bài toán về xác định góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng

ĐI HC QUC GIA H NI


Bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường
thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng.
Ging viên hưng dẫn  !"#$%$&#$
Sinh viên thc hin  !"#$'()#*)#
M sinh viên ++,+,++-
Lp ./$01(2#
Kha 3,++
Hà Nội, tháng 6 – 2014
1
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
4
2
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
5465
Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những đối tượng cơ bản của hình học không
gian. Từ đó chúng ta có thể tạo nên những vật thể khác nhau như: hình chóp, hình
lăng trụ, hình nón… Môn hình học không gian là môn học nghiên cứu các tính chất
của các hình nằm trong không gian.
Bài tiểu luận này sẽ nghiên cứu chủ yếu về vấn đề góc trong không gian, cụ thể là
các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa
2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Khái niệm góc trong không gian
được nhắc tới trong hình học không gian lớp 11.
Trong thực tế, chúng ta có thể bắt gặp rất
nhiều hình ảnh về góc trong không gian như
sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta
hình ảnh về sự vuông góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng, mái nhà so với mặt đất, hình

ảnh của một cánh cửa chuyển động và hình
ảnh của một bức tường cho ta thấy được sự
thay đổi của góc giữa hai mặt phẳng, hình
ảnh của những sợi dây cáp và hình ảnh của
mặt đường cho ta thấy được góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng…
Sợi dây dọi vuông góc với nền nhà cho ta hình ảnh
về sự vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
3
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Hình ảnh của những sợi dây cáp và hình ảnh của
mặt đường cho ta thấy được góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng.
Qua đó ta có thể thấy việc xác định góc
trong không gian có rất nhiều ứng dụng trong
thực tế, nó là 1 vấn đề rất quan trọng. Mục
đích nghiên cứu chính là giúp học sinh có thể
nắm vững các kiến thức cơ bản và có thể xác
định góc trong không gian. Mà muốn nắm
vững thì phải thực hành giải bài tập để củng
cố lý thuyết.
Dưới đây là các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng
chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giúp
học sinh có cách nhìn tổng quát hơn.
$7819:;<)=7> ? @#
1. Tóm tắt lý thuyết một cách đầy đủ và khoa học, giúp cho người đọc nhớ lại và nắm
vững lý thuyết về góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2
mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2. Trình bày các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2 đường thẳng chéo
nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để người đọc

có thể nắm vững được:
• Cách dựng góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Cách tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng.
4
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
5A
I. BC5D
1. E;7F)$)7G.H#=$I#
Cho hai đường thẳng , bất kỳ trong
không gian.
Từ điểm O nào đó,ta vẽ hai đường
thẳng , lần lượt song song (hoặc trùng)
với , . Dễ thấy rằng khi điểm O thay
đổi thì góc giữa và không thay đổi.
Hình 1
'#$#$J)+
Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và .
Kí hiệu hay .
'#$#$J)3 Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90°.
Chú ý:
• Để xác định góc giữa hai đường thẳng nói và , ta có thể lấy điểm O nói trên
thuộc một trong hai đường thẳng đó.
• Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90.
• Nếu , lần lượt là vectơ chỉ phương của và và (, ) = α thì góc giữa hai đường
thẳng và bằng α nếu α ≤ 90° và bằng 180° - α nếu α ≥ 90°.
• Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường

thẳng a và b vuông góc, và kí hiệu a ⊥ b hay b ⊥ a. Như vậy a ⊥ b ⇔ = 0, ở
đó và lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b.
5
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
• Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì
vuông góc với đường thẳng còn lại.
2. E;7F)G.H#=$I#9&1K=/$I#
'#$#$J)L Một đường thẳng được
gọi là vuông góc với một mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng
nằm trong mặt phẳng đó (h.2)
$M/;$7N 9 O#E;:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Phép chiếu song song theo phương của
d lên mặt phẳng (P) được gọi là phép
chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)
(h.3).
'#$?PQ)G.H#9 O#E;: Cho
đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)
và b là đường thẳng không thuộc (P)
đồng thời không vuông góc với (P). Gọi
b’ là hình chiếu vuông góc của b trên
(P). Khi đó a vuông góc với b khi và
chỉ khi a vuông góc với b’ (h.4).
'#$#$J)R
Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).
Góc giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng
(P) là góc giữa đường thẳng ∆ và hình

chiếu ∆’ của nó trên (P) (h.5).
Hình 5
Chú ý:
6
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
• Nếu đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng ∆ song song với
mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 0°.
• Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 90°.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.
3. E;7F)$)71K=/$I#
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt vuông
góc với (P) và (Q).
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng a và b
không phụ thuộc vào cách lựa chọn chúng
và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P)
và (Q) (h.6).
Hình 6
'#$#$J)S: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
'#$#$J)T Hai mặt phẳng gọi là vuông
góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°
(h.7).
Chú ý:
• Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng
nhau hoặc song song với nhau thì góc
giữa chúng bằng 0°.
• Góc giữa hai mặt phẳng không vượt
quá 90°.

Hình 7
• Khi hai mặt phẳng(P) và (Q) vuông góc với nhau ta còn nói gọn là hai mặt
phẳng (P) và (Q) vuông góc, kí hiệu (P) ⊥ (Q) hay (Q) ⊥ (P).
7
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
II. U
1. 2;Q&7=(2#9VE;7F)$)7G.H#=$I#;$M(#$) 
Để giải các bài toán về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau ta thực hiện như sau:
Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau (dựng góc giữa hai đường
thẳng chéo nhau):
Để dựng góc giữa hai đường thẳng chéo
nhau và , ta chọn điểm O thích hợp sao
cho từ O ta vẽ được // , // .
Khi đó góc giữa hai đường thẳng chéo
nhau và chính là góc giữa hai đường
thẳng chéo nhau và (h.1.1).
Hình 1.1
= = α
( 0° ≤ α ≤ 90°)
$WP Ta có thể chọn điểm O thuộc một trong hai đường thẳng hoặc . Cách dựng
như sau:
• Chọn O thuộc .
• Dựng mặt phẳng (R) chứa
đường thẳng và cắt tại O
• Trên (R), từ O kẻ đường
thẳng // . Khi đó góc giữa hai
đường thẳng chéo nhau và
chính là góc giữa hai đường
thẳng và (h.1.2)
Hình 1.2

Bước 2: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc sử dụng định lý hàm số
Côsin trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa và
• Định lý hàm số Côsin (h.1.3)
Hình 1.3
8
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
• Hệ thức lượng trong tam giác vuông
(h.1.4)
=
cos α =
tan α = cot α =
Hình 1.4
X%Y:+: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của BC và AD. Tính góc giữa AB và CD, biết MN = a.
Gii:
Dựng góc
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
CD.
Xét tam giác ABC có IM là đường
trung bình của tam giác ABC ⇒ IM //
AB
Xét tam giác ABC có IN là đường trung
bình của tam giác ACD ⇒ IN // CD
(h.1.5)
Hình 1.5
Ta có: ⇒ =
Tính góc
Theo định lý hàm số Cô-sin cho tam giác MIN có:
Suy ra =

Ta có: IN = CD = a (vì IN là đường trung bình của tam giác ACD);
IM = AB = a (vì IM là đường trung bình của tam giác ABC).
Suy ra: = = =
⇒ = 120°
⇒ = 180° − 120° = 60°
Vậy = 60°.
X%Y:3: (ĐHKA 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC.
Tính cô-sin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
9
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Gii:
Dựng góc:
Gọi H là trung điểm vủa BC (h.1.6).
Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC)
Ta có:

⇒ () = () = ()
Hình 1.6
Tính cô-sin (AA’, B’C’):
Ta tính cô-sin của góc (BB’, BH).
Nối B’ với H, áp dụng định lý hàm số cô-sin vào tam giác B’BH.
Ta có:
⇒ =
Mặt khác:
BH = BC = = = a.
BB’ = AA’ = 2a
B’H = = = = 2a
( Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ (A’B’C’) ⇒ A’H ⊥ A’B’ ⇒ tam giác HA’B’ vuông

tại A’ và ta có tam giác A’HA vuông tại H).
Từ đây suy ra cos = = > 0.
Mà () = ⇒ cos () = cos () = cos =
U&7=@/GV#$'
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD. Hãy tính cô-sin của góc giữa AC và DO.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.
a) Tính cô-sin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a.
b) Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c.
Hãy tính góc giữa AD’ và B’C.
2. 2;Q&7=(2#Z2;G'#$E;7F)G.H#=$I#9&1K=/$I#
Để giải các bài toán về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp chúng
cát nhau ta thực hiện như sau:
10
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Bước 1: Dựng góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (P).
Xác định giao điểm O của đường
thẳng d và mặt phẳng (P).
Lấy điểm M thích hợp trên d sao cho
dễ dàng kẻ được MH ⊥ (P).
Khi đó OH là hình chiếu của OM trên
mặt phẳng (P) (h.2.1).
Hình 2.1
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa OM và OH.
= = .
Bước 2: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta quy về tính góc giữa đường thẳng d và đường thẳng đi qua OH (hướng dẫn trong
phần a)).

Nếu ≤ 90° thì = .
Nếu > 90° thì = 180° − .
$WP: Để xác định giao điểm O của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ta có thể sử
dụng một số gợi ý sau:
Chọn mặt phẳng (Q) ⊥ (P).
Xác định giao điểm của đường thẳng d và
mặt phẳng (Q) là M.
Xác định giao tuyến x của mặt phẳng (P)
và (Q). Khi đó điểm M là điểm cần tìm
(h.2.2).
Từ M kẻ MH ⊥ x.
Suy ra MH ⊥ (P).
Hình 2.2
Đặc biệt, nếu mặt phẳng (Q) đi qua chính điểm O. Tức là M trùng O.
11
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Cách 1: Dựng mặt phẳng (R) // (Q), khi đó mặt
phẳng (R) ⊥ (P) và (R) ∩ d = {M’}.
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(P) chính là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng (R).
Khi đó ta đi xác định góc giữa đường thẳng d
và (R) (h2.3).
Hình 2.3
Cách 2: Dựng d’ // d. Suy ra góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng (P) chính là góc giữa
đường thẳng d’ và mặt phẳng (P). Khi đó ta đi
xác định góc giữa đường thẳng d’ và (P) (h2.3).
Thông thường đường thẳng d’ ∩ (Q) = {M’, M’
≠ O’} với {O’} = d’ ∩ (P).

Hình 2.4
X%Y:+: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = a vuông
góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC).
Gii:
Dựng góc:
Giao điểm AB ∩ (SBC) = {B}.
Dựng mặt phẳng vuông góc với (SBC).
Kẻ IA ⊥ BC.
Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAI).
Suy ra (SBC) ⊥ (SAI).
Giao điểm AB ∩ (SAI) = {A}.
Trên mặt phẳng (SAI) kẻ AH ⊥ SI, suy ra:
AH ⊥ (SBC) (h.2.5).
Khi đó AH chính là hình chiếu vuông góc
của đường thẳng AB lên mặt phẳng SBC.
Hình 2.5
Suy ra góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) chính là góc giữa hai đường
thẳng AB và HB hay chính là góc .
Tính góc:
12
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Ta tính góc .
Tam giác SAI vuông tại A có: .
Suy ra AH = .
Ta có tam giác ABH vuông tại H có: = = .
Suy ra = 50°.
Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng 50°.
X%Y:3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA =
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Gii:
Dựng góc:
Ta có C = SC ∩ (ABCD), SA ⊥ (ABCD),
suy ra AC là hình chiếu của SC lên mặt
phẳng (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABCD) chính là góc (h.2.5).
Tính góc:
Ta có ABCD là hình vuông có cạnh bằng a,
suy ra:
Hình 2.6
AC = = = a = SA.
Suy ra tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó = 45°.
U&7=@/GV#$'[
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Tính góc giữa SC và (ABCD).
b) Tính góc giữa các cặp SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và đáy ABC là tam giác đều
cạnh a.
Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
13
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A. B có AB = BC = a,
AD = 2a, SA = 2a vuông với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa đường thẳng BC và mặt
phẳng (SCD).
3. 2;Q&7=(2#9VE;7F)$)71K=/$I#
Để dựng góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong trường hợp chúng cắt nhau ta làm
như sau:
Bước 1: Dựng góc giữa hai mặt phẳng (P)

và (Q)
Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
Lấy điểm O thích hợp trên d sao cho: Trên
mặt phẳng (Q) từ O dựng đường thẳng a ⊥
d, trên mặt phẳng (P) từ O dựng đường
thẳng b ⊥ d (h.3.1).
Khi đó =
Hình 3.1
Bước 2: Tính góc
Ta quy về tính góc giữa hai đường thẳng a và b (hướng dẫn trong phần a))
Nếu ≤ 90° thì = .
Nếu > 90° thì = 180° − .
$WP+: Để dựng góc giữa hai mặt phẳng một cách chi tiết, ta có thể sử dụng một
số các gợi ý sau:
Gợi ý 1: Nếu phát hiện thấy trong
mặt phẳng (Q) có một điểm M sao
cho dễ dàng kẻ được MH ⊥ (P) (MH
thường là đường cao, H ∈ (P)).
Kẻ HO ⊥ d (O ∈ d, d là giao tuyến
của hai mặt phẳng (P) và (Q)). Nối
OM.
Khi đó HO chính là hình chiếu của
OM trên mặt phẳng (P).
Hình 3.2
Mà d ⊥ HO ⇒ d ⊥ OM (theo định lý ba đường vuông góc).
Suy ra, theo định nghĩa, góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc .
Gợi ý 2: Nếu phát hiện thấy có
14
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
đường thẳng a vuông góc với giao

tuyến d:
Xác định điểm A, B lần lượt là giao
điểm giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (Q), (P).
Kẻ đường thẳng AO ⊥ d.
Suy ra đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (OAB).
Suy ra d ⊥ OB (h.3.3).
Hình 3.3
Khi đó: Nếu () ≤ 90° thì () = ().
Nếu () > 90° thì = 180° − ().
$WP3: Để tính góc giữa hai mặt phẳng
trong trường hợp ta không dựng được góc
giữa hai mặt phẳng, ta có thể sử dụng
công thức hình chiếu.
Gọi S là diện tích của một đa giác trên
mặt phẳng (P) với S’ là diện tích của một
đa giác trên mặt phẳng (Q) và α là góc
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) (h.3.4).
Khi đó: S’ = S.
Hình 3.4
X%Y:+: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (SBC). Chứng minh rằng: = ., ở đây hý hiệu là diện tích tam giác ABC.
Gii:
Dựng góc:
Theo giả thiết ta có SA ⊥ (ABC) (S ∈ SBC).
Kẻ đường cao SH của tam giác SBC.
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (h.3.5).
Suy ra BC ⊥ (SAH).
Vậy = = α.

Chứng minh =
Xét tam giác SAH có AS ⊥ AH, áp dụng hệ
thức lượng trong tam giác vuông SAH có:
Hình 3.5
AH = SH .
Từ đó ta có: = .BC.AH = .BC.SH. = 
15
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
X%Y:3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
b) Tính diện tích tam giác SBC.
Gii:
a) Dựng góc
Gọi H là trung điểm của cạnh BC. ta có
BC ⊥ AH.
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC (h.3.6).
Suy ra BC ⊥ (SAH).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng SHA.
Hình 3.6
Tính góc
Đặt α = SHA, ta có:
= .
Ta suy ra α = 30°. Vậy góc giữa (ABC) và (SBC) bằng 30°.
b) Vì SA ⊥ (ABC) nên tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác ABC.
Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác SBC và ABC.
Ta có: S’ = S. ⇒ S = .
Suy ra: S = = .
U&7=@/GV#$'[

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy = a, cạnh bên = 3a.
a) Hãy tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
b) Hãy tính góc giữa mặt phẳng (SDC) và (SCB).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc ASB = 60°, BSC = 90°,
CSA = 120°.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
16
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
B
N=\ ];<)Q&7=7> ? @#
• Đã tóm tắt được hầu hết những lý thuyết liên quan đến bài toán xác định góc trong
không gian giữa 2 đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, gócgiữa
đường thẳng và mặt phẳng.
• Trình bày được phương pháp giải và các bài tập điển hình có liên quan.
• Nêu thêm được một số gợi ý dựng góc trong không gian.
Việc hiểu và nắm vững các bài toán xác định góc trong không gian giữa 2
đường thẳng chéo nhau, góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng có sẽ giúp ích được nhiều trong việc giải các bài toán hình học không
gian như tính khoảng cách, chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông
góc…
Em sẽ cố gắng phát triển, nghiên cứu sâu hơn về bài tiểu luận này để phục vụ
cho việc giảng dạy trong chương trình Toán học phổ thông. Bài báo cáo này của
em chắc sẽ còn nhiều thiếu xót kính mong nhận lại được sự góp ý của thầy cô
và các bạn.
17
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011
&7?78 =$)1^$](
• Sách giáo khoa Hình học nâng cao 11 – NXB Giáo dục.
• Sách giáo khoa Hình học cơ bản 11 – NXB Giáo dục.

• Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn, Giải toán Hình học 11, NXB Hà Nội, 2007.
• Các diễn đàn toán học như , …
18
Nguyễn Thị Đoan Trang QHS.2011