 1) 1
xdx
x x− +
∫
14)
3
4

1
dx
x x+
∫
15)
3 3
2
1 x
dx
x
+
∫
16)
4 4
1
dx
x x+
∫
17)
3 3
ax x dx−
∫
18)
5
2 2
( )
x dx
a x a x− −
∫
19)

3 5
1
dx
x x +
∫
BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II/ Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
B. Bài tập
* Dạng 1.
sin cos
dx
a x b x c+ +
∫
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1)
2
2 2
tan
2
3sin 4cos
3tan 2 2 tan
6sin cos 4 cos sin
2 2
2 2 2 2
x
d

dx dx
x x
x x x x
x x
 
 ÷
 
= =
+
 
+ −
+ −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2)
2sin 5cos 3
dx
x x+ +
∫
* Dạng 2.
sin cos
sin cos
a x b x c
dx
m x n x p
+ +
+ +
∫
Tồn tại cách phân tích duy nhất:

asinx + bcosx + c = α(msinx + ncosx + p) + β(mcosx – nsinx) + γ, với mọi x
⇔ asinx + bcosx + c = (αm - βn)sinx + (αn - βm)cosx + αp + γ, với mọi x
Bài 2. Tính các tích phân sau:
1)
3sin 4cos 3
. 1, 2, 6
sin 2cos 3
x x
dx
x x
α β γ
− + −
= = = −
+ +
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
2)
2
0
sin cos 1
sin 2cos 3
x x
dx
x x
π
− +
+ +
∫
3)
2cos sin 3

sin 2cos 3
x x
dx
x x
+ −
− +
∫
4)
( )
3
5cos 4sin 1 9
, , 0
2 2
cos sin
x x
dx
x x
α β γ
−
= = − =
+
∫
5)
4 3tan
dx
x+
∫
cos 4 3
ln 4cos 3sin
2sin 4cos 24 25

xdx
x x x c
x x
= = + + +
+
∫
* Dạng 3.
( )
sin ;cosf x x dx
∫
. f là hs hữu tỉ đối với sinx và cosx.
+
( ) ( )
sin ;cos sin ;cosf x x f x x− = −
đặt t = cosx
+
( ) ( )
sin ; cos sin ;cosf x x f x x− = −
đặt t = sinx
+
( ) ( )
sin ; cos sin ;cosf x x f x x− − =
đặt t = tanx
+ Có thể đặt
tan
2
x
t =
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1)

6
sin cos
dx
x x
∫
2)
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
3)
3
4
cos
sin
x
dx
x
∫
4)
( )
6
0

3 3
ln
cos sin cos 3
dx
x x x
π
−
=
−
∫
5)
3
3 5
4
4
sin cos
dx
x x
π
π
∫
6)
3 5
sin cos
dx
x x
∫
Cách 1: Đặt t = cosx ⇒ dài
Cách 2: Mũ của sinx và cosx hơn kém nhau 2 đơn vị.
( )

( )
( )
2 4
3 3
3 5 2
2
tan tan
1 3 1
8 8 3ln tan tan tan
sin cos 2tan 2 4
sin 2 2 tan
1 tan
d x d x
dx
x x x c
x x x
x x
x
= = = − + + + +
 
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
7)
2
sin
cos 1 sin
xdx
x x+

∫
8)
3 11
sin cos
dx
x x
∫
9)
5
tan xdx
∫
Bài 4. Tính các tích phân sau:
1)
2 sin cos
dx
x x+ −
∫
(ĐHBK – 00)
2)
sin cos
sin cos
x xdx
x x+
∫
( )
2
sin cos 1
1
2 sin cos
x x

dx
x x
+ −
=
+
∫
BÀI 5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC (TIẾP)
I/ Mục tiêu bài dạy
- HS biết cách tính tính phân của các hàm số lượng giác
- Có cái nhìn tổng quát về tích phân của các hàm số lượng giác
II/ Nội dung bài dạy
C. Lí thuyết
D. Bài tập
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
* Một số tích phân khác
Bài 5. Tính các tích phân sau:
1)
5
sin xdx
∫
2)
6
cos xdx
∫
3)
7
tan xdx
∫
4)
8

cot xdx
∫
Bài 6. Tính các tích phân sau:
1)
2 4
sin cosx xdx
∫
2)
5 2008
sin 2 cosx xdx
∫
3)
4
sin cos
dx
x x
∫
4)
5
3 2
cos
sin
xdx
x
∫
5)
3
3
sin
cos cos

xdx
x x
∫
Bài 7. Tính các tích phân sau:
1)
sin
dx
x
∫
2)
cos
dx
x
∫
3)
sin cos
dx
x x−
∫
4)
sin 3 cos3
dx
x x+
∫
Bài 8. Tính các tích phân sau:
1)
sin( )(2 2sin 2 )
4
x x dx
π

− +
∫
2)
2
0
sin
3 cos2
xdx
x
π
+
∫
3)
2
3
6
4
sin
cos
x
dx
x
π
π
∫
4)
2
cos
sin 3 cos
x

dx
x x+
∫
5)
3
3
2
3
3
sin sin
tan sin
x x
dx
x x
π
π
−
∫
6)
1
cos cos( )
4
dx
x x
π
+
∫
7)
2
0

cos
7 cos 2
xdx
x
π
+
∫
8)
tan( )cot( )
3 6
x x dx
π π
+ +
∫
Bài 9. Tính các tích phân sau:
1)
2
2
2
cos
4 sin
x x
dx
x
π
π
−
+
−
∫

=
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
sin
cos 1
0 ln3
4 sin 4 sin 4 sin 2
d x
x x
dx dx
x x x
π π π
π π π
− − −
+ = + =
− − −
∫ ∫ ∫
Do
( )
2
4 sin
x
f x
x
=
−
là hs lẻ nên
2

2
2
0
4 sin
x
dx
x
π
π
−
=
−
∫
2)
( ) ( )
2
0
sin sinI x nx dx n
π
= − ∈
∫
¢
Cách 1: Đặt
2x t
π
= −
( ) ( )
2 2
0 0
sin sin sin sin 0x nx dx t nt dt I

π π
⇒ − = − ⇒ =
∫ ∫
Cách 2: Đặt
x t
π
= −
( ) ( )
( )
( )
2
0
sin sin sin sin sin sin 0I x nx dx t n t dt t nt dt
π π π
π π
π
− −
⇒ = − = − − − = ± + =
∫ ∫ ∫
Do hs
( ) ( )
sin sinf t t nt= +
là hs lẻ.
BTVN:
Bài 1: I =
2
3
0
sin xdx
π

∫
I =
2
4
0
sin xdx
π
∫
I =
∫
2
0
π
sin
2
x.cos
2
xdx
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
3
0
(2cos2 x-3sin2 x)dx
π
∫
I =
4
4
0
cos xdx

π
∫
I =
2
5
0
sin xdx
π
∫
I =
2
3
0
cos xdx
π
∫
I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
π
I =
6
0
x
sin dx
2

π
∫
I =
2
0
sin x.sin 2x.sin3xdx
π
∫
I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫
I =
2
2
0
cos x.cos4x dx
π
∫
I =
0
cosx sin xdx
π
∫
I =
2

2
0
sin xcosx(1 cos x) dx
π
+
∫
I =
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫
I =
2
5 4
0
cos xsin xdx
π
∫
Bài 2: I =
3
2
4
3tg x dx
π
π
∫
I =

4
2
6
(2cotg x 5)dx
π
π
+
∫
I =
∫
−
3
6
π
π
(tgx-cotgx)
2
dx
I =
3
4
4
tg xdx
π
π
∫
I =
∫
4
6

π
π
cotg2x dx I =
4
5
0
tg x dx
π
∫
I =
4
3
6
cotg x dx
π
π
∫
I =
3
2 2
6
tg x cot g x 2dx
π
π
+ −
∫
Bài 3: I =
∫
2
4

4
sin
1
π
π
x
dx I =
∫
4
0
6
cos
1
π
x
dx I =
4
0
1
dx
cos x
π
∫
I =
4
3
0
1
dx
cos x

π
∫
I =
3
4
1
dx
sin 2x
π
π
∫
I =
∫
3
4
22
2
cos
2
sin
1
π
π
xx
dx
I =
2
3
6
0

sin x
dx
cos x
π
∫
I =
3
2
0
cos x
dx
1 sin x
π
−
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4: I =
2
0
1 cosx
dx
1 cos x
π
−
+
∫
I =
2
2
sin( x)

4
dx
sin( x)
4
π
−π
π
−
π
+
∫
I =
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

I =
2
6
3 5
0
1 cos x sin x.cos xdx
π
−

∫
I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
π
π
∫
I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π
∫
I =
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
I =

3
4
4
cos2x 1dx
π
π
+
∫
I =
0
1 sin xdx
π
−
∫
I =
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
I =
0
2
2
sin 2x
dx
(2 sin x)
−π
+

∫
I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)
π
+
∫
I =
3
3
6
4sin x
dx
1 cosx
π
π
−
∫
I =
3
2
6
1
dx
cos x.sin x

π
π
∫
I =
3
0
sin x.tgxdx
π
∫
I =
3
4
2 2 5
0
sin x
dx
(tg x 1) .cos x
π
+
∫
I =
2
4
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+
∫

I =
2
0
1 sin x
dx
1 3cos x
π
+
+
∫
I =
2
2
cosx 1
dx
cos x 2
π
π
−
−
+
∫
I =
2
0
cosx
dx
sin x cosx 1
π
+ +

∫
I =
3
3
0
sin x
dx
cos x
π
∫
I =
2
0
sin 2x.cos x
dx
1 cos x
π
+
∫
I =
2
0
sin 2x sin x
dx
1 3cos x
π
+
+
∫
I =

2
4
0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫
I =
2
0
sin3x
dx
cos x 1
π
+
∫
I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫
I =

2
0
sin 2x sin x
dx
cos3x 1
π
+
+
∫
I =
2
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+
∫
I =
2
0
sin x
dx
1 sin x
π
+
∫
I =
2
0

cos x
dx
7 cos2x
π
+
∫
I =
3
4
2
0
sin x
dx
cos x
π
∫
I =
2
2
0
sin x
dx
cos x 3
π
+
∫
I =
3
4
cos x sin x

dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cosx 1
π
−
+ +
∫
I =
2
0
sin xcosx cos x
dx
sin x 2
π
+
+
∫
I =

3
2
2
0
sin x.cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
I =
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
cosx sin x
π
π
+ +
+
∫
I =
2
3
2
cosx cos x cos xdx
π
π
−
−

∫
I =
3
4
6
1
dx
sin xcosx
π
π
∫
I =
2
0
cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
I =
2
0
cos x
dx
2 cos x
π
−
∫
I =

3
2
0
cos x
dx
cos x 1
π
+
∫
I =
2
0
1
dx
2cos x sin x 3
π
+ +
∫
I =
3
6
0
sin x sin x
dx
cos2x
π
+
∫
I =
3

2
6
cos2x
dx
1 cos 2x
π
π
−
∫
I =
2
3
1
dx
sin x 1 cos x
π
π
+
∫
I =
2
0
1
dx
2 sin x
π
+
∫
I =
4

2 2
0
sin 2x
dx
sin x 2cos x
π
+
∫
Bài 5: I =
3
2
4
tan x
dx
cosx cos x 1
π
π
+
∫
I =
3
3
2
3
sin x sin x
cot gx dx
sin x
π
π
−

∫
I =
4
2
0
t gx 1
( ) dx
tgx 1
π
−
+
∫
I =
2
0
4cosx 3sin x 1
dx
4sin x 3cos x 5
π
− +
+ +
∫
I =
3
2 2
3
1
dx
sin x 9cos x
π

π
−
+
∫
I =
4
0
1
dx
2 tgx
π
+
∫
I =
3
2
4 2
0
cos x
dx
cos 3cos x 3
π
− +
∫
I =
2
4
0
sin xdx
π

∫
I =
1
0
cos x dx
∫
I =
2
4
0
xsin x dx
π
∫
I =
2
4
0
x cos x dx
π
∫
I =
2
0
x cos xsin x dx
π
∫
I =
4
2
0

x.tg x dx
π
∫
I =
3 4
0
xsin x cos xdx
π
∫
I =
2
0
sin x
dx
x
π
∫
I =
4
0
x
dx
1 cos2x
π
+
∫
Bài 6:
1)
4cos 3sin
cos 2sin

x x
dx
x x
+
+
∫
2)
2 2
1
4sin sin cos 2cos 1
dx
x x x x+ + −
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
3)
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
π
+
+
∫
4)
3
sin

3sin 4 sin 6 3sin 2
x
dx
x x x− −
∫
5)
sin sin 4
tan cot 2
x x
dx
x x+
∫
6)
cos5 tanx xdx
∫
7)
6
3
4
4
cos
sin
x
dx
x
π
π
∫
8)
4

sin cos5x xdx
∫
9)
3
cos sin8x xdx
∫
10)
1
sin cos( )
3
dx
x x
π
+
∫
11)
3 4
sin cosx xdx
∫
12)
2
0
sin 3
1 cos
xdx
x
π
+
∫
13)

4
4 4
0
sin 2
sin cos
xdx
x x
π
+
∫
14)
3
3
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
15)
sin 2 2sin
dx
x x−
∫
16)
2
(sin cos ) cos
dx
x x x−

∫
17)
3
4
4
0
4sin
1 cos
xdx
x
π
+
∫
18)
6
2 2
0
tan cos
16sin 9cos
x xdx
x x
π
−
∫
19)
3
2
2
0
sin

4 cos
xdx
x
π
+
∫
20)
3 3
2
3
3
sin sin
tan sin
x xdx
x x
π
π
−
∫
21)
3 3
cos
sin cos
xdx
x x−
∫
22)
3 5
4
sin cos

dx
x x
∫
23)
3 5
sin cos
dx
x x
∫
24)
2
0
2cos sin 2
(1 sin )(3 cos 2 )
x x
dx
x x
π
−
+ −
∫
25)
4
3
0
cos2
(sin cos 2)
xdx
x x
π

+ +
∫
26)
2
0
(cos sin )
3 sin 2
x x dx
x
π
+
+
∫
27)
4
0
1 tan
dx
x
π
+
∫
28)
3
6
1 tan
dx
x
π
α

π
+
∫
29)
4
2006
0
tan
1 (cos )
xdx
x
π
+
∫
30)
1
2
1
sin
x
xdx
e
−
∫
31)
2
10 10 4 4
0
(sin cos sin cos )x x x x dx
π

+ −
∫
32)
2
1
2
4
cot
sin
3
4
cos (2cot 3cot 1)
sin
x
x
x x x
e dx
x
π
π
+
−
+ +
∫

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
BÀI 6 TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LÔGARIT
Bài 1: I =
1
x

0
1
dx
e 4+
∫
I =
2
x
1
1
dx
1 e
−
−
∫
I =
2x
2
x
0
e
dx
e 1+
∫
I =
x
1
x
0
e

dx
e 1
−
−
+
∫
I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx
I =
ln 2
x
0
e 1dx−
∫
I =
2x
1
x
0
e

dx
e 1
−
−
+
∫
I =
ln3
x
0
1
dx
e 1+
∫
I =
1
2x
0
1
dx
e 3+
∫
I =
x
ln3
x 3
0
e
dx
(e 1)+

∫
I =
2x
ln5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫
I =
1
4x 2x
2
2x
0
3e e
dx
1 e
+
+
∫
I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫
I =

1
x
0
1
dx
3 e+
∫
I =
4
x
1
e dx
∫
I =
x
1
x x
0
e
dx
e e
−
+
∫
I =
x
ln 2
x
0
1 e

dx
1 e
−
+
∫
I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫
I =
x 2
1
2x
0
(1 e )
dx
1 e
+
+
∫
I =
1
1
x
3
a

e
dx
x
∫
I =
x
ln3
x x
0
e
dx
(e 1) e 1+ −
∫
I =
1
2x
1
1
dx
3 e
−
+
∫
I =
1
3x 1
0
e dx
+
∫

Bài 2: I =
2
2
sin x
4
e sin 2x dx
π
π
∫
I =
0
2x
3
1
x(e x 1)dx
−
+ +
∫
I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)+
∫
I =
2x 2
0

e sin xdx
π
∫
I =
2
x 2
0
e sin xdx
π
∫
I =
2
2
sin x 3
0
e .sin xcos xdx
π
∫
I =
4
3x
0
e sin 4x dx
π
∫
I =
2
sin x
0
(e cos x)cos x dx

π
+
∫
I =
1
2 2x
0
(1 x) .e dx+
∫
Bài 3: I =
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)+
∫
I =
e
1
sin(ln x)
dx
x
∫
I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x

dx
x
+
∫
I =
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫
I =
2
e
e
ln x
dx
x
∫
I =
2
1
2
0
x ln(x 1 x )
dx
1 x
+ +
+

∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
Bài 4: I =
2
e
1
x 1
.ln xdx
x
+
∫
I =
3
2
2
ln(x x)dx−
∫
I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫
I =
e
2

1
(ln x) dx
∫
I =
2
2
1
x ln(x 1)dx+
∫
I =
e
1
cos(ln x)dx
π
∫
I =
3
2
6
ln(sin x)
dx
cos x
π
π
∫
I =
2
2
0
ln( 1 x x)dx+ −

∫
I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
ln x
ln x
−
∫
I =
2
2
1
1
x ln(1 )dx
x
+
∫
I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)+
∫

I =
1
2
0
1 x
x.ln dx
1 x
+
−
∫
I =
2
e
2
1
cos (ln x)dx
π
∫
I =
e
1
(1 x)ln xdx+
∫
I =
e
2
1
x ln x dx
∫
I =

2
5
1
ln x
dx
x
∫
I =
2
2
1
(x x)ln xdx+
∫
I =
2
3
cosx.ln(1 cos x)dx
π
π
−
∫
I =
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫

I=
e
1
e
ln x dx
∫
I =
2
0
sin x.ln(1 cos x)dx
π
+
∫
BÀI 7 TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các kiến thức về GTTĐ và tích phân, đặc biệt là các tính chất của nó
- HS giải thành thạo các tích phân có chứa dấu GTTĐ
II. Nội dung bài dạy
A. Lí thuyết
1. Một số phép biến đổi vi phân thường gặp.
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
+
dxxfxfd )('))(( =
hay
))(()(' xfddxxf =
+
)(sincos xdxdx =
+
)(cossin xdxdx −=
+

)(tan
cos
2
xd
x
dx
=
+
)(cot
sin
2
xd
x
dx
−=
+
)(ln xd
x
dx
=
+
)(
1
baed
a
dxe
xx
+=
+
)(

1
baxd
a
dx +=
+
)(
1
2
baxd
a
xdx +=
+
)(
)1(
1
1
baxd
na
dxx
nn
+
+
=
+
+
axx
axxd
ax
dx
++

++
=
+
2
2
2
)(
+






+=






−
x
xddx
x
11
1
2
+







−=






+
x
xddx
x
11
1
2
2. Một số tính chất của tích phân.
1) Đảo cận, đảo dấu:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
2) Tách cận tích phân:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c

f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
3) Không phụ thuộc biến số tích phân:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f t dt f x dx f u du= =
∫ ∫ ∫
4) Bất đẳng thức tích phân: nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a ; b] thì :

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
3. Quy tắc đổi biến số.
Bước 1: Đặt x = ϕ(t) (hoặc t = ϕ(x)) ⇒ dx = ϕ’(t)dt (hoặc dt = ϕ’(x)dx)
Bước 2: Đổi cận x = a ⇒ ϕ(t) = a ⇒ t = α
x = b ⇒ ϕ(t) = b ⇒ t = β
Bước 3: Áp dụng công thức
( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f t t dt
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
4. Công thức tích phân từng phần.

|
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
Muốn tính tích phân I =
( )
b
a
f x dx
∫
ta làm như sau:
Bước 1. Giải phương trình f(x) = 0 với x ∈ (a ; b). Giả sử các nghiệm là x
1
và x
2
.
Bước 2. Tách cận tích phân
I =
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
b b b
a a x x a x x
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx= + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 1. Tính các tích phân sau:

Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
a)
2
3
0
x x dx−
∫
e)
( )
2
2
2 1 cos 2x dx
π
π
−
−
∫
= 4
b)
4
3 2
0
2x x xdx− +
∫
f)
0
cos sinx xdx
π
∫
4

3
=
c)
2
2
0
4 3
1
x x
dx
x
− +
+
∫
g)
3
2 2
6
tan cot 2x x dx
π
π
+ −
∫
d) K =
0
1 sin 2xdx
π
+
∫
h)

( )
3
0
2 4 1
x
x dx− −
∫
Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
4
0
tan sin 2x x x dx
π
+ −
∫
c)
1
2
0
3
10
1
x
dx
x
+
−
+
∫
b)

( )
1
2
0
ln 1
2
x
x x dx− + +
∫
d)
1
2
0
1
2
x
x
x e dx
−
− + −
∫
Bài 3. Cho f(x) là hàm số liên tục trên
¡
và thoả mãn
( ) ( ) 2 2cos2f x f x x+ − = −
Tính I =
3
2
3
2

( )f x dx
π
π
−
∫
Đặt t = - x ⇒
3 3 3 3
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x dx f t dt f t dt f x dx
π π π π
π π π π
−
− − −
= − − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
( ) 2 1 cos 2 2 sinf x f x dx x dx x dx
π π π
π π π
− − −
 
+ − = − =
 ∫ ∫ ∫
Bài 4. Tìm m để I(m) =

1
0
x x m dx−
∫
đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 8 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT CỦA TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu bài dạy
- HS nắm vững các tính chất của hàm số chẵn, hàm số lẻ
- Nắm vững tích phân với cận đối xứng của hàm chẵn và hàm lẻ từ đó áp dụng vào
tính một số tích phân cụ thể
- HS nắm vững sáu bài toán cơ bản về tích phân và biết áp dụng chúng
II. Nội dung bài dạy
Bài toán 1. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs lẻ và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
0)( =
∫
−
a
a
dxxf
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
++
2
2
2
)]1[ln(cos

π
π
dxxxx
c)
∫
−






−
+
+
2
1
2
1
1
1
ln)sin
2
sin4(cos dx
x
x
x
x
x
b)

∫
−
+−−++
1
1
322
)11( dxxxxx
d)
∫
+
π
2
0
)sin(sin dxmxx
Bài toán 2. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
∫∫∫
−−
==
0
0
)(2)(2)(
a
aa
a
dxxfdxxfdxxf
Ví dụ 2. Cho
α
=
∫
−

−
0
1
2
2
dxe
x
. Tính
∫
+
−
−
−
ab
ab
a
bx
dxe
2
2
2
)(
với a, b dương bất kì.
Bài toán 3. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs chẵn và liên tục trên đoạn [-a ; a] thì
∫∫∫∫
−−−
===
+
a
aa

aa
a
x
dxxfdxxfdxxfdx
b
xf
)(
2
1
)()(
1
)(
0
0
với b > 0 bất kì
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
a)
∫
−
−+
2
3
2
3
2
1)15( x
dx
x
c)
∫

−
−
+
+
1
1
2
12007
)1ln(
dx
x
x
b)
∫
−
++
1
1
2
)1)(1(
dx
xe
e
x
x
d)
∫
−
++
++

2
2
2
2
1)12(
)1ln(
dx
x
xxx
x
e)
∫
−
+
2
2
2
15
sin
π
π
dx
x
x
Ví dụ 4. Cho b ∈ R và I(a) =
∫
−
++
a
a

bx
ex
dx
)1)(1(
2
. Tính
I(a)lim
∞→a
Bài toán 4. Giả sử f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1] khi đó
∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfdxxf
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x

nn
n
c)
∫
+
2
0
3
cossin
sin
π
dx
xx
x
b)
∫
+
2
0
cossin
cos
π
dx
xx
x
d)
∫
+
3
6

33
cossin
cos
π
π
dx
xx
x
e)
∫








−
2
0
2
2
)(costan
)(sincos
1
π
dxx
x
f)

∫
−−
+
2
0
11
cossin
cossin
π
dx
xx
xx
nn
n
Bài toán 5. Chứng minh rằng, nếu f(x) là hs liên tục trên đoạn [0 ; 1] thì
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
∫∫
=
ππ
π
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf
Tổng quát: Nếu f(x) liên tục trên [-a ; a] và f(x) = f(a + b - x), ∀x ∈ [-a ; a] thì
∫∫
+
=
b
a

b
a
dxxf
ba
dxxxf )(
2
)(
Ví dụ 6. Tính các tính phân sau:
a)
∫
+
π
0
2
3
cos31
sin
dx
x
xx
b)
∫
+
+
π
0
2
cos3
sincos
dx

x
xxx
c)
∫








−
+
+
+
9
1
0
5
2
3
14
1
)12(sin
5 dx
x
x
x
x

Bài toán 6. Giả sử f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì
∫∫
+
+
=
nTb
nTa
b
a
dxxfdxxf )()(
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau:
a)
∫
+
π
4
0
8
109
16cos1
cos6sin
dx
x
xx
b)
∫
−
π
2007
0

2cos1 dxx
c)
∫
+
π
2
0
cos2 x
dx
Ví dụ 8. Với 0 < t <
4
π
, đặt I(t) =
∫
t
dx
x
x
0
4
2cos
tan
. Tính I(t) và chứng minh rằng:
( )
tt
et
tan3tan
3
2
3

4
tan
+
>






+
π
Ví dụ 9. Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm thực phân biệt x
1
, x
2

Tính I
n
=
)( )2(
2
1
2
12
Nndxebax
x
x

cbxaxn
∈+
∫
+++
áp dụng tính
∫
−
−
2
0
coscos15
2
sin)cos21(
π
dxxex
xx
Bài tập về nhà
Bài 1: I =
2
3 3
0
( cos x sin x)dx
π
−
∫
I =
2
0
sin x
dx

sin x cosx
π
+
∫
I =
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
I =
2008
2
2008 2008
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫
I =
2
0
sin x

dx
cos x sin x
π
+
∫

Bài 2: I =
1
x 2
1
1
dx
(e 1)(x 1)
−
+ +
∫
I =
2
x
sin x
dx
3 1
π
−π
+
∫
I =
1
2 x
1

1
dx
(x 1)(4 1)
−
+ +
∫
I =
4
1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫
Bài 3: I =
4
0
ln(1 tgx)dx
π
+
∫
I =
2
0
xsin x
dx
1 cos x

π
+
∫
I =
2
x
0
1 sin x
e dx
1 cos x
π
+
+
∫
Bài 4: I =
1
3
2
1
ln(x x 1) dx
−
 
+ +
 
 
∫
I =
1
2
1

ln( x a x)dx
−
+ +
∫
Bài 5:
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
1)
∫
−
+
1
1
4
21
dx
x
x
2)
∫
−
+
+
1
1
2
4
1
sin
dx
x

xx
3)
∫
−
+
2
2
1
2sin5cossin
π
π
dx
e
xxx
x
4)
∫
+
2
0
3
)cos(sin
sin4
π
dx
xx
x
5)
∫
+

+
2
0
cos1
sin1
ln
π
dx
x
x
6)
∫
+
−
2
0
2
)cos(sin
cossin3
π
dx
xx
xx
7)
∫
π
0
4
cossin xdxxx
8)

∫
−
+
2
2
2
21
sin
π
π
dx
xx
x
9)
∫
−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx

10)

∫
−
−
2
2
3
coscoscos
π
π
dxxxx
11)
∫
−
+
+
4
4
66
76
6)cos(sin
π
π
dx
xx
xx
x
3)
12)
∫
−

+
+−+++
1
1
22
31
)11(3
dx
xxxx
x
x

Các bài toán tính tích phân trong đề thi ĐH-CĐ
I/ Đề dự bị
D-02
.
∫
+
=
1
0
2
3
1
dx
x
x
I
A-02 I =
∫

−
2
0
5
6
3
1
π
xdxxx cos.sin.cos
A-02 I =
x
x(e x )dx.
0
2
3
1
1
−
+ +
∫
B-02
( )
.
ln
∫
+
=
3
0
3

1
x
x
e
dxe
I
A-03 I=
∫
+
4
0
21
π
.
cos
dx
x
x
B-03
∫
−
=
.
1
2
x
x
e
dxe
I

02 T
59
=
4
1 cos2
0
x
dx
x
π
∫
+
T
60
=
1
3 2
1
0
x x dx−
∫
D-03
.dxexI
x
∫
=
1
0
2
3

. D-04
∫
+=
8
3
2
1
ln
ln
dxeeI
xx
D-04
sin.
∫
=
dxxxI
B-04
∫
=
2
0
2
π
.sin
cos
xdxeI
x
B-04 I =
∫
+

3
1
3
xx
dx
A-04
.dx
x
xx
I
∫
+
+−
=
2
0
2
4
4
1
D - 05
( )
sin x
I tgx e cos x dx.
π
= +
∫
2
0
D -05 I =

2
1
ln .
e
x xdx
∫
B- 05
I sin xtgxdx
2
2
0
π
=
∫
.
B - 05
I ( x )cos xdx.
2
2
0
2 1
π
= −
∫
B - 05
sin xcos x
I dx
cos x
2
0

2
1
π
=
+
∫
. A - 05
3
2
e
1
ln x
I dx
x lnx 1
=
+
∫
A - 05
7
3
0
x 2
I dx
x 1
+
=
+
∫
D – 06: I =
2

1
( 2)ln .x xdx
−
∫
D – 06: I =
2
1
( 2)ln .x xdx
−
∫
Gi¸o ¸n tÝch ph©n l– u h¶i vÜnh thpt ninh giang–
B – 06:
.
ln21
ln23
1
dx
xx
x
I
e
∫
+
−
=
B – 06: I =
∫
−−
10
5

12 xx
dx
A – 06:
6
2
.
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
D – 07:
∫
=
2
0
2
π
xdxxI cos
. D – 07: I =
dx
x
xx
∫
−
−
1
0

2
4
)1(
D1- 08:
∫
−
−=
1
0
2
2
)
4
.( dx
x
x
exI
x
B2- 08:
∫
−
=
1
0
2
3
4
dx
x
x

I
B1- 08:
2
0
1
4 1
x
I dx
x
+
=
+
∫
A2- 08:
∫
−+
=
2/
0
2cossin43
2sin
π
dx
xx
x
I
A1- 08 :
∫
+
=

3
2/1
3
22x
xdx
I

II/ Đề thi ĐH chính thức
(2003) T
58
=
2 3
2
5
4
dx
x x
∫
+
T
61
=
2
4
1 2sin
1 sin 2
0
x
dx
x

π
−
∫
+
T
65
=
2
2
0
x x dx−
∫
(2004): T
1
=
2
1 1
1
x
dx
x
∫
+ −
T
2
=
1 3ln .ln
1
e
x x

dx
x
+
∫
T
3
=
( )
3
2
ln
2
x x dx−
∫

(2005): T
4
=
2
sin 2 sin
1 3cos
0
x x
dx
x
π
+
∫
+
T

5
=
2
sin 2 .cos
1 cos
0
x x
dx
x
π
∫
+
I=
2
sin
cos cos
0
x
e x xdx
π
 
 ÷
 
+
∫
(2006): I =
2
2 2
0
sin 2

os 4sin
x
dx
c x x
π
+
∫
I =
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
I =
1
2
0
( 2)
x
x e dx−
∫
(2007) ; I =
3 2
1
ln
e

x xdx
∫
(2008) : I =
6 4
0
tan
os2x
x
dx
c
π
∫
I =
4
0
sin( )
4
sin2x+2(1+sinx+cosx)
x
dx
π
π
−
∫
I =
2
3
1
ln x
dx

x
∫
(2009) : I =
2
3 2
0
( os 1) osc x c xdx
π
−
∫
I =
3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
+
+
∫
I =
3
1
1
x
dx
e −
∫

(2010) : I=
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
∫
I =
1
3
(2 )ln
e
x xdx

x
−
∫
III/ Đề thi CĐ
(C§SPA04) T
14
=
5 3
3
2
2
0
1
x x
dx
x
+
∫
+
(C§SP B¾c Ninh 2004) T
15
=
3
tan
2
cos 1 cos
4
x
dx
x x

π
π
∫
+

(C§SP B×nh Phíc 2004) T
16
=
2
sin
2
1 cos
0
x x
dx
x
π
∫
+
(C§SP Kon Tum 2004) T
17
=
1
1
0
dx
x
e
∫
+

(C§SP Hµ Nam A2004) T
18
=
1 x
dx
x
+
∫
(C§SP Hµ Nam A2004) T
19
=
4
2
tan
0
x xdx
π
∫
Giáo án tích phân l u hải vĩnh thpt ninh giang
(CĐ GTVT 2004) T
20
=
5
( 2 2 )
3
x x dx+


(CĐ KTKT I A2004) T
21

=
4
2
5
0
1
x
dx
x

+
(CĐ A2004) T
22
=
1
2
2 5 2
0
dx
x x

+ +
(CĐ KTKH Đà Nẵng 2004) T
23
=
.
3
2 2
1
0

x x dx+

(CĐ 2005) T
24
=
1
3 2
3.
0
x x dx+

(CĐ XD số 3- 2005) T
25
=
3
3
3
1 3
1
x
dx
x x


+ + +

(CĐ GTVT 2005) T
26
=
1

5 2
1
0
x x dx

(CĐ KTKT I - 2005) T
27
=
2
3 5
sin
0
x
e xdx


(CĐ TCKT IV - 2005) T
28
=
3
2 5
1.
0
x x dx+

(CĐ Truyền hình A2005) T
29
=
2
4

1 2sin
1 sin 2
0
x
dx
x



+
(CĐ SP TP. HCM 2005) T
30
=
0
2
2 4
1
dx
x x

+ +

(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T
31
=
ln
2
1
e
x

dx
x

(CĐ Sp Vĩnh Long 2005) T
32
=
7
3
1
3
3 1
0
x
dx
x
+

+
(CĐ SP Bến Tre 2005) T
33
=
2
cos3
sin 1
0
x
dx
x

+
(CĐ SP Sóc Trăng A2005) T
34
=
2
sin
2 2
0
sin 2cos .cos
2
xdx
x
x x


+
(CĐ Cộng đồng Vĩnh Long A05) T
36
=
ln
1
e
x xdx

(CĐ KT TC 2005) T
39
=
1
3
( 3)

0
xdx
x

+
(CĐ SP Sóc Trăng 2005)T
35
=
2
3
.sin
2
sin 2 .cos
0
x x
dx
x x


(CĐ SP Vĩnh Phúc 2005) T
40
=
2
1
1 ln
e
dx
x x

(CĐ CN Hà Nội 2005) T
37
=
2

4
.cos .
0
x x dx


(CĐ SP Hà Nam 2005) T
38
=
3 2
2
2 4 9
2
4
0
x x x
dx
x
+ + +

+
(CĐ SP Hà Nội 2005) T
41
=

2004
4
sin
2004 2004
sin cos
0
x
dx
x x


+
(CĐ SP Kon Tum 2005)T
42
=
3
2
4sin
1 cos
0
x
dx
x


+
(CĐ KTKH Đà Nẵng 2005 ) T
43
=
4

(sin cos )cos
0
dx
x x x


+
(CĐ SP Quảng Nam 2005) T
44
=
1
2
3
0
( 1)
x
x e x dx+

(CĐ Y tế Thanh Hoá 2005) T
45
=
ln2
2
5
0
x
x e dx

(CĐ SP Quảng Bình 2005) T
46

=
2
1
2
3
0
( 1)
x x
dx
x
+

+
(CĐ SP Hà Tĩnh AB2002) T
69
=
2
5
cos
0
xdx