Bài giảng: Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

t 2. HOÁN VỊ – CHỈNH HP – TỔ HP (TT)

2. Chỉnh hợp.

Ví dụ 1.
Trong hội thi HKPĐ cấp trường, khối 11 có 10 lớp. Mỗi lớp có 1 em tham gia môn
điền kinh cự ly 1000m. Hỏi có bao nhiêu khả nanêg có thể xảy ra nếu : Ban tổ chức
1) chọn ra ba bạn 1 nhất, 1 nhì, 1 ba để và trao giải.
2) chọn ra ba bạn đạt thành tích cao nhất để tham gia HKPĐ cấp tænh.

J

I

H

G

F

E

D

C

B

A

CA
B

C

A

B

B

A

C

CA
B

A

C

B

A

B

C

2. Chỉnh hợp.

t 2. HOÁN VỊ – CHỈNH HP – TỔ HP (TT)

Ví dụ 1.
Trong hội thi HKPĐ cấp trường, khối 11 có 10 lớp. Mỗi lớp có 1 em tham gia môn
điền kinh cự ly 1000m. Hỏi có bao nhiêu khả nanêg có thể xảy ra nếu : Ban tổ chức
1) chọn ra ba bạn 1 nhất, 1 nhì, 1 ba để và trao giải.
2) chọn ra ba bạn đạt thành tích cao nhất để tham gia HKPĐ cấp tænh.


2. Chỉnh hợp.

Ví dụ 1.
Trong hội thi HKPĐ cấp trường, khối 11 có 12 lớp. Mỗi lớp có 1 em tham gia môn
điền kinh cự ly 100m. Ban tổ chức sẽ chọn ra ba bạn 1 nhất, 1 nhì, 1 ba để trao
giải. Hỏi có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra?

J

I

H

G

F

E

D

C

B

A


2. Chỉnh hợp.

Ví dụ 3.
Có 5 con báo tham gia cuộc đua. Giả thiết không có hai con nào về đích
cùng lúc. Giả sử cuộc đua cần chọn ra những con nào ở vị trí nhất, nhì, ba.
Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra.

C

B

B

C

A

C

A

B

A

A

C

B


2. Chỉnh hợp.

Ví dụ 3.
Có 5 con báo tham gia cuộc đua. Giả thiết không có hai con nào về đích
cùng lúc. Giả sử cuộc đua cần chọn ra những con nào ở vị trí nhất, nhì, ba.
Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra.

Mỗi cách sắp xếp 3 con báo trong 5 con báo theo thứ tự về nhất, nhì, ba
được gọi là một chỉnh hợp chập 3 cuûa 5.

C

B

B

C

A

C

A

B

B

A

C

A

A

C

B

A

B

C


2. Chỉnh hợp.

Ví dụ 3.
Có 5 con báo tham gia cuộc đua. Giả thiết không có hai con nào về đích
cùng lúc. Giả sử cuộc đua cần chọn ra những con nào ở vị trí nhất, nhì, ba.
Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra.

* Mỗi cách sắp xếp 3 con báo trong 5 con báo theo thứ tự về nhất, nhì, ba
được gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5.
a) Chỉnh hợp là gì? : (SGK)
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử
của A và sắp xếp theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n p.tử.
b) Định lí 2. : (SGK)
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là :
Nhận xét : Trong ví dụ 3 có

k
A n = n.(n − 1)...(n − k + 1)

A 3 = 5.4.3 = 60 khả năng có thể xảy ra.
5


2. Chổnh hụùp.

Đ2. HOAN Về, CHặNH HễẽP VAỉ TO HễẽP

a) Chỉnh hợp là gì? (SGK)
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử
của A và sắp xếp theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n p.tử.
b) Định lí 2. (SGK)

k
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) laø : A n = n.(n − 1)...(n − k + 1)
Nhận xét : Trong ví dụ 3 có

3. Tổ hợp.

A 3 = 5.4.3 = 60 khả năng có thể xảy ra.
5

Ví dụ . Cho ngũ giác lồi ABCDE. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc đỉnh
của ngũ giác đó.


§2. HOÁN VỊ, CHỈNH HP VÀ TỔ HP
3. Tổ hợp.

Ví dụ . Cho ngũ giác lồi ABCDE. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc đỉnh
của ngũ giác đó.

B

Ta có các tam giác đó là :

C

ABC, BCD, CDE, DEA, EAB, ACD, BDE, CEA, DAB, EBC.
Nhận xét :
Số tam giác cần tìm là số tập con 3 phần
tử (đỉnh) trong 5 phần tử (đỉnh).

A

D

E


§2. HOÁN VỊ, CHỈNH HP VÀ TỔ HP
3. Tổ hợp.

Ví dụ . Cho ngũ giác lồi ABCDE. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc đỉnh
của ngũ giác đó.

B
Ta có các tam giác đó là :
ABC, BCD, CDE, DEA, EAB, ACD, BDE, CEA, DAB, EBC.
Nhận xét :
Số tam giác cần tìm là số tập con 3 phần
tử (đỉnh) trong 5 phần tử (đỉnh).

A

C

D

a) Tổ hợp là gì? : (SGK)
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
E
Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b) Định lí 3. : (SGK)
Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là :

k
Cn =

n.(n − 1)...(n − k + 1)
k!


TÓM TẮT HOÁN VỊ, CHỈNH HP VÀ TỔ HP
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!

k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:

n!
C =
(n − k)!.k !
k
n

Ví dụ : Trong tổ 1 của lớp 11A có 12 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách :
a) Sắp xếp 12 bạn đó thành một hàng dọc.
b) Chọn 3 bạn trong 12 bạn đó để tham gia chiến dịch tình nguyện hè.
c) Chọn 3 bạn lên bảng làm các bài tập theo thứ tự bài 1, baøi 2 vaø baøi 3.


Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :

Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:
k
Cn =

n!
(n − k)! k !

Ví dụ : Một cuộc thi có 15 người tham gia, giả thiết kết quả không có hai người
nào điểm bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách (có thể):

a) Đánh số báo danh trong một phòng thi cho 15 thí sinh đó.
b) Chọn ra 3 thí sinh có điểm cao nhất.
c) Chọn ra 3 thí sinh đạt giải nhất nhì và ba để trao giải.


Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử

của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:

n!
C =
(n − k)! k !
k
n

Ví dụ : Một cuộc thi có 15 người tham gia, giả thiết kết quả không có hai người
nào điểm bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách (có thể):
a) Đánh số báo danh trong một phòng thi cho 15 thí sinh đó.

1/ Vì 15 thí sinh đó vào một phòng thi nên ta dùng công thức : A15
1

2/ Vì 15 thí sinh đó được sắp xếp chổ ngồi trong 1 phòng thi nên mỗi cách
sắp xếp là một tổ hợp chập 15 của 15 nên ta dùng công thức : C15
15
3/ Vì mỗi lần thay đổi vị trị ít nhất 1 học sinh ta có một cách đánh số báo
danh khác nên ta dùng công thức : P15


Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.

* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:

n!
C =
(n − k)! k !
k
n

Ví dụ : Một cuộc thi có 15 người tham gia, giả thiết kết quả không có hai người
nào điểm bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách (có thể):
b) Chọn ra 3 thí sinh có số điểm cao nhất.

1/ Vì chỉ chọn 3 t.sinh cao nhất trong 15 t.sinh nên ta không thể dùng hoán vị.
2/ Vì 3 thí sinh có điểm cao nhất thì phải đứng vị trí nhất, nhì ba nên ta dùng
3
công thức chỉnh hợp : A15

3/ 3 thí sinh có điểm cao nhất là 1 tập con 3 phần tử (TS) trong 15 phần tử (TS)
3
đó nên ta dùng công thức tổ hợp : C15


Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:

n!
C =
(n − k)! k !
k
n

Ví dụ : Một cuộc thi có 15 người tham gia, giả thiết kết quả không có hai người
nào điểm bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách (có thể):
c) Chọn ra 3 thí sinh đạt giải nhất nhì và ba để trao giải.

1/ Vì chọn 3 t.sinh đạt giải nhất , nhì, ba nên số cách chọn là số tập con 3
phần tử (TS) trong 15 phần tử (TS) nên ta dùng công thức tổ hợp.
2/ Vì trong 3 thí sinh đạt giải nhất , nhì, ba nếu mỗi lần thay đổi vị thứ trong 3 TS
đó thì kết quả khác nhau nên số cách chọn là số chỉnh hợp chập 3 của 15
3

phần tử (TS) nên ta dùng công thức A15


TÓM TẮT HOÁN VỊ, CHỈNH HP VÀ TỔ HP
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.
* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:
k
Cn =

n!
(n − k)! k !

Ví dụ : Cho tập hợp P gồm 20 điểm phân biệt, không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Hỏi có bao nhiêu :
a) Vectơ khác vectơ_không mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P.
b) Đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P.
c) Tam giác có đỉnh thuộc P.


TÓM TẮT HOÁN VỊ, CHỈNH HP VÀ TỔ HP
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k (1≤ k ≤ n)

* Hoán vị
là thay đổi thứ tự n
phần tử trong A.
* Số hoán vị của tập
có n phần tử là :
Pn = n! = n(n–1). . .2.1

* Chỉnh hợp
chập k của n phần tử là
lấy k phần tử trong n
p.tử và sắp xếp thứ tự.

* Số chỉnh hợp chập k của
n phần tử là:

n!
A =
( n − k )!
k
n

* Tổ hợp
chập k của n phần tử là
mỗi tập con k phần tử
của n phần tử trong A

* Số tổ hợp chập k của
n phần tử là:
k
Cn =

n!
(n − k)! k !

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ
số chẵn và 3 chữ số lẻ.


CHÚC QUÝ VỊ MẠNH KHỎE