bài giảng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

TiÕt 25
§
§
2.
2.
h
h
o¸n vÞ – chØnh hîp – tæ hîp
o¸n vÞ – chØnh hîp – tæ hîp
•
GIÁO VIÊN: Thái Hà Nguyên
•
TỔ: Toán – tin
•
THPT TÂY HỒ
kiểm tra bàI cũ

1) Nêu định nghĩa tập con ? Cho tập hợp P ={A, B, C, D}.
Tìm số các tập con gồm ba phần tử của tập P bng cỏch lit kờ ?
Đáp số: Tập P có 4 tập con cú 3 phn t là:
{A, B, C} ;{A, B, D} ;{A, D, C};{D, B, C}

2) Vit cụng thc tớnh s cỏc chnh hp chp k ca n phn t?
3) Tớnh s cỏc tp con gm 3 phn t ca tp hợp Agồm n
phần tử: A = {a
1
, a
2
,,a
n
} (n 1)?

!k
A
x
k
n
=
Cho tập hợp A = {a
1
, a
2
,,a
n
} gồm n phần tử (n 1). Cho x là
số tập con gồm 3 phần tử của A .

{a
1
, a
2
, a
3
} ; {a
1
, a
2
, a
4
} ; ; {a
n-2
, a

n-1
, a
n
}
Tính số chỉnh hợp chập 3 của n phần tử của tập A theo x.
Từ đó suy ra cách tính số tập con
gồm 3 phần tử của tập A.



x tập con
Đáp số: x =
!3.
3
xA
n
=
!3
3
n
A
k
k
k
ĐS:Từ mỗi tập con 3 phần tử của tập hợp gồm n phần tử có 3!
chỉnh hợp chập 3 của n phần tử .Từ x tập con có 3 phần tử của
tập hợp gồm n phần tử có x. 3! chỉnh hợp chập 3 của n phần
tử .
Suy ra:
!3.

3
xA
n
=
k
!.kxA
k
n
=
k!
k! k
{a
1
, a
2
,, a
k
}, {a
1
, a
2
,, a
k 1
, a
k + 1
},,{a
n k +1
,, a
n
}

!k
A
C
k
n
k
n
=
k
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
k
Tiết 25
Đ
Đ
2. hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
2. hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
III. tổ hợp
1. Định nghĩa: (sgk tr 51)
A = n ; (n
1) B A ; B
= k
B là một tổ hợp chập k

của n phần tử của tập A
* Chú ý: a) 1 k n
b) Tập là tổ hợp chập 0 của n phần tử

* Ví dụ: A = { ; ; ; ; }
a) Các tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A là:
4
{ ; ; },

2 31 5
b) Các tổ hợp chập 4 của 5 phần tử của A là:
{1; 2; 3;
4},
{1; 2; 3;
5},
{1; 2; 5; 4},

{1; 5; 3;
4},
{5; 2; 3; 4}

1 2 3
{ ; ; },

1 2 34
{ ; ; },

1 2 34 1
{ ; ; }

2 3
{ ; ; },

1 2 5
4
{ ; ; },

1 5 3
{ ; ; }

5 2 3
{ ; ; },

1 2
3
2
{ ; ; }

1 34 5 1 2
{ ; ; },

34 5
4 5
2. Số các tổ hợp:
a. Định lý:
)!(!
!
knk
n
C

k
n

=
Chứng minh: Sgk (tr52)
b. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Lớp 11A
8
có 44 học sinh gồm 20 học sinh nữ và 24 học
sinh nam. Cần lập một đội thanh niên xung kích gồm 6 bạn. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?
b) Có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4
nam và 2 nữ ?
Giải :
a) Một đội thanh niên xung kích gồm 6 bạn là một tổ hợp
chập 6 của 44 (học sinh). Vì vậy số cách lập một đội thanh niên
xung kích của lớp 11A
8
là:
==

=
!38!6
!44
)!644(!6
!44
6
44
C
6.5.4.3.2.1

44.43.42.41.40.39
7059052=
Việc chọn 6 bạn gồm 4 nam
và 2 nữ có thể thực hiện bằng
những hành động nào ?
Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn
từ 24 bạn nam ?
b) Có: cách chọn 4 bạn từ 24 bạn
nam .
4
24
C
Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn
từ 20 bạn nữ ?
2
20
C
Từ đó có thể áp dụng qui tắc nào
để xác định đ ợc số cách chọn
một đội gồm 4 nam và 2 nữ ?
Theo qui tắc nhân có tất cả . cách lập
một đội thanh niên xung kích gồm 4 nam và 2 nữ của lớp 11A
8
.
4
24
C
2018940=
cách chọn 2 bạn từ 20 bạn nữ .
2

20
C
2. Số các chỉnh hợp:
a. Định lý:
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
Chứng minh: SGK (tr52)
b. Ví dụ:
* Ví dụ 2 : (hoạt động 5 SGK)
Vì hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau đúng một trận nên số trận đấu
bằng số các tổ hợp chập 2 của 16 (đội) nên số trận đấu cần phải tổ
chức là:
=
2
16
C
=
!14!.2
!16
=
2.1
16.15
120

( trận)
* Ví dụ 3 : a)
=
r
p
C
)!!.(
!
rpr
p

b)
=
kn
n
C
=
+ )!)!.((
!
knnrn
n
=
!)!.(
!
kkn
n
k
n
C
Viết công thức tính

,
r
p
C
?
kn
n
C

a. Định lý:
b. Ví dụ
3. Tính chất của các số
III. tổ hợp
1. Định nghĩa:
2. Số các chỉnh hợp:
k
n
C
A = n ; (n 1)
B A, B = k
B là một tổ hợp chập k
của n phần tử của tập A
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
a. Tính chất 1:
k
n
C
kn
n
C

=
b. Tính chất 2: (công thức Pa-xcan)
1
1


k
n
C
k
n
C
1
+
)1( nkC
k
n
=
* Ví dụ: Với 2 k n 2 ta có:
2
2

k
n
C
=+


1
2
k
n
C
1
1


k
n
C
1
2


k
n
C =+

k
n

C
2
k
n
C
1
+
2
2


k
n
C
1
2
2


+
k
n
C
=+

k
n
C
2
k

n
C
Có bao nhiêu
cách cắm 3 bông
hoa vào 5 lọ
khác nhau (mỗi
lọ cắm không
quá một bông)
nếu: a) Các
bông hoa khác
nhau. b)
Các bông hoa nh
nhau.
4. Bài tập áp dụng: Bài5 SGK (tr 55)
a)Để cắm 3 bông hoa ta cần chọn 3 trong 5 lọ
(khác nhau) để cắm. Vì 3 bông hoa khác nhau
nên mỗi cách sắp xếp 3 lọ theo một thứ tự là một
cách cắm do đó mỗi cách cắm ứng với một chỉnh
hợp chập 3 của 5 (lọ). Nên số cách cắm là:
(cách)

3
5
A
3.4.5=
60=
b)Để cắm 3 bông hoa (mỗi bông cắm vào một lọ)
ta cần chọn 3 trong 5 lọ (khác nhau) để cắm. Vì 3
bông hoa giống nhau nên mỗi cách chọn ra 3 lọ chỉ
có một cách cắm do đó mỗi cách cắm t ơng ứng

với một tổ hợp chập 3 của 5 (lọ). Nên số cách cắm
là:

(cách)

3
5
C
!3
3.4.5
=
10=
Em hãy cho biết khi
giải toán lúc nào thì
dùng chỉnh hợp, lúc
nào thì dùng tổ hợp ?
!3
3
5
A
=
Bài 2: Trên mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D
sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo đ
ợc bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc 4 điểm đã cho.
Giải : Một tam giác gồm 3 đỉnh (không cần thứ tự) chọn
trong 4 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử.
Nên số tam giác là số tổ hợp chập 3 của 4 (điểm) :
3
4
C

4
!3
!4
==
5. Bài tập về nhà : Học thuộc định nghĩa, định lý, tính
chất.
Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm
Làm bài tập : 6,7 (SGK tr 55)