PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI (HETEROSCEDASTICITY)

BÀI GIẢNG
KINH TẾ LƯỢNG
ECONOMETRICS
Lê Anh Đức
Khoa Toán kinh tế
ĐH Kinh tế Quốc dân
1
CHƯƠNG VI: PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ
THAY ĐỔI (HETEROSCEDASTICITY)
6.1. Bản chất của hiện tượng PSSS thay đổi
6.2. Nguyên nhân của hiện tượng PSSS thay đổi
6.3. Hậu quả của hiện tượng PSSS thay đổi
6.4. Phát hiện PSSS thay đổi
6.5. Khắc phục hiện tượng PSSS thay đổi
6.6. Thí dụ
2
6.1. Bản chất của PSSS thay đổi
•
Xét mô hình hồi quy 2 biến
•
Giả thiết 3: PSSS là đồng đều
•
Trong thực tế PSSS có thể thay đổi
•
Ta có:
•
Khi PSSS thay đổi thì phương sai của biến phụ thuộc cũng thay đổi.
3
1 2 2
(1)
i i i

Y X U
β β
= + +
2
( ) ( )
i
Var U i
σ
= ∀
( ) ( )( )
i j
Var U Var U i j≠ ≠
( ) ( )( )
i i
Var Y Var U i= ∀
6.2. Nguyên nhân của PSSS thay đổi
•
Do bản chất của các hiện tượng kinh tế:
- Các hiện tượng kinh tế theo không gian được điều tra trên những đối tượng có quy mô khác
nhau.
- Các hiện tượng kinh tế theo thời gian được điều tra qua các giai đoạn có mức biến động khác
nhau.
•
Do số liệu không phản ảnh đúng bản chất của hiện tượng kinh tế.
•
Do quá kỹ thuật thu thập, xử lý và bảo quản dữ liệu ngày càng được hoàn thiện nên sai số ngày
càng ít hơn.
•
Do định dạng không đúng dạng hàm của mô hình.
4

6.3. Hậu quả
•
Các ước lượng OLS là các ước lượng tuyến tính không chệch và vững song không còn là các
ước lượng hiệu quả nhất.
•
Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy sẽ rộng hơn, các kiểm định T, F mất hiệu lực và các dự
báo sẽ không còn chính xác.
5
2
2
2
1
2
2 2
2
2
1
ˆ
( )
ˆ
( ) ( ) ( )
i
n
i
i
i i
n
i
i
Var

x
Var U i Var
x
σ
β
σ
σ σ β
=
=
=
= = ∀ ⇒ =
∑
∑
6.4. Phát hiện ra PSSS thay đổi
1.
Phân tích định tính
•
Căn cứ vào nội dung kinh tế của các biến số trong mô hình để xem xét khả năng có xảy ra
hiện tượng PSSS thay đổi hay không? Đây là cách chuẩn đoán dựa vào thông tin tiên nghiệm
về hiện tượng kinh tế.
•
Các số liệu chéo thường chứa đựng hiện tượng PSSS thay đổi.
6
2. Dựa vào thông tin trên mẫu
•
Thông thường chúng ta không có toàn bộ tổng thể vì vậy không biết được giá trị của các nên
không thể biết được có hiện tượng PSSS thay đổi hay không.
•
Các phần dư ei thu được từ mô hình hồi quy mẫu là các ước lượng điểm của các sai số ngẫu
nhiên Ui nên dựa vào các thông tin về chúng ta có thể đưa ra các chuẩn đoán về PSSS.

7
2
i
σ
•
Quan sát đồ thị của các phần dư
- Bước 1: Hồi quy mô hình (1) tìm được các phần dư ei
- Bước 2: Vẽ đồ thị của các phân dư ei theo Xi, Yi, hoặc theo các quan sát
- Bước 3: Căn cứ vào các đồ thị để chuẩn đoán về hiện tượng PSSS thay đổi
8
ˆ
i
Y
•
Kiểm định Park
- Xét mô hình (1) và giả thiết rằng PSSS thay đổi là một hàm của biến độc lập:
Trong đó: vi là SSNN thoả mãn mọi giả thiết của OLS.
- Thủ tục kiểm định:
+ Bước 1: Hồi quy mô hình (1) tìm được các phần dư ei
+ Bước 2: Hồi quy mô hình sau
+ Bước 3: Kiểm định cặp giả thiết
PSSS trong MH (1) đồng đều
PSSS trong MH (1) thay đổi
9
2
2 2 2
( ) ( onstant)
i
v
i i i

Var U X e c
β
σ σ σ
= = =
2 2
2
ln ln ln
i i i
X v
σ σ β
⇒ = + +
2
1 2
ln ln (2)
i i i
e X v
β β
= + +
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
β
β
=


≠


•
Kiểm định Glejser
- Xét mô hình (1)
- Thủ tục kiểm định:
+ Bước 1: Hồi quy mô hình (1) tìm được các phần dư ei
+ Bước 2: Hồi quy một trong các mô hình sau
+ Bước 3: Kiểm định cặp giả thiết
PSSS trong MH (1) đồng đều
PSSS trong MH (1) thay đổi
10
1 2
1 2
1 2
1 2
( 0)
( 0)
( 0)
1
1
i i i
i i i i
i i i
i
i i i
i
e X v
e X v X
e v X
X

e v X
X
β β
β β
β β
β β
≥
≠
>
= + +
= + +
= + +
= + +
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
β
β
=


≠

•
Kiểm định White
- Xét mô hình
- Thủ tục kiểm định:

+ Bước 1: Hồi quy mô hình (3) tìm được các phần dư ei
+ Bước 2: Hồi quy mô hình sau
Trong đó: vi là SSNN thoả mãn mọi giả thiết của OLS.
+ Bước 3: Kiểm định cặp giả thiết
PSSS trong MH (3) đồng đều
PSSS trong MH (3) thay đổi
Tiêu chuẩn KĐ m là số hệ số góc của MH (4) Miền bác bỏ mức ý nghĩa α
- Trong mô hình (4) bắt buộc phải có hệ số chặn và có thể không có các số hạng chéo nhưng cũng có thể có bậc
cao hơn.
11
2 2
1 2 2 3 3 4 2 5 3 6 2 3
(4)
i i i i i i i i
e X X X X X X v
α α α α α α
= + + + + + +
0 2 6
1
: 0
: 0( 2, ,6)
j
H
H j
α α
α
= = =


∃ ≠ =


1 2 2 3 3
(3)
i i i i
Y X X U
β β β
= + + +
2 2 2
( )nR m
χ χ
= :
{ }
2 2 2
: ( )W m
α α
χ χ χ
= >
•
Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
- Xét mô hình
- Giả thiết rằng
Trong đó: vi là SSNN thoả mãn mọi giả thiết của OLS.
- Thủ tục kiểm định:
+ Bước 1: Hồi quy mô hình (5) tìm được các phần dư
+ Bước 2: Hồi quy mô hình sau
+ Bước 3: Kiểm định cặp giả thiết
PSSS trong MH (5) đồng đều
PSSS trong MH (5) thay đổi
Tiêu chuẩn KĐ
Miền bác bỏ mức ý nghĩa α

12
2 2 2
1 2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
, , ( )
i i i
e Y v R Se
α α α α
= + + ⇒
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
α
α
=


≠

1 2 2
(5)
i i k ki i
Y X X U
β β β
= + + + +
2 2 2

(1)nR
χ χ
= :
{ }
2 2 2
: (1)W
α α
χ χ χ
= >
[ ]
2
2
1 2
( ) ( )
i i i i
Var U E Y v
σ α α
= = + +
ˆ
,
i i
e Y
6.5. Khắc phục PSSS thay đổi
1.
Trường hợp đã biết Var(Ui) = σi
2
•
Xét mô hình
•
Khắc phục

Trong đó: vi là yếu tố ngẫu nhiên thoả mãn mọi giả thết của OLS.
•
Như vậy thay vì hồi quy mô hình (6) ta hồi quy mô hình (7). Sau khi tìm được kết quả từ việc hồi quy mô hình
(7) ta nhân 2 vế với σi để quay lại mô hình (6).
13
1 2
(6)
i i i
Y X U
β β
= + +
* * *
1 2 1 2
2
2 2
1
(6) (7)
1
( ) ( ) ( ) 1( )
i i i
i i i
i i i i
i i
i i
i i i
Y X U
Y X v
U
Var v Var Var U i
β β β β

σ σ σ σ
σ
σ σ σ
= + + ⇔ = + +
= = = = ∀
1.
Trường hợp chưa biết Var(Ui) = σi
2
•
Xét mô hình
•
Có thể đưa ra các giả thiết về σi
2
•
Tuy thuộc vào giả thiết được đưa ra ta sẽ có cách biến đổi tương ứng để khắc phục hiện tượng
PSSS thay đổi. phương pháp biến đổi các biến số ứng với mô hình ban đầu về mô hình có PSSS
đồng đều gọi là phương pháp bình phương nhỏ nhất tổng quát (General least squares – GLS)
14
1 2
(8)
i i i
Y X U
β β
= + +
[ ]
2 2
2
2
2
1:

2:
3: ( )
i i
i i
i i
GT X
GT X
GT E Y
σ α
σ α
σ α
=
=
=
•
Giả thiết 1:
•
Kiểm tra giả thiết
- Cách 1: Vẽ đồ thị của ei
2
theo Xi
2
và nhận xét.
- Cách 2: Hồi quy mô hình ei
2
= α1 + α2Xi
2
và kiểm định giả thiết
Giả thiết 1 có thể đúng
Giả thiết 1 có thể sai

•
Nếu giả thiết 1 đúng thì chia 2 vế của MH (8) cho Xi
•
Như vậy thay vì hồi quy mô hình (8) ta hồi quy mô hình (9). Sau khi tìm được kết quả từ mô
hình (9) ta nhân 2 vế với Xi để quay lại mô hình (8).
15
2 2
i i
X
σ α
=
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
α
α
=


≠

*
1 2 1 1 2
2
2 2
1
( 0) (9)

1
( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i i i
i i i
i i
i i
i i i
Y U
X Y X v
X X X
U X
Var v Var Var U i
X X X
β β β β
α
α
= + + ≠ ⇒ = + +
= = = = ∀
•
Giả thiết 2:
•
Kiểm tra giả thiết
- Cách 1: Vẽ đồ thị của ei
2
theo Xi và nhận xét.
- Cách 2: Hồi quy mô hình ei
2
= α1 + α2Xi

và kiểm định giả thiết
Giả thiết 2 có thể đúng
Giả thiết 2 có thể sai
•
Nếu giả thiết 2 đúng thì chia 2 vế của MH (8) cho
•
Như vậy thay vì hồi quy mô hình (8) ta hồi quy mô hình (10). Sau khi tìm được kết quả từ mô
hình (10) ta nhân 2 vế với để quay lại mô hình (8).
16
2
i i
X
σ α
=
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H
α
α
=


≠

*
1 2 1 1 2 2
1

( 0) (10)
1
( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i i i i i
i i i
i i
i i
i i
i
Y U
X X Y X X v
X X X
U X
Var v Var Var U i
X X
X
β β β β
α
α
= + + > ⇒ = + +
= = = = ∀
i
X
i
X
•
Giả thiết 3:
•
Kiểm tra giả thiết

- Cách 1: Vẽ đồ thị của ei
2
theo và nhận xét.
- Cách 2: Hồi quy mô hình ei
2
= α1 + α2

và kiểm định giả thiết
Giả thiết 3 có thể đúng
Giả thiết 3 có thể sai
•
Nếu giả thiết 3 đúng thì chia 2 vế của MH (8) cho
•
Như vậy thay vì hồi quy mô hình (8) ta hồi quy mô hình (11). Sau khi tìm được kết quả từ mô
hình (10) ta nhân 2 vế với để quay lại mô hình (8).
17
[ ]
2
2
( )
i i
E Y
σ α
=
0 2
1 2
: 0
: 0
H
H

α
α
=


≠

*
1 2 1 1 2 2
2
2 2
1
ˆ
( 0) (11)
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
1
( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ
i i i
i i i i i
i i i i
i i
i i
i i i
Y X U
Y Y X X v
Y Y Y Y
U Y
Var v Var Var U i

Y Y Y
β β β β
α
α
= + + ≠ ⇒ = + +
= = = = ∀
ˆ
i
Y
2
ˆ
i
Y
2
ˆ
i
Y
ˆ
i
Y
•
Ngoài 3 giả thiết nêu trên, nếu có cơ sở để cho rằng hiện tượng PSSS thay đổi sinh ra do chọn sai
dạng hàm thì thay đổi dạng hàm của mô hình (8) để khắc phục.
- Mô hình có dạng hàm sai:
- Thay vì ước lượng mô hình (8) ta ước lượng một trong các mô hình sau:
18
1 2
(8)
i i i
Y X U

β β
= + +
1 2
1 2
1 2
ln ln
ln
ln
i i i
i i i
i i i
Y X U
Y X U
Y X U
β β
β β
β β
= + +
= + +
= + +