Phương trình - Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRỌNG TÂM KIẾN THỨC


I. Đònh nghóa và các tính chất cơ bản :

1. Đònh nghóa:
A nếu A 0

nếu A < 0
A
A
≥
⎧
=
⎨
−
⎩

2. Tính chất :


2
2
0 , A AA≥=

Lưu ý:
2
AA=


II. Các đònh lý cơ bản :

a) Đònh lý 1 :
Với A
≥
0 và B
≥
0 thì A = B
⇔
A
2
= B
2


b) Đònh lý 2 :
Với A
≥
0 và B
≥
0 thì A > B
⇔
A
2

> B
2


III. Các phương trình và bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối cơ bản & cách giải :


Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc
nâng lũy thừa.


* Dạng 1 :

22
BABA =⇔=
,
BABA ±=⇔=



* Dạng 2 :

⎩
⎨
⎧
=
≥
⇔=
22
0

BA
B
BA
,
⎩
⎨
⎧
±=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
,
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=−
<
⎩
⎨
⎧

=
≥
⇔=
BA
A
BA
A
BA
0
0



* Dạng 4:

22
B0
AB
AB
>
⎧
<⇔
⎨
<
⎩
,
B0
AB
BAB
>

⎧
<⇔
⎨
− <<
⎩
,
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
<−
<
⎩
⎨
⎧
<
≥
⇔<
BA
A
BA
A
BA
0

0



* Dạng 5:

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
>
≥
<
⇔>
22
0
0
BA
B
B
BA
,
B0
AB
B0
ABAB

<
⎡
⎢
>⇔
≥
⎧
⎢
⎨
⎢
< −∨ >
⎩
⎣

IV. Các cách giải phương trình chứa giá trò tuyệt đối thường sử dụng :



* Phương pháp 1 :
Biến đổi về dạng cơ bản



Ví dụ :
Giải các phương trình sau :

1)
xxxx 22
22
+=−−
2)

334
2
+=+− xxx
3)
2
1
42
2
=
+
+
x
x



Bài giải:

1)
Ta có:

22
22
22
2
xx2x2x
xx2x2x
xx2 x2x
2
2

x
x
3
3

117
2x x 2 0
x
4
⎡
−−= +
⎢
−−= + ⇔
⎢
−−=− −
⎢
⎣
⎡
⎡
=−
⎢
=−
⎢
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
−±
⎢

+−=
⎢
=
⎢
⎣
⎢
⎣

V
ậy tập nghiệm của pt(1) là
21 17
S;
34
⎧⎫
⎪⎪
−±
⎪⎪
=−
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭

2)
Ta có:


2
2
2

2
2
x30
x 4x3x3
x4x3x3
x4x3 x3
x3
x3
x0
x0x5
x5x0

x5
VN
x3x60
⎧
+≥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
−+=+
−+=+⇔
⎨
⎢
⎪
⎢
⎪

⎪
−+=−−
⎢
⎪
⎣
⎪
⎩
⎧
≥−
⎧
≥−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
=
⎡
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎡
⎢
=∨=
⎡
−=
⇔⇔⇔
⎨⎨
⎢

⎢
⎢
=
⎪⎪
⎢
⎢
⎪⎪
⎢
⎣
⎪⎪
−+=
⎢
⎢
⎪⎪
⎣
⎪
⎩
⎣
⎪
⎩

V
ậy tập nghiệm của pt(2) là
{}
S0;5=

3)
Ta có:

2
2
22
2x 4
2x2 x1
x1
x 4x 4 x 1
3
x
4
+
=⇔ += +
+
⇔++=+
⇔=−

V
ậy tập nghiệm của pt(3) là
{}
3
S
4
=−


* Phương pháp 2 :

Sử dụng phương pháp chia khoảng




Ví dụ :
Giải phương trình sau :
()
x12x1 3−−=
(1)


Bài giải:

Trường hợp 1
: Với
x1≥
thì

() ()()
2
x12x1 3 x12x1 3
2x 3x 2 0
x2

1
x (loai)
2
−−=⇔− −=
⇔−−=

⎡
=
⎢
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣


Trường hợp 2
: Với
x1<
thì

() ()()
2
x12x13 1x2x13
2x 3x 4 0 (VN)

−−=⇔− −=
⇔−+=


V
ậy tập nghiệm của pt(1) là
{}
S2=

V. Các cách giải bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối thường sử dụng :


* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản



Ví dụ :
Giải bất phương trình sau :
65
2
<− xx
(1)






Bi gii:

Ta cú:

2
22
2
x5x60 1x6 1x2
x5x6 6x5x6
x2x3 3x6

x5x60


< << <<






<<<


<><<
+>






V
y tp nghim ca bpt(1) l
()()
S1;23;6=



* Phửụng phaựp 2 :
Sửỷ duùng phửụng phaựp chia khoaỷng

Vớ duù :
Giaỷi baỏt phửụng trỡnh sau :
22
x2xx40+>
(1)


Bi gii:

Bng xột du:

x

0 2 +
2
x2x




0 + 0



Xột tng khong

1) Vi
x0x2

<>
thỡ

22 22
x 2x x 40 x 2xx 40 x2 + > + + > >

So v
i iu kin ang xột ta suy ra nghim ca bpt l
x2>

2) Vi
0x2
thỡ

22 22 2
x1
x2xx40x2xx40xx20
x2

<

+ > + > >

>



So v
i iu kin ang xột ta suy ra khụng cú giỏ tr no ca x tha món iu kin
.

V
y tp nghim ca pt(1) l
()
S2;=+




-











CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN

Giải các phương trình sau:

1)
x2 2x1 x3−+ −= +


Kết quả:
x3x0

=∨=

2)
()
2
x1x1
2
xx 2
−+ +
=
−


Kết quả:
x5=

3)
()()
4x 2 4 x x 6+= − +


Kết quả:
x2
x1 33
⎡
=
⎢
⎢
=−
⎢

⎣






Hết