Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


1

PHN I: I S
Ch 1: CN THC BIN I CN THC.

1. Hằng đẳng thức đáng nhớ


2
2 2
a b a 2ab b




3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b



2
2 2
a b a 2ab b



3

3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b






3 3 2 2
a b a b a ab b






3 3 2 2
a b a b a ab b






2 2
a b a b a b



2

2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca



2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Điều kiện để căn thức có nghĩa:
A
có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức:


2
A A


AB A. B (A 0;B 0)



A A
(A 0;B 0)
B
B


2
A B A B (B 0)

2
A B A B (A 0;B 0)


2
A B A B (A 0;B 0)



A 1
AB (AB 0;B 0)
B B


A A B
(B 0)
B
B






2
2
C C( A B)
(A 0;A B )
A B

A B

C C( A B)
(A 0;B 0;A B)
A B
A B







Dng 1: Tỡm iu kin biu thc cú cha cn thc cú ngha.

Phng phỏp: Nu biu thc cú:
Cha mu s

KX: mu s khỏc 0
Cha cn bc chn

KX: biu thc di du cn

0
Cha cn thc bc chn di mu

KX: biu thc di du cn

0
Cha cn thc bc l di mu

KX: biu thc di du cn

0


Bi 1: Tỡm x cỏc biu thc sau cú ngha.( Tỡm KX ca cỏc biu thc sau).

§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


2

3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3

5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
















Dạng 2: Dùng các phép biến đổi đơn giản căn thức để rút gọn biểu thức .

Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.
 Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.
 Bước 3: Quy đồng mẫu thức
 Bước 4: Rút gọn


Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn.
22
x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (víi
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)





Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)






Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)

6
1
)
3
216
28
632
( a)












§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


3

Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )



a

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)

















Bài 6: Rút gọn biểu thức:
10099
1

43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)









Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a vµ 0a víi,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a vµ 0b 0,a víi,
ba
1
:
ab
abba
a)
22

22
24



































Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
  
a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiÕt , yxC c)
;1)54(1)54(x víi812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2










Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


4

Dng 3: Bi toỏn tng hp kin thc v k nng tớnh toỏn.
Phng phỏp: Thc hin theo cỏc bc sau:
* Bc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
* Bc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
* Bc 3: a một biểu thức ra ngoài dấu căn
* Bc 4: Rút gọn biểu thức

tớnh giỏ tr ca biu thc bit
x a

ta thay
x a

vo biu thc va rỳt gn.

tỡm giỏ tr ca
x
khi bit giỏ tr ca biu thc A ta gii phng trỡnh
A x


Lu ý: + Tt c mi tớnh toỏn, bin i u da vo biu thc ó rỳt gn.

+ Dng toỏn ny rt phong phỳ vỡ th hc sinh cn rốn luyn nhiu nm c
mch bi toỏn v tỡm ra hng i ỳng n, trỏnh cỏc phộp tớnh quỏ phc tp.

Bi 1: Cho biu thc
21x
3x
P




a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P nu x = 4(2 - 3 ).
c) Tớnh giỏ tr nh nht ca P.
Bi 2: Xột biu thc
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2







a) Rỳt gn A.

b) Bit a > 1, hóy so sỏnh A vi
A
.
c) Tỡm a A = 2.
d) Tỡm giỏ tr nh nht ca A.
Bi 3: Cho biu thc
x1
x
2x2
1
2x2
1
C






a) Rỳt gn biu thc C.
b) Tớnh giỏ tr ca C vi
9
4
x . c) Tớnh giỏ tr ca x
.
3
1
C

Bi 4: Cho biu thc

222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M














a) Rỳt gn M.
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


5

b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a


c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2


















a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q










a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức


yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
2
33

















a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A























a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a 
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M











a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P










a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P 

c) So sánh P với
3
2
.


Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


6


Ch 2: PHNG TRèNH BC HAI NH Lí VI-ẫT.
Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng
2
ax bx c 0

(a 0)
1. Công thức nghiệm:
Ta có
2
b 4ac
.
- Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép

1 2
b
x x
2a

- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
b
x
2a

;
2
b
x
2a


* Công thức nghiệm thu gọn:
Ta có

2
' b' ac
(Với

b
b'
2
).
- Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép

1 2
b'

x x
a

- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt


1
b' '
x
a
;


2
b' '
x
a


2. Hệ thức Vi-et:
Nếu phơng trình có nghiệm x
1
; x
2
thì S =
1 2
b
x x
a

; P =
1 2
c
x .x
a


Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
ax bx c 0

(a 0).
Ta có thể sử dụng định lí Vi-et để tính các biểu thức của x
1
, x
2
theo a, b, c
S
1
=

2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2

b 2ac
x x x x 2x x
a


S
2
=

3
3
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3
3abc b
x x x x 3x x x x
a


S
3
=

2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
b 4ac
x x x x x x 4x x
a

3.

ứng dụng hệ thức Vi-et:
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình
2
ax bx c 0

(a 0).
- Nếu a + b + c = 0 x
1
= 1;
2
c
x
a


- Nếu a - b + c = 0 x
1
= -1;
2
c
x
a


b) Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P

thì x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X
2
- SX + P = 0
c) Phân tích thành nhân tử:
Nếu phơng trình
2
ax bx c 0

(a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2

Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


7

thì




2
1 2
ax bx c a x x x x



4. Các dạng toán cơ bản

:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là
2
b 4ac
0 hoặc
c
0
a


Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình:

2
ax bx c 0

;
2
a'x b'x c' 0

có nghiệm
ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh
1 2
0

Cách 2:
1 2
. 0

Dạng 2: Biểu thức đối xứng hai nghiệm
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S =
1 2
b
x x
a

; P =
1 2
c
x .x
a

, theo m
Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng
2 2 2
1 2
x x S 2P

;


3 3 2
1 2
x x S S 3P

;
1 2

1 1 S
x x P

;
2
2 2 2
1 2
1 1 S 2P
x x P



Dạng 3: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S =
1 2
b
x x
a

; P =
1 2
c
x .x
a

, theo m
Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P,
từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
Dạng 4: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S =
1 2
b
x x
a

; P =
1 2
c
x .x
a

, theo m
Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện
Bớc 4: Kết luận
Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
2. Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về pt bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


8

Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
3. Phơng trình trùng phơng:
4 2
ax bx c 0

(a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x
2
= t 0
Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

Dng 1: Gii phng trỡnh bc hai.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2

2x 2 = 0 ;
7) x
2
+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2 3 x
2
+ x + 1 = 3 (x + 1) ;
9) x
2
2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bi 2: Gii cỏc phng trỡnh sau bng cỏch nhm nghim:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;

5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x
2
+ 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.

Dng 2: Chng minh phng trỡnh cú nghim, vụ nghim.
Bi 1: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ;

5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
2(2m 1)x 3 + m = 0
9) ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
Bi 2:
a) Chng minh rng vi a, b , c l cỏc s thc thỡ phng trỡnh sau luụn cú nghim:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chng minh rng vi ba s thc a, b , c phõn bit thỡ phng trỡnh sau cú hai nghim phõn
bit:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1

c) Chng minh rng phng trỡnh: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vụ nghim vi a, b, c l
di ba cnh ca mt tam giỏc.
d) Chng minh rng phng trỡnh bc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a

2
+ b
2
) = 0 luụn cú hai nghim phõn bit.
Bi 3:
a) Chng minh rng ớt nht mt trong cỏc phng trỡnh bc hai sau õy cú nghim:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


9

bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x
2
+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)

x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
(3) 0
c
b
1
x
b
a
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac

1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2



















với a, b, c là các số dương cho trước.
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Bài 4:

a) Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau được thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm
của phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình: x
2
– 3x – 7 = 0.
Tính:
  
4
2
4
1
3
2
3
1
1221

21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA








Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
vµ
1x
1
21


.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: 5x
2
– 3x – 1 = 0. Không giải phương trình,
tính giá trị của các biểu thức sau:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


10

.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x

x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1
3
1



















Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phương trình
hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
q
vµ
1q
p

.
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là

2610
1
vµ
7210
1

.
Bài 4: Cho phương trình x
2
– 2(m -1)x – m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy vµ
x
1
xy 
.
Bài 5: Không giải phương trình 3x
2
+ 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

  
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA









Bài 6: Cho phương trình 2x
2
– 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phương trình hãy
thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
– x
2
; y
2
= 2x
2
– x
1

Bài 7: Cho phương trình 2x
2
– 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x

2
. Hãy thiết lập phương trình ẩn y
có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:














1
2
2
2
2
2
1
1
22

11
x
x
y
x
x
y
b)
2xy
2xy
a)

Bài 8: Cho phương trình x
2
+ x – 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phương trình ẩn y có
hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:

















0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2
2
2
1
2

2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2
1
21

Bài 9: Cho phương trình 2x
2
+ 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy lập
phương trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


11

21
2121
21
xx
y
1
y
1
vµ
x
1
x
1
yy 


Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để pt có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phương trình (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m – 1)x
2
– 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2mx + m – 4 = 0.

- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
d) Cho phương trình: (a – 3)x
2
– 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phương trình:


06mm
1
x
x12m2
1
2x
x
4x
2
224
2





.
Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phương trình: (m
2

+ m – 2)(x
2
+ 4)
2
– 4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác định m để
phương trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số m để các nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
– x

2
= - 2.
7) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1
2
+ 2x
2
2
– x
1
x
2
nhận giá trị
nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
– 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
– (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1

2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

c) (m – 1)x
2
– 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2

d) x
2
– (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1

x
2
– 5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x
2
+ 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x
1
– 3x
2
= 1
b) x
2
– 4mx + 4m
2
– m = 0 ; x
1
= 3x
2

c) mx
2
+ 2mx + m – 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2

+ 1 = 0
d) x
2
– (3m – 1)x + 2m
2
– m = 0 ; x
1
= x
2
2

e) x
2
+ (2m – 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2

§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


12

f) x
2
– 4x + m
2

+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x
2
– (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Chư phương trình bậc hai: x
2
– mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
;
x
2
sao cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2

1
21


 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx
2
– (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.

Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phương trình x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1

< x
2
< 6.
b) Cho phương trình 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x
2
– 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có
hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1.
Bài 4: Cho phương trình: x
2
+ 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x
2
– mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
≤ - 2 ≤ x
2
.

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phương trình: x
2
– mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương
trình không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x
2
– 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phương trình: 8x
2
– 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm
đối với hai số – 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)

2
x
2
– (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phương trình: x
2
– 2mx – m
2
– 1 = 0.
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


13

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:

2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
 .
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phương trình theo m.
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
– x
2
| ≥ 2.

Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x
2
– 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình
có hai nghiệm x
1
; x
2
thì: 4x
1
x
2
– 3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.

Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số m để pt này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm
của pt kia:
Xét hai pt: ax
2
+ bx + c = 0 (1)
a’x
2
+ b’x + c’ = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho pt (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của pt (1),
ta có thể làm như sau:

i) Giả sử x
0
là nghiệm của pt (1) thì kx
0
là một nghiệm của pt (2), suy ra hệ pt:
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0








Giải hệ pt trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai pt (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai pt bậc hai tương đương với nhau.
Xét hai pt: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x

2
+ b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)
Hai pt (3) và (4) tương đương với nhau khi và chỉ khi hai pt có cùng 1 tập nghiệm
(kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muốn xác định giá trị của tham số để hai pt bậc hai tương đương với nhau,
ta xét hai trường hợp sau:
i) Trường hợp cả hai pt cùng vô nghiệm, tức là:







0
0
)4(
)3(

Giải hệ trên ta tìm được giá trị của tham số.
ii) Trường hợp cả hai pt đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


14

(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0
0

Chỳ ý: Bng cỏch t y = x
2
h pt (*) cú th a v h pt bc nht 2 n nh sau:





c'ya'xb'
caybx

gii quyt tip bi toỏn, ta lm nh sau:
o Tỡm iu kin h cú nghim ri tớnh nghim (x ; y) theo m.
o Tỡm m tho món y = x

2
.
o Kim tra li kt qu.
Bi 1: Tỡm m hai phng trỡnh sau cú nghim chung:
2x
2
(3m + 2)x + 12 = 0
4x
2
(9m 2)x + 36 = 0
Bi 2: Vi giỏ tr no ca m thỡ hai phng trỡnh sau cú nghim chung. Tỡm nghim chung ú:
a) 2x
2
+ (3m + 1)x 9 = 0; 6x
2
+ (7m 1)x 19 = 0.
b) 2x
2
+ mx 1 = 0; mx
2
x + 2 = 0.
c) x
2
mx + 2m + 1 = 0; mx
2
(2m + 1)x 1 = 0.
Bi 3: Xột cỏc phng trỡnh sau:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)

cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tỡm h thc gia a, b, c l iu kin cn v hai phng trỡnh trờn cú mt nghim chung
duy nht.
Bi 4: Cho hai phng trỡnh:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x
2
mx + 10m = 0 (2)
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh (2) cú mt nghim bng hai ln mt nghim
ca phng trỡnh (1).
Bi 5: Cho hai phng trỡnh:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho hai phng trỡnh trờn cú ớt nht mt nghim chung.
b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ hai phng trỡnh trờn tng ng.
Bi 6: Cho hai phng trỡnh:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)

a) nh m hai phng trỡnh cú ớt nht mt nghim chung.
b) nh m hai phng trỡnh tng ng.
c) Xỏc nh m phng trỡnh (x
2
+ mx + 2)(x
2
+ 2x + m) = 0 cú 4 nghim phõn bit
Bi 7: Cho cỏc phng trỡnh:
x
2
5x + k = 0 (1)
x
2
7x + 2k = 0 (2)
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


15

Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phương trình (1).

Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình































1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x

35y2x
5) ;
142y5x
024y3x
4)
106y4x
53y2x
3) ;
53y6x
32y4x
2) ;
5y2x
42y3x
1)

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:




  






    






































5
6y5x
103y-6x
8
3yx
2-5y7x
4) ;
7
5x6y
y
3
1x
2x
4
27y
5
3
5x-2y
3)
;
121x3y33y1x
543y4x42y3-2x
2) ;
4xy5y54x
6xy32y23x
1)

Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình sau
 
 






























































13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y

2
1x
3x
2) ;
1
2xy
3
2yx
4
3
2xy
1
2yx
2
1)
22
2
2

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
Bài 1:
a) Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).


 






32m3nyx2m
nmy1n2mx

b) Định a và b biết phương trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m
2
+ 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


16

sè) thamlµ (m
4myx
m104ymx






a) Giải hệ phương trình khi m =
2

.
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x
2
– y
2
đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi
tương tự với S = xy).
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một
đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 4: Cho hệ phương trình:







5my2x
13mmyx1m

a) Giải và biện luận hệ theo m.
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0.
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ;
y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên
một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phương trình:





12ymx
2myx

a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.

B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình
 






28yx3yx
11xyyx
22

Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


17

  
   
  
  
 
 
   
 
































































35yyxx
30xyyx
10)
5xyyx5
6yxyx
9)
yx7yxyx
yx19yxyx

8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)
17xy1yy1xx
81y1x
5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2
22
2
22
22
22
22

22
22
22
22
22


Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phương trình







x21y
2y1x
3
3

Bài tập tương tự:
Giải các hệ phương trình sau:






























































8x3yy
8y3xx
8)
y
3
x
1

2y
x
3
y
1
2x
7)
y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx
3)
x2xy
y2yx
2)
3x1y
3y1x
1)
3

3
22
22
2
2
3
3
22
22
2
2
















3x7yy
3y7xx
10)

x3yy
y3xx
9)
3
3
2
2

Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phương trình sau:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


18

       
  
   
   






















































































141y5y8x2x
61y3y8xx
15)
084y4xyx
084y4xyx
14)
5y3xxy
1yxxy
13)
02y3xxy
02y2xxy
12)
183y2x
362y3x
11)
40yx
53y2x
10)

0222
12
9)
02
0
8)
02
022
7)
1232
835
6)
05
0532
5)
4
01122
4)
452
442
3)
8
12
2)
03
01
1)
22
22
22

22
22
2
2
22
2
2
22
22
2
yxyyx
xyyx
yx
yx
xy
yx
yx
yxyx
yx
yxyx
xyxy
xyyx
xyxyx
xxxy
yxxy
yxyx
xyx
yx

Chủ đề 4: HÀM SỐ ĐỒ THỊ.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng
f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).

Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


19

b) nh k (d) song song vi ng thng 2x + 3y 5 = 0.

c) nh k (d) vuụng gúc vi ng thng x + 2y = 0.
d) Chng minh rng khụng cú ng thng (d) no i qua im A(-1/2 ; 1).
e) Chng minh rng khi k thay i, ng thng (d) luụn i qua mt im c nh.

Dng 3: V trớ tng i gia ng thng v parabol
Bi 1:
a) Bit th hm s y = ax
2
i qua im (- 2 ; -1). Hóy tỡm a v v th (P) ú.
b) Gi A v B l hai im ln lt trờn (P) cú honh ln lt l 2 v - 4. Tỡm to A v
B t ú suy ra phng trỡnh ng thng AB.
Bi 2: Cho hm s
2
x
2
1
y
a) Kho sỏt v v th (P) ca hm s trờn.
b) Lp phng trỡnh ng thng (d) qua A(- 2; - 2) v tip xỳc vi (P).
Bi 3:
Trong cựng h trc vuụng gúc, cho parabol (P):
2
x
4
1
y v ng thng (D): y = mx - 2m - 1.
a) V th (P).
b) Tỡm m sao cho (D) tip xỳc vi (P).
c) Chng t rng (D) luụn i qua mt im c nh A thuc (P).
Bi 4: Cho hm s

2
x
2
1
y
a) V th (P) ca hm s trờn.
b) Trờn (P) ly hai im M v N ln lt cú honh l - 2; 1. Vit phng trỡnh ng
thng MN.
c) Xỏc nh hm s y = ax + b bit rng th (D) ca nú song song vi ng thng MN v
ch ct (P) ti mt im.
Bi 5:
Trong cựng h trc to , cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) v ng thng (D): y = kx + b.
1) Tỡm k v b cho bit (D) i qua hai im A(1; 0) v B(0; - 1).
2) Tỡm a bit rng (P) tip xỳc vi (D) va tỡm c cõu 1).
3)V (D) v (P) va tỡm c cõu 1) v cõu 2).
4) Gi (d) l ng thng i qua im






1;
2
3
C v cú h s gúc m
a) Vit phng trỡnh ca (d).
b) Chng t rng qua im C cú hai ng thng (d) tip xỳc vi (P) ( cõu 2) v vuụng

gúc vi nhau.

Ch 5:
GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH H PHNG TRèNH
A. Cỏc bc gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh:
Bc 1 : Lp h phng trỡnh(phng trỡnh)
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


20

1) Chn n v tỡm iu kin ca n
(thụng thng n l i lng m bi toỏn yờu cu tỡm).
2) Biu th cỏc i lng cha bit theo n v cỏc i lng ó bit.
3) Lp h phng trỡnh, (phng trỡnh)biu th mi quan h gia cỏc lng.
Bc 2 : Gii h phng trỡnh, (phng trỡnh)
Bc 3 : Kt lun bi toỏn.

Dng 1: Chuyn ng
(trờn ng b, trờn ng sụng cú tớnh n dũng nc chy)
Bi 1: Mt ụtụ i t A n B trong mt thi gian nht nh. Nu xe chy vi vn tc 35 km/h thỡ
n chm mt 2 gi. Nu xe chy vi vn tc 50 km/h thỡ n sm hn 1 gi. Tớnh quóng
ng AB v thi gian d nh i lỳc u.
Bi 2: Mt ngi i xe mỏy t A n B cỏch nhau 120 km vi vn tc d nh trc. Sau khi
c
3
1
quóng ng AB ngi ú tng vn tc thờm 10 km/h trờn quóng ng cũn li.
Tỡm vn tc d nh v thi gian xe ln bỏnh trờn ng, bit rng ngi ú n B sm
hn d nh 24 phỳt.

Bi 3: Mt canụ xuụi t bn sụng A n bn sụng B vi vn tc 30 km/h, sau ú li ngc t B
tr v A. Thi gian xuụi ớt hn thi gian i ngc 1 gi 20 phỳt. Tớnh khong cỏch gia
hai bn A v B. Bit rng vn tc dũng nc l 5 km/h v vn tc riờng ca canụ lỳc xuụi
v lỳc ngc bng nhau.
Bi 4: Mt canụ xuụi mt khỳc sụng di 90 km ri ngc v 36 km. Bit thi gian xuụi dũng
sụng nhiu hn thi gian ngc dũng l 2 gi v vn tc khi xuụi dũng hn vn tc khi
ngc dũng l 6 km/h. Hi vn tc canụ lỳc xuụi v lỳc ngc dũng.

Dng 2: Toỏn lm chung lm riờng (toỏn vũi nc)
Bi tp 1:
Hai vũi nc cựng chy y mt b khụng cú nc trong 3h 45ph . Nu chy riờng r , mi vũi
phi chy trong bao lõu mi y b ? bit rng vũi chy sau lõu hn vũi trc 4 h .
Gii
Gi thi gian vũi u chy chy mt mỡnh y b l x ( x > 0 , x tớnh bng gi )
Gi thi gian vũiau chy chy mt mỡnh y b l y ( y > 4 , y tớnh bng gi )
1 gi vũi u chy c
x
1
( b )
1 gi vũi sau chy c
y
1
( b )
1 gi hai vũi chy c
x
1
+
y
1

( b ) (1)
Hai vũi cựng chy thỡ y b trong 3h 45ph =
4
15
h
Vy 1 gi c hai vũi chy c 1:
4
15
=
15
4
( b ) ( 2)
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


21

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
x
1
+
y
1
=
15
4

Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là y – x = 4
Vậy ta có hệ phương trình

x
1
+
y
1
=
15
4

y – x = 4























































)(
5,1
5,2
)(
10
6
4
5,2
6
4
03072
4
060144
4
5
4
4
11
22
b
y
x
a
y
x
xy

x
x
xy
xx
xy
xx
xy
xx

Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:
Hai người thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi người nửa việc thì tổng số giờ
làm việc là 12h 30ph . Nếu hai người cùng làm thì hai người chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Như
vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi người mất bao nhiêu thời gian ?

Giải
Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12
2
1
( 1 )
thời gian người thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ người thứ nhất làm được
x
2
1
công việc

Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm
được
y2
1
công việc
1 giờ cả hai người làm được
6
1
công việc nên ta có pt :
x
2
1
+
y2
1
=
6
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :


























5
2
15
2
15
5
6
1
2
1
2
1
2
1
12

y
x
y
x
yx
yx

Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn người kia làm trong 5
giờ


Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


22

Bi tp 3:
Hai t thanh niờn tỡnh nguyn cựng sa mt con ng vo bn trong 4 gi thỡ xong . Nu lm
riờng thỡ t 1 lm nhanh hn t 2 6 gi . Hi mi i lm mt mỡnh thỡ bao lõu s xong vic ?
Gii
Gi thi gian mt mỡnh t 1sa xong con ng l x( gi ) ( x 4 )
Thi gian mt mỡnh t 2 sa xong con ng l x + 6 ( gi )
Trong 1 gi t 1 sa c
x
1
( con ng )
Trong 1 gi t 2 sa c
6
1

x
(con ng )
Trong 1 gi c hai t sa c
4
1
(con ng )
Vy ta cú pt:
x
1
+
6
1

x
=
4
1
0242)6(4)6(4
2
xxxxxx x
1
= 6; x
2
= -4
X
2
= - 4 < 4 , khụng tho món iu kin ca n
Vy mt mỡnh t 1 sa xong con ng ht 6 ngy
mt mỡnh t 2 sa xong con ng ht 12 ngy

Bi tp 4:
Hai i cụng nhõn lm mt on ng . i 1 lm xong mt na on ng thỡ i 2 n lm
tip na cũn li vi thi gian di hn thi gian i 1 ó ó lm l 30 ngy . Nu hai i cựng lm
thỡ trong 72 ngy xong c on ng .Hi mi i ó lm bao nhiờu ngy trờn on ng ny
?
Gii
Gi thi gian i 1 lm l x ngy ( x > 0 ) thỡ thi gian i 2 lm vic l x + 30 ( ngy )
Mi ngy i 1 lm c
x
2
1
( on ng )
Mi ngy i 2 lm c
)30(2
1
x
( on ng )
Mi ngy c hai i lm c
72
1
( on ng )
Vy ta cú pt :
x
2
1
+
)30(2
1
x

=
72
1

Hay x
2
-42x 1080 = 0

/
= 21
2
+ 1080 = 1521 =>
/
= 39
x
1
= 21 + 39 = 60 ; x
2
= 21- 39 = - 18 < 0 khụng tho món k ca n
Vy i 1 lm trong 60 ngy , i 2 lm trong 90 ngy .
Bi 5:
Hai i cụng nhõn trng rng phi hon thnh k hoch trong cựng mt thi gian . i 1 phi
trng 40 ha , i 2 phi trng 90 ha . i 1 hon thnh cụng vic sm hn 2 ngy so vi k
hoch .i 2 hon thnh mun hn 2 ngy so vi k hoch . Nu i 1 lm cụng vic trong mt
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa


23

thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích

trồng được của hai đội bằng nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng được
2
40

x
(ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng được
2
90

x
(ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được
2
40

x
(x + 2) (ha)
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng được
2
90

x
(x - 2) (ha)
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta có pt:

2
40

x
(x + 2) =
2
90

x
(x - 2)
Hay 5x
2
– 52x + 20 = 0

/
= 26
2
– 5.20 = 576 ,
/
= 24
x
1
=
5
2426

= 10 ; x
2
=

5
2
5
2426



x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn
Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .


Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3
giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc . Hỏi mỗi người làm công
việc đó trong mấy giờ thì xong .
Giải:
Gọi x , y lần lượt là số giờ người thứ nhất người thứ hai một mình làm xong công việc đó
( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt
















28
24
4
163
16
111
y
x
yx
yx

Bài 7 : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất
chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được
5
2
bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong
bao lâu thì đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y lần lượt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


24

Ta cú h pt

























15
10
5

232
2
133
5
232
6
111
y
x
yx
yx
yx
yx

x = 10 , y = 15 tho món k ca n . Vy vũi th nht chy mt mỡnh mt 10 gi , vũi th hai
chy mt mỡnh mt 15 gi .

Bi tp 8 ( 199/24 - 500 BT chn lc )
Hai ngi d nh lm mt cụng vic trong 12 gi thỡ xong . H lm vi nhau c 8 gi thỡ
ngi th nht ngh , cũn ngi th hai vn tip tc lm . Do c gng tng nng sut gp ụi ,
nờn ngi th hai ó lm xong cụng vic cũn li trong 3gi 20phỳt . Hi nu mi ngi th lm
mt mỡnh vi nng sut d nh ban u thỡ mt bao lõu mi xong cụng vic núi trờn ?
( thi chuyờn toỏn vũng 1 tnh Khỏnh Ho nm 2000 2001 )
Gii:
Gi x , y ln lt l thi gian ngi th th nht v ngi th th hai lm xong cụng vic vi
nng sut d nh ban u .
Mt gi ngi th nht lm c
x
1
(cụng vic )

Mt gi ngi th hai lm c
y
1
(cụng vic )
Mt gi c hai ngi lm c
12
1
(cụng vic )
Nờn ta cú pt :
x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
trong 8 gi hai ngi lm c 8.
12
1
=
3
2
(cụng vic )
Cụng vic cũn li l 1 -
3
2
=
3

1
( cụng vic )
Nng sut ca ngi th hai khi lm mt mỡnh l 2.
y
1
=
y
2
(Cụng vic )
M thi gian ngi th hai hon thnh cụng vic cũn li l
3
10
(gi) nờn ta cú pt

3
1
:
y
2
=
3
10
hay
6
y
=
3
10
(2)
T (1) v (2) ta cú h pt :

1
x
+
1
y
=
1
12

y
6
=
10
3






x=30
y=20

Vy theo d nh ngi th nht lm xong cụng vic ht 30gi v ngi th hai ht 20 gi .

Bi tp 9: ( 400 bi tp toỏn 9 )
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa


25

Hai ngi A v B lm xong cụng vic trụng 72 gi , cũn ngi A v C lm xong cụng vic trong
ú trong 63 gi v ngoỡ B v C lm xong cụng vic y trong 56 gi . Hi nu mi ngi lm
mt mỡnh thỡ trong bao lõu thỡ trong bao lõu s lm xong cụng vic >Nu ba ngi cựng lm s
hon thnh cụng vic trong my gi ?

Gii :
Gi ngi A mt mỡnh lm xong cụng vic trong x (gi ), x > 0 thỡ mi gi lm c
x
1
(c. vic).
Ngi B mt mỡnh lm xong cụng vic trong y (gi ), y > 0 thỡ mi gi lm c
y
1
( cụng vic)
Ngi C mt mỡnh lm xong cụng vic trong z (gi ), z > 0 thỡ mi gi lm c
z
1
( cụng vic)
Ta cú hpt :

4
5
100
5
504
126
4
504

168
3
504
56
111
63
111
72
111
z
y
x
zy
zx
yx

Nu c ba ngi cựng lm thỡ mi gi lm c
x
1
+
y
1
+
z
1
=
504
12
( cụng vic )
Vy c ba ngũi cựng lm s hon thnh cụng vic trong 42

12
504
(gi )


Bi tp 10: ( 258 /96 nõng cao v chuyờn )
Hai i cụng nhõn cựng lm chung mt cụng vic . Thi gian i I lm mt mỡnh xong cụng
vic ớt hn thi gian i II lm mt mỡnh xong cụng vic ú l 4 gi . Tng thi gian ny gp
4,5 ln thi gian hai i cựng lm chung xong cụng vic ú . Hi mi i lm mt mỡnh thỡ
phi bao lõu mi xong .
Gii :
Gi thi gian i I lm mt mỡnh xong cụng vic l x gi ( x > 0 )
Suy ra thi gian i II lm mt mỡnh xong cụng vic l x + 4 gi
Trong 1 gi hai i lm chung c :
)4(
42
4
11





xx
x
xx
( cụng vic )
Thi gian hai i lm chung xong cụng vic l
4
2

)4(


x
xx
(gi)
Vy ta cú pt : 2x + 4 = 4,5 .
4
2
)4(


x
xx
hay x
2
+ 4x 32 = 0 x
1
= - 8 ( loi ) x
2
= 4 ( tho món
iu kin ca n ).
Vy i I lm mt mỡnh xong cụng vic ht 4 gi , i hai ht 8 gi .
Bi 1: