10 đề thi thử toán chọn lọc 2015 có lời giải phân tích chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.93 MB, 102 trang )
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 1
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
42
2y x x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đường thẳng
ym
cắt đồ thị
C
tại 4 điểm phân biệt
, , ,E F M N
. Tính tổng
các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại các điểm
, , ,E F M N
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 cos2
2 cos . 1 cot
4 sin
x
xx
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân
2
0
2 sin 3 2 cos
sin cos
x x x x
I dx
x x x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức
z
thỏa mãn đẳng thức
3 2 3zi
. Hãy tìm tập hợp điểm
M
biểu diễn cho số phức
w
, biết
w 1 3zi
.
b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn
ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
4
33
:
3 1 1
y
xz
d
và mặt
phẳng
( ) :2 2 9 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong
;
qua giao điểm
A
của
d
và
và góc giữa
và
Ox
bằng
0
45
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
. Tam giác
SAC
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng
SBC
và đáy bằng
0
60
. Biết
2;SA a BC a
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
. Đường
chéo
AC
nằm trên đường thẳng
: 4 7 28 0d x y
. Đỉnh
B
thuộc đường thẳng
: 5 0xy
, đỉnh
A
có tọa độ nguyên. Tìm tọa độ
,,A B C
biết
2;5D
và
2BC AD
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
2
2 3 2
2
5 2 7 1
3 3 1
x y y
x y x xy x
xy
,xy
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,a b c
thỏa mãn
0; 1 0; 1 0;2 1 0a b c a b c
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
1 1 2 1
a b c
P
a b c
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 1
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác đinh:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
3
' 4 4y x x
;
0
'0
1
x
y
x
.
' 0, 1;0 1;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
1; 0
và
1;
.
' 0, ; 1 0;1yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
;1
và
0;1
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0, 0
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 1
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x
1
0
1
'y
0
0
0
y
1
0
1
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
2;0 , 0;0 , 2;0
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;0
.
+ Đồ thị hàm số nhận trục
Oy
làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm
2;8 , 2;8
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng
ym
cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
(*).
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình
2
20t t m
có 2 nghiệm dương phân biệt
12
0 tt
.
Khi đó 4 nghiệm của pt (*) là
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;x t x t x t x t
.
Như vậy ta có
1 4 2 3
;x x x x
. Ta có
3
' 4 4y x x
.
Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị
C
là:
3 3 3 3
1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4
4 4 4 4 4 4 4 4k k k k x x x x x x x x
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 3
3 3 3 3
1 4 2 3 1 4 2 3
4 4 4 4 0x x x x x x x x
.
Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng
d
với một hàm số
C
cho
trước. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp:
+
d
cắt
C
tại
1nn
điểm phân biệt.
+
d
và
C
không có điểm chung.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+Kiến thức cần nhớ: Điểm
,
Q x y
là tọa độ tiếp điểm của hàm số
y f x
. Phương trình tiếp tuyến
tại
Q
là
'
Q Q Q
y f x x x y
, hệ số góc tiếp tuyến là
'
Q
k f x
.
+ Tìm
m
để đường thẳng
ym
cắt
C
tại 4 điểm
, , ,E F M N
: Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng
ym
song song với trục
Ox
nên sẽ cắt
C
tại 4 điểm phân biệt khi
10m
.
+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến
2
tx
ta có
d
cắt
C
tại 4 điểm phân biệt nên phương trình
có hai nghiệm dương phân biệt. Tham số các nghiệm theo
t
tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành
độ giao điểm ( đối xứng qua trục
Oy
) , từ đó tính được tổng hệ số góc.
Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm
4 2 4 2
2 2 0x x m x x m
. Bài toán tương đương tìm
m
để phương trình
42
20x x m
có 4
nghiệm phân biệt.
Đổi biến
2
0tx
, ta tìm
m
để phương trình
2
20t t m
có 2 nghiệm
21
'0
00
0
t t S
P
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
1 3 1y x m x x m
. Tìm tất cả các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp số:
1, 3mm
.
b. Cho hàm số
3
32y x x
. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt
đồ thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn
6
MN
xx
(Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An).
Đáp số:
2;4 , 2;0MM
.
Câu 2. Điều kiện
;x k k
.
Phương trình tương đương
2
2cos cos
sin cos 1
sin sin
xx
xx
xx
22
sin cos 2cos sin cos sin cos 2cos 1 0x x x x x x x x
sin cos 0
sin cos cos2 0
cos2 0
xx
x x x
x
.
+ Với
sin cos 0 tan 1
4
x x x x k
.
+ Với
cos2 0 2
2 4 2
x x k x k
.
Phương trình có nghiệm:
;
42
x k k
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 4
Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một
hiệu và phân tích nhân tử. Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình
để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức cosin của một tổng , hiệu :
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
a b a b a b
a b a b a b
-Công thức hạ bậc:
2
1 cos2 2coscc
,
2
1 cos2 2sincc
-Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:
.
2
sin sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
cos cos 2 ;x x k k Z
.
;tanx tan x k k Z
.
cot cot ;x x k k Z
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
5
5cos 2 4sin 9
36
xx
. Đáp số:
2
3
xk
.
b. Giải phương trình
sin cos
2tan2 cos2 0
sin cos
xx
xx
xx
. Đáp số:
2
xk
.
Câu 3.
22
00
2 sin 3 2 cos
3 cos
2
sin cos sin cos
x x x x
xx
I dx dx
x x x x x x
2
2
0
0
sin cos '
23
sin cos
x x x
x dx
x x x
2
0
3ln sin cos 3 ln ln1 3ln
22
x x x
.
Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của
mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số
hoặc tích phân từng phần.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Ta có
. g' 'f x g x x g x
dx f x dx dx
g x g x
.
Tổng quát :
' . 'f x g x h x g x h x g x
dx f x dx dx
g x g x
.
-Với các nguyên hàm cơ bản của
fx
, công thức nguyên hàm tổng quát
'
ln
u
du u C
u
. Thay cận ta
tính được
I
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
2
3
0
sin
sin cos
x
I dx
xx
. Đáp số:
1
2
I
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 5
b. Tính tích phân
1
1
ln
e
x
x
xe
I dx
x e x
. Đáp số:
1
ln
e
e
I
e
.
Câu 4.a. Ta có
22
3 2 3 3 2 9a bi i a b
(1).
1
w 1 3 1 3
3
ax
z i x yi a bi i
by
.
Thay vào (1) ta được
22
2 5 9x y M
thuộc
22
: 2 5 9C x y
.
Vậy tập hợp điểm
M
là đường
22
: 2 5 9C x y
.
Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức
w
theo số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào
đó.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mọi số phức có dạng
;,z a bi a b R
.
-Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau.
- Từ số phức
z
: Thay
z a bi
vào phương trình
3 2 3zi
. Tìm được mối quan hệ giữa phần thực
và phần ảo.
- Đặt
w x yi
, thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của
z
ta tìm được tập hợp điểm biểu
diễn.
-Các trường hợp biểu diễn cơ bản :
+Đưởng tròn:
22
2 2 2
; 2 2 0x a y b R x y ax by c
.
+Hình tròn:
22
22
; 2 2 0x a y b R x y ax by c
.
+Parapol:
2
y ax bx c
.
+Elipse:
2
2
22
1
y
x
ab
.
Bài toan kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho số phức
z
thỏa mãn
13
1
i
z
i
. Tìm modul của số phức
w z iz
. Đáp số:
w2
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
13iz
là số thực và
2 5 1zi
. Đáp số:
7 21
2 6 ;
55
z i z i
.
Câu 4.b. Gọi
A
là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2
số lẻ. Ta tìm số phần tử của
A
như sau: Gọi
y mnpqr A
, ta có:
+ Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 2 số chẵn có
22
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 4.4! cách.
Suy ra trường hợp 1 có
22
54
.4.4! 5760CC
.
+ Trường hợp 2: Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt số 0:
Lấy thêm 2 số lẻ và 3 số chẵn có
23
54
.CC
cách;
Xếp 5 số được chọn vào các vị trí
, , , ,m n p q r
có 5! cách.
Suy ra trường hợp 2 có
23
54
.5! 4800CC
.
Vậy
5760 4800 10560A
. Do đó
10560 220
27216 567
PA
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 6
Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện
trong giả thiết.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của một biến cố
A
:
A
PA
( trong đó
A
là số trường hợp thuận lợi
cho
A
,
là tổng số kết quả có thể xảy ra ).
- Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra.
- Gọi
A
là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ.
- Tính số phần tử của A bằng cách gọi
y mnpqr A
. Ta chia các trường hợp sau:
+Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0.
+Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0.
- Áp dụng công thức tính xác suất ta được
PA
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có
mặt chữ số 2. Đáp số: 204.
b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất
có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
6
.(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D
2012-2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ.
Câu 5. Gọi
A
là giao điểm của
d
và
, suy ra
–3;2;1A
. Gọi
;;u a b c
là một vectơ chỉ phương của
.
Ta có một vectơ pháp tuyến của
là
2; –2;1n
.
Ta có
. 0 2 2 0 2 2u n a b c c a b
.
2
22
2 2 2
22
cos , 2 2 2
22
a
Ox a a b a b
a b c
2 2 2 2 2
2 5 8 5 3 8 5 0
5
3
ab
a a ab b a ab b
b
a
.
+ Với
ab
, chọn
3
1 0 : 2
1
xt
a b c y t
z
.
+ Với
5
3
b
a
, chọn
2
31
3; 5 4 :
5 3 4
y
xz
b a c
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán: Để viết phương trình đường thẳng
ta tìm một điểm thuộc
và
một vector chỉ phương của
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tìm tọa độ giao điểm
Ad
: Tham số hóa
Ad
, thay vào mặt phẳng
ta tính được
A
.
- Viết phương trình đường thẳng
: Tham số hóa
;;u a b c
là một vector chỉ phương của
. Do
.0un
(Với
n
là một vector pháp tuyến của
). Ta tìn được mối quan hệ giữa
,,a b c
.
Chọn vector chỉ phương viết được
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 7
- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng
'
'
.
; ' : cos , '
.
dd
dd
uu
d d d d
uu
0
2
; 45 cos ;
2
Ox Ox
.
- Một đường thẳng có vố số vector chỉ phương nên lần lượt chọn giá trị
,ab
cho các trường hợp tương
ứng.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1; 2; 1A
, đường thẳng
22
:
1 3 2
y
xz
d
và mặt phẳng
: 2 1 0x y z
. Viết phương trình đường thẳng đi qua
A
cắt
d
và song song với mặt
phẳng
.
Đáp số:
2
11
2 9 5
y
xz
.
b. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
0;1;3A
và đường thẳng
1
: 2 2
3
xs
d y t
z
. Hãy tìm các điểm
,BC
thuộc đường thẳng
d
sao cho tam giác
ABC
đều.
Đáp số:
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
6 3 8 2 3 6 3 8 2 3
; ;3 , ; ;3
5 5 5 5
BC
BC
.
Câu 6. Gọi
H
là trung điểm
AC
, suy ra
SH ABC
.
Kẻ
HI BC SI BC
.
Góc giữa
SBC
và đáy là
0
60SIH
.
2 2 0
15 3 5
.sin60
24
aa
SI SC IC SH SI
1 15 15
2
2 4 2
aa
HI SI AB HI
.
3
1 1 5 3
. . .
3 2 16
a
V AB BC SH
(đvtt).
Kẻ
Ax
song song với
BC
,
HI
cắt
Ax
tại
K
. Kẻ
IM
vuông góc với
SK
.
Ta có
AK SIK AK IM IM SAK
.
Tam giác
SIK
đều, suy ra
35
4
a
IM SH
.
Nhận xét: Đây là toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vuông góc của hai mặt
phẳng , góc giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính thể tích khối chóp
1
.h
3
VB
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 8
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
,SBC ABC
: Goi
H
là trung điểm của
AC
. Do mặt phẳng
SAC ABC
nên
SH ABC
.
0
, 60SBC ABC SIH
.
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
.
1 1 1
. . . .
3 3 2
S ABC
V B h V AB BC SH
.
- Tính khoảng cách
,d SA BC
: Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng
này tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại.
Kẻ
//Ax BC
, kẻ
IM SK AK SIK IM SAK
. Suy ra
,d SA BC IM SH
.
Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách.
Bài toán kết thúc
Bài tập tương tự:
a. Cho hình chóp tam giác đều
.S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bân và đáy bằng
0
60
. Gọi
M
là trung điểm của
SC
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM
và
SB
. Đáp số:
3
3
24
Va
(đvtt) và
2
,
4
a
d AM SB
.
b. Cho hình chóp
.S ABC
có
3SA a
,
SA
tạo với đáy
ABC
một góc bằng
0
60
. Tam giác
ABC
vuông tại
B
,
0
30ACB
.
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, hai mặt phẳng
,SGB SGC
cùng
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC
.
Đáp số:
3
243
112
a
V
(đvtt).
Câu 7. Do
B
, suy ra
;5B b b
.
Ta có
;
2
;
d B AC
BE BC
DE AD
d D AC
.
2 2 2 2
93
4 7( 5) 28 4.2 7.5 28
11 63 30
2 11 63 30
11
11 63 30
4 7 4 7
3
bb
b
b
b
b
b
.
B
và
D
ở khác phía đối với đường thẳng
AC
nên
4 7 28 4 7 28 0 30 11 63 0
B B D D
x y x y b
.
Do đó ta được
3b
, suy ra
3;–2B
.
Ta có
28 4 4 7
( ) ; 2;
77
aa
A D A a DA a
và
4 42
3;
7
a
BA a
.
Do đó
2
0 0;4
4 7 4 42
. 0 2 3 0 65 385 0
77
49
l
13
aA
aa
DA BA a a a a
a
.
Ta có
3 2 2 0
2 7;0
2 2 5 4
C
C
x
BC AD C
y
.
Vậy
4;0 , 3;–2AB
và
7;0C
là điểm cần tìm.
Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử
dụng khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 9
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm
: 0 ;
mx p
P d mx ny p P
n
.
-Khoảng cách từ điểm
;
MM
M x y
tới phương trình đường thẳng
:0mx ny p
được xác định theo
công thức
22
;
MM
mx ny p
dM
mn
.
-Tính chất vector:
; , ;u x y v z t
với
x kz
u kv
y kt
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số hóa tọa độ điểm
B
. Do
;
2
;
d B AC
BE BC
DE AD
d D AC
(
E AC BD
), ta có điểm
B
.
-Để loại nghiệm sử dụng tính chất:
4 7 28 4 7 28 0
B B D D
x y x y
B
.
-Tương tự
,A d DA BA
. Mặt khác ,
.0DA BA A
.
- Tính tọa độ điểm
C
:
2BC AD C
.
Bài tập tương tự:
a. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
A
, trực tâm
3;2H
. Gọi
,DE
lần lượt là
chân đường cao kẻ từ
,BC
. Biết điểm
A
thuộc đường thẳng
: 3 3 0d x y
, điểm
2;3F
thuộc đường thẳng
DE
và
2HD
. Tìm tọa độ đỉnh
A
.
Đáp số:
3;0A
.
b. Trong mặt phẳng
Oxy
, cho tam giác
ABC
có
1; 3 , 5;1AB
. Điểm
M
thuộc đường thẳng
BC
sao cho
2MC BB
. Tìm tọa độ đỉnh
C
biết
5MA AC
và đường thẳng
BC
có hệ số góc
nguyên.
Đáp số:
4;1C
.
Câu 8. Phương trình thứ hai tương đương
2
2 3 2
2
3 2 3 3 2
x y y
x y y
.
Đặt
2
23
2
u x y
vy
, ta được
33
uv
uv
.
Xét
3
t
f t t
; ta có
' 3 ln3 1 0;
t
f t t
, suy ra
ft
đồng biến trên .
Nhận thấy
f u f v u v
là nghiệm duy nhất cua phương trình.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 10
22
2 3 2 1u v x y y y x
.
Thay
2
1yx
vào phương trình thứ nhất, ta được
2 2 2
1 5 2 7 1 1x x x x x x
2 3 2 2
2 5 1 7 1 2 1 3( 1) 7 1 1x x x x x x x x x
.
Đặt
2
1; 0
1; 0
a x a
b x x b
.
Phương trình trở thành
22
3
2 3 7
2
ba
b a ab
ab
.
+ Với
22
4 6 23 8 6
3 1 9 1 8 10 0
4 6 23 8 6
xy
b a x x x x x
xy
.
+ Với
22
2 1 4 1 4 3 5 0 vna b x x x x x
.
Hệ phương trình có nghiệm:
; 4 6;23 8 6 , 4 6;23 8 6xy
.
Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Hàm số
fx
đồng biến(nghịch biến) trên
D f u f v u v
.
-Hàm số
fx
đồng biến(nghịch biến) trên
0D f x
có nhiều nhất 1 nghiệm.
-Hàm số
fx
đồng biến trên
D
,
gx
nghịch biến trên
D f x g x
có nghiệm duy nhất.
Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối
quan hệ giữa
,xy
.
- Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng
2
23
2
3 , 2 3
xy
xy
với
2
3 ,2
y
y
có cùng
dạng
3,
m
m
.
- Phương trình thứ hai của hệ biến đổi thành:
33
uv
uv
trong đó
2
23
2
u x y
vy
.
- Xét hàm số
3
t
f t t
đồng biến trên
R f u f v u v
. Thay lại phương trình thứ nhất , sử
dụng hai ẩn phụ
2
1
,0
1
ax
ab
b x x
thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.
Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm
của hệ.
Lưu ý: Từ phương trình
22
2 1 3 1 7 1 1x x x x x x
, ta có thể chia 2 vế cho
2
1xx
giải phương trình ẩn
2
1
1
x
z
xx
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
23
2 2 5 1xx
. Đáp số:
5 37
2
x
.
b. Giải phương trình
6
2
3
7 2 1 2x x x
. Đáp số:
7, 1xx
.
hoctoancapba.com
Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015- Đề Tặng Kèm Số 1 11
Câu 9.
1 1 1 1 5 1 1 1
11
1 1 2 1 1 1 2 4 2 2 1 1 4 2
a b c
P
a b c a b c a b c
5 4 1 5 4 1
2 2 4 2 2 2 4 2
P
a b c c c
Xét hàm số
41
2 4 2
fc
cc
trên khoảng
1
;2
2
.
Ta có
2
2 2 2 2
4 15 20
44
' ; ' 0 0
2 4 2 2 4 2
cc
f c f c c
c c c c
.
c
1
2
0 2
'fc
0 +
fc
5
2
Vậy
55
0
22
P
.
Dấu “=” xảy ra khi
0a b c
.
Kết luận:
0MaxP
.
Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị của hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm
giá trị lớn nhất.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Ta thấy
,ab
đối xứng qua biểu thức
1
t
t
, dự đoán điểm rơi
ab
.
- Tách biểu thức
P
, ta được
5 1 1 1
2 1 1 4 2
P
a b c
. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản
2
2
2
xy
y
x
m n m n
suy ra
5 4 1
2 2 4 2
P
cc
. Tới đây hàm số đã rõ.
- Khảo sát hàm số
41
2 4 2
fc
cc
với
1
;2
2
c
-Lập bảng biến thiên của hàm số
fc
trên
1
;2
2
thu được
minf c
.
Bài tập tương tự:
a. Cho
,,a b c
là 3 số dương thỏa mãn điều kiện
1abc
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1 1 1 1
a b c
P
b c c a a b
. Đáp số:
3
4
MinP
.
b. Cho
, , : 1a b c ab bc ca
. Chứng minh rằng
2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng d đi qua điểm
1; 2M
, sao cho
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Gọi
,
AB
kk
là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
C
tại
A
và
B
. Tìm các giá trị của
k
để
1
A
B
k
k
đạt
giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
1
0
21
ln 1
1
x
I x dx
x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số phức
z
thỏa mãn
2 3 1z z i
và
12z i z i
là số thực.
b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5
viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 7 0x y z
và đường
thẳng
1
22
:
1 2 2
y
xz
d
. Viết phương trình mặt phẳng
chứa
d
và tạo với
một góc
sao cho
4
cos
9
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
A
,
,2AB a BC a
, góc giữa
hai mặt phẳng
SAC
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
, tam giác
SAB
cân tại
S
thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
C
có
phương trình
22
25xy
,
AC
đi qua
2;1K
, hai đường cao
BM
và
CN
. Tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
biết
A
có hoành độ âm và đường thẳng
MN
có phương trình
4 3 10 0xy
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
2
1
11
21
2 4 8
x
x
xx
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
,xy
là các số thực dương thỏa mãn
2xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
34
27 10
98
y
x
P
yx
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác định:
/1DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
1
'
1
y
x
.
' 0, ; 1 1;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
;1
và
1;
.
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
lim 2; lim 2
xx
yy
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2y
.
11
lim ; lim
xx
yy
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1x
.
+ Bảng biến thiên
x
1
'y
y
2
2
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
1
;0
2
.
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;1
.
+ Đồ thị hàm số giao điểm
1; 2I
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
3 1 3
2; 3 , ;4 , ;0 , 1;
2 2 2
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Phương trình đường thẳng
d
là
12y k x
.
Để
d
cắt
C
tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
21
2
1
x
kx k
x
có 2 nghiệm phân biệt
Tức phương trình
2
2 1 0kx kx k
có 2 nghiệm khác
1
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3
2
0, 2 1 0
0
' 1 0
k k k k
k
k k k
.
Ta có
2
1
'
1
y
x
. Suy ra
22
11
;
11
AB
AB
kk
xx
trong đó
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
2
2 1 0kx kx k
.
Nên
2
2
11
1
1
AB
B
A
kx
k
x
và
,
AB
xx
thỏa mãn
2
11kx
.
Suy ra
1 1 1
22
AB
k k k k k
k k k
, đẳng thức xảy ra khi
1k
.
Vậy
1
A
B
k
k
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
1k
.
n
Nhận xét:
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ
thị
hàm số
cho trước tại
điểm thỏa
mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoành độ
giao điểm. Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm
của nó với hàm số
, sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương trình đường thẳng đi qua điểm
,
Q x y
hệ số góc
k
có phương trình:
y k x x y
.
-Bất đẳng thức
AM GM
:
, 0 2a b a b ab
. Dấu bằng xảy ra
ab
.
Áp dụng cho bài toán:
- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc
k
là
12y k x
.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
d
cắt
C
tại hai điểm phân biệt
2
, 2 1 0A B f x kx kx k
có hai nghiệm phân biệt
1x
.
- Hệ số góc tiếp tuyến tại
,AB
lần lượt là
,
AB
kk
(
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
0fx
). Khi đó tìm
được
1
A
B
k
k
với
1
1 1 2
AB
k x k k k
k
( theo
AM GM
).
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
21
1
x
y
x
. Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
,Ox Oy
lần lượt tại A,B thỏa mãn
4
OA
OB
. Đáp số:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x
.
b. Cho hàm số
2
2
x
y
x
. Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
1
18
. Đáp số:
91
42
yx
.
Câu 2. Điều kiện
2
2;
3
x k k
.
Phương trình tương đương
1 sin 4sin cos 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x x
x
2
sin 1
1 sin 2sin 3 2cos 1
2 1 sin 2sin 3 2 2sin sin 1 0
1
2cos 1
sin
2
x
x x x
x x x x
x
x
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4
2
2
2
6
5
2
5
xk
xk
xk
.
Phương trình có nghiệm:
5
2 ; 2 ; 2 ;
2 6 5
x k x k x k k
Z
.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử
dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng công thức góc nhân đôi
sin2 =2sin cos
.
-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.
-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất
sinx
tìm đươc
x
với công thức nghiệm:
+
2
sin ;
2
xk
x k Z
xk
.
+
cos cos 2 ;x x k k Z
.
-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
sin2 cos2
cot tan
cos sin
xx
xx
xx
. Đáp số:
2
3
xk
.
b. Giải phương trình
3
tan 3 cos sin .tan
2
x x x x
. Đáp số:
7
,2
6
x k x k
.
Câu 3.
11
00
ln 1
4 ln 1
1
x
I x x dx dx
x
.
1
0
4 ln 1A x x dx
.
Đặt
2
ln 1
1
1
2
dx
du
ux
x
x
dv xdx
v
.
1
1
22
1
0
0
0
1 1 1
4 ln 1 1 4 1
2 2 2 2
xx
A x x dx x
.
1
2
11
2
00
0
ln 1 ln 1
1
ln 1 ln 1 ln 2
1 2 2
xx
B dx x d x
x
.
Vậy
2
1
1 ln 2
2
I
.
Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần. Ta
tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính tích phân từng phần :
.'
b
b
a
a
I u v u vdu
.
-Công thức tính
1
1
b
b
n
n
a
a
x
x dx
n
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5
-Nhận thấy
2
2 1 4 1 1
11
x x x
xx
, nên ta có
I A B
.
- Tính
A
: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với
2
ln 1
1
2
ux
x
v
.
- Tính
B
:
1
0
ln 1
1
x
B dx
x
. Nhận thấy
1
ln 1 '
1
x
x
nên ngầm đặt ẩn phụ
ln 1tx
chuyển về công
thức
'.
n
u u du
.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
1
0
2 ln
1 ln
x x x
I dx
xx
. Đáp số:
3 2ln2Ie
.
b. Tính tích phân
3
2
22
2 ln ln 3
1 ln
e
e
x x x x
I dx
xx
. Đáp số:
32
3ln2 4 2I e e
.
Câu 4.a. Giả sử số phức
z
có dạng:
;,z a bi a b
1 2 1 1 2 1 1 2z i z i a a b b a b a b i
1 1 2 0 1a b a b a b
2 2 2
2
2 3 1 2 3 4 1 1z z i a b a b
2
21
3 11 6 0 3, 2; ,
33
a a a b a b
.
Vậy
21
3 2 ;
33
z i z i
.
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung
,z a bi a b R
rồi thay vào các điều kiện để giải ra
z
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Đặt
z a bi
,a b R
. Số phức
z
là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.
- Thay vào đẳng thức
2 3 1 1zz
. Sử dụng tính chất modul của số phức.
- Mặt khác ,
12z i z i
là số thực nên phần ảo bằng 0.
- Giải hệ cơ bản
2 2 2
2
2 3 4 1 1
1
a b a b
ab
tìm được
,ab
thu được số phức
z
cần tìm.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tìm số phức
z
thỏa mãn
2
1 11z i z i
. Đáp số:
3 2 , 2 3z i z i
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
1 2 3i z z i
. Đáp số:
11
44
zi
.
Câu 4.b. Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là
5
14
2002C
(cách), suy ra, không gian mẫu là
2002
.
Gọi
A
là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Ta có
1 4 2 3 3 2 4 1
8 6 8 6 8 6 8 6
1940
A
C C C C C C C C
.
Vậy
194 0 9 70
200 2 1 00 1
A
PA
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6
Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố
A
bất kì.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì:
A
PA
với
A
là số trường hợp thuận lợi cho A ,
là tổng các trường hợp có thể xảy ra.
Áp dụng cho bài toán:
- Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước.
- Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được
A
theo các cách
chọn.
-Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Trong mặt phẳng
Oxy
, ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ
hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Tính xác suất để
đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ. Đáp số:
23
91
.
b. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Đáp số: 645.
Câu 5.
có vectơ pháp tuyến là
1; 2; 2n
;
có vectơ pháp tuyến là
;;n A B C
.
d
đi qua
2; –1; 2A
và có vectơ chỉ phương là
1; 2;2
d
a
.
+
2 2 0 2 2
d
d a n A B C A B C
.
+ Lại có
2 2 2
.
22
4 4 4
cos
9 9 9
.
3
nn
A B C
nn
A B C
2
2 2 2 2
2
3 4 4 4 2 2 4 10 4
2
BC
B C B C B C B BC C
CB
.
+ Với
2BC
; chọn
1; 2 2C B A
: 2 – 2 2 1 1 – 2 0 2 2 – 4 0x y z x y z
.
+ Với
2CB
; chọn
1; 2 –2B C A
: –2 – 2 1 1 2 – 2 0 –2 2 1 0x y z x y z
.
Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng
: Ta tìm một điểm thuộc
và một vector pháp
tuyến của
. Sử dụng dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng để tìm một vector pháp tuyến của
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến.
-Mặt phẳng
P
đi qua
;;A a b c
nhận
;;n m n p
là một vector pháp tuyến:
0m x a n y b p z c
.
-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
,
:
.
cos cos ;
.
nn
nn
với
,nn
lần lượt là vector
pháp tuyến của
,
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số vector pháp tuyến của
: ; ;n A B C
,
d
đi qua điểm
A
và có vector chỉ phương là
d
a
,
.0
d
d a n
.
- Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng
;
.
44
cos
99
nn
nn
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 7
- Tìm được mối quan hệ giữa
,,A B C
tương ứng viết được mặt phẳng
.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
1;0;1 , 2;1; 2AB
và mặ phẳng
: 2 3 3 0Q x y z
. Lập
phương trình mặt phẳng
P
đi qua
,AB
và vuông góc với
Q
.
Đáp số:
: 2 2 0P x y z
.
b. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:1
2
y
d x z
và điểm
1; 2; 3A
. Viết phương
trình mặt phẳng
P
chứa đường thẳng
d
và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
P
bằng 3. Đáp
số:
: 2 2 1 0P x y z
.
Câu 6.
ABC
vuông tại
B
, nên đường tròn ngoại tiếp
ABC
có tâm
K
là trung điểm
AC
và bán kính
1
2
r AC
. Gọi
H
là trung điểm của
AB SH ABC
.
Kẻ
00
60 .tan60HM AC SM AC SMH SH HM
.
Ta có
.2
2
BC AH a
ABC AMH HM
AC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua
K
và song song với
SH
. Khi đó tâm
O
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
là giao điểm của đường trung trực đoạn
SH
và
d
trong mặt phẳng
SHK
và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
2 2 2 2
3 3 14
4 4 4
a
R OC OK CK SH AC
.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
3
3
4 7 14
3 24
a
VR
(đvtt).
Dựng hình chữ nhật
ABCD
, khi đó
//AB SCD
, suy ra khoảng
cách giữa
AB
và
SC
bằng khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
SCD
.
Gọi giao điểm của
HK
với
CD
là
E
, ta có
CD SHE
.
Kẻ
HF SE
thì
HF
là khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
SCD
.
Trong tam giác vuông
SHE
có
HF
là đường cao nên
2 2 2
1 1 1 10
5
a
HF
HF HS HE
.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
10
5
a
.
Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp:
3
4
3
VR
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
,SAC ABC
.
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp:
K
là trung điểm của
AC
thì
K
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
K
và song song
SH
, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S ABC
là
O
giao của
đường trung trực
SH
và
d
trong mặt phẳng
SAK
.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
: Dựng hình chữ nhật
ABCD
,,d AB SC d H SCD
.
Dựng
,HF SE HF d H SCD
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho tam giác
ABC
vuông cân, cạnh huyền
2AB a
. Trên đường thẳng
d
đi qua
A
và vuông góc
với mặt phẳng
ABC
lấy điểm
S
sao cho mặt phẳng
SBC
tạo với
ABC
một góc bằng
0
60
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S ABC
. Đáp số:
2
10Sa
.
b. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của
S
lên
ABCD
trùng với trung điểm
H
của
AB
. Đường trung tuyến
AM
của tam giác
ACD
có độ dài là
3
2
a
, góc giữa mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
và diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
. Đáp số:
3
.
3
,
12
S ABCD
a
V
Diện tích mặt cầu
2
.
4
3
S ABC
Sa
.
Câu 7. Chứng minh được
MN OA
, suy ra
OA
có vectơ pháp tuyến là
: 4 03;4 3OAn xy
.
Tọa độ
A
thỏa hệ
2
22
16
3 4 0
4
3
3
25
4
x
xy
x
y
xy
yx
(do
0
A
x
). Vậy
4;3A
.
AC
nhận
6; 2AK
làm vecto chỉ phương
1
2
: 3 5 0
31
y
x
AC x y
.
Tọa độ
C
thỏa hệ
22
53
03
5;0
54
25
xy
yy
C
xx
xy
.
Tọa độ
M
thỏa hệ
3 5 0 1
2; 2
4 3 10 0 2
x y x
M
x y y
.
BM
qua
M
và vuông góc
: 3 1 1 2 0 3 5 0AC BM x y x y
.
Tọa độ
B
thỏa
2 2 2
3 5 3 5
03
54
25 10 30 0
y x y x
xx
yy
x y x x
.
Với
0;5B
thì
–4;–2BA
và
.; 4092 0BC BA BC
, suy ra góc
B
tù.
Với
–3; –4B
thì
–1;7BA
và
.4 20 08;BC BA BC
, suy ra góc
B
nhọn.
Vậy
–4;3 , –3;–4AB
và
5;0C
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh
viết được với đường tròn
C
suy ra tọa độ
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng
d
ta cần tìm điểm
;M a b
, một
vector pháp tuyến
22
;0
d
n
. Dạng tổng quát
:0d x a y b
-Đường tròn tâm
O
ngoại tiếp tam giác
ABC OA OB OC
.
Áp dụng cho bài toán:
- Viết phương trình
OA
A
là nghiệm của hệ
A OA
AC
(
0
A
x
).
- Đường thẳng
AC
nhận
AK
làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình
AC
. Hoàn toàn tương
tự
C
là nghiệm của hệ
C AC
CC
.
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9
- Tính tọa độ điểm
B
:
M BM AC M
.
BM
đi qua
M
và vuông góc
AC
nên có phương trình
MB
.
Tọa độ
B
là nghiệm của hệ
B MB
BC
.
Lưu ý: Để loại trường hợp ta sử dụng tích vô hướng của 2 vector
.BA BC
, nếu
.0BA BC B
tù và
.0BA BC B
nhọn.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có hình chiếu vuông góc của
C
lên đường thẳng
AB
là điểm
1; 1H
. Phân
Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn
phụ giải được nghiệm của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau
22
11
1
2 1 2 2.
8 2 16
xx
xx
,
với điểm tương đồng vế trái có
1
2
1
4
x
x
. Đặt 2 ẩn phụ
1
;0
2
1
4
u x u
x
v
, ta có phương trình
22
2u v u v
uv
.
-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng
2
,0f x g x
f x g x
f x g x
ta được nghiệm của phương trình đã
cho.
Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản
22
2a b a b
để đánh giá phương trình.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
2 4 2
7 1 4 1x x x x
. Đáp số:
13 69
10
x
.
b. Giải phương trình
23
2 5 22 5 11 20x x x x
. Đáp số:
5 21 25 881
,
28
xx
.
Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
24
;,
33
xy
. Áp dụng bất đẳng thức
–AM GM
ta có
hoctoancapba.com
Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y
2
3
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
3 . . 2 . 2 . 2 .
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
xy
y x x y
3 3 5 21 9 2 3 5 3 5 13
3 ( )
2 2 3 8 8 3 8 2 4 2 4
x y x y x y
.
Vậy
13
4
MinP
.
Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến
,xy
với điều kiện cho trước
2xy
. Ta cố gắng đánh
giá biểu thức
P
theo
xy
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tách biểu thức
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y
.
- Sử dụng bất đẳng thức
AM GM
cho 3 bộ số và 2 bộ số
3
3
2
a b c abc
a b ab
.
Ta có:
3 5 13
8 2 4
P x y
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong
AM GM
xảy ra.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số thực không âm
,xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
22
4 3 4 3 25S x y y x xy
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).
Đáp số:
25 1 1
,;
2 2 2
MaxS x y
.
b. Cho
,,xyz
là các số thực dương. Chứng minh rằng :
3 3 2
3 3 3 3 2 2
3 3 3 3 3 3
2
y y y
x z z x x z
yz zx xy
y x z y x z
(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3).
hoctoancapba.com
1
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
32
3 2 3y x x m x m
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
C
khi
2m
.
b) Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số
C
đã cho vuông góc với
đường thẳng
: – 2 0d x y
.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2
2
1 cos2
sin 2cos2
2sin2
x
xx
x
.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
1
0
1
3
xx
I dx
x
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm số phức
z
thỏa mãn phương trình
1 2 1 3 4 1 7i z i iz i i
.
b) Cho tập hợp
A
tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0. Hỏi có thể lấy được
bao số tự nhiên từ tập
A
mà số đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
1
3
41
:
3 1 2
y
xz
d
;
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2 0x y z
và
: 3 12 0xy
. Mặt phẳng
Oyz
cắt
hai đường thẳng
1
d
,
2
d
lần lượt tại các điểm
,AB
. Tính diện tích tam giác
MAB
, biết
1; 2; 3M
.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
, cạnh
a
,
BD a
. Trên
cạnh
AB
lấy điểm
M
sao cho
2BM AM
. Biết rằng hai mặt phẳng
SAC
và
SDM
cùng vuông
góc với mặt phẳng
ABCD
và mặt bên
SAB
tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính thể tích của khối
chóp
.S ABCD
theo
a
và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng
OM
và
SA
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường
tròn
22
: 2 6 15 0S x y x y
ngoại tiếp tam giác
ABC
có
4;7A
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
và
C
biết
4;5H
là trực tâm của tam giác.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
22
3
23
4 1 2
12 10 2 2 1
x x y y
y y x
,xyR
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực dương
,,xyz
bất kỳ. Chứng minh rằng
1
11
1 1 1
yy
x z x z
y z x y z x
.
HẾT
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 3
hoctoancapba.com
2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a. Với
2m
, hàm số trở thành
32
36y x x
.
- Tập xác định:
DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
' 3 6y x x
;
0
'0
2
x
y
x
.
' 0, ; 0 2;yx
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
;0
và
2;
.
' 0, 0;2yx
, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
0; 2
.
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0; 6
CD
xy
. Hàm số đạt cực tiểu tại
2; 2
CT
xy
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
.
+ Bảng biến thiên
x
0
2
'y
0
0
y
6
2
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
0;6
.
+ Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
1; 4I
làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
1; 2 , 3;6
.
- Vẽ đồ thị:
Câu 1.b. Ta có
2
' 3 6 2y x x m
.
Tiếp tuyến
tại điểm
M
thuộc
C
có hệ số góc
2
2
3 6 2 3 1 5 5k x x m x m m
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1x
.
Suy ra
min
5km
tại điểm
1; 4 – 4Mm
Tiếp tuyến
( 5).1 1 4d m m
.
Kết luận:
4m
.
Nhận xét: Dạng bài toán đường thẳng tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước. Ta tìm
hệ sô góc của tiếp tuyến và hệ số góc của đường thẳng còn lại cho thỏa mãn tính chất vuông góc.
hoctoancapba.com
3
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
,
AA
A x y
thuộc đồ thị hàm số
y f x
là
'
A
k f x
. Hai đường
thẳng có hệ số góc lần lượt là
12
,kk
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
12
.1kk
.
-Biểu thức
2
P a b b
. Dấu bằng xảy ra
0a
.
Áp dụng cho bài toán :
- Tiếp tuyến tại
M
có hệ số góc là
2
2
' 3 6 2 3 1 5 5k y x x m x m m
. Suy ra hệ số góc
tiếp tiếp nhỏ nhất là
5km
.
- Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
: 2 0d x y
có hệ số góc
1
d
k
nên theo tính chất hai đường
thẳng vuông góc ta có phương trình
5 .1 1 4mm
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
32
2 1 2y x x m x m
. Tìm
m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất vuông
góc với đường thẳng
: 2 1d y x
. Đáp số:
11
6
m
.
b. Cho hàm số
1
21
x
y
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến vuông góc
đường thẳng
: 9 1 0xy
. Đáp số:
9 1; 9 7y x y x
.
Câu 2. Điều kiện
;
2
x k k
Z
.
Phương trình tương đương với
4
22
4cos
1 cos 2 2cos 1
4sin cos
x
xx
xx
3
2
2
cos cos 3
5cos 3 0 5 0
sin sin
cos
xx
x
xx
x
(do
cos 0x
).
2 2 3
1
cot 5 3 1 tan 0 3tan 2 0 3tan 2tan 1 0
tan
x x x x x
x
2
tan 1 3tan 3tan 1 0 tan 1 ,
4
x x x x x k k
.
Phương trình có nghiệm:
;
4
x k k
.
Nhận xét: Để giải phương trình lượng giác ta sử dụng công thức hạ bậc , mối quan hệ
sin x
với
cosx
,
tanx
với
cot x
, phân tích nhân tử.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng các công thức biến đổi
2 2 2
sin 1 cos ,1 cos2 2cosx x x x
thu được phương trình:
3
3
cos
5cot 3 0
sin
x
x
x
.
-Do
cos 0x
không là nghiệm của phương trình , chia 2 vế cho
2
cos x
ta có
2
cos 3
50
sin
cos
x
x
x
.
-Thay
2
2
1 cos 1
1 tan ,
sin
cos
x
x
x tanx
x
có phương trình theo ẩn
tanx
.
- Giải phương trình theo
tanx
thu được
x
, kiểm tra điều kiện ta có đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình:
2
4cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sinx x x x x
.
hoctoancapba.com
4
Đáp số:
5 5 2
; 2 ;
3 6 18 3
x k x k x k
.
b. Giải phương trình:
2
1 sin2 2 3 sin 3 2 sin cos 0x x x x
.(Thi thử THPT Phan Đăng
Lưu). Đáp số:
7
2 ; 2 ; 2 ; 2
6 6 3
x k x k x k x k
.
Câu 3. Ta có
3
1 1 1 1
2
0 0 0 0
27 27 1 27 1
39
3 3 3
x x x
I dx x x dx dx dx
x x x
1
1
11
32
00
0
0
1 3 1 47 4 1
9 27 ln 3 27 ln
3 2 3 6 3 3
xx
x x x x dx dx
xx
.
Tính
1
0
1
3
x
A dx
x
.
Đặt
2
1 1 ; 2t x x t dx tdt
. Khi
01
10
xt
xt
.
Suy ra
2 2 2
0 1 1 1 1
2 2 2
1 0 0 0 0
44
2 2 2 2 8
22
4 4 4
t t t dt
A dt dt dt dt
tt
t t t
1
1
0
0
1 1 2
2 2 2 2ln 2 2ln3
2 2 2
t
dt
t t t
.
Vậy
59
27ln 4 25ln 3
6
I
.
Nhận xét: Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta có thể sử dụng ngay đổi biến số
1tx
, tuy nhiên
đổi biến số ngay từ đầu sẽ dẫn tới một tích phân mới sử dụng phép chia đa thức. Để đơn giản ta sử
dụng kĩ thuật phân tích đa thức cơ sở.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Sử dụng phân tích tử biểu thức dưới dấu tích phân ta có:
33
1 27 27 1x x x x
chuyển
tích phân thành 3 tích phân nhỏ.
- Tính
1
2
0
39xx
sử dụng công thức
1
1
n
n
x
x dx C
n
.
- Tính
1
0
27
3
dx
x
bằng sử dụng công thức
'
ln
u
du u C
u
.
- Tính
1
0
1
3
x
A dx
x
bằng phương pháp đổi biến số
1tx
.
Tách thành hai tích phân
11
00
28
22
dt
dt
tt
. Sử dụng khai triển dạng ln tính được
1
1
0
0
2
8 2ln
2
22
dt t
t
tt
.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
4
3
2
1
x x x x
I dx
x
. Đáp số:
19
ln 4
2
I
.
hoctoancapba.com
