BÀI TẬP PHẦN RÚT GỌN
Bài 1 :
1) §¬n gi¶n biĨu thøc : P =
14 6 5 14 6 5+ + −
.
2) Cho biĨu thøc : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x
+ − +
−
÷
÷
−
+ +
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) T×m x ®Ĩ
Q
> - Q.
c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn.
H íng dÉn :
1. P = 6
2. a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : Q =
1
2
−x
.
b)
Q
> - Q
⇔
x > 1.
c) x =
{ }
3;2
th× Q
∈
Z
Bài 2 : Cho biĨu thøc P =
1 x
x 1 x x
+
+ −
a) Rót gän biĨu thøc sau P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P khi x =
1
2
.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x > 0 ; x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : P =
x
x
−
+
1
1
.
b) Víi x =
1
2
th× P = - 3 – 2
2
.
Bài 3 : Cho biĨu thøc : A =
1
1
1
1
+
−
−
−
+
x
x
x
xx
a) Rót gän biĨu thøc sau A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A khi x =
4
1
c) T×m x ®Ĩ A < 0.
d) T×m x ®Ĩ
A
= A.
H íng dÉn :
a) §KX§ : x
≥
0, x
≠
1. BiĨu thøc rót gän : A =
1−x
x
.
b) Víi x =
4
1
th× A = - 1.
c) Víi 0
≤
x < 1 th× A < 0.
d) Víi x > 1 th×
A
= A.
1
Baứi 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a
+
ữ ữ
+
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a
9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
Baứi 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x
+ +
+
ữ
+
.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x
Z ? để A
Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x
1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003+
với x 0 ; x
1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A
Z .
Baứi 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+
+
ữ
ữ
+
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1
+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A
Z.
Baứi 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x
+
+ +
ữ
ữ
+ +
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++ xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0
1
2
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
2
+) A < 2
1
2
++ xx
< 2
2(
1++ xx
) > 2
xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
Baứi 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+
+
(a
0; a
4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
0, a
4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4
a
b) Ta thấy a = 9
ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Baứi 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a
0, a
1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004
ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Baứi 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+
+
+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x =
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x
0, x
1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=
b) Ta thấy
347x =
ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=
c) P
min
=4 khi x=4.
Baứi 11 : Cho biểu thức
+
+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P <
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x
0, x
9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+
=
b. Với
9x0 <
thì
2
1
P <
3
c. P
min
= -1 khi x = 0
Bµi 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a
+ −
− + +
÷
÷
÷
− +
víi x>0 ,x
≠
1
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
( KQ : A= 4a )
Bµi 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x
− − − −
− + −
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
9, x
≠
4 .
a. Rót gän A.
b. x= ? Th× A < 1.
c. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bµi 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A.
c. T×m x ®Ó A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−
+
)
Bµi 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bµi 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rót gän A.
b. CMR :
0 1A
≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bµi 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
− − + −
− − +
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − + −
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z∈
®Ó
A Z∈
4
( KQ : A =
5
3x +
)
Bµi 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −
víi a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rót gän A.
b. T×m a ®Ó A < 1
c. T×m
a Z∈
®Ó
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bµi 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x
− + + −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− − +
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. So s¸nh A víi
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bµi20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y
− +
−
−
÷
+
÷
−
− +
víi x
≥
0 , y
≥
0,
x y≠
a. Rót gän A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bµi 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x
− + + −
− + − +
÷
÷
÷
− + − +
Víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bµi 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x
− +
÷
+ −
÷
÷
÷
− −
−
víi x > 0 , x
≠
4.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bµi 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
+ − +
÷ ÷
− + − +
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
Bµi 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
+ +
− −
÷
÷
÷
− + +
−
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
5
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bµi 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
−
− −
÷
÷
÷
−
+ − + − −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ó
A Z∈
c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bµi 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x
+ −
+ − −
÷ ÷
÷ ÷
−
+ − −
víi x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bµi 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
+ − − −
− − −
÷ ÷
÷ ÷
− −
− + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A
b. TÝnh A víi x =
6 2 5−
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bµi 28 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+
+
÷
− − − +
víi x > 0 , x
≠
1.
a. Rót gän A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So s¸nh A víi 1
Bµi 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
− −
− + −
÷ ÷
÷ ÷
−
− + +
Víi
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rót gän A.
b. T×m x ®Ó A =
6
5
c. T×m x ®Ó A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+
−
)
Bµi30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x
− + − +
−
÷
÷
−
+ +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0
c. TÝnh A khi x =3+2
2
6
d. T×m GTLN cđa A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bµi 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
+ −
+ +
÷
÷
− + + −
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. CMR nÕu x
≥
0 , x
≠
1 th× A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bµi 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−
− +
÷
− −
+
víi x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rót gän
b. T×m x ®Ĩ A =
1
2
Bµi 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
+ − − +
− +
÷
÷
÷
− −
− +
víi x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rót gän A.
b. TÝnh A khi x= 0,36
c. T×m
x Z
∈
®Ĩ
A Z∈
Bµi 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
+ + +
− + +
÷ ÷
÷ ÷
+ − − − +
víi x
≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a. Rót gän A.
b. T×m
x Z
∈
®Ĩ
A Z∈
c. T×m x ®Ĩ A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x
−
+
)
BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài 1 :
1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).
2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng trªn víi trơc tung vµ trơc hoµnh.
H íng dÉn :
1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b.
Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt :
+−=−
+=
ba
ba
4
2
−=
=
⇔
1
3
b
a
VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1
2) §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng
3
1
.
Bài 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.
1) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ hµm sè lu«n nghÞch biÕn.
2) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 3.
7
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3
m 2 < 0
m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
4
3
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :
=
+=
12
2
xy
xy
(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)
m =
2
1
Baứi 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2
m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0
;y
0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3
(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0
=
=
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :
+=
+=
ba
ba
21
1
=
=
3
2
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :
=+
=
222
23
2
2
mm
mm
m = 2.
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi
qua điểm C(0 ; 2)
8
Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0
;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3
(2x
0
+ 1)m - x
0
- y
0
- 3 = 0
=
=
2
5
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (
2
5
;
2
1
).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y =
6 x
4
; y =
4x 5
3
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3)
và B(-3; -1).
Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a
.
+ Nếu a = 0 và b 0
phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0
phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :
=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2
ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
9
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)
2
2 x
x
1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
2x = - 3
x =
2
3
Với
x =
2
3
thay vào (* ) ta có (
2
3
)
3
+
2
3
+ 1 0
Vậy x =
2
3
là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nếu m
2 thì (1)
x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m
Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m
Z thì 2m 3
0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4
2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23
y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x
Vì y
Z
x 1
4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4.
BAỉI TAP PHAN HE PHệễNG TRèNH
Baứi 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=
+ =
b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =
=
c)
2x y 3
5 y 4x
=
+ =
d)
x y 1
x y 5
=
+ =
e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =
+ =
f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y
+ =
+
+ =
+
Baứi 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
=
+ =
10
1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh theo tham sè m.
2) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ x + y = -1.
3) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo m.
H íng dÉn :
Bài 3 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
− = −
+ = +
1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh khi thay m = -1.
2) Gäi nghiƯm cđa hƯ ph¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ĩ x
2
+ y
2
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bài 4 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
− + =
+ − =
cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).
1) T×m ®¼ng thøc liªn hƯ gi÷a x vµ y kh«ng phơ thc vµo a.
2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a tho¶ m·n 6x
2
– 17y = 5.
3) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa a ®Ĩ biĨu thøc
2x 5y
x y
−
+
nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bài 5 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =
+ =
1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cđa a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
Bài 6 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè m vµ n, biÕt r»ng hƯ ph¬ng tr×nh
mx y n
nx my 1
− =
+ =
cã nghiƯm lµ
( )
1; 3−
.
Bài 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh
( )
a 1 x y 4
ax y 2a
+ + =
+ =
(a lµ tham sè).
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y
≥
2.
Bài 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :
+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
11
Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay bể . Nếu
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :
=+
=+
400 20y 100x
10 y x
⇔
=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :
=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x
x
⇔
=
=
1000 y
400x
Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương
trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
*
∆
< 0 (
∆
/
< 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
12
*
= 0 (
/
= 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x
1,2
= -
a
b
2
(hoc x
1,2
= -
a
b
/
)
*
> 0 (
/
> 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
2
; x
2
=
a
b
2
+
(hoc x
1
=
a
b
//
; x
2
=
a
b
//
+
)
2. nh lý Viột.
Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x
2
= p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của
phơng trình bậc 2:
x
2
S x + p = 0
3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình .Ta
có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)
p = x
1
x
2
< 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )
>
>
0
0
0
S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)
<
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)
>
=
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)
<
=
>
0
0
0
S
p
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
13
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0
thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2
- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho trớc.
(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x +
=+
=
p
pS 2
2
*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+
=
+
=
+
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0
)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trớc .Tìm nghiệm
thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0
(hoặc
0
/
) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0
(hoặc
0
/
) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ
2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ 2
14
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/
= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
/
> 0
m
2
9 > 0
m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= m + 1 -
9
2
m
x
2
= m + 1 +
9
2
m
+ Nếu
/
= 0
m =
3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/
< 0
-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
= m + 1 -
9
2
m
x
2
= m + 1 +
9
2
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0
m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0
x = -
2
1
* Nếu m 3
0
m
3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
/
= m
2
(m
3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/
= 0
9m 18 = 0
m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/
=
a
b
= - 2
- Nếu
/
> 0
m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1,2
=
3
23
m
mm
- Nếu
/
< 0
m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m
3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3
23
m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53
)x -
15
= 0
15
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 , x
2
=
2
2009
=
a
c
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 ,
x
2
= -
17
204
=
a
c
= - 12
c) x
2
+ (
53
)x -
15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53
) = -
3
+
5
x
1
x
2
= -
15
= (-
3
)
5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
3
, x
2
=
5
(hoặc x
1
=
5
, x
2
= -
3
)
d ) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có
==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0
Hớng dẫn :
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1+m
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0
m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0
x = - 1
* m 3
0
m
3 (*)
=
=
3
22
1
2
1
m
m
x
x
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2
2
B =
21
xx
C=
1
1
1
1
21
+
xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
16
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1
x
và
1
1
2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
21
xx
=
374
2
= pS
+ C =
1
1
1
1
21
+
xx
=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+
=
+
Sp
S
xx
xx
+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2
= 10x
1
x
2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2
)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1
1
1
1
1
21
=
+
xx
(theo câu a)
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+
=
Spxx
Vậy
1
1
1
x
và
1
1
2
x
là nghiệm của hơng trình :
X
2
SX + p = 0
X
2
+
9
1
X -
9
1
= 0
9X
2
+ X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :
x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:
= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k
2
-
5
6
k +
5
9
)
= 5(k
2
2.
5
3
k +
25
9
+
25
36
) = 5(k -
5
3
) +
5
36
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
p < 0
- k
2
+ k 2 < 0
- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1
+
4
7
) < 0
-(k -
2
1
)
2
-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với
mọi k
3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
17
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2
= - k
2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0
(k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
] > 0
k 1 > 0 ( vì (2k -
4
5
)
2
+
16
87
> 0 với mọi k)
k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2
là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1
= 1 , x
2
= - 9
2. Có
/
= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5
= m
2
+ 2.m.
2
1
+
4
1
+
4
19
= (m +
2
1
)
2
+
4
19
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2
+
4
19
]
=>
21
xx
= 2
4
19
)
2
1
(
2
++m
4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0
m = -
2
1
Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0
x = 1
18
+ Nếu : m + 2
0 => m
- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :
= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2
4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+
m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2
512
+
=
+
=
+
m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m
- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3
lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2
3 =
2
3
+
m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2
1= 3.
2
3
+
m
m
m + 2 = 3m 9
m =
2
11
(thoả mãn điều kiện m
- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2
=
15
5
=
3
1
(thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0
x =
4
3
+ Nếu m
0 .Lập biệt số
/
= (m 2)
2
m(m-3)
= m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/
< 0
- m + 4 < 0
m > 4 : (1) vô nghiệm
/
= 0
- m + 4 = 0
m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/
=
=
=
m
m
a
b
/
> 0
- m + 4 > 0
m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1
0
m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3
19
2. (1) có nghiệm trái dấu
a
c
< 0
m
m 3
< 0
>
<
<
>
0
03
0
03
m
m
m
m
>
<
<
>
0
3
0
3
m
m
m
m
Trờng hợp
<
>
0
3
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp
>
<
0
3
m
m
0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/
0
0
m
4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0
4m = -9
m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/
0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -
4
9
.Sau đó
thay m = -
4
9
vào phơng trình (1) :
-
4
9
x
2
2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0
-9x
2
+34x 21 = 0
có
/
= 289 189 = 100 > 0 =>
=
=
9
7
3
2
1
x
x
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x
2
=
9
7
(Nh phần
trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:
x
1
+ x
2
=
9
34
4
9
)2
4
9
(2
)2(2
=
=
m
m
x
2
=
9
34
- x
1
=
9
34
- 3 =
9
7
20
Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3
=
=
m
m
=> x
2
=
9
21
: x
1
=
9
21
: 3 =
9
7
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2
2
= 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép
/
= 0
k
2
(2 5k) = 0
k
2
+ 5k 2 = 0 ( có
= 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335
; k
2
=
2
335 +
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335
hoặc k
2
=
2
335 +
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/
0
k
2
+ 5k 2
0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10
2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
2
7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1
, k
2
vào
/
= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/
= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -
2
7
=>
/
=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49
=
=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/
0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10 ta tìm đợc k
1
= 1 ; k
2
= -
2
7
(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k
1
, k
2
vào phơng trình (1)
+ Với k
1
= 1 : (1) => x
2
+ 2x 3 = 0 có x
1
= 1 , x
2
= 3
+ Với k
2
= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có
= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
BAỉI TAP PHAN PHệễNG TRèNH BAC HAI
Baứi 1 : Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Không giải
phơng trình, hãy tính:
21
1) x
1
2
+ x
2
2
2)
1 1 2 2
x x x x+
3)
( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 x 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x x x x x
x x 1 x x 1
+ + +
+
.
Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x
2
5x + 1 = 0.
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 4 : Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.
Baứi 5 : Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x
1
3
+ x
2
3
.
Baứi 7 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3
0.
Baứi 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,
= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1
+
m
mm
=
12
1
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1
m
<0
<
>+
012
01
12
1
m
m
=>
<
>
012
0
12
2
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
22
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 300 km . ¤ t« thø nhÊt mçi giê
ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê . TÝnh vËn tèc mçi xe « t«
.
Hướng dẫn : Gọi vận tốc của ôtô thứ nhất là x (km/h. ĐK x > 0). Ta có :
Vận tốc của ô tô thứ hai là : x – 10 (km/h).
Do ôtô thứ nhất đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1 giờ ta có phương trình :
1
x
300
-
10-x
300
=
Giải ra ta được: x = - 50 (loại) ; x = 60.
Đáp số : Vận tốc ôtô thứ nhất : 60 km/h
Vận tốc ôtô thứ hai: 50 km/h
Bài 2 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 50 km/h. Sau khi ®i ®ỵc 2/3 qu·ng ®êng víi
vËn tèc ®ã, v× ®êng khã ®i nªn ngêi l¸i xe ph¶i gi¶m vËn tèc mçi giê 10 km trªn qu·ng ®êng cßn
l¹i. Do ®ã « t« ®Õn B chËm 30 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB.
Hướng dẫn : Gọi x là quảng đường AB (Km. ĐK x > 0).
Theo giả thiết của bài toán ta có phương trình :
2
1
5040 3.
x
50 . 3
2
+=+
xx
.
Giải ra ta được: x = 300 (tmđk).
Vậy quảng đường AB là : 300km.
Bài 3 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bĨ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nếu ch¶y cïng mét thêi gian
nh nhau th× lỵng níc cđa vßi II b»ng 2/3 lỵng níc cđa vßi I ch¶y ®ỵc. Hái mçi vßi ch¶y riªng th×
sau bao l©u ®Çy bĨ.
H íng dÉn : Gäi x, y lÇn lỵt lµ thêi gian vßi I, vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ .
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh :
=
=+
2y
3
x
1
24
5
y
1
x
1
Gi¶i ra ta ®ỵc :
=
=
8 x
12y
(tm®k)
§¸p sè : Vßi 1 ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ 8 giê .
Vßi 2 giê ch¶y mét m×nh ®Çy bĨ mÊt 12 giê.
Bài 4 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Ịn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 35
km/h th× ®Õn chËm mÊt 2 giê. NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn sím h¬n 1 giê . TÝnh qu·ng
®êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu .
H íng dÉn : Gäi quảng đường AB là x (km), thời gian dự đònh là y(giờ) ĐK : x > 0, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ pt :
=
=+
x 1) -50(y
x 2)y (35
23
suy ra : 35y + 70 = 50y -50
⇔
y = 8 (TMĐK)
Thay vào hệ ta được x = 350 (TMĐK).
Đáp số : Quảng đường AB : 350 (km).
Thời gian dự đònh đi : 8 (giờ).
Bài 5 : Qu·ng ®êng AB dµi 180 km. Cïng mét lóc hai «t« khëi hµnh tõ A ®Ĩ ®Õn B. Do vËn tèc
cđa «t« thø nhÊt h¬n vËn tèc cđa «t« thø hai lµ 15 km/h nªn «t« thø nhÊt ®Õn sím h¬n «t« thø hai
2h. TÝnh vËn tèc cđa mçi «t«?
Hướng dẫn : Gäi x (km) lµ vËn tèc cđa «t« thø 2. §K x > 0.
Theo gt bµi to¸n ta cã pt :
2
15x
180
x
180
=
+
−
Gi¶i ra ta ®ỵc : x = 30 ; x = -45(lo¹i).
§¸p sè : VËn tèc «t« thø hai : 30 (km/h)
VËn tèc «t« thø nh©t : 45 (km/h).
Bài 6 : Trong mét bi lao ®éng trång c©y, mét tỉ gåm 13 häc sinh (c¶ nam vµ n÷) ®· trång ®ỵc
tÊt c¶ 80 c©y. BiÕt r»ng sè c©y c¸c b¹n nam trång ®ỵc vµ sè c©y c¸c b¹n n÷ trång ®ỵc lµ b»ng
nhau ; mçi b¹n nam trång ®ỵc nhiỊu h¬n mçi b¹n n÷ 3 c©y. TÝnh sè häc sinh nam vµ sè häc sinh n÷
cđa tỉ.
Gi¶i : Gäi sè häc sinh nam lµ x (em) . §K : x nguyªn d¬ng, x
≤
13.
Theo gt bµi ra ta cã pt :
3
x- 13
40
x
40
=−
⇔
3x
2
– 119x + 520 = 0 (
∆
= 89)
Gi¶i ra ta ®ỵc : x =
6
89119 +
(lo¹i) ; x = 5 (TM§K)
§¸p sè : Sè HS nam : 5 (em)
Sè HS n÷ : 8 em.
Bài 7 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai thµnh phè A vµ B lµ 180 km. Mét « t« ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë
B råi trë l¹i tõ B vỊ A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ lµ 10 giê. BiÕt vËn tèc lóc vỊ kÐm vËn tèc
lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cđa « t«.
Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®i lµ x (km/h). §K : x > 5.
Theo gt bµi ra ta cã pt :
10
5-x
180
2
3
x
180
=++
⇔
17x
2
– 805x + 1800 = 0 (
∆
= 725)
Gi¶i ra ta ®ỵc : x =
34
725805 −
(lo¹i) ; x = 45 (TM§K).
§¸p sè : VËn tèc lóc ®i : 45 (km/h)
Bài 8 : Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km, cïng lóc ®ã còng tõ
A mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng níc 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gỈp bÌ nøa tr«i
t¹i mét ®Þa ®iĨm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cđa ca n«.
Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cđa can« lµ x (km/h). §K x > 4.
Theo gt bµi ra ta cã pt :
2
4 -x
16
4x
24
=+
+
⇔
2x
2
– 40x = 0
Gi¶i ra ta ®ỵc : x = 0 (lo¹i) ; x = 20.
§¸p sè : VËn tèc thùc cđa can« : 20 (km/h)
Bài 9 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A ®Õn
B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tríc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn
tèc mçi xe.
Gi¶i : Gäi vËn tèc cđa xe thø hai lµ x (km/h). §K x > 0.
24
Theo gt bài ra ta có pt :
5
1
6
108
x
108
=
+
x
x
2
+ 6x 3240 = 0 (
'
= 57 )
Giải ra ta đợc : x = - 60 (loại) ; x = 54.
Đáp số : Vận tốc xe thứ nhất là : 60 (km/h)
Vận tốc xe thứ hai là : 54 (km/h)
Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh nhau.
Giải : Gọi x là số công nhân lúc đầu ( công nhân). ĐK : x nguyên dơng, x > 3.
Theo gt bài ra ta có pt :
4
x
360
3x
360
=
x
2
3x 270 = 0 (
= 33 )
Giải ra ta đợc : x = -15 (loại) ; x =18.
Đáp số : Số công nhân lúc đầu : 18 ( công nhân)
Baứi 12 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình .
Giải : Gọi x, y, z (lít) theo thứ tự là thể tích của ba bình . ĐK : x,y, z > 0.
Theo gt bài ra ta có hpt :
+=
+=
=++
z
3
1
y
y
2
1
z x
120 z y x
x
=
=
=
30 z
40 y
50 x
(TMĐK)
Đáp số : Bình thứ nhất có thể tích : 50 (lít)
Bình thứ hai có thể tích : 40 (lít)
Bình thứ ba có thể tích : 30 (lít)
Baứi 13 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km
Giải : Gọi x (giờ) là thời gian đi từ A đến C. ĐK : x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt : 10x + 14(x 2) = 56
Giải ra ta đợc : x =
2
1
3
(TMĐK).
Đáp số : Gặp nhau lúc : 10h15.
Cách A : 35 (km).
Baứi 14 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi
xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi,
vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Giải : Gọi x (km) là quảng đờng AB. ĐK : x > 0.
Theo gt bài ra ta có pt :
24
x
3
2
30
x
=+
.
Giải ra ta đợc : x = 80 (TMĐK)
Đáp số : Quảng đờng AB : 80 (km).
Baứi 15 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A
và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp.
25