Đề cương ôn tập môn giải tích 1

Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
I. Lý thuyết.
1. Định nghĩa dãy số hội tụ. Cho ví dụ.
ĐN: Dãy số
{ }
n
x
được gọi là hội tụ nếu tồn tại
a
∈
¡
sao cho với mọi
0
ε
>
tìm được
*
0
n ∈¥
sao cho
với mọi
0
n n≥
ta có
n
x a
ε
− <
. Ta cũng nói rằng dãy

{ }
n
x
hội tụ đến
a
hay
a
là giới hạn của dãy
{ }
n
x
và viết
n
x a→
khi
n → ∞
hay
lim
n
n
x a
→∞
=
.
VD:
 Dãy
{ }
1
2
n

n
x
 
=
 
 
có giới hạn bằng 0.
Thật vậy,
0
ε
∀ >
cho trước, chọn
0 2
1
logn
ε
 
=
 
 
thì
0
n n∀ ≥
ta có:
1 1
0 lim lim 0.
2 2
n n
n n
n n

x x
ε
→∞ →∞
− = < ⇒ = =

{ }
n
u
với
,
n
u a n a= ∀ ∈¡
là hội tụ và
lim .
n
n
u a
→∞
=

( )
{ }
1
n
−
không có giới hạn.
2. Chứng minh: Một dãy số hội tụ thì bị chặn.
Giả sử
{ }
n

x
hội tụ
lim
n
n
x a
→∞
⇒ ∃ = ≠ ∞
*
0, , :
n
n
N n N x a
a x a
ε ε
ε ε
ε ε
⇒ ∀ > ∃ ∈ ∀ > − <
⇒ − < < +
¥
Chọn
( )
1
1 2
ax , , , , ,
N N
M M x x x x a
ε ε
ε
−

= +K
( )
1 2
min , , , ,
N
m x x x a
ε
ε
= −K
Khi đó
, 1,2,
n
m x M n≤ ≤ ∀ = K
{ }
n
x⇒
bị chặn.
Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ: dãy
( )
{ }
1
n
−
bị chặn nhưng không hội tụ.
3. Cmr: Giới hạn (nếu có) của một dãy số là duy nhất.
Giả sử
lim
n
n
x a

→∞
=
và
( )
lim
n
n
x a a a
→∞
′ ′
= ≠
.
0a a
′
⇒ − >
Chọn
1
0
4
a a
ε
′
= − >
4 2
n n n n
a a a x x a x a x a
ε ε
′ ′ ′
⇒ = − = − + − ≤ − + − =
(vô lí)

a a
′
⇒ =
Như vậy giới hạn nếu có của một dãy số là duy nhất.
4. Phát biểu và chứng minh tiêu chuẩn Côsi về sự hội tụ của dãy số.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
1
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
ĐN: Dãy số
{ }
n
x
được gọi là dãy Côsi (hay dãy cơ bản) nếu
0
ε
∀ >
cho trước. Tìm được
*
0
n ∈¥

sao cho
0
m n≥
và
0
n n≥
ta có
m n

x x
ε
− <
.
Bổ đề: Dãy Côsi là một dãy giới nội.
CM: Giả sử
{ }
n
x
là một dãy Côsi. Khi đó
*
0 0 0
: ,n m n n n∃ ∈ ≥ ≥¥
ta có
1
m n
x x− <
Đặc biệt ta có
0 0
n n n n
x x x x− > −
do đó
0
1
n n
x x< +
Đặt
{ }
0 0
1 2

ax , , , 1 , 1
n n
M M x x x x= − +K
Ta có:
,
n
x M n≤ ∀
(đpcm).
Tiêu chuẩn Côsi:
Điều kiện cần và đủ để dãy số thực
{ }
n
x
hội tụ là nó là một dãy Côsi.
CM:
Giả sử dãy
{ }
n
x
hội tụ,
lim
n
n
x l
→∞
=
. Khi đó
*
0 0
0, :

2
n
n n n x l
ε
ε
∀ > ∃ ∈ ≥ ⇒ − <¥
.
Khi đó với
0 0
,m n n n≥ ≥
có
2 2
m n m n
x x x l l x
ε ε
ε
− ≤ − + − < + =
.
Như vậy
{ }
n
x
là dãy Côsi.
Đảo lại giả sử
{ }
n
x
là dãy Côsi. Theo bổ đề nó là một dãy giới nội. Theo định lí Bolzano - weierstrass có
thể trích ra một dãy con hội tụ
{ }

k
n
x
Giả sử
lim
k
n
k
x l
→∞
=
. Ta sẽ chứng minh rằng
lim
n
k
x l
→∞
=
. Thật vậy ta có:
k k
n n n n
x l x x x l− ≤ − + −
vì
k
n
x l→
nên
0
ε
∀ >

, tìm được
*
1 1
:
2
k
k n
v n v x l
ε
∈ ≥ ⇒ − <¥
Vì
{ }
n
x
là dãy Côsi nên tồn tại
*
2 2 2
: ,
2
k
k n n
v n n n v x x
ε
∈ ≥ ≥ ⇒ − <¥
.
Đặt
( )
0 1 2
ax ,v m v v=
ta có với

0
:
2 2
n
n v x l
ε ε
ε
≥ − < + =
Vậy
lim
n
n
x l
→∞
=
.
5. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm hữu hạn. Cho ví dụ.
ĐN 1:
,X a∈ ∈¡ ¡
được gọi là điểm giới hạn của X nếu trong mỗi lân cận
( )
,a a
δ δ
− +
của
a
,
0
δ
>

luôn tìm được ít nhất một phần tử
,x a x X≠ ∈
.
ĐN 2: Cho
( )
y f x=
xác định trên tập
X ∈¡
,
a
là điểm giới hạn của x. Số A được gọi là giới hạn
hữu hạn của
( )
f x
khi
x a→
. Nếu
0, 0, :x X x a
ε
ε δ δ
∀ > ∃ > ∈ − <
. Ta có
( )
f x A
ε
− <
.
Kí hiệu
( )

lim
x a
f x A
→
=
.
VD: Cm:
( )
1
lim 3 1 2
x
x
→
− =
.
Thật vậy:
0
ε
∀ >
, xét
( )
3 1 2 3 1 3 1 .x x x
ε
− − = − = − <
1
3
x
ε
⇒ − <
chọn

3
ε
δ
=
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
2
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
( )
1
: 1 3 1 2
lim 3 1 2
x
x x x
x
δ ε
→
⇒ ∀ ∈ − < ⇒ − − <
⇒ − =
¡
VD: Cm:
2
2
4
lim 4
2
x
x
x
→

−
=
−
.
Thật vậy
0
ε
∀ >
, xét
2 2
4 4 4 8
4 2
2 2
x x x
x
x x
ε
− − − +
− = = − <
− −
Chọn
δ ε
=

2
4
: 2 4
2
x
x x

x
δ ε
−
⇒ ∀ ∈ − < ⇒ − <
−
¡
2
2
4
lim 4
2
x
x
x
→
−
⇒ =
−
Nhận xét:
( ) { }
lim :
n n n
x a
f x A x x X x a khi n
→
= ⇔ ∀ ∈ → → ∞
thì
( )
{ }
( )

( )
:
n n
n
f x f x A
→∞
∀ →
⇒
không tồn tại
( )
limf x
nếu tồn tại ít nhất 2 dãy
{ }
n
x
,
{ }
, , ,
n n n n
x X x a x X x a
′ ′
∈ → ∈ →
nhưng
( )
(
)
n
n
f x A
f x B

→
′
→
( )
A B≠
VD: Cmr:
∃
0
1
lim os ;
x
c
x
→
∃
0
1
limsin
x
x
→
Thật vậy
( )
( )
( ) ( )
1
0
cos 1 1
1
2 1

2
os 2 1 0 0
2
n
n
n
n
n
n
x
n
f x n
x
n
f x c n
π
π
π
π
→∞
→∞
= →
= = ± →±
′
=
−
′
= − = →
 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cùng. Cho ví dụ.
ĐN: Cho

( )
y f x=
xác định trên
( )
,X ⊆ +∞ −∞¡
là điểm giới hạn của X. Số A được gọi là giới hạn
của
( )
f x
khi
( )
x x→ +∞ → −∞
nếu
0, 0
ε
∀ > ∃∆ >
sao cho
x X∈
:
x
> ∆
(hoặc
x
< −∆
) thì ta có
( )
f x A
ε
− <
Kí hiệu

( )
lim
x
f x A
→+∞
=
(hoặc
( )
lim
x
f x A
→−∞
=
)
VD:
1
lim 0
x
x
→+∞
=
. Thật vậy
0
ε
∀ >
, chỉ cần chọn
1
N
ε
>

ta luôn có
x N
>
thì
1
0
x
ε
− <
.
 Định nghĩa giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm hữu hạn. Cho ví dụ.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
3
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên
,X a⊆ ∈¡ ¡
là điểm giới hạn của X. Số
+∞
(hoặc
−∞
) là giới
hạn của
( )
f x
khi
x a→

nếu
0, 0, :E x X x a
δ δ
∀ > ∃ > ∈ − <
ta có
( )
f x E>
(hoặc
( )
f x E< −
) kí
hiệu
( )
lim
x a
f x
→
= +∞
hoặc
( )
lim
x a
f x
→
= −∞
VD: Cm:
2
0
1
lim

x
x
→
= +∞
Thật vậy
0E
∀ >
, xét
2
2
1 1 1
E x x
x E
E
> → < ⇒ <
1
0x
E
⇒ − <
chọn
1
E
δ
=
⇒
đpcm
 Định nghĩa giới hạn vô cùng của hàm số tại vô cùng. Cho ví dụ.
Số
+∞
hoặc

−∞
được gọi là giới hạn của hàm
( )
f x
khi
( )
x x→ +∞ → −∞
nếu
( )
0, 0, :E x X x x∀ > ∃∆ > ∈ ≥ ∆ < −∆
. Ta có
( )
f x E>
hoặc
( )
f x E< −
kí hiệu
( )
lim
x
f x
→±∞
= ±∞
VD:
1
lim log
0 1
a
x
khi a

x
khi a
→+∞
+∞ >

=

−∞ < <

6. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Cho ví dụ.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên
0
,X x X⊆ ∈¡
.
( )
f x
liên tục tại
0
x
nếu
( ) ( ) ( )
0
0 0 0
lim 0, 0; :
x x
f x x X x x f x f x
ε δ δ ε

→
⇔ ∀ > ∃ > ∈ − < ⇒ − <
VD:
2
0
lim 0
x
x
→
=
Thật vậy với mỗi
0
ε
>
cho trước
2
: 0 0x x
δ ε ε ε
∃ = − < ⇒ − <
7. Định nghĩa hàm số liên tục một phía tại một điểm. Cho ví dụ.
Cho
( )
f x
xác định trên
[ ] [ ]
0
; , ;a b x a b∈
Ta nói
( )
f x

liên tục trái (liên tục phải) tại
0
x
nếu
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
−
→
=
hoặc
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
+
→
=
VD:
( )
x
f x
x
=
hàm số này không xác định tại

0x
=
và với
0x
<
thì
( )
1f x = −
0x
>
thì
( ) ( ) ( )
0 0
1 lim 1, lim 1
x x
f x f x f x
− +
→ →
= ⇒ = − =
8. Phát biểu và chứng minh định lý Bôzanô - côsi I về sự liên tục của hàm số trên một đoạn.
Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( )
. 0f a f b <
thì tồn tại ít nhất điểm

( )
;c a b∈
sao cho
( )
0f c =
.
CM:
Không hạn chế tổng quát ta có thể coi
( ) ( )
0, 0f a f b> <
Chia đoạn
[ ]
;a b
thành hai đoạn bởi điểm chia
2
a b+
Nếu
0
2
a b
f
+
 
=
 ÷
 
thì
2
a b
c

+
=
chính là điểm cần tìm
Nếu
0
2
a b
f
+
 
>
 ÷
 
thì ta chọn
[ ]
1 1
, ,
2
a b
a b b
+
 
=
 
 
Nếu
0
2
a b
f

+
 
<
 ÷
 
thì ta chọn
[ ]
1 1
, ,
2
a b
a b a
+
 
=
 
 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
4
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
Như vậy có thể xảy ra khả năng hữu hạn n bước ta đi đến điểm
2
n n
a b
c
+
=
với
( )

0f c =
. Còn trường hợp
ngược lại thì ta được một dãy vô hạn các đoạn lồng nhau
[ ] [ ]
1 1
, ,
n n n n
a b a b
− −
⊂
sao cho
( ) ( )
0, 0
k k
f a f b> <
Hơn nữa
0
2
n n
n
b a
b a khi n
−
− = → → ∞
Theo tính chất của họ các đoạn lồng nhau ta tìm được điểm
[ ]
, ,
n n
c a b n∈ ∀ ∈¥
Vì

n
a c−
và
n
b c−
đều không vượt quá
2
n n
n
b a
b a
−
− =
Cho nên cùng tiến tới 0 khi
n
tiến ra vô cùng,
nghĩa là
lim lim
n n
n n
a b c
→∞ →∞
= =
Vì
( )
0
n
f a >
và
( )

0,
n
f b n< ∀
nên theo tính chất liên tục của hàm
f
ta có
( ) ( )
lim 0
n
n
f a f c
→∞
= ≥
và
( ) ( )
lim 0
n
n
f b f c
→∞
= ≤
Chứng tỏ
( )
0f c =
mà
( ) ( )
0, 0f a f b≠ ≠
Vậy
( )
,c a b∈ ⇒

đpcm.
9. Phát biểu và chứng minh định lý Bôzanô - côsi II về sự liên tục của hàm số trên một đoạn.
Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
và
( ) ( )
,f a A f b B= =
. Giả sử
A B<
Khi đó
( )
,A c B c a b< < ⇒ ∃ ∈
sao
cho
( )
f c C=
.
CM:
Đặt
( ) ( )
F x f x c= −
hàm số
( )
F x
liên tục trên đoạn
[ ]

,a b
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. 0F a F b f a C f b C A C B C= − − = − − <   
   
( ) ( )
, : 0c a b F c⇒ ∃ ∈ =
Tức là
( )
0f c C− =
hay
( )
f c C=
(đpcm).
10. Phát biểu và chứng minh định lý Vâyơstrat I về sự liên tục của hàm số trên một đoạn.
Nếu hàm số
( )
f x
liên tục trên một đoạn thì
( )
f x
bị chặn trên đoạn đó.
CM:
Giả sử hàm số
( )
f x
không bị chặn trên đoạn
[ ]
,a b
. Thế thì

[ ]
( ) ( )
, , : 1
n n
n x a b f x n∀ ∃ ∈ ≥
Ta có
{ }
n
x
bị chặn, theo định lý Bôxanô - Côsi thì tồn tại dãy con
{ }
k
n
x
hội tụ đến
[ ]
,c a b∈
Vì
( )
f x
liên tục cho nên
( )
( ) ( )
lim 2
k
k
n
n
f x f c
→∞

=
. Mặt khác từ (1) ta có
( )
( )
lim 3
k
k
n
n
f x
→∞
= +∞
Từ (2) và (3)
( )
f c⇒ = +∞
(Điều này vô lý). Vậy
( )
f x
bị chặn trên.
Tương tự ta chứng minh
( )
f x
bị chặn dưới trên
[ ]
,a b
11. Phát biểu và chứng minh định lý Vâyơstrat II về sự liên tục của hàm số trên một đoạn.
Nếu hàm số
( )
f x
liên tục trên

[ ]
,a b
thì nó đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Tức là
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
1 2 1 2
, , : , ,x x a b f x f x f x x a b∃ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈
.
CM:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
5
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
Áp dụng định lý Bôxanô - Côsi II suy ra
( )
f x
bị chặn trên
[ ]
,a b
. Tức là
( )
sup
a x b
f x M
≤ ≤
= ∈¡
và
( )

inf
a x b
f x m
≤ ≤
= ∈¡
. Nếu
[ ]
1 2
, ,x x a b∃ ∈
sao cho
( ) ( )
1 2
,f x m f x M= =
thì định lý chứng minh xong.
Giả sử
( )
f x M<
với
[ ]
,x a b∀ ∈
ta đặt
( )
( )
[ ]
1
, ,F x x a b
M f x
= ∀ ∈
−
( )

f x⇒
liên tục trên
[ ]
,a b
Theo định lý Bôxanô - Côsi II ta có
( )
F x
bị chặn trên
[ ]
,a b
. Tức là
* *
, 0M M∃ ∈ >¡
sao cho
( )
[ ]
( )
*
*
1
, ,F x M x a b f x M M
M
≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ − <
. Điều này vô lý
[ ]
2
,x a b⇒ ∃ ∈
sao cho
( )
[ ]

( )
2
,
ax
x a b
f x M f x
∈
=
Tương tự ta chứng minh không thể
( )
[ ]
, ,f x m x a b≥ ∀ ∈
[ ]
1
,x a b⇒ ∃ ∈
sao cho
( )
[ ]
( )
1
,
min
x a b
f x f x
∈
=
12. Định nghĩa hàm số liên tục đều. Cho ví dụ.
Hàm số
( )
y f x=

được gọi là liên tục đều trên
[ ]
,a b
(hay trong khoảng
( )
,a b
) nếu với số
0
ε
>
cho
trước,
0
δ
∃ >
sao cho với hai điểm
[ ]
, ,x x a b
′ ′′
∈
(hay (a,b)) mà
x x
δ
′ ′′
− <
thì
( ) ( )
f x f x
ε
′ ′′

− <
VD: Hàm số
sinxy =
liên tục đều trên
¡
. Thật vậy
0,
ε δ ε
∀ > ∃ =
thì
,x x
′ ′′
∀ ∈¡
mà
x x
δ
′ ′′
− <
thì
( ) ( )
2 os sin 2
2 2 2
x x x x x x
f x f x c x x
δ ε
′ ′′ ′ ′′ ′ ′′
+ − −
′ ′′ ′ ′′
− = × ≤ = − < =
13. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho ví dụ.

Cho hàm số
( )y f x=
xác định trong (a,b) và
( )
0
,x a b∈
. Cho
0
x
một số gia
( )
0
x x x x∆ ∆ = −
và
( )
0
,x x a b+ ∆ ∈
. Gọi
0 0
( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x∆ = − = + ∆ −
là số gia của hàm số tương ứng. Lập tỉ số
giữa số gia của hàm số trên số gia của đối số. Nếu tỉ số đó có giới hạn hữu hạn khi
x
∆
dần tới 0 thì ta
nói rằng hàm số
( )y f x=
có đạo hàm hữu hạn tại
0
x

và gọi giá trị hữu hạn đó là đạo hàm của hàm số
tại
0
x
. Kí hiệu
( )
0
f x
′
hay
( )
0
x x
f x
=
′
 
 
. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
0
0 0
0
lim lim
x x
f x x f x f x f x
f x
x x x

∆ → ∆ →
+ ∆ − −
′
= =
∆ −
VD: Tính đạo hàm của hàm số
2
2 1y x= +
tại
1x
=
.
Cho
1x =
một số gia
1x x∆ = +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
2 2
1 1
2 1 1 3 2 4 2 2 2 2
f x x f x f x f
x x x x x
∆ = + ∆ − = + ∆ −
= + ∆ + − = + ∆ + ∆ − = ∆ + ∆
( )
( )
2 2
2 2

x x
y
x
x x
∆ + ∆
∆
= = + ∆
∆ ∆
( )
( )
0 0
2 2
lim lim 4 1 4
x x
x x
y
y
x x
∆ → ∆ →
∆ + ∆
∆
′
= = ⇒ =
∆ ∆
Ta có thể tính như sau:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 1 1 1 1

1 2 1 1
2 1 3 2 2
1 lim lim lim lim lim2 1 4
1 1 1 1
x x x x x
f x f x x
x x
y x
x x x x
→ → → → →
− − +
+ − −
′
= = = = = + =
− − − −
14. Nêu mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
6
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
Nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì nó liên tục tại điểm ấy.
CM:
Giả sử
( )
f x
có đạo hàm hữu hạn
( )
0
f x
′

tại
0
x
có nghĩa tồn tại giới hạn hữu hạn
( ) ( )
( )
0 0
0
0
lim
x
f x x f x
f x
x
∆ →
+ ∆ −
′
=
∆
. Theo định lý ta có tồn tại lân cận điểm
0
x
sao cho
( ) ( )
0 0
f x x f x
C
x
+ ∆ −
≤

∆
trong lân cận đó, với C là hằng số. Từ đó
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x f x x f x C x∆ = + ∆ − ≤ ∆
Chuyển qua giới hạn khi
0x
∆ →
ta có
( )
0
0
lim 0
x
f x
∆ →
∆ =
Vậy hàm số liên tục tại
0
x
.
Chú ý:
Hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc tồn tại đạo hàm tại điểm ấy.
VD:
y x=
liên tục tại
0x
=
. Nhưng không tồn tại đạo hàm tại
0x

=
.
15. Định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm. Nêu công thức tính gần đúng nhờ vi phân.
ĐN: Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trong khoảng (a, b). Ta nói rằng hàm số
( )
f x
có vi phân (khả vi)
tại
( )
0
,x a b∈
nếu tồn tại số thực A sao cho với
x
∆
đủ nhỏ để
( )
0
,x x a b+ ∆ ∈
ta có đẳng thức
( ) ( )
0
.y f x A x x
θ
∆ = ∆ = ∆ + ∆
trong đó
( )
0

x
x
θ
∆
→
∆
khi
0x
∆ →
.
Biểu thức
.A x
∆
ta sẽ gọi là vi phân của hàm số và kí hiệu là
dy
hoặc
( )
0
df x
Công thức gần đúng:
Ta có
( ) ( ) ( )
0 0
y f x x f x f x x
′
∆ = + ∆ − = ∆
Khi
x
∆
khá nhỏ thì

( )
y f x x
′
∆ ≈ ∆
Ta gọi
( )
f x x
′
∆
là biểu thức tuyến tính đối với
x
∆
, gọi là vi phân chính của
y∆
nếu
( )
0f x
′
≠
Công thức tính gần đúng
( ) ( ) ( )
0 0 0
f x x f x x f x
′
+ ∆ ≈ ∆ +
VD: Biết
ln 2
tính gần đúng
ln 2,001
( )

0,001
ln 2 0,001 ln 2
2
+ = +
16. Phát biểu, chứng minh, nêu ý nghĩa hình học của định lý Roll.
Nếu
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]
,a b
, khả vi trong
( )
,a b
,
( ) ( )
f a f b=
khi đó tồn tại ít nhất
( ) ( )
, : 0c a b f c
′
∈ =
.
CM:
Vì
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b

[ ]
1 2
, ,x x a b⇒ ∃ ∈
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
1 2
,
,
ax , min
x a b
x a b
M m f x m f x
∈
∈
= = = =
.
− TH
1
: Nếu
M m=

( )
f x⇒
không đổi trên
[ ]
,a b
( ) ( )

0, ,f x x a b
′
⇒ = ∀ ∈
Chọn c là điểm bất kì
( ) ( )
, , 0c a b f c
′
∈ =
.
− TH
2
: Nếu
M m>
Do
( ) ( )
f a f b=
suy ra ít nhất 1 trong 2 điểm
( )
1 2
, ,x x a b∈
Theo định lý Fecma ta có thể chọn
( )
,c a b∈
,
1
c x=
hoặc
( )
2
: 0c x f c

′
= =
.
 Ý nghĩa hình học:
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
7
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
Trên cung trơn
»
AB
với hai điểm A, B có cùng độ cao luôn tồn tại ít nhất một điểm tại đó tiếp tuyến
song song Ox.
17. Phát biểu, chứng minh, nêu ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng.
Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
, khả vi trong
( )
,a b
thì tồn tại ít nhất
( )
,c a b∈
sao cho
( )
( ) ( )
f b f a

f c
b a
−
′
=
−
CM:
Với mọi điểm
[ ]
,x a b∈
ta đặt
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f b f a
F x f x f a x a
b a
−
= − − −
−
Hàm số
( )
F x
thỏa mãn các giả thiết của định lý Roll cho nên
( )
,c a b∃ ∈
sao cho
( )
0F c
′

=
. Tức là
( )
( ) ( )
0
f b f a
f c
b a
−
′
− =
−
hay
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
.
Ý nghĩa hình học:
Trên cung trơn
»
AB
luôn tồn tại ít nhất một điểm tại đó tiếp tuyến song song với AB.
18. Phát biểu, chứng minh định lý Côsi.
Nếu

( ) ( )
,f x g x
là các hàm số liên tục trên
[ ]
,a b
khả vi trên
( )
,a b
thì tồn tại ít nhất
( )
,c a b∈
:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
f c f b f a
g c g b g a
′
−
=
′
−
.
CM:
[ ]
,x a b∀ ∈
ta đặt
( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
f b f a
G x f x f a g x g a
g b g a
−
= − − − 
 
−
Hàm số
( )
G x
thỏa mãn các giả thiết của định lý Roll nên
( )
, :c a b∃ ∈

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
f b f a f b f a f c
G c f c g c
g b g a g b g a g c
′
− −

′ ′ ′
= ⇔ − × = ⇔ =
′
− −
19. Định nghĩa nguyên hàm và tích phân không xác định. Cho ví dụ.
 ĐN nguyên hàm:
Hàm
( )
F x
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trong
( )
,a b
nếu
( )
F x
khả vi trong
( )
,a b
và
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
 VD:
cos x
là nguyên hàm của
sinx

−
trên
( )
,−∞ + ∞
.
2
2
x
là nguyên hàm của x trên
( )
,−∞ + ∞
.
 ĐN tích phân không xác định:
Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của hàm
( )
f x
trên
( )
,a b
Ta có họ các nguyên hàm
( )
,F x C C+ ∈¡
là
tích phân không xác định của hàm
( )
f x
trên

( )
,a b
.
Kí hiệu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,f x dx F x C F x f x x a b
′
= + = ∀ ∈
∫
:
∫
Dấu tích phân.
x: Biến lấy tích phân.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
8
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
( )
f x
: Hàm dưới dấu tích phân.
( )
f x dx
: Biểu thức dưới dấu tích phân.
20. Định nghĩa tích phân xác định.
Cho
( )
y f x=
xác định trên
[ ]
,a b

. Chia đoạn
[ ]
,a b
thành n phần bởi các điểm chia
0 1 1i i n
a x x x x x b
+
≡ < < < < < ≡K
Gọi độ dài của mỗi đoạn
[ ]
1
,
i i
x x
+
là
, 0, 1
i
x i n∆ ∀ = −
Trên mỗi đoạn
[ ]
1
,
i i
x x
+
lấy một điểm tùy ý
i
ξ
Lập tổng

( )
1
0
n
i i
i
f x
ξ
−
=
∆
∑
Gọi
0, 1
ax
i
i n
m x
λ
= −
= ∆
Nếu
( )
0 n
λ
→ → ∞

( )
1
0

n
i i
i
f x
ξ
−
=
∆ →
∑
I hữu hạn (I không phụ thuộc vào cách chia
[ ]
,a b
và cách chọn
i
ξ
. Thì I gọi là tích phân xác định của hàm số
( )
f x
lấy trên
[ ]
,a b
.
Kí hiệu:
( )
( )
( )
1
0
0
lim

n
b
n
i i
i
a
f x dx f x
λ
ξ
→∞
−
→
=
= ∆
∑
∫
Nếu
( )
b
a
f x dx∃
∫
thì ta nói
( )
f x
khả tích trên
[ ]
,a b
.
21. Phát biểu và chứng minh công thức Niutơn - Lepnit về tích phân xác định.

Nếu
( )
F x
liên tục trong khoảng
[ ]
,a b
và nếu
( )
F x
là một nguyên hàm của
( )
f x
trong khoảng đó
thì
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
∫
.
CM:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
0
x
a
d
F x f t dt f x f x
dx
 

− = − =
 ÷
 
∫
nên
( ) ( )
x
a
F x f t dt c− =
∫
Thay
x a=
ta có
( )
c F a=
nên
( ) ( ) ( )
x
a
F x f t dt F a= +
∫
⇒
đpcm.
22. Định nghĩa tích phân suy rộng với cận là vô tận. Cho ví dụ.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên
[
)

,a + ∞
và
( )
f x
khả tích trên mọi đoạn
[ ] [
)
, ,a A a⊂ +∞
.
Tức là
( )
A
a
f x dx∃
∫
. Ta gọi
( )
lim
A
A
a
f x dx
→+∞
∫
là tích phân suy rộng với cận là vô tận của hàm
( )
f x
Kí hiệu:
( ) ( )
lim

A
A
a a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=
∫ ∫
Nếu
( )
lim
A
A
a
f x dx I
→+∞
=
∫
hữu hạn ta nói
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ. Ngược lại ta nói
( )
a
f x dx
+∞
∫

phân kì.
Tương tự
( ) ( )
lim
b b
A
A
f x dx f x dx
→+∞
−∞
=
∫ ∫
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
9
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
( ) ( ) ( )
a
a
f x dx f x dx f x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
= +
∫ ∫ ∫
VD:
2 2
0 0
lim lim arctan
1 1 2
A

A A
dx dx
A
x x
π
+∞
→+∞ →+∞
= = =
+ +
∫ ∫
hữu hạn
2
0
1
dx
x
+∞
⇒
+
∫
hội tụ.
23. Định nghĩa tích phân suy rộng của hàm không bị chặn. Cho ví dụ.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ]
,a b
và không bị chặn trên
[ ]

,a b
. Chẳng hạn giả sử
( )
f x
không bị
chặn trong lân cận của
a
. Nhưng
( )
f x
khả tích trên
[ ]
,a b
ε
+
tức là tồn tại
( )
b
a
f x dx
ε
+
∫
. Khi đó ta gọi
( )
0
lim
b
a
f x dx

ε
ε
→
+
∫
là tích phân suy rộng với
( )
f x
không bị chặn trên
[ ]
,a b
.
Kí hiệu:
( ) ( )
0
lim
b b
a a
f x dx f x dx
ε
ε
→
+
=
∫ ∫
Nếu
( )
0
lim
b

a
f x dx I
ε
ε
→
+
=
∫
hữu hạn thì ta nói
( )
b
a
f x dx
∫
hội tụ. Ngược lại
( )
b
a
f x dx
∫
phân kì.
Tương tự nếu
( )
f x
không bị chặn trong lân cận của
b
thì
( ) ( )
0
lim

b b
a a
f x dx f x dx
ε
ε
−
→
=
∫ ∫
Nếu
( )
f x
không bị chặn trong lân cận của
( )
,c a b∈
thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2
2
0 0
lim lim
c
b c b b
a a c a c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
ε
ε ε
ε
−

→ →
−
= + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
VD:
( )
( )
0 0
2 2
0 0 0
1 1
0
lim limarcsin lim arcsin 1
1
2
1 1
dx dx
x
x x
ε ε ε
π
ε
ε
→ → →
− −
= = = − − + =
− +
− −
∫ ∫
hội tụ

24. Định nghĩa giới hạn của hàm số hai biến số. Cho ví dụ.
Cho
( )
,z f x y=
xác định trên X
2
⊂ ¡
( )
0 0 0
,M x y
là điểm tụ của X.
{
( )
0
0
lim ,
x x
y y
f x y A
→
→
=
nếu
( )
0
0
0, 0 : ,
x x
f x y A
y y

δ
ε δ ε
δ
 − <

∀ > ∃ > ⇒ − <

− <


.
VD: Cmr:
2
2 2
0
0
lim 0
x
y
xy
x y
→
→
=
+
Vì
2 2
0
0
2 2

0 0
2 2
y
x
xy xy y
x y xy
→
→
≤ ≤ = →
+
.
VD: Cmr:
∃
2 2
0
0
2
lim
x
y
xy
x y
→
→
+
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
10
Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái
Nguyên
( )

( )
( ) ( )
2
2
1 1
, 0,0
1 2
, 0,0
2
4
1
2
5
n
n
n
n
n n
M
n n
M
n n
n
f M f M
n
→∞
→∞
 
′
= →

 ÷
 
 
′′
= →
 ÷
 
′ ′′
= ≠ =
⇒ ∃
2 2
0
0
2
lim
x
y
xy
x y
→
→
+
25. Định nghĩa tính liên tục của hàm số hai biến số. Cho ví dụ.
Cho
( )
,z f x y=
xác định trên X
2
⊂ ¡
M

0
( )
0 0
,x y ∈
X,
( )
,f x y
liên tục tại M
0
nếu
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0 0 0
lim , , 0, 0, : , , ,
x x
y y
f x y f x y M X M M f x y f x y
ε δ ρ δ ε
→
→
= ⇔ ∀ > ∃ > ∈ < ⇒ − <

VD:
( )
2 2
2
,
0
xy

x y
f x y


+
=




2 2
2 2
0
0
x y
x y
+ ≠
+ =

( )
,f x y
không liên tục tại (0, 0)
II. Bài tập
1. Tính giới hạn của dãy số.
2. Tính giới hạn của hàm số.
3. Xét tính liên tục và khả vi của hàm số một biến số.
4. Tính đạo hàm. Các bài toán liên quan đến đạo hàm, vi phân.
5. Tính nguyên hàm, tích phân không xác định.
6. Tính tích phân xác định. Ứng dụng của tích phân.
7. Tính tích phân xác định, tích phân suy rộng bằng định nghĩa.

8. Tính giới hạn của hàm số nhiều biến số.
9. Xét tính liên tục của hàm số nhiều biến số.
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 1
11
nếu
nếu