Bài giảng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân?
Áp dụng thực hiện bài tập sau:
Các thành phố A, B, C, D, E được nối với nhau bởi các con
đường như hình vẽ sau:

A

B

C

D

E

Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến E qua thành phố B, C, D chỉ
một lần?


HỐN VỊ - CHỈNH HỢP TỔ HỢP
I. Hốn vị
1.Định nghĩa
Ví dụ1: Bài tập 3 (tiết trước) Có 3 học sinh A, B, C ngồi
vào 3 ghế có đánh số 1, 2, 3 cố định. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp 3 người vào 3 ghế đó?


Có 6 cách xếp sau:
A

1

B
2

C
3

B
1

C
2

A
3

A
1

C
2

B
3

C
1

A

2

B
3

B
1

A
2

C
3

C
1

B
2

A
3

Ta thấy mỗi cách xếp là kết quả của một sự hốn đổi vị trí
của 3 phần tử A, B, C.


Ví dụ2: Trong 1 trận bóng đá, sau 2 hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải
đá luân lưu 11m. Mỗi đội chọn ra 5 cầu thủ để đá 5 quả luân lưu. Hãy
nêu ra 3 cách đá phạt.

Giải: Gọi tên 5 cầu thủ là 5 phần tử A, B, C, D, E. để đá luân lưu HLV
phân công người đá quả thứ nhất, thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5.
Có thể nêu 3 cách là:

Quả số

Cách 1

Cách 2

Cách 3

Cách 4

1

A

A

C

…..

2

B

B

A

…..

3

C

C

B

…..

4

D

E

D

…..

5

E

D

E

.…..


Nhận xét: Mỗi cách sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ là một sự hoán
đổi thứ tự đá của 5 phần tử là 5 cầu thủ A, B, C, D, E.

Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của
tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.


C1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ
các chữ số 1, 2, 3.
Kết quả:
Các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2,
3 là:
123; 132; 213; 231; 312; 321.
Ta thấy số 123 và số 132 chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp
thứ tự các các phần tử.
Nhận xét: 2 hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự
sắp xếp.


2. Số các hốn vị
VD3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung
ngồi vào 1 bàn học có 4 chỗ?
Giải: Gọi tắt tên 4 bạn là A. B, C, D.

Cách 1: Liệt kê:
1.ABCD

2.ABDC

3.ACBD

4.ACDB

5.ADBC

6.ADCB

7.BACD

8.BADC

9.BCAD

10.BCDA 11.BDAC 12.BDCA

13.CABD 14.CADB 15.CBAD 16.CBDA 17.CDAB 18.CDBA
19.DACB 20.DABC 21.DBAC 22.DBCA 23.DCAB 24.DCBA


Cách2:
Có 4 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ nhất.
Có 3 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ hai.
Có 2 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ ba.
Có 1 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ tư.

Theo quy tắc nhân sẽ có 4.3.2.1 = 24 cách.
Nếu đem cả lớp 11A5 ra xếp hàng hỏi có bao nhiêu cách
xếp thứ tự?
Nếu tập A có n phần tử thì sẽ có bao nhiêu cách xếp thứ
tự?


n phần tử có n chỗ.
Chỗ thứ 1 có n cách chọn.
Chỗ thứ 2 có n - 1 cách chọn.
Chỗ thứ 3 có n - 2 cách chọn.
……………………………………..
Chỗ thứ 10 có n – 9 cách chọn.
……………………………………….
Chỗ thứ k có n – k +1 cách chọn.
…………………………………………
Chỗ thứ n-1 có 2 cách chọn.
Chỗ thứ n có 1 cách chọn.


Vậy

với n phần tử sẽ có:
n.(n-1).(n-2)……(n-k+1)….2.1 cách sắp xếp
(cách hốn vị).
Định lý:
Gọi Pn là số các hoán vị của n phần tử thì:
Pn = n.(n-1).(n-2)……2.1
Chú ý: Kí hiệu n.(n-1).(n-2)…….2.1 = n! thì ta
có Pn = n! (quy ước 0! = 1).

C2. Trong giờ học môn GDQP 1 tiểu đội học
sinh gồm 10 người xếp thành 1 hàng dọc.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải:
Số cách xếp 10 người thành 1 hàng dọc = số
hốn vị của 10 phần tử vậy có 10! =
3.628.800 cách xếp.


II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
VD4. Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E.
Hãy kể ra một số cách phân công 3 bạn làm
trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1
bạn kê bàn ghế.
Giải:
Có thể có 1 số cách sau:


Quét nhà

Lau bảng

Kê bàn ghế

A

C

D

A

D

C

A

E

D

………..

……….

……….

………..

………..

………

Mỗi cách lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử như
trên gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).
Kết quả của việc lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử
của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó
được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử

C3. Trên mặt phẳng lấy 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt
kê tất cả các véc tơ khác véc tơ 0 mà có điểm đầu và điểm
cuối của chúng thuộc tập hợp 4 điểm đã cho.


A
B

C

D


Có 12 véc tơ sau:

   

AB; BA; AC ; CA;
   

AD;  ; BC ; CB;
DA  
   



CD; DC ; BD; DB


2. Số các chỉnh hợp
VD4. Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể
ra một số cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét
nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
Giải:
Chọn bạn quét nhà có 5 cách.
Chọn bạn lau bảng có 4 cách.
Chọn bạn kê bàn ghế có 3 cách.
Theo quy tắc nhân sẽ có 5.4.3 = 60 cách chọn.
Mỗi cách là 1 chỉnh hợp vậy có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5
phần tử.


Nếu tập A có n phần tử và lấy ra k phần tử rồi sắp xếp theo
1 thứ tự thì sẽ có bao nhiêu cách?
Vị trí thứ 1 có n cách.
Vị trí thứ 2 có n - 1 cách.
Vị trí thứ 3 có n - 2 cách.
…………………………….
Vị trí thứ k có n - k + 1 cách.
Theo quy tắc nhân sẽ có:
n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1) cách.


Định lý:

Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử thì:
Akn = n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1)
Nhận xét:
a) Ann = n.(n-1).(n-2)…..2.1 = Pn
b) Có
n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)! = (n-k).(n-k-1) ….. 2.1
n!
= n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)!
(n-k).(n-k-1) ….. 2.1
= n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1) = Ann
=> Ann =

n!
(n  k )!


Bài tập1:
Có bao nhiêu cách lấy 5 học sinh của lớp 11A5 ra xếp hàng
tập nghi thức?
Bài tập2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.


Về nhà học bài, thuộc công thức và cách sử dụng công
thức.
Làm bài tập số 1 – 7 Sgk.

HẾT GIỜ MỜI
CẢ LỚP
NGHỈ