Cách giải một dạng phương trình vô tỉ

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẬC HAI
Nguyễn Thành Bửu
Trong các tài liệu ôn thi vào đại học – cao đẳng, ta thường gặp phương trình vô tỉ dạng
2
p ax b kx lx m+ = + +
. Tuy nhiên, không phải phương trình nào cũng được giải dễ dàng.
Ở đây, tôi chỉ giới thiệu cách giải lớp phương trình dạng
2
p ax b cx d ( x )+ + + = α + β
trong đó
2
2
p a c
p b d

− = α


− = β


(*)
Theo các sách tham khảo, cách giải như sau:
Đặt
p ax b y+ = α + β
, khi đó ta có hệ
2
2 2 2
( x ) y cx d
( y ) p ax p b


α + β = α +β + +


α + β = +


(a)
Hệ phương trình trên được giải dễ dàng bằng cách trừ hai phương trình của hệ cho nhau.
Ví dụ 1: Phương trình
2
x x 5 5+ + =
⇔
2
x 5 5 x− + + =
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
x 5 y− + =
và có hệ
2
2
x y 5
y x 5

= +


= +


Ví dụ 2: Phương trình
2

2x 1 x 3x 1 0− + − + =
⇔
2
2x 1 x (x 1)− − + = −
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
2x 1 y 1− − = −
và có hệ
2
2
(x 1) y 1 x
(y 1) 2x 1

− = − +


− = −


Ví dụ 3: Phương trình
2
4x 3x 1 5 13x+ + + =
⇔
2
3x 1 x 4 (2x 3)− + + + = −
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
3x 1 2y 3− + = −
và có hệ
2
2
(2x 3) 2y x 1

(2y 3) 3x 1

− = + +


− = +


Ví dụ 4: Phương trình
2
32x 32x 2x 15 20+ = + +
⇔
2
8x 60 56 (8x 4)+ + = +
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
8x 60 8y 4+ = +
và có hệ
2
2
(8x 4) 8y 60
(8y 4) 8x 60

+ = +


+ = +


Ví dụ 5: Phương trình
2

x 3
2x 4x
2
+
+ =
⇔
2
2x 6 4 (2x 2)+ + = +
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
2x 6 2y 2+ = +
và có hệ
2
2
(2x 2) 2y 6
(2y 2) 2x 6

+ = +


+ = +


Ví dụ 6: Phương trình
2
4x 9
7x 7x
28
+
+ =
⇔

2
28x 63 49 7
7x
4 4 2
+
 
+ = +
 ÷
 
Phương trình này thoả mãn điều kiện (*), nên đặt
28x 63 7
7y
4 2
+
= +
và có hệ:
2
2
7 63
7x 7y
2 4
7 63
7y 7x
2 4

 
+ = +

 ÷
 


 
+ = +
 ÷

 

Tổng quát, ta thử giải tiếp hệ (a). Từ hệ (a), lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai
theo vế ta có:
2 2 2 2
( x ) ( y ) y (c p a)x d p bα + β − α + β = α + − + β + −
⇔
( x y)( x y 2 ) x y 0α − α α + α + β + α − α =
⇔
( x y)( x y 2 1) 0α − α α + α + β + =
⇔
x y 0
x y 2 1 0
α − α =


α + α + β + =

⇔
1 1
x y
2 2
1 1
x y
2 2


α + β + = α +β +



α + β + = −α −β −



⇔
2 2
1 1
x y
2 2
   
α +β + = α + β +
 ÷  ÷
   
⇔
2 2
1 1
p ax b x
2 2
   
+ + = α + β +
 ÷  ÷
   
(b)
Trở lại các ví dụ trên, ta có:
Ví dụ 1:

2
x x 5 5+ + =
⇔
2 2
1 1
x 5 x
2 2
   
− + + = +
 ÷  ÷
   
⇔
x 5 x
x 5 x 1

+ = −

+ = +


Ví dụ 2:
2
2x 1 x 3x 1 0− + − + =
⇔
2 2
1 1
2x 1 x
2 2
   
− − + = −

 ÷  ÷
   
⇔
2x 1 1 x
2x 1 x

− = −

− =


Ví dụ 3:
2
4x 3x 1 5 13x+ + + =
⇔
2 2
1 5
3x 1 2x
2 2
   
− + + = −
 ÷  ÷
   
⇔
3x 1 2x 3
3x 1 2x 2

+ = − +

+ = −



Ví dụ 4:
2
32x 32x 2x 15 20+ = + +
⇔
2 2
1 9
8x 60 8x
2 2
   
+ + = +
 ÷  ÷
   
⇔
8x 60 8x 4
8x 60 8x 5

+ = +

+ = − −


Ví dụ 5:
2
x 3
2x 4x
2
+
+ =

⇔
2 2
1 5
2x 6 2x
2 2
   
+ + = +
 ÷  ÷
   
⇔
2x 6 2x 2
2x 6 2x 3

+ = +

+ = − −


Ví dụ 6:
2
4x 9
7x 7x
28
+
+ =
⇔
( )
2
2
28x 63 1

7x 4
4 2
 
+
+ = +
 ÷
 ÷
 
⇔
28x 63 7
7x
4 2
28x 63 9
7x
4 2

+
= +



+
= − −


Ghi chú:
1) Bước biến đổi phương trình ban đầu về dạng
2
p ax b cx d ( x )+ + + = α + β
trong đó

2
2
p a c
p b d

− = α


− = β



là khó nhất, các em học sinh phải “khéo léo” biến đổi ở bước này.
2) Khi trình bày bài toán bằng cách thứ hai, chỉ cần viết trực tiếp:
Phương trình đã cho
⇔

2 2
1 1
p ax b x
2 2
   
+ + = α + β +
 ÷  ÷
   
(không cần viết bước trung gian
2
p ax b cx d ( x )+ + + = α + β
)
3) Nhớ khai triển ngược

2 2
1 1
p ax b x
2 2
   
+ + = α + β +
 ÷  ÷
   
để kiểm tra.
4) Các bạn đồng nghiệp có thể dựa vào dạng
2 2
1 1
p ax b x
2 2
   
+ + = α + β +
 ÷  ÷
   
để “sản xuất” hàng
loạt bài khác.