KT 1 tiết - đạo hàm - lớp 11 (10-11)

KIỂM TRA 1 TIẾT LỚP 11C2
Thời gian làm bài: 60 phút

Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số
3
( )
4

  

-
= =
+
a) Tính
( 3) ( 3)
¢
- + -
b) Chứng minh rằng,
2
2( ) ( 1).  
¢ ¢¢
= -
Câu 2 (3,0 điểm): Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau
đây tại
0
0 =
a)
2
1 = +
b)
2sin3 .cos  =

Câu 3 (5,0 điểm): Cho hàm số
3 2
( ) 2 3 1    = = - + -
có đồ thị
( )
a) Giải bất phương trình:
( ) 12 0 
¢
+ ³
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
36 80 = - +
c) Tìm điều kiện của tham số để phương trình
( )  
¢
=
có
nghiệm. Từ đó, chứng minh rằng đồ thị
( )

có vô số cặp tiếp
tuyến vuông góc với nhau.
d) Chứng minh rằng, phương trình
(sin2 tan ) 0  + =
có nghiệm
thuộc khoảng
(
)

2
0;

BÀI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1

Hàm số
3
( )
4

  

-
= =
+
có tập xác định
\ { 4} = -¡
2 2
( 3) ( 4) ( 3)( 4) 7
( )
( 4) ( 4)
   
  
 
¢ ¢
- + - - +
¢ ¢
= = =
+ +

2
4 4 3
7. ( 4)
14( 2) 14
( )
( 4) ( 2) ( 4)


  
  
¢
é ù
- +
ê ú
- + -
ë û
¢¢ ¢¢
= = = =
+ + +
a) Ta cú,
2
3 3 7
( 3) ( 3) 6 7 1
3 4
( 3 4)

- -
Â
- + - = + = - + =
- +

- +
b) Ta cú,
2
2
2 4
7 98
2( ) 2
( 4) ( 4)


ộ ự
ờ ỳ
Â
= =
ờ ỳ
+ +
ờ ỳ
ở ỷ
v
3 3 4
3 14 7 14 98
( 1) 1
4 4
( 4) ( 4) ( 4)




ộ ự ộ ự
ổ ử ổ ử

- - - -
ữ ữ
ỗ ỗ
ờ ỳ ờ ỳ
ÂÂ
ữ ữ
- = - = =
ỗ ỗ
ữ ữ
ờ ỳ ờ ỳ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
+ +
ố ứ ố ứ
+ + +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
Vy
,
2
2( ) ( 1).
 ÂÂ
= -
Cõu 2a Hm s
2
1 = +
cú tp xỏc nh
= Ă
( )

2
2
2 2 2
( 1)
2
1
2 1 2 1 1




Â
Â
+
Â
= + = = =
+ + +
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
1
( ) 1 1 1
1
1 1
( 1) 1

+ - ì
Â
Â
+ - +
+
ÂÂ
= = =
+ +
+ +
Vy,
2 2
1
(0) 1
(0 1) 0 1

ÂÂ
= =
+ +
Cõu 2b Hm s
2sin3 .cos =
cú tp xỏc nh
= Ă
Ta cú,
2sin3 .cos sin4 sin2 = = +
nờn

(sin4 sin2 ) 4cos4 2cos2
 Â
= + = +
(4cos4 2cos2 ) 16sin4 4sin2
ÂÂ Â
= + =- -
Vy,
(0) 16sin4.0 4sin2.0 0
ÂÂ
= - - =
Cõu 3 Hm s
3 2
( ) 2 3 1 = = - + -
cú tp xỏc nh
= Ă

2
( ) 6 6
Â
= - +
a) Ta cú,
2
( ) 12 0 6 6 12 0 [ 1;2]
Â
+ - + + ẻ -
Vy, bt phng trỡnh
( ) 12 0
Â
+
cú tp nghim

[ 1;2] = -
b) Gi l tip tuyn ca
( )
song song vi ng thng
: 36 80 D = - +
v
0 0 0
( ; )
l tip im ca v
( )
. Khi ú,
cú h s gúc
2 2
0 0 0 0 0
( ) 36 6 6 36 6 6 36 0
Â
= =- - + =- - - =
0
0
3
2


ộ
=
ờ

ờ
= -
ờ

ở
0 0
3 28 = ị = -
. Phng trỡnh tip tuyn ca
( )
ti
(3; 28) -
l:
28 36( 3) 36 80 + = - - = - +
(trựng vi
D
)
0 0
2 27 = - ị =
. Phng trỡnh tip tuyn ca
( )
ti
( 2;27) -
l:
27 36( 2) 36 45 - = - + = - -
(song song vi
D
)
Vy, tip tuyn cn tỡm l:
36 45 = - -
c)
2 2
( ) 6 6 6 6 0
Â
= - + = - + =

Phng trỡnh
( )
Â
=
cú nghim khi v ch khi
3
9 6 0
2

Â
D = - Ê
th
( )
cú cp tip tuyn vuụng gúc vi nhau khi v ch khi
coự nghieọm
coự nghieọm
3
3 3 2
( )
2
2 2 3
2
1
1 3 3 2 3
( )
0 0
3
2 2 2
0

ỡ
ù
ù
ỡ ỡ ộ
Ê
ù ù
ù
ỡ
ù ù
 ù
ù
= ờ
Ê Ê Ê -
ù ù
ù
ù
ờ
ù ù
ù
ù
ù ù ù ù

ộ

ớ ớ ớ ớ
ờ
ờ
Ê -
ù ù ù ù
+
Â
ờ
= -
ù ù ù ù
ờ
- Ê < Ê
ù ù ù ù
ờ
ù
ợ
ờ
ù ù ù
ù ù
ợ ợ ở
ù
>
ờ
ù
ở
ù
ợ
Vi mi giỏ tr

2
3
Ê -
hoc
3
0
2
< Ê
, ta tỡm c ớt nht mt cp
tip tuyn ca
( )
vuụng gúc vi nhau. Nhng
2
3
Ê -
v
3
0
2
< Ê
cho ta vụ s giỏ tr ca ,do ú
( )
cú vụ s cp tip
tuyn vuụng gúc vi nhau.
d) Nhn xột:
0
1 =
l 1 nghim ca phng trỡnh
3 2
( ) 2 3 1 0 = - + - =

Do đó, nếu có
0 0
sin2 tan 1 + =
thì
0 0
(sin2 2tan ) (1) 0   + = =
.
Xong rồi! Vậy là
0

nghiệm đúng phương trình
(sin2 tan ) 0  + =
rồi!
Vấn đề là: có
0 0
sin2 tan 1 + =
hay không? Và số
0

sẽ thuộc vào
khoảng nào, thoả mãn điều kiện của đề bài như thế nào?
Hãy xem bài giải của câu 4d ngay sau đây:
Bài giải câu 4d
Xét phương trình:
sin2 tan 1 + =
hay
sin2 tan 1 0 + - =
Hàm số
( ) sin2 tan 1   = + -
là hàm số lượng giác xác định trên

đoạn
4
0;

é ù
ê ú
ë û
nên liên tục trên đó, hơn nữa
( )
4
(0). 1.1 0 

= - <
Vậy, phương trình
( ) 0  =
hay
sin2 tan 1 0 + - =
có nghiệm
( )
0
4
0;

Î
0

là một nghiệm của phương trình
sin2 tan 1 0 + - =
nên
0 0

sin2 tan 1 0 + - =
hay
0 0
sin2 tan 1 + =
Bây giờ ta có,
0 0
(sin2 2tan ) (1) 0   + = =
.
Xong rồi!
0

là một nghiệm của phương trình
(sin2 tan ) 0  + =
.
Tất nhiên
(
)
0
2
0;

Î
vì
(
)
(
)
0
4 2
0; 0;

 
Î Ì
Vậy, phương trình
(sin2 tan ) 0  + =

có nghiệm thuộc khoảng
( )
2
0;
