Tóm tắt công thức lượng giác và phương trình lượng giác 11

KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ LỚP 11
I- PH ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN :
Phương trìng lượng giác cơ bản:
* sinx=sin
α




+−=
∈+=
παπ
πα
2
;2
kx
Zkkx
* cosx = cos
α




+−=
∈+=
πα
πα
2
;2
kx
Zkkx

* tanx =tan
α
⇔ x =
α
+kπ ;
( )
Zk
∈
* cotx =cot
α
⇔ x=
α
+kπ
( )
Zk
∈
.
 Phương trìng lượng giác cơ bản đặc biệt :

* sinx =0 
π
kx =
*cosx =0
π
π
kx +=⇔
2
* sinx =1
π
π

2
2
kx +=⇔
*cosx =1
π
2kx =⇔
với k
Z∈
* sinx = -1
π
π
2
2
kx +−=⇔
*cosx =-1
ππ
2kx +=⇔
arcsin + 2
sin ,
sin + 2
x a k
x a k
x arc a k
π
π π
=

= ⇔ ∈

= −


¢
arc os + 2
os ,
sin + 2
x c a k
c x a k
x arc a k
π
π
=

= ⇔ ∈

= −

¢
tan 1 ,
4
tan 0 ,
tan 1 ,
4
x x k k
x x k k
x x k k
π
π
π
π
π

=− ⇔ =− + ∈
= ⇔ = ∈
= ⇔ = + ∈
¢
¢
¢
BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
rad
-π
- - - - 0
π
độ -180
o
-90
o
-60
o
-45
o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o

120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0 -1 - - - 0 1 0
cos -1 0 1 0 - - - -1
tan 0 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0
cot || 0 - -1 - || 1 0 - -1 - ||
Chú ý: Công thức chuyển đổi từ độ sang rađian và ngược lại:

( )
.
180
x x rad
π
 
=
 ÷
 
o
;
180
( ) .x rad x
π
 
=

 ÷
 
o
 Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công
thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
k
Z∈
k
Z∈
- arc cosa + k2
π
tan arc tan + ,x a x a k k
π
= ⇔ = ∈¢
ot ot ot + ,c x a c x c x k k
α α π
= ⇔ = ⇔ = ∈
¢
k
Z∈
k
Z∈
ot 1 ,
4
ot 0 ,
2
ot 1 ,
4

c x x k k
c x x k k
c x x k k
π
π
π
π
π
π
=−⇔ =− + ∈
= ⇔ = + ∈
= ⇔ = + ∈
¢
¢
¢
k
Z∈
k
Z∈
k
Z∈
k
Z∈
k
Z∈
k
Z∈
1
180
0

=
π
;
90
2
0
=
π
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin
2
x+b.sinx+c=0
(hoặc a.cos
2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng
hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥
.
C ách giải : Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
, ta được:

2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:

2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c

x
a b
β ϕ
+ = =
+
.
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).
Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2

cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 ÷
 
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t |
2
≤
.
II- CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1) Công thức cộng:
 cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
 tan(a - b) =
 sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
 tan(a + b) =
 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
2) Công thức nhân đôi :
 sin2x = 2sinxcosx
 cos2x = cos
2
x – sin
2
x
= 2cos

2
x - 1
= 1 – 2sin
2
x
 tan2x =
2
2
1
tanx
tan x−
 cot2x =
2
1
2
cot x
cotx
−
3) Công thức nhân 3 :
 sin3x =
xx
3
sin4sin3 −
 cos3x = 4cos
3
x – 3cosx
 tan3x =
3
2
3

1 3
tanx tan x
tan x
−
−
4) Công thức hạ bậc:

2
1 2
os
2
cos x
c x
+
=

2
1 os2
sin
2
c x
x
−
=
5) Công thức tích thành tổng.
 cosxcosy=
[ ]
1
( ) ( )
2

cos x y cos x y+ + −
 sinxcosy=
[ ]
)()(
2
1
yxSinyxSin −++
 sinxsiny=
[ ]
1
( ) ( )
2
cos x y cos x y− + − −
6) Công thức tổng(hiệu) thành tích:
 sinx + siny =
2sin
2 2
x y x y
cos
+ −
   
 ÷  ÷
   
 sinx – siny =
2 os
2 2
x y x y
c sin
+ −
   

 ÷  ÷
   
 cosx + cosy =
2cos
2 2
x y x y
cos
+ −
   
 ÷  ÷
   
 cosx – cosy =
2sin
2 2
x y x y
sin
+ −
   
−
 ÷  ÷
   
 tanx + tany =
( )
cos
sin x y
xcosy
+
 tanx – tany =
( )
cos

sin x y
xcosy
−
 cotx + coty =
( )
sin
sin x y
xsiny
+
 cotx – coty =
( )
sin
sin y x
xsiny
−
III- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC (CUNG) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
1) Cung đối nhau:
 cos(–x) = cosx
 sin(–x) = – sinx
 tan(–x) = – tanx
 cot(–x) = – cotx
2) Cung bù nhau:
 sin
=− )( x
π
sinx
 cos
−=− )( x
π
cosx

 tan
−=− )( x
π
tanx
3) Cung hơn kém:
 sin
−=+ )( x
π
sinx
 cos
−=+ )( x
π
cosx
 tan
=+ )( x
π
tanx
 cot
=+ )( x
π
cotx
2
XUÂN TÂN – 11A 9NĐC
 cot
−=− )( x
π
cotx
4) Cung phụ nhau.
 sin
)

2
( x−
π
= cosx  cosx = sin (90
0
– x )
 cos
)
2
( x−
π
= sinx  sinx = cos (90
0
– x )
 tan
)
2
( x−
π
= cotx  cotx = tan (90
0
– x )
 cot
)
2
( x−
π
= tanx  tanx = cotx (90
0
– x )

5) Cung hơn kém.

sin( )
2
x cosx
π
+ =
 cosx = sin (90
0
+ x )
 cos
)
2
( x+
π
=
sinx−
 - sinx = cos (90
0
+ x )
 tan
)
2
( x+
π
=
cotx−
 - cotx = tan (90
0
+ x )

 cot
)
2
( x+
π
=
tanx−
 - tanx = cotx (90
0
+ x )
Ghi nhớ : Cos đối – Sin bù – Phụ chéo
VI- CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

sinx
t anx= ,(x k )
cosx 2
π
≠ + π


cosx
cotx= ,(x k )
sinx
≠ π

2 2
sin x cos x 1+ =


2

2
1
1 tan x,(x k )
2
cos x
π
= + ≠ + π


2
2
1
1 cot x,(x k )
sin x
= + ≠ π

k
t anx.cotx=1,(x )
2
π
≠

3 3
sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x+ = + −

3 3
sin os (sinx cos )(1 sinx.cos )x c x x x− = − +

4 4 2
1

sin cos 1 sin 2
2
x x x+ = −

6 6 2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x+ = −

( )
2
1 sin 2 sin cosx x x± = ±

sin cos 2 2
4 4
x x sin x cos x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   

sin cos 2 2
4 4
x x sin x cos x
π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷

   
VI- KIẾN THỨC CƠ BẢN
y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx
Taäp
xaùc ñònh
D = R D = R D = R \ {
2
π
+ kπ} D = R \ {kπ}
Taäp
T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R
3
XUÂN TÂN – 11A 9NĐC
giá trò
Chu kỳ
T = 2π T = 2π T = π T = π
Tính
chẵn lẻ
Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ
Sự biến
thiên
Đồng biến trên:
k2 ; k2
2 2
 
π π
− + π + π
 ÷
 
Nghòch biến trên:

3
k2 ; k2
2 2
 
π π
+ π + π
 ÷
 
Đồng biến trên:
( )
k2 ; k2
−π + π π
Nghòch biến trên:
( )
k2 ; k2
π π+ π
Đồng biến trên mỗi
khoảng:
k ; k
2 2
 
π π
− + π + π
 ÷
 
Nghòch biến trên mỗi
khoảng:
( )
k ; k
π π+ π

Bảng
biến
thiên
x –π
2
π
−
0
2
π
π
y = sinx 0
–1
0
1
0
x –π 0
π
y =cosx
– 1
1
– 1
a
x
2
π
−
2
π
y = tanx

–∞
+∞
x 0
π
y = cotx
+∞
–∞
a
Đồ thò
y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx
y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx
4
XN TÂN – 11A 9NĐC