De thi học sinh gioi toan lop 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
Thời gian làm bài 90 phút
1/(2đ)
Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn đồng thời
x + xy + y = 1
y + yz + z = 3
z + xz + x = 7
Tính giá trị biểu thức M = x
2010
+ y
2011
+ z
3
2/(2đ)
Cho 3 số x, y, zthoar mãn: x + y + z = 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
= a
2
Tính giá trị biểu thức: x
4
+ y
4
+ z
4
theo a
3/(4đ)
a/Tìm số nguyên dương n để: n

4
+ 4 là số nguyên tố.
b/Tìm số nguyên dương n để: n
3
– n
2
+ n – 1 là số nguyên tố.
4/(4đ)
Cho một hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các
cạnh AB, BC, CD, DA.
CMR: 2a
2
≤ MN
2
+ NP
2
+ PQ
2
+ QM
2
≤ 4a
2
5/(3đ)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; AD và CE là hai đường cao cắt nhau
tại H; O là điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC. Gọi M là điểm đối xứng
của B qua O; I là giao điểm của BM và DE; K là giao điểm của AC và HM.
a/CMR các tứ giác AEDC và CMID nội tiếp được trong đường tròn.
b/CMR OK vuông góc với AC
c/Góc AOK bằng 60
○

. CMR tam giác HOB cân.
6/(5đ)
Cho tam giác ABC có AB = 2AC, góc A bằng 120
○
. Trên nửa mặt phẳng
bờ BC vẽ tam giác đều DBC.
Hỏi tam giác DAB có vuông không?
Người biên soạn
Tô Minh Nhật