đề thi học sinh giỏi toán lớp 11

S GD&ĐT HÀ TĨNHỞ
TR NG THPT Đ C THƯỜ Ứ Ọ
Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN 11Ề Ọ Ọ Ỏ
NĂM H C 2008 - 2009Ọ
Th i gian: 180 phút ờ (Không k th i gian giao đ )ể ờ ề
Đ BÀIỀ
Câu 1. (2,0 đi m)ể Gi i ph ng trình ả ươ
3 3
3
1 1 5x x x+ + − =
Câu 2. (1,5 đi m)ể Ch ng minh r ng v i m i s th c x, y, z khác 0, ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + +
Câu 3. (2,0 đi m)ể Cho dãy s (uố
n
) xác đ nh b i: ị ở
1
1
11
10 1 9
n n

u
u u n, n N.
+
=


= + − ∀ ∈

Tìm công th c tính uứ
n
theo n.
Câu 4. (2,0 đi m)ể T ng c a m nh ng s nguyên d ng liên ti p b ng 2008. Xácổ ủ ữ ố ươ ế ằ
đ nh các s đó.ị ố
Câu 5. (2,5 đi m)ể Cho hình lăng tr tam giác ABC. A’B’C’. G i I, J, K l n l t làụ ọ ầ ượ
tâm c a các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.ủ
a) Ch ng minh r ng (IJK) song song v i các m t đáy.ứ ằ ớ ặ
b) Ch ng minh r ng các đ ng th ng AJ, CK, BI đ ng quy.ứ ằ ườ ẳ ồ
_________________H tế _________________







ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ
Câu 1. (5 đi m)ể
( )
2
3

3 3 3 3
3
2 3
3
3
1 1 5 2 3 1 1 1 5
5
1 5 4 5 0 0
2
5
2
x x x x x x x x
x x x x x x ;x .
Thö l¹i ta thÊy ph ¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm : x = 0; x = .
+ + − = ⇔ + − + + − =
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = ±
±
Câu 2: (4 đi m)ể
Ta có:
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
x x
y y

y y
z z
z z
x x
 
+ ≥
 
 
 
+ ≥
 
 
 
≥
 
 
C ng ba b t đ ng th c trên, ta đ c:ộ ấ ẳ ứ ượ
2 2 2
2 2 2
3 2
 
+ + + ≥ + +
 
 
x y z x y z
y z x y z x
(1)
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s d ng, ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
2 2 2 2 2 2
3

2 2 2 2 2 2
3 3
x y z x y z
. .
y z x y z x
+ + ≥ =
(2)
T (1) và (2) suy ra: ừ
2 2 2
2 2 2
2 2
x y z x y z
y z x y z x
   
+ + ≥ + +
   
   
T đó ta có b t đ ng th c c n ch ng minh.ừ ấ ẳ ứ ầ ứ
Câu 3:
Ta có:

1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
u .
u . .

= = +
= + − = = +
= + − = = +
D đoán uự
n
= 10
n
+ n (1)
Ch ng minh:ứ
Ta có: u
1
= 11 = 10
1
+ 1 công th c (1) đúng v i n = 1.ứ ớ
Gi s công th c (1) đúng v i n = k ta có: uả ử ứ ớ
k
= 10
k
+ k
Ta có: u
k + 1
= 10(10
k
+ k) + 1 - 9k = 10
k+1
+ (k + 1). Công th c (1) đúng v i n = k + 1.ứ ớ
V y uậ
n
= 10
n

+ n,
n .∀ ∈¥
Câu 4. (4 đi m)ể
Gi s t ng c a m s nguyên d ng liên ti p b t đ u t s k b ng 2008:ả ử ổ ủ ố ươ ế ắ ầ ừ ố ằ
k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008







A
B
M
D
I
N
C
H
( )
( )
4
1
2008
2
2 1 4016 2 251
m m
m k
m k m .

−
⇒ + =
⇒ + − = =
N u m l ế ẻ
⇒
2k + m - 1 ch n. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 2ẵ
4
(không x y ra)ả
N u m ch n ế ẵ
⇒
2k + m - 1 l . Ta có: ẻ
4
2 1 251
2
k m
m
+ − =


=

16
118
m
k
=

⇒

=


V y các s c n tìm là 118, 119,…133.ậ ố ầ
Câu 5. (3 đi m)ể
Trên tia BI, l y đi m H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có:ấ ể
ABM HBM (c.g.c) vµ CBN = HBN(c.g.c).∆ = ∆ ∆ ∆
Do đó: MH = AM và NH = CN.
· ·
·
·
0 0
90 90BHM BAM vµ BHN BCN .= = = =
Suy ra M, H, N th ng hàng, BI vuông gócẳ
v i Mn t i H và MN = AM + NC.ớ ạ
V y ậ
( )
1 1
2 2
BM N
S BH.M N a AM NC .= = +
Vì AM = 3MD nên
1 3
4 4
M D a;AM a.= =

Đ t NC = x, áp d ng đ nh lý Pitago cho ặ ụ ị
tam giác vuông MDN, ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2

2
2
2
2
3
4 16 7
1 3 25
2 4 7 56
BM N
M N M D DN AM NC M D DC NC
a a
a x a x x
a
Suy ra:S a a a .
= + ⇔ + = + −
 
⇔ + = + − ⇔ =
 
 
 
= + =
 
 