tổng hợp đề thi học sinh giỏi toán học lớp 12

Trờng THPT Yên Mô B
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1. Giải các phơng trình:
1. cos
5
x + sin
7
x +
1
2
(cos
3
x + sin
5
x)sin2x = cosx + sinx
2.
x
+
7x
+ 2
2
7x x
= 35 - 2x
Câu 2. Cho hàm số y =
1
2
x
x

1. Chứng minh rằng đờng thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm
phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị. Khi nào thì hai tiếp tuyến tại hai điểm đó song
song với nhau?
2. Tìm điểm A thuộc đồ thị hàm số đã cho sao cho tổng khoảng cách từ A đến hai trục
toạ độ nhỏ nhất.
Câu 3.
1. Chứng minh rằng với mọi x, y ta có : x
2
.sin
2
y + cos
2
y + 2x(sinx + cosy) + x
2
+ 1 > 0
2. Trong các nghiệm của hệ
2 2
2 2
9
16
12
x y
z t
xt yz

Hãy tìm giá trị lớn nhất của x + y
Câu 4.
1. Cho 13 số thực khác nhau chứng minh rằng luôn tìm đợc hai số a, b trong 13 số đó
thoả mãn 0 <
1
a b
ab


<
2 3
2 3


2. Cho dãy số (u
n
) thoả mãn:
1
2
1
1
2
n n n
u
u u u

Tìm lim
1 2 3
1 1 1 1

1 1 1 1
n
u u u u





Câu 5
Cho hai đờng thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau d
1
và d
2
, AB là đoạn vuông góc
chung, A thuộc d
1
B thuộc d
2
. Biết AB = 2a, C là điểm nằm trên d
1

D là điểm nằm trên
d
2
Đặt AC = x, BD = y.
a. CMR các mặt của tứ diện ABCD là tam giác vuông khi đó tính tổng bình phơng
diện tích các mặt của tứ diện ABCD theo a, x, y đặt tổng này là S.
b. Tìm hệ thức giữa x, y và a để CD = x + y. khi đó tìm x, y sao cho S nhỏ nhất.
Hết


Đ
Ề CHÍNH THỨC




UBND T
ỈNH BẮC NIN
H
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================

Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số
3

y x 3x 2  
có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T),
tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng
khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.
2/ Cho hàm số
2n 1
y x 2011x 2012 (1)

   , chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị
hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình:


2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x      .
2/ Giải phương trình:
   
2
2
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
    
 
 .
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu
k
n

C là tổ hợp chập k của n phần tử


0 k n; k,n   , tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C 2010C 2011C      .
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,


AD 4a a 0 
, các cạnh
bên của hình chóp bằng nhau và bằng
a 6
. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có


0 0
BAC 60 ,CAD 120 
. Gọi E là chân đường phân giác trong góc A
của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
2 2
x y  
. Chứng minh rằng:



cos x cos y 1 cos xy   .
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - 1
(Thời gian làm bài 180’)
ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x
4
- 6x
2
+ 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng
thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
Câu 2: Giải hệ phương trình.
x+y =
14 z

y + z = 14 x
z + x = 14 y
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y
2

= 4x. M là một điểm di động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT
vuông góc với OM.
a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một
điểm cố định.
b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên

1 pa ra bol cố định .
Câu 4: Giải phương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =
2
33

Câu 5: Cho dãy số I
n
=



n
n
dx
x
x
4
2
cos
, nN*
Tính
n
lim I
n

Câu 6: Cho 1  a > 0, chứng minh rằng.
1
ln


a
a
<
3
3
1
aa
a







ĐÁP ÁN
Câu 1: (3 điểm )
Tập xác định: D = R y = x
4
- 6x
2
+ 4x + 6.
y’ = 4x
3
- 12x + 4 y’ = 0 <=> g(x) = x
3
- 3x + 1 = 0 (1)
Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3

0 2) 1).g( g(
0 1) g(-1).g(
0 1) 2).g(- g(-









g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :
- 2 < x
1
< -1 < x
2
< 1 < x
3
< 2
* Ta có y =
4
1
y’.x- 3.(x
2
- x - 2) (1)
Gọi các điểm cực trị là A (x
1
,y
1

), B(x
2
,y
2
), C (x
3
,y
3
) và G (x
0
,y
0
) là trọng tâm tam
giác ABC.
Theo ĐL Viet có x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 (2)
x
1
x
2
+ x
2
x
3
= x

3
x
1
= -3 (3)
Từ (2) suy ra x
0
=
3
321
xxx


= 0
Từ (1) (2) (3) suy ra:
y
0
=
3
1
(y
1
+y
2
+y
3
) = -3 (
2
3
2
2

2
1
xxx  )-(x
1
+x
2
+x
3
) - 6
= -3 (x
1
+ x
2
+ x
3
)
2
- 2 (x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0

Vậy G (0;0)  0(0;0) (ĐPCM)
Câu 2: ( 2 điểm)
x+y =
14 z
(1)
y + z = 14 x (2) (I) đk x,y,z >
4
1

z + x = 14 y (3)
áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:
1).14(14  zz <
2
1)14(


z
= 2z (1’)
Tương tự 14 x < 2x (2’) 14 y < 2y (3’)
Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra.
2(x+y+z) = 141414  yxz < 2z + 2x + 2y (4)
Từ (4) suy ra:
4z - 1 = 1
(I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z =
2
1
nghiệm đúng (I)
4y - 1 = 1
Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z =
2

1

Câu 3: (P): y
2
= 4x



a. (3điểm ) Giả sử
y ;
4
y
M
1
2
1








;
y ;
4
y
2
2

2








T
với y
1
,y
2
 0; y
1
 y
2
.
OTOM 
0 .yy
4
y
.
4
y
0 OM.OT
21
2
1

2
1


 y
1
. y
2
+ 16 = 0 (1)
Phương trình đường thẳng MT:

y - y
y - y

4
y
-
4
y


4
y
- x
12
1
2
1
2
2

2
1


 4x -
2
1
y = (y
1
+ y
2
). (y-y
1
)
 4x - (y
1
+ y
2
) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y
1
+ y
2
) y= 0
Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)
b. (3điểm) Gọi I (x
0
, y
0
) là trung điểm MT thì
x

0
=


y y
8
1
2
2
2
1
 (1)
y
0
=
2
y y
21

(2)
Từ (1) suy ra x
0
=
8
1
(y
1
+y
2
)

2
- 2y
1
y
2
 =
8
1
(2y
0
)
2
- 2 (-16)
=
2
1
. 4
2
0
y 
2
0
y = 2x
0
- 8
Từ đó  I chạy trên parabôn (P) : y
2
= 2x = 8 cố định .
Câu 4: (3 điểm)
sin x + sin y + sinz (x+y) =

2
33
(1)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có .
2
)
2
33
(
4
27
 = [sinx + siny + sinz (x+y)]
2
< (1
2
+ 1
2
+1
2
).(sin
2
x + zin
2
y + sin
2
(x+y))
= 3. 
2
2cos1
2

2cos1 yx



+sin
2
(x+y)
= 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos
2
(x+y)]
= 3. 2-(cos (x+y)+
2
1
cos (x-y)
2
) +
4
1
cos
2
(x-y)
< 3 (2- 0 +
4
1
) =
4
27
(2) (Do cos
2
(x-y) < 1; (cos (x+y) +

2
1
cos (x-y)
2
> 0
Từ (2) suy ra:
cos
2
(x-y) = 1
(1)  cos (x+y) +
2
1
cos (x-y) = 0

sinx = sin y = sin (x+y) =
2
3


Z n, k víi
2n
3
y
2k
3
x
















Câu 5: (3 điểm)
dx
x
cosx
I
4n
2n
n





Ta chứng minh: 0 < I
n
<

n
4

1
(1)
Ta có: I
n
=



n
n
x
x
4
2
cos
dx =



n
n
x
xd
4
4
)(sin
=
x
xsin



n
n
2
4
-



n
n
x
dx
4
2
)
1
(.sin

=



n
n
x
x
4
2

2
sin
dx
* Ta có:
2
sin
x
x
<
2
1
x
x  2n , 4n  nên
I
n
<
x
x
dx
n
n
1
4
2
2







n
n
2
4
= -

n
n
n
4
1
2
1
4
1
 (2)
* Ta có: I
n
=
12 


n
nk





)1(2
2
2
sin
k
k
x
x
dx đặt J
K
=




)1(2
2
2
sin
k
k
x
x
dx
=> J
K
=





)12(
2
2
sin
k
k
x
x
+





)1(2
)12(
2
sin
k
k
x
x
dx >




)1(2
2

sin
k
k
x
(
22
)(
11



xx
)dx >0 (3)
Ta lại có: I
n
=
12 


n
nk
J
k
do (3) nên I
n
> 0 (4)
Từ (2) (4) suy ra 0 < I
n



n
4
1
 (1) đúng
Ta lại có
n
Lim

n
4
1
= 0 nên
0 I Lim
n
n



Câu 6: (3 điểm)
1
ln

a
a
<
3
3
1
aa
a



(1) với 1  a > 0
Trong hợp 1: a >1
(1) <=> (a +
3
a )lna < (1 +
3
a ) (a-1) (2) Đặt x =
3
a => x >1
(2) <=> 3(x
3
+x) lnx < (1+x).(x
3
-1) x > 1
<=> x
4
+ x
3
- x - 1 - 3 (x
3
+x)lnx > 0 (3) x > 1
Đặt f(x) = x
4
+ x
3
- x - 1 -3 (x
3
+ x)lnx x 1;+


)
Ta có f’(x) = 4 x
3
+ 3x
2
- 1 - 3 (3x
2
+ 1) lnx + (x
3
+ x) .
x
1

= 4x
3
- 4 - 3 (3x
2
+ 1) lnx
f”(x) = 3.(4x
2
- 3x - 6xln x -
x
1
) f
(3)
(x) = 3 ( 8x +
2
1
x

-6ln x - 9)
f
(4)
(x) = 3.(8-
3
26
x
x
 ) =
3
3
)134(6
x
xx 
=
3
2
144)(1(6
x
xxx 
> 0 , x > 1
Suy ra f
(3)
(x) đồng biến nên [1;+

)
f
(3)
(x) > f
(3)

(1) = 0 tương tự f’(x)> 0 với x > 1
 f(x)> f (1) = 0 với x >1 suy ra (3) đúng.
Trường hợp 2: 0 < a < 1 đặt a =
1
1
a
, a
1
> 1 quay về trường hợp 1.


Trường THPT chuyên ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN LỚP 12
Nguyễn Bỉnh Khiêm Thời gian : 45 phút
(Dành cho lớp chuyên Anh)

Bài 1) ( 8 điểm) Cho hàm số y =
3
2
4
2 3
3 3
x
x x
  

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x
3
– 6x

2
+ 9x – 4 = 3m
2
– 7m
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;
5
3
)
Bài 2) ( 2 điểm) Cho hàm số y =
3
1
x
x


có đồ thị (C)
Xác định m để đường thẳng d: y = m(x – 3) + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai
nhánh.

ĐÁP ÁN
Bài 1) ( 8 điểm)
1) (3 điểm)
+ TXĐ: D = R
+
lim
x
y

 
,

lim
x
y

 

+ y’ = x
2
– 4x + 3 , y’ = 0
1 0
4
3
3
x y
x y
  




   


+BBT
x -

1 3 +


y’ + 0 - 0 +

y

0 +


-


4
3




+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-

; 1) và ( 3; +

), nghịch biến trên khoảng (1; 3)
Điểm cực đại đồ thị (1,0), điểm cực tiểu đồ thị (3,
4
3

)
+y” = 2x – 4 , y” = 0

x = 2
2
3

y
  
. Suy ra điểm uốn đồ thị (2,
2
3

)
+ Điểm đặc biệt : x = 0
4
3
y
  
., y = 0
1
4
x
x







+ Đồ thị

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.


4
2
-2
-5 5
h x
 
=
x
3
3
-2

x
2
 
+3

x
 
-
4
3


2) (2,5 điểm)
Phương trình : x

3
– 6x
2
+ 9x – 4 = 3m
2
– 7m
3
2 2
4 7
2 3
3 3 3
x
x x m m
     
(1)
+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y =
2
7
3
m m

cắt đồ thị
y =
3
2
4
2 3
3 3
x
x x

  
tại 3 điểm phân biệt
2
4 7
0
3 3
m m
    


2
2
7 4
0
3 3
7
0
3
m m
m m

  




 




4
0 1
1
3
4 7
7
0
3 3
3
m
m m
m
m

 
  







 

 




3) (2,5 điểm)
+ Đường thẳng d qua A(1,
5
3
) với hệ số góc k có phương trình : y = k(x – 1) +
5
3

+ Đường thẳng d tiếp xúc đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

3
2
2
4 5
2 3 ( 1) (1)
3 3 3
4 3 (2)
x
x x k x
x x k

     



  


Thế (2) vào (1) ta có

3
2
4
2 3
3 3
x
x x
  
= (x – 1) ( x
2
– 4x + 3) +
5
3



x(2x
2
– 9x + 12) = 0

x = 0 .
Thế x = 0 vào (2) ta có k = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 3(x – 1) +
5
3


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Bài 2) (2 điểm)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :

3
( 3) 1
1
x
m x
x

  




2
1
2 3 4 0(1)
m
mx mx m
 


   


+ Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khi và chỉ khi (1) có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa điều kiện x
1

< - 1 < x
2


2
1 2
0
(4 3 ) 0
( 1)( 1) 0
m
m m m
x x



    


  


2
1 2 1 2
0
4 4 0
( ) 1 0
m
m m
x x x x




 


   


0
0 1 0
4 3
2 1 0
m
m m m
m
m




    




  


**********************
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

For evaluation only.
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Năm học 2010 – 2011
TỔ TOÁN MÔN TOÁN – LỚP 12
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1: (5 điểm)
Cho hàm số:
4 2 2
y x 2(m 2)x m 3m 1
= + + + + +
.
Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam
giác vuông cân.
Bài 2: (4 điểm)
Cho
f (x) cos2x 2 2 cos x 2x
4
 
 
 
π
= − − +
.
Giải phương trình:
f '(x) f ' 4
2
 
 
 

π
= −
.
Bài 3: (5 điểm)
Cho phương trình:
2
2
m x x x 1 x
3
+ − = + −
.
a/ Giải phương trình khi m = 1.
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, BC = a
2
. Mặt phẳng (P) đi qua AB và chia tam giác SCD thành hai phần sao cho
diện tích phần thứ nhất bằng 8 lần diện tích phần thứ hai (phần thứ hai là phần chứa đỉnh của
hình chóp). Giả sử mp(P) vuông góc với mp(SCD), tính diện tích hình thiết diện tạo bởi hình
chóp S.ABCD với mp(P).
Bài 5: (2 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn:
xy yz zx 3xyz
+ + <
.
Chứng minh rằng:
x y y z z x
3 2
xy yz zx

+ + +
+ + < .
HẾT

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180’


Caâu 1 (4ñ)
Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện :

4 4 4 4 2
1
a b c d e
    

Chứng minh rằng :

3 3 3 3 3
4
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5
4
a b c d e
b c d e c d e a d e a b e a b c a b c d
    

              

Câu 2 (4đ)
Giải phương trình sau :

xxx cos3cos4sin
33


Câu 3 (4đ)
Cho dãy số (a
n
) , n= 1,2,3…. được xác định bởi
2
1 1
0,
n n n
a a ca a

  

với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương. Chứng minh rằng :


1 1
1
. .
n n n
n
a c n a

 



Câu 4 (4đ)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác không vuông ABC .
Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) 0
tgA tgB OC tgB tgC OA tgC tgA OB
     
   

Câu 5 (4đ)
Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu
S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R. còn các cạnh CA,CBvà DA,DB
tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r.
Chứng minh rằng :

4 2 2 4 2 2
( 4 ) ( 4 )
AB CD r CD AB R
  



Hết

4

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG

ĐỀ THI ĐBSCL MÔN TOÁN

BÀI 1 (số học )
Cho ,
a b Z

. Chứng minh rằng :
Nếu 24a
2
+ 1 = b
2
thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5.

BÀI 2 (Đại số)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = 20x
144
– 1.x
120
+ 2006, xIR.

BÀI 3 (Hình học phẳng)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di động
sao cho
1 1 1
AM AN l
 

(không đổi).
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định.

BÀI 4 (Hình học không gian)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B
lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N. Định điểm S trên d
sao cho đoạn SN ngắn nhất.

BÀI 5 (dãy số)
Cho dãy


*
n
n N
u

và
(1). (3) (2 1)
, 1;2;3;
(2). (4) (2 )
n
f f f n
u n
f f f n

 

Trong đó : f(n) = (n

2
+ n + 1)
2
+ 1
Chứng minh rằng :
2
lim
2
n
n
n u


1
SỞ GD&ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG


ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
Thời gian: 180 phút
Câu 1 (3đ) :
Giải hệ phương trình:

2 2 2 2 2
3 3 3 3
( 3 4 ) 27( )
93
x y z t x y z t
x y z t


      


   




Câu 2 (3đ):
Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ
từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ
từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường
thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.

Câu 3 (2đ):
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

3 2 2 2 2 2 2
4 4 4 5 4 4 8 0
       
y x y xy x y x y xy x

Câu 4 (3đ):

Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau :

1
2
1
2008
2009
2 1 0 , 1,2,3,
n n
u
u u n






    


Tìm
lim
n
n
u



Câu 5 (3đ):

Cho hai số tự nhiên n, k thỏa :
0

k n
 
. Chứng minh rằng :

0 2 1 2 2 2
2 2
. (( ) ( ) ( ) )
n n n
n k n k n n n
C C C C C
 
   


Câu 6 (3đ):

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện:

2 2 2
1.
x y z
  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
xy yz zx
f
z x y
  
Câu 7 (3đ):

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh
C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất.

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1.1. Cho hàm số
1x
2x
y



(C). Cho điểm A (0;a) .Xác định a đẻ từ A kẻ được hai tiếp tuyến
tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía trục ox.
1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau:
 
3
6 3 2 2 2 2
15x z 3x z 5x z y y    
Câu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trình:

2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2

x
x
x
x
2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có:




























 3
333
43
3
3
3
3
3
C
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg

A
tg
Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Giải bất phương trình:
113223
22
 xxxxx
3.2. Tìm m để phương trình:
 
2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)     
có nghiệm x
0; 1 3
 
 
 
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Cho đa thức P
(x)
= x
5
+ x
4
– 9x
3
+ ax
2
+bx + c.
Biết rằng P
(x)

chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3). Hãy tìm đa thức ấy.
4.2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:










n
n
n
u
u
u
u
.31
3
2
1
1
với
1n
Xác định số hạng tổng quát (u
n

) theo n.
Câu 5: (3.0 điểm)
5.1. Cho tam giác ABC. Xét tập hợp gồm năm đường thẳng song song với AB, sáu đường
thẳng song song với BC và bảy đường thẳng song song với CA. Hỏi các đường thẳng này tạo ra bao
nhiêu hình bình hành, bao nhiêu hình thang?
5.2. Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức:
     
n
n
n
nnn
C
n
CnCC
2
22
2
2
1
2
2 
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho






 3;

3
1
,, cba
. Chứng minh rằng:
5
7





 ac
c
cb
b
ba
a
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng
03:;06:;043:
321
 xdyxdyxd
. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
rằng A và C thuộc d
3
, B thuộc d
1
, D thuộc d
2
.

7.2. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
62
.
Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán
kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Ngày 21-9-2009
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)
Điểm
Đáp án
3.0
Câu 1
2.0
1.1. Phương trình tiếp tuyến.
0.25
Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)
0.25
Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:














)3(k
)1x(
3
)2(akx
1x
2x
2
có nghiệm
1x 
0.25
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được:
)4(02ax)2a(2x)1a(
2

0.25
Để (4) có 2 nghiệm
1x 
là:















2a
1a
06a3'
03)1(f
1a
0.25
Hoành độ tiếp điểm
21
x;x
là nghiệm của (4) . Tung độ tiếp điểm là
1x
2x
y
1
1
1



,
1x
2x

y
2
2
2



0.5
Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là :
0
)2x)(1x(
)2x)(2x(
0y.y
21
21
21




0.25
3
2
a0
3
6a9
0
1)xx(xx
4)xx(2xx
2121

2121






. Vậy
1a
3
2

thoả mãn đkiện bài toán
1.0
1.2. Giải phương trình nghiệm nguyên dương.
0.25
     
3 3
2 2 3 2 2
(1) 5 3x z 5x y x y     
0.25
Áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số ; ta đđược:
VT VP
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
5x y z  
0.25
Từ phương trình:
   
2 2

5 5x y x y x y     
0.25
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:
   
, , 3,2,9x y z 
3.0
Câu 2
2.0
2.1. Giải phương trình lượng giác.
0.5
2 2
2
2 2
sin 2 0
sin sin 2
2
sin sin 2
sin 2 sin
0
sin 2 sin
x
x x
PT
x x
x x
x x



   


 
 
 

 

1.0
hay



















4
1

cos
02sin
2sinsin
02sin
2sinsin
02sin
2
2222
x
x
xx
x
xx
x
.
0.5
VËy








Zkkx
kx
,2
3
2

2
3




1.0
2.2. CMR
0.25
Tõ
3333
ACB


, ta suy ra:
tan tan
3 3 3 3
B C A

   
  
   
   
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
0.25
Hay
3
3 3 3
1 . 1 3.
3 3 3

B C A
tg tg tg
B C A
tg tg tg
 

 
0.25
3 . .
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg    
0.25
3 3 3 4 3
3 3 3 3 3 3
A B C A B C
tg tg tg tg tg tg
     
       
     
     
3.0
Câu 3
1.5
3.1. Giải bất phương trình:
113223
22
 xxxxx
ĐS
*BPT có tập nghiệm S=(-;1/2]


{1}
1.5
3.2. Tìm tham số m.
ĐS
Do đó, ycbt

bpt
2
t 2
m
t 1



có nghiệm t  [1,2]

 

  
t 1;2
2
m maxg(t) g(2)
3
Vậy m

2
3
3.0
Câu 4

1.5
4.1. Tìm đa thức.
ĐS
Vậy đa thức phải tìm là P
(x)
= x
5
+ x
4
– 9x
3
- x
2
+20x - 12.
1.5
4.2. CMR
ĐS
Suy ra:
61
32
3
tan
3
502tan
3
2007tan
2008































u
3.0
Câu 5

1.0
5.1.
0.5
Số hình bình hành là:
675
2
7
2
6
2
7
2
5
2
6
2
5
 CCCCCC
(hình).
0.5
Số hình thang là:
1575
1
5
1
6
2
7
1
7

1
5
2
6
1
7
1
6
2
5
 CCCCCCCCC
(hìnhh)
2.0
5.2. CMR
0.5
Đặt S là vế trái hệ thức cần chứng minh, lưu ý
1
0

n
nn
CC
và
kn
n
k
n
CC



0.5
Ta thấy:
       
 
1 2
22
1
2
2
2
1 n
n
n
nnn
CnCnCnCnS 

0.75
Từ
     
Rxxxx
nnn
 ,111
2
. So sánh hệ số của
n
x
trong khai triển nhị thức Newton của
   
nn
xx  11

và
 
n
x
2
1
ta suy ra:
     
 
2
2
22
2
2
1 n
n
n
nnn
CCCC 
0.25
Từ (1) và (2) có đpcm.
2.0
Câu 6
0.25
Đặt
 
ac
c
cb
b

ba
a
cbaF





,,
Giả sử
 
cbaa ,,max
.
0.5
Ta có:
 
 
   
   
 
 
2
2
, , , , 0 1
a b ab c
a b c b
F a b c F a b ab
a b b c c a
a b
a c b c a b

 
      
  

  
0.5
Để ý rằng
 
5
7
1
2
1
1
5
7
,, 




b
a
a
b
abbaF
. Đặt
3
b
a

x
, ta thấy
0.5
   
 
 
2
2
2
1 2 7 2 7 1
0 3 2 1 1 0 2
5 1 1 5 2
1
1
x
x x
b
x x
a
a
b
          
 


0.25
BĐT ( 2) đúng, từ (1), (2) có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
 








3
1
;1;3,, cba
và các hoán vị.
3.0
Câu 7
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 4
1.5
7.1. Tìm tọa độ.
0.5
Ta có:
 
21
6;;)43;( dddDdbbB 
. Vì
OydCA //,
3

nên B và D đối xứng nhau qua d
3
0.5
Suy ra












4
2
643
6
d
b
db
db
. Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2).
0.25
Mặt khác
3
);3( daA 
và
22
IBIA 
nên
 
312
2
 aa
hoặc a = 1.

0.25
Bài toán có hai nghiệm hình:
(3;3), (2;2), (1;3), (4;2); (1;3), (2; 2), (3;3 ), (4;2)A B C D A B C D
.
1.5
7.2. Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.
0.5
* Ta có:
2
3
.
3
1

AMNSAMN
SSOV
0.5
* Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN. Sử dụng công thức:
0.5
 
SMNASNAMNSAMN
SSSrS 
3
1
, ta tính được:
224
3

r
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm

điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (4.0 điểm)
1.1. Cho hàm số:
mxmxmxy 2)32()3(
23

. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó.
1.2. Cho hàm số
cos cos3
1
0
( )
0 0
x x
e
khi x
f x
x
khi x











. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
Câu 2: (3.0 điểm)
2.1. Giải phương trình lượng giác:
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos  xxxxxx
.
2.2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
 
 







xyyy
yxxx
23
23

21
21
Câu 3: (2.0 điểm)
3.1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2 2 2 2
8 2x y x y xy  
(1)
3.2. Hàm
y f(x)
xác định và có đạo hàm trên toàn trục số, thỏa mãn điều kiện:
2 3
f (1 2x) x f (1 x), x R     
(*)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số
y f(x)
tại điểm có hoành độ
x 1
Câu 4: (3.0 điểm)
4.1. Tìm giới hạn:










3

1
3
1
1
lim
x
x
x
4.2. Cho dãy số ( U
n
) có số hạng tổng quát
 
3
5
195
1
16( 1)
n
n
n
n n
C
u C n N
n


   

. Tìm các số hạng
dương của dãy.

Câu 5: (2.0 điểm)
Cho
 
4
3 4
( ) 1f x x x x   
. Sau khi khai triển và rút gọn ta được:
16
16
2
210
)( xaxaxaaxf 
. Hãy tính giá trị của hệ số
10
a
.
Câu 6: (2.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau:
04,01,01,0  zyxzyx
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
411 





z
z
y
y

x
x
Q
.
Câu 7: (4.0 điểm)
7.1. Cho đường thẳng ( d):
022  yx
và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điểm
M trên ( d) sao cho
22
2 MBMA 
có giá trị nhỏ nhất.
7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD = 2a. SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a
6
.
1. Tính khoảng cách từ A và B đến mp’ ( SCD ).
2. Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp’(

) song song với mp’( SAD) và
cách mp’(SAD) một khoảng bằng
4
3a
./.Hết.
Giỏo viờn dy: Phan Hu Thanh 2
S GD V T NG THP
Trng THPT Cao lónh 2
K THI CHN HC SINH GII LP 12 THPT CP TNH
NM HC 2009 - 2010
HNG DN CHM THI CHNH THC MễN: TON

(Bui chiu: Ngy 20-9-2009)
(Hng dn chm v biu im gm cú 04 trang)
im
ỏp ỏn
4.0
Cõu 1
2.0
1.1. Tỡm im M trờn th (C) sao cho
0.5
Honh giao im ca th hm s vi trc honh l nghim ca PT:
3 2
( 3) (2 3 ) 2 0x m x m x m
0.5
1 2 3
1, 2 ,x x x m
0.5
Ba honh ny lp thnh mt cp s cng theo mt th t no ú thỡ ta cú h phng trỡnh:

0
3
2
3
2
2
2
132
231
321
m
m
m
xxx
xxx
xxx
0.5
Vy vi
3
; 3; 0
2
m m m
tha yờu cu bi toỏn.

2.0
1.2. Tớnh o hm ca hm s ti x = 0
0.5
Ta cú:
2
3coscos
0
2
3coscos
00
3cos3cos
.
3coscos
1
lim
1
lim
0
)0()(
lim)0('
x
xx
xx
e
x
e
x
fxf
f
xx

x
xx
xx













.
0.5
Ta li cú:
cos cos3
0 0
1 1
lim lim 1
cos cos3
x x t
x t
e e
x x t

0.5
2 2
0 0 0
cos cos3 2sin 2 sin sin 2 sin
lim lim lim4 . 4
2
x x x
x x x x x x
x x x x



0.5
Vy f ( 0) = 4.
3.0
Cõu 2
1.5
2.1. Gii phng trỡnh lng giỏc.
s
*

Zk
k
xkxx
312
22
2

4



*

Zkkxkxx




4
2
2
24
Vy PT ó cho cú 3 h nghim.
1.5
2.2. Gii h phng trỡnh.
s
Vậy hệ phơng trình có 3 nghiệm ( x; y) là:

2
51
;
2
51
;
2
51
;
2
51
;1;1
.
2.0
Cõu 3
1.0
3.1. Gii phng trỡnh nghim nguyờn.
D thy pt cú nghim: x = y = 0.
s
*Thay x = 4 vo (2) ta c y = -1, y = 2. *Thay x = -4 vo (2) ta c y = 1, y = -2.
Vy PT cú cỏc nghim nguyờn (x; y) l: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).

1.0
3.2. Tỡm phng trỡnh tip tuyn.
S
Vỡ
f(1) 0
nờn
f(1) 1
. Suy ra
1
f '(1)
7

. Do ú phng trỡnh tip tuyn cú dng;
1
y (x 1) 1 x 7y 6 0
7

3.0
Cõu 4
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 3
1.5
4.1. Tìm giới hạn.
Vậy
 
2;1n
. Từ đó tìm được
8
45
,
8

75
21
 uu
2.0
Câu 5: Tìm giá trị của hệ số
10
a
.
Vậy
226.14.4.
2
4
4
4
3
4
1
410
 CCCCa
2.0
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Vậy
1;
2
1
3;
2
3
;
3

1
max  zyxcbacbabaQ
4.0
Câu 7:
2.0
7.1. Tìm tọa độ điểm M.
M ( 2; 0).
2.0
7.2. Tính khoảng cách và diện tích thiết diện.
1.0
1. Tính khoảng cách.
0.25

d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) =
2
2
))(,(
2
1 a
SCDAd 
1.0
2. Tính diện tích thiết diện.
+ Thiết diện là hình thang vuông ( MN // PQ, MQ

MN )
S =
2
1
(MN + PQ).MQ. MN =
2

,
2
6
,
2
3 a
PQ
a
MQ
a

. Vậy: S =
2
6
2
a
Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm
điểm tối đa như hướng dẫn này. Sai phần trên thì không chấm phần dưới.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3.0 điểm)
1. Cho hàm số
 

2
1
x
y f x
x
 

có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) một điểm có hoành độ lớn
hơn 1 sao cho tại điểm này tiếp tuyến của (C) tạo với hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam
giác có chu vi nhỏ nhất.
2. Cho hàm số
1)1()1(
23
 xmxmxy
. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ
thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số
m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
Câu 2: (5.0 điểm)
2.1. Giải phương trình:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33


















xtgxtg
xxxx
.
2.2. Giải hệ phương trình:
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

   

    

2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x
2
+ y – x – 1 = 0

Câu 3: (3.0 điểm)
3.1. Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn:







1coscos
3
32
22
A
BA
B
tgtg
. CMR
ABC
đều.
3.2. Tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn:










CB
BA
C
B
B
A
sin41sin4
2
2
sin41sin4
2
2
sin
sin
sin
sin
. CM
ABC
đều
Câu 4: (2.0 điểm)
Cho dãy số
1
2
1
2010
( ) :
1
n
n n n
u

u
u u u




  

. Tính giới hạn:
1
1
lim
n
n
i
i
L
u




.
Câu 5: (2.0 điểm)
5.1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có đúng hai chữ số 1 và 3 chữ số còn
lại khác nhau?
5.2. Cho n là số nguyên dương với
2n
. Chứng minh rằng:
22322212

2).1( 3.2.1


nn
nnnn
nnCnCCC
Câu 6: (2.0 điểm)
Chứng minh rằng:
7212721
22
 yxyx
. Trong đó x, y là các số thực thoả
mãn:
3
22
 yxyx
.
Câu 7: (3.0 điểm)
7.1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;-5). Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng y = 5.
7.2. Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c và OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau. Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c. Gọi

,,
là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (
ABC). Chứng minh rằng:
1sinsinsin
222



./.Hết.
Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 2
SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP
Trường THPT Cao lãnh 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)
Điểm
Đáp án
3.0
Câu 1
1.5
1.1. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho chu vi nhỏ nhất.
0.25
Giả sử








1
;
0
2
0
0

x
x
xM
với x
0
> 1 là một điểm thoả mãn đề bài. A và B là giao điểm của tiếp
tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai
tiệm cận.
0.25
Khi đó
 
00
0
0
2;12,
1
2
;1 xxB
x
x
A 










.
0.25
Dựng
AIBH 
. Ta có
2.
2
1
 BHAIS
ABI
(đvdt).
0.25
Mặt khác
24.sin.
2
1
 IBIAAIBIBIAS
ABI
.
0.25
Từ đó
4
24 IBIA
. Từ định lí cosin cho tam giác AIB có
 
1288.245cos 2
0222
 IBIAIBIAIBIAAB
.
0.25

Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với









4
4
4
2
1
22;
2
1
1M
.
1.5
1.2. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
ĐS
Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán.
5.0
Câu 2
2.0
2.1. Giải phương trình lượng giác.
ĐS
Nghiệm

 
Zkkx 


6
thoả mãn các điều kiện bài toán.
2.0
2.2. Giải hệ phương trình.
ĐS
Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm
x 2
y 2




 


V
x 2
y 2

 





V

x 1
y 2



 

V
 




x 2
y 1
2.0
CÁCH KHÁC (I)

   



    


2 2
2 2
x y x y 4
x y x y xy 2


   



 


2 2
x y x y 4
xy 2

   



 


2
(x y) x y 0
xy 2

   



 


x y 0 hay x y 1

xy 2

   



 


x y 0hay x y 1
xy 2

 






2
x y
x 2
hay
 



  



2
x y 1
x x 2 0

x 2
y 2




 


V
x 2
y 2

 





V
x 1
y 2



 


V
 




x 2
y 1
1.0
2.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x
2
+ y – x – 1 = 0 (3).
ĐS
Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1).
3.0
Câu 3
1.5
3.1. Chứng minh tam giác ABC đều.
ĐS
3
A B ABC

    
đều
1.5
3.2. Chứng minh tam giác ABC đều.