TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO 10

Trang 1


TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG

Cần Thơ 2013

Đ
ịa chỉ: 17 Quang Trung
–
Xuân Khánh
–
Ninh Ki
ều
–
C
ần Th
ơ

Đi
ện thoại: 0939.922.727
–
0915.684.278
–
(07103)751.929


Trang 2

Chủ đề 1
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Phần I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các hằng đẳng thức
1)


2
2 2
a b a 2a.b b
   

2)


2
a b a 2 ab b
   



a,b 0


3)

 
2
2 2
a – b a - 2a.b b
 

4)


2
a b a 2 ab b
   



a,b 0


5)




2 2
a – b a – b . a b
 

6)





a b a b . a b
   



a,b 0


7)


3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
    

8)
 
3
3 2 2 3
a – b a – 3a b 3ab – b
 
9)




3 3 2 2

a b a b . a – ab b
   

10)




3 3
a a b b a b a b a ab b
      



a,b 0


11)




3 3 2 2
a b a b . a ab b
    

12)





3 3
a a b b a b a b a ab b
      



a,b 0


13)


2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
       

14)
2
( a b c) a b c 2 ab 2 bc 2 ca
       



a,b,c 0


15)
2

a a


TRUNG TÂM GIÁO D
ỤC V
À ĐÀO T
ẠO

17 QUANG TRUNG

Đ/c: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
ĐT: 0939.922.727
–
0915684.278
–
07103.751.929


Trang 3

Phần II: PHÂN DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức không có điều kiện.
Bài 1. Tính
a)
10. 40
b)
5. 45
c)
2. 162

d)
5. 125
e)
9
169
f)
12,5
0,5

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau

A 4 2 3
 
B 13 160 53 4 90
   
C 3 5 3 5
   
D 2 5 125 80 605
   

E 15 216 33 12 6
   
Bài 3. Tính các giá trị sau
a)
10 2 10 8
5 2 1 5


 
b)

2 8 12 5 27
18 48 30 162
 

 

c)
2 3 2 3
2 3 2 3
 

 
d)
16 1 4
2. 3. 6.
3 27 75
 
e)
4 3
2 27 6 75
3 5
  f)
3 5.(3 5)
10 2
 


g)
8 3 2 25 12 4 192
  k)

2 3( 5 2)
 
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
15 12 1
A
5 2 2 3

 
 

8 32 18
B 6 5 14
9 25 49
  
15 5 5 2 5
C
3 1 2 5 4
 
 
 

2 3 6 8 16
D
2 3 2
   

 

E (4 15)( 10 6) 4 15
   

F (5 4 2)(3 2 1 2)(3 2 1 2)
     
Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện
Bài 1. Rút gọn biểu thức
a)
2
x 5
x 5


(Với
x 5
 
) b)
2
2
x 2 2.x 2
x 2
 

(với
x 2
 
)
c)
2
9x 2x

(với x < 0) d)

2
x 4 16 8x x
   
(với x > 4)
e)
2
3(a 3)

(với
a 3

) f)
2 2
b (b 1)

(với b < 0)

Trang 4


Bài 2. Rút gọn biểu thức
A=
(x y y x)( x y)
x y
 

(với x>0 và y>0)
B=
x 1 2 x 2 5 x
x 2 x 2 4 x

 
 
  
(với
x 0

và
x 4

)
C=
a b a b
a b a b
 

 
(với
a 0,b 0
 
và
a b

)
Bài 3. Cho biểu thức:
(2 x y)(2 x y)
 
a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định.
b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên.
Bài 4. Cho biểu thức
1 1 a 1 a 2

A :
a 1 a a 2 a 1
 
 
 
  
 
 
  
 
 

a) Tìm điều kiện để A xác định. b) Rút gọn A.
Bài 5. Cho biểu thức
3
3
2x 1 x x 1
B : x
x x 1 1 x
x 1
 
 
 
  
 
 
 
  

 

 

a) Tìm điều kiện để B xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 6. Cho biểu thức
x x 9 3 x 1 1
C :
9 x
3 x x 3 x x
   
 
  
   

 
   

a) Tìm điều kiện để C xác định.
b) Rút gọn C.
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau
2
2
x 4 4
A
2 x 4x 4


 
(với
x 2


)
a a b b a b b a a b
B :
a b a b a b
   
  
 
   
  
   
(với
a;b 0;a b
 
)
2
1
x x
4
C
2x 1
 


(với
1
x
2
 
)

3 3
ab b ab a 2 a 2 b
D :
a b
a b a b
 
  
 
 
 

 
 
(với
a;b 0;a b
 
)

Trang 5


Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến
Bài 1. Cho biểu thức
2
A 2x x 6x 9
   
.
Tính giá trị của A khi
x 5
 

Bài 2. Cho biểu thức
1 1
B
1 x 1 x
 
 
.
Tính giá trị của biểu thức khi x = 4.
Bài 3. Cho biểu thức
2
1 1
C 1 a : 1
1 a
1 a
 
 
   
 
 

 

 
.
Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a =
3
2 3

.

Bài 4. Cho biểu thức
1 1 1 1
D : x
1 x 1 x 1 x 1 x
   
   
   
   
   

Tính giá trị của biểu thức tại
x 5
 

Bài 5. Cho biểu thức
x 1 1 8 x 3 x 2
E : 1
9x 1
3 x 1 1 3 x 3 x 1
   
 
   
   

  
   

Tính giá trị của biểu thức tại
x 3 2 2
 

Bài 6. Cho biểu thức A=
2
15a 8a 15 16
 

a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của A khi
3 5
a
5 3
 
Dạng 4: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức.
Bài 1. Cho biểu thức:
2
A 4x 4x 12x 9
   
.
Tính giá trị của x, biết
A 15
 

Bài 2. Cho biểu thức
a a a a a
B :
b a
a b a b a b 2 ab
   
  
   


   
   

Biết rằng khi
a 1
b 4

thì B = 1. Tìm a; b.
Bài 3. Cho biểu thức
(16 x) x 3 2 x 2 3 x 1
C :
x 4
x 2 x 2 x 4 x 4
 
  
  
 

   
 

Tìm x khi biết C = 4.

Trang 6

Bài 4. Cho biểu thức
a 1 2a a a 1 2a a
D 1 : 1
2a 1 2a 1 2a 1 2a 1
   

   
    
   
   
   

a) Tìm a biết
D 1
 

b) Tìm a biết
D 4
 

Bài 5. Cho biểu thức
3 3
a b a b
A
a b a b ab
 
 
  

a) Tìm điều kiện của a, b để A xác định.
b) Rút gọn A.
c) Tìm điều kiện của a, b để
A 0


Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

Chú ý:
a
b U(a)
b
  
Bài 1. Cho biểu thức
a 2 2 a a 1
A .
a 1
1 a 2 a a
 
  
 
 

 
 
.
Tìm giá trị của m để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. Cho biểu thức
 


a 1 a b
3 a 3a 1
B :
a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b
 
 
  

 
     
 

a) Rút gọn B với
a 0,b 0,a b
  
.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức
a 2 1 a 3a 3 9a
C
1 a 2 a a a 2
   
  
   

Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức C đạt giá trị nguyên.
Bài 4. Cho biểu thức
x 2 x 1 x 5 x 12
A
9 x
x 3 x 3
   
  

 

a) Tìm điều kiện để A xác định.
b) Rút gọn A.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Dạng 6. Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức.
Bài 1. Cho biểu thức
x 1 1 2
A :
x 1
x 1 x x x 1
 
 
  
 
 

  
 
 
. Tìm x để
A 0


Bài 2. Cho biểu thức
x x 3 3 x 1 1
A :
9 x
3 x x 3 x x
   
 
  
   


 
   
(với
x 0,x 9
 
)

Trang 7

a) Rút gọn A.
b) Tìm x sao cho
A 1
 

Bài 3. Cho biểu thức
1 1 a 1 a 2
A :
a 1 a a 2 a 1
 
 
 
  
 
 
  
 
 

a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A.

c) Tìm a để
A 0


Bài 4. Cho biểu thức
a 2 a 1 a 1
A :
2
a a 1 a a 1 1 a
 
 
  
 
   
 
(với
a 0,a 1
 
)
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng:
0 A 2
 

Bài 5. Cho biểu thức
2
x 2 x 2 1 x
A .
x 1
x 2 x 1 2

 
  
 
 
 
 

 
 
 

a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng nếu
0 x 1
 
thì
A 0


c) Tính giá trị lớn nhất của A.

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Cho biểu thức A =
2
x x 2x x 2(x 1) 1
.
x x 1 x x 1 x x 1
 
  
 

 
   
 

a. Rút gọn A.
b. Tính giá trị của biểu thức A biết
x 4


c. Tính giá trị của x biết
1
A
3


d. Chứng minh rằng A > 0.
e. Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên.
f. Tìm giá trị của x để
1
A
4


Bài 2. Cho biểu thức
2
1 1
P 1 x : 1
1 x
1 x
 

 
   
 
 

 

 
(với
1 x 1
  
)
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm x để
P 1



Trang 8

Bài 3. Cho biểu thức
x x 1 x 1
A
x 1
x 1
 
 



a. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi
9
x
4


c. Tìm tất cả các giá trị của x để
A 1


Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau
a.
2 3 3 27 300
 
b.
 
1 1 1
:
x x x 1
x x 1
 

 
 
 


Bài 5. Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1

P
x 1
x x 1 x x 1
  
  

  

a. Rút gọn P.
b. Chứng minh
1
P
3

với
0 x 1
 

Bài 6. Cho biểu thức M=
x x 1 x x 1 1 x
:
x x x x x x
 
    

 
  
 

a. Rút gọn M.

b. Tìm x nguyên để M nguyên.
Bài 7. Cho biểu thức A=
x 1 1
x 4
x 2 x 2
 

 
(với
0 x 4
 
)
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của biểu thức A khi
x 25


c. Tìm giá trị của x để
1
A
3
 

Bài 8. Cho biểu thức N=
n 1 n 1
n 1 n 1
 

 
(với

0 n 1
 
)
a. Rút gọn biểu thức N.
b. Tìm n nguyên để N nguyên.





Trang 9

Chủ đề 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phần I. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.

ax by c
a'x b'y c'
 


 


(a,b,c,a',b',c' 0)


+ Hệ có vô số nghiệm nếu:
a b c
a' b' c'
 

+ Hệ vô nghiệm nếu:
a b c
a' b' c'
 

+ Hệ có nghiệm duy nhất nếu:
a b
a' b'


3. Các phương pháp giải hệ
ax+by=c
a'x+b'y=c'




a) Phương pháp cộng đại số.
b) Phương pháp thế.
Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp giải hệ.

Phần II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình không chứa tham số
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau

a)
2x y 7
4x 3y 4
 


 

b)
17x 4y 2
13x 2y 1
 


 

c)
12x 5y 9
120x 30y 34
 


 


d)
2x y 2
5x 3y 5 2
 




  


e)




3 x 7 4 y 5
4x 3y 8 0

  


  


f)
x 2 y 3 1
5x 2 4y 3 8

 


 



g)


 
3.x 1 2 y 1
1 2 x 3.y 1

  


  


k)
3x 2 2y 7
2x 3 3y 2 6

 


  






Trang 10

Bài 2. Giải các hệ phương trình.

a)
3x 3y 8
1
x y 4
2
 



  


b)
2 3
2
x y
1 1
5
x y

 




 



c)

4 9
1
2x 1 y 1
3 2 13
2x 1 y 1 6

  

 



 

 

d)
2 1
1
y y
1 2
8
x y

 




 




Dạng 2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số
Bài 1. Cho hệ phương trình
2
2
3mx (n 3) 6
(m 1)x 2ny 13

  


  



a. Giải hệ phương trình với
m 2 ;n 1
 

b. Giải hệ phương trình với
m 1 ;n 3
  

Dạng 3: Giải biện luận phương trình có chứa tham số
Ví dụ: Cho hệ phương trình
mx y 2
2x y 1
 



 


Giải và biện luận hệ theo m.
Bài giải
Ta có
mx y 2 (2 m)x 3 (1)
2x y 1 2x y 1 (2)
   
 

 
   
 

Xét phương trình




1 : 2 m x 3
 

 Nếu
2 m 0 m 2
    
thì phương trình (1) có dạng
0.x 3


. Do phương
trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.
 Nếu
2 m 0 m 2
    
thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất là
3
x
2 m


. Thay vào phương trình (2) ta có:
6 4 m
y 2x 1 1
2 m 2 m

    
 

Vậy với
m 2
 
thì hệ có nghiệm duy nhất:
3
x
2 m


và

4 m
y
2 m




Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết dấu các nghiệm của hệ phương trình
Bài 1. Cho hệ phương trình
x 2y 5
mx y 3
 


 


Tìm m để
x 0, y 0
 


Trang 11

Bài 2. Cho hệ phương trình
2
2
x my m m 1
mx 3y m 4m


   


  



Tìm m để
x 0, y 0.
 

Dạng 5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
1. Tìm 1 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
Phương pháp giải
Cho hệ phương trình
ax by c (1)
a'x b'y c' (2)
 


 

có nghiệm
0
0
x x
y y







 Thay
0 0
x x ; y y
 
lần lượt vào (1) giải.
 Thay
0 0
x x ; y y
 
lần lượt vào (2) giải.
Ví dụ 1 Cho hệ phương trình:
2
3x 2y 7 (1)
(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
 


     


Tìm n để hệ có nghiệm




x;y 1; 2
 

Bài giải
 Thay




x;y 1; 2
 
vào (1) ta có


3.1 2. 2 7
  
thoả mãn.
Vậy




x;y 1; 2
 
là nghiệm của (1).
 Thay




x;y 1; 2
 

vào (2) ta có
2
(5n 1) 2(n 2) n 4n 3
     

2
n 0
7n 3 n 4n 3 n(n 11) 0
n 11


        




Vậy
n 0

hoặc
n 11

thì hệ đã cho có nghiệm




x;y 1; 2
 

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
2
2
1
5m(m 1)x my (1 2m) (1)
3
4mx 2y m 3n 6 (2)

   



   


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
x 1; y 3.
 

Bài giải
ĐK để hệ có nghiệm duy nhất là
1
2.5m.(m 1) m.4m
3
 
 Thay
x 1; y 3
 
vào (1)
ta có

2 2 2
5m 5m m 1 4m 4m m 1 m 1
         

 Thay
x 1; y 3
 
vào (2)

Trang 12

ta có
2
m 0
4m 6 m 3m 6 m(m 1) 0
m 1


       




Vậy
m 1

thì hệ có nghiệm
x 1;y 3.
 

2. Tìm 2 giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình
Phương pháp giải
Cho hệ phương trình
ax by c (1)
a'x b'y c' (2)
 


 

có nghiệm
0
0
x x
y y






Thay
0 0
x x ; y y
 
vào cả hệ pt ta có
0 0
0 0
ax by c
a'x b'y c'

 


 


Sau đó giải phương trình chứa ẩn là tham số.
Ví dụ Cho hệ phương trình
2mx (n 2)y 9
(m 3)x 2ny 5
  


  


Tìm m; n để hệ có nghiệm
x 3;y 1
  

Bài giải
Thay
x 3;y 1
  
vào hệ phương trình ta có:
6m (n 2)( 1) 9 3m 2n 4 m 2
3(m 3) 2n( 1) 5 12m 2n 14 n 5
       
  
 

  
      
  

Vậy với
m 2;n 5
 
thì hệ có nghiệm
x 3;y 1.
  

Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y
Phương pháp giải
Cho hệ pt
ax by c (1)
a'x b'y c' (2)
 


 

có nghiệm thoã mãn


px qy d 3
 
 Do


x;y

là nghiệm của hệ và thoã mãn (3)
Suy ra


x;y
là nghiệm của






1 , 2 , 3

 Kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất.
 Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại. Giải pt chứa ẩn là tham số.
Ví dụ 1 Cho hệ phương trình
3x 2y 8 (1)
3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
  


    


Tìm m để hệ có nghiệm


x;y
thoã mãn



4x 2y 6 3
  

Bài giải
Điều kiện có nghiệm:
3.(m 5) 6m 0 m 5
    
.

Trang 13

 Do


x;y
là nghiệm của hệ và thoã mãn (3) nên (x;y) là nghiệm của (1),(2),(3).
 Kết hợp (1) với (3) ta có:
3x 2y 8 x 2
4x 2y 6 y 1
    
 

 
    
 

 Thay
x 2, y 1

   
vào (2) ta được:
2 2
6m (m 5) m 1 m 5m 4 0
       


m 1
m 4






(thoả mãn)
Vậy với
m 1

hoặc
m 4

thì hệ có nghiệm thoả mãn
4x 2y 6.
  

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)
 



 


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn






2m 1 x m 1 y m 3
   

Bài giải
Điều kiện có nghiệm
m.3 2.m m 0
  

 Từ (1)
y 5 mx.
  
Thay vào (2) ta có:
2mx 3.(5 mx) 6
  

9
x
m

 

(
m 0

)
 Thay
9
x
m

vào
y 5 – mx

ta có
y 5 9 4.
   

Vậy với
m 0

hệ có nghiệm
9
x
m

và
y 4
 

 Thay
9
x
m

;
y 4
 
vào (3) ta được
9
(2m 1). (m 1)( 4) m
m
    

2
9
18 4m 4 m 5m 14m 9 0 (m 1)(m 9) 0
m
            

m 1
9
m
5








(thoả mãn)
Vậy với
m 1

hoặc
9
m
5

thì hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn (3).
Dạng 7: Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm nguyên
Chú ý

a
m U(a)
m
   (
a,m


)

a
m


và
b
m




m U(a,b)
 


Trang 14

Ví dụ 1 Cho hệ phương trình
(m 2)x 2y 5 (1)
mx y 1 (2)
  


 


Tìm
m


để hệ có nghiệm nguyên.
Bài giải
 Từ (2) ta có
y mx 1
 
. Thay vào (1) ta được





m 2 x 2 mx –1 5
  

7
3mx 2x 7 x(3m 2) 7 x
3m 2
       

(
2
m
3
 
)
 Thay vào
7 4m 2
y mx –1 y .m 1 y
3m 2 3m 2

     
 
(3)
Để
 
7
x 3m 2 U(7) 1; 7
3m 2
        


 
+ Với
3m 2 7 m 3
     
. Thay
m 3
 
vào (3), ta có
y 2

(nhận).
+ Với
5
3m 2 7 m
3
   
(loại)
+ Với
1
3m 2 1 m
3
    
(loại)
+ Với
3m 2 1 m 1
     
. Thay
m 1
 

vào (3) ta có
y 6

(nhận).
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì
m 3
 
hoặc
m 1
 

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
(m 3)x y 2 (1)
mx 2y 8 (2)
  


 


Tìm
m


để hệ có nghiệm nguyên.
Bài giải
 Từ (1) ta có


y 2 – m –3 x y 2 mx 3x

    

 Thay vào (2) ta có


mx 2 2 – mx 3x 8 mx 6x 4 x(6 m) 4
         

4
x
6 m
 

đk: (
m 6

)
 Thay vào (1) ta có
24 6m
y
6 m



(
m 6

) (3)
 Để
 

4
x 6 m U(4) 1; 2; 4
6 m
         

 
+ Với
6 – m 1 m 5
  
thay vào (3) ta có
y 6
 
(nhận)
+ Với
6 – m 1 m 7
   
thay vào (3) ta có
y 18

(nhận)
+ Với
6 – m 2 m 4
  
thay vào (3) ta có
y 0

(nhận)

Trang 15

+ Với
6 – m 2 m 8
   
thay vào (3) ta có
y 17

(nhận)
+ Với
6 – m 4 m 2
  
thay vào (3) ta có
y 3

(nhận)
+ Với
6 – m 4 m 10
   
thay vào (3) ta có y = 9 (nhận)
Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì


m 2;4;5;7;8;10


Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ 1 Cho hệ phương trình
2
2
mx y m (1)

2x my m 2m 2 (2)

 


   



a. CMR hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b. Tìm m để biểu thức
2
x 3y 4
 
nhận giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài giải
a. Ta có
2
m.m ( 2).1 m 2 0 m
     
. Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy
nhất với mọi m.
b. Rút y từ (1) ta có


2
y mx – m 3

Thế vào (2) ta được



2 2
2x m mx – m m +2m+2
 

2 3 2
2x m x m m 2m 2
     

2 3 2
2x m x m m 2m 2
     

2 2
x(2 m ) (m 1)(m 2)
    

x m 1
  

Thay vào (3)
2
y m(m 1) m m y m
      
. Thay
x m 1
 
và
y m


vào
2
x 3y 4
 
ta được

2 2 2
5 25 5
(m 1) 3m 4 m 5m 5 m 2. .m
2 4 4
 
         
 
 

2
5 5 5
m
2 4 4
 
    
 
 
. Do
2
5
m 0
2
 
 

 
 
.
Vậy
 
2
5
min x 3y 4
4
   
khi
5
m
2
 

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình
2
2
3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

   


  



Tìm m để biểu thức

2 2
A 2y +x

nhận GTLN. Tìm giá trị đó.
Bài giải
 Từ (1) ta có
2
y 3mx – 6m m 2
  
.

Trang 16

Thay vào (2) ta có:


2 2
5x m 3mx – 6m +m+2 m +12m
 

2 3 2
x(5 3m ) 6m 10m 2m(5 3m )
     
x m 1
  

 Thay
x 2m

vào

2
y 3mx – 6m m 2
  
ta được
y m+2.


 Thay
x 2m; y m 2
  
vào A ta được:

2 2 2
2
2
2
A 2(m 2) (2m) 2(m 4m 4)
2(m 4m 4 8)
2(m 4m 4) 16
2(m 2) 16 16.
      
    
    
    

Vậy
MaxA 16

khi
m 2



Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào tham số
Ví dụ Cho hệ phương trình
2mx 3y 5 (1)
x 3my 4 (2)
 


  


a. CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất.
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài giải
a. Ta có


2
2m.3m – 3. 1 6m 3 0 m
    

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m
b. Rút m từ (1) ta được
5 3y
m
2x

 thay vào (2) ta có:
2 2

2x 8x 15y 9y 0.
   

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 1. Cho hệ phương trình
(m 1)x y m
x (m 1)y 2
  


  


Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m
Bài 2. Cho hệ phương trình
2
2
5x ay a 12a
3ax y 6a a 2

  


   



Tìm hệ thức liên hệ giữa x; y không phụ thuộc vào a.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Cho hệ phương trình
2
2x 3y 7
3mx (m 3)y m 6m 3
 


    


Tìm m để hệ có nghiệm




x;y 2;1


Trang 17

Bài2. Giải hệ phương trình:
2 1 1
2
m 1 n
1 2 1
1
m 1 n


 







 



Bài 3. Cho hệ phương trình
(m 1)x 2ny 2
3mx (n 2)y 9
  


  


a. Giải hệ phương trình với
m 1; n 3
  

b. Tìm
m, n
để hệ có nghiệm
x 3; y 1.
  

Bài 4. Cho hệ phương trình

2
3x 2y 8
mx (3m 1)y m 1
  


   


Tìm m để hệ có nghiệm


x;y
thoả mãn
4x – 2y 6.
 

Bài 5. Cho hệ phương trình
x my 3
2x 3my 5
 


 


Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoã mãn


2

m –1 x –10my 4m 5
 

Bài 6. Cho hệ phương trình
(m 2)x y 3
mx 3y 7
  


 


a. Giải hệ phương trình với
m 1
 

b. Tìm m để
x 0, y 0
 

Bài 7. Cho hệ phương trình
mx my m
mx y 2m
 


 


Tìm m để nghiệm của hệ thoã mãn

x 0, y 0
 

Bài 8. Cho hệ phương trình:
(m 1)x 2y 5
mx y 1
  


 


a. Giải hệ phương trình với
m 2


b. Tìm
m


để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 9. Cho hệ phương trình
(m 3)x y 2
mx 2y 5
  


 


Tìm
m


để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 10. Cho hệ phương trình
2
2
3mx y 6m m 2
5x my m 12m

   


  



Tìm m để biểu thức
2 2
A 2y – x

nhận GTLN. Tìm giá trị đó.

Trang 18

Chủ đề 3
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Phần I. LÝ THUYẾT

I. Định nghĩa
II. Phân loại
1. Phương trình khuyết c có dạng
2
ax bx 0 (a,b 0)
  

Phương pháp giải:
2
x 0
ax bx 0 x(ax b) 0
b
x
a



     

 


2. Phương trình khuyết b có dạng
2
ax c 0 (a,c 0)
  

Phương pháp giải:
2 2
c

ax c 0 x
a
    

 Nếu
c
0
a
 
thì phương trình vô nghiệm.
 Nếu
c
0
a
 
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
c c
x ;x
a a
    

3. Phương trình bậc hai đầy đủ:
2
ax bx c 0 (a,b,c 0)
   

Phương pháp giải:
Tính
2

b 4ac
  


0
 
thì phương trình vô nghiệm.

0
 
thì phương trình có nghiệm kép:
1 2
b
x x
2a

 

0
 
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
b b
x ;x
2a 2a
     
 
Phần II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình khi biết giá trị của tham số.
Bài 1. Giải phương trình

2
x 5x 6 0
  
.
Bài 2. Giải phương trình
2
3x 12x 6 3 0
  

Bài 3. Giải phương trình
2
x 2( 3 1)x 2 3 0
   

Dạng 2: Tìm giá trị tham số khi biết số nghiệm của phương trình.
 Đặt điều kiện
2
ax bx c 0 (a 0)
   

 Tính

hoặc
'



Trang 19

- Để phương trình vô nghiệm thì

0
 
hoặc
' 0
 

- Để phương trình có nghiệm kép thì
0
 
hoặc
' 0
 

- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
0
 
hoặc
' 0
 

Tổng quát: Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Cách 1: Chứng minh
a.c 0

Cách 2: Chứng minh
0
a 0
 






Bài 1. Cho phương trình
2 2
x (2m 3)x m 2m 1 0
     

a) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho phương trình
2
(m 3)x 2(m 5)x m 1 0
     

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài giải
Điều kiện
m 3 0 m 3
    

Xét
2
' (m 5) (m 3)(m 1) 6m 22
       

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
11
' 0 6m 22 0 m
3

       

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi
11
m 3
3
   

Bài 3. Cho phương trình
2
x 2(m 3)x 2m 6 0
    

Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài giải
Xét
2 2
' (m 3) (2m 6) m 4m 3
       

Để phương trình có nghiệm kép thì
1
2
2
m 1
' 0 m 4m 3 0
m 3
 

      


 


Vậy phương trình có nghiệm kép khi
m 1
 
hoặc
m 3
 

Bài 4. Cho phương trình
2
(2m 10)x (3m 15)x m 1 0
     

Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài giải
Điều kiện
2(m 5) 0 m 5
   

Xét
(m 5)(m 53)
   

Để phương trình có nghiệm kép thì
0 (m 5)(m 53) 0 m 53
       

Vậy phương trìng có nghiệm kép khi
m 53.




Trang 20

Dạng 3: Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài 1. Cho phương trình
2 2
7x (3m 1)x m 1 0
    

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài giải
Ta có




2 2
a.c 5. m –1 5 m 1 0 m
      

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 2. Cho phương trình
2
x 2(m 3)x 2m 4 0
    

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài giải
Ta có
2 2 2
' (m 3) (2m 4) m 4m 4 9 (m 2) 9 0
            
với mọi m.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 3. Cho phương trình
2 2
(m m 3)x 2(m 3)x 5 0
     

CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài giải
Ta có
2 2
1 11
a m m 3 (m ) 0
2 4
      
với mọi m.
2 2 2 2
2 2
' (m 3) 5(m m 3) m 6m 9 5m 5m 15
1 69
6m m 24 6(m ) 0 m
2 2
           

       

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai
2
ax bx c 0
  

Phương pháp giải
 Nếu
a 0

thì phương trình trở thành
bx cy 0
 

- Nếu
b 0

thì phương trình có nghiệm
c
x
b
 

- Nếu b = 0 và
c 0

thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

 Nếu
a 0

thì phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số
2
b 4ac
  
(hay
2
' b' ac
  
)
- Nếu
0 ( ' 0)
   
thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
0 ( ' 0)
   
thì phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a

 
- Nếu
0 ( ' 0)
   
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Trang 21


1
b b' '
x
2a a
     
  và
2
b b' '
x
2a a
     
 
Bài 1. Giải và biện luận phương trình
2
(m 2)x 2(m 1)x m 0
    

Bài 2. Giải và biện luận phương trình
2
(m 3)x 2mx m 6 0
    


BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1. Giải các phương trình sau
a)

2
3x 7x 2 0
  
b)
2
(5 2)x 10x 5 2 0
    

Bài 2. Cho phương trình
2
5x 12x m 3 0
   

Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài 3. Xác định m để phương trình
2 2
(m 1)x mx 5 0
   
vô nghiệm
Bài 4. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
CMR phương trình
2 2 2 2 2 2
b x (b c a )x c 0
    
vô nghiệm
Bài 5. Xác định m để phương trình
2
(m 2)x 2(m 1)x m 0
    
có đúng một nghiệm.

Bài 6. Cho phương trình
2 2
(5m 1)x (31m 13)x 6 0
    

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho phương trình
2
x 2(m 4)x 6m 1 0
    

CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Xác định m để 2 phương trình
2
x mx 2 0
  
và
2
x 2x m 0
  

có nghiệm chung.

Trang 22

Chủ đề 4
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH


I. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Toán chuyển động
Cần nhớ
 Ba đại lượng
S, v, t

 Quan hệ:
S S
S v.t t v
v t
    

Chú ý: V
xuôi
= V
thực
+ V
nước

; V
ngược
= V
thực
+ V
nước
.
BÀI TẬP
Bài 1. Hai người đi trên hai con đường vuông góc với nhau và xuất phát cùng một lúc
từ cùng một điểm, sau 3 giờ họ cách nhau 15km. Tìm vận tốc và quãng đường biết rằng
nếu hai người đó cùng xuất phát từ một điểm và đi ngược chiều nhau thì mỗi giờ họ
cách nhau 7km.
Bài 2. Một người dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu
người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB giảm đi 1giờ
Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì thời gian đi hết quãng đường AB tăng 2giờ so
với dự định. Hỏi người đó đi với vận tốc và thời gian dự định bao nhiêu?
Bài giải
- Gọi vận tốc mà người đó dự định đi là




x km / h x 0


- Gọi thời gian mà người đó dự định đi là





y h y 0


- Quãng đường AB là xy
- Khi tăng vận tốc 10km/h thì vận tốc lúc đó là: x +10 (km/h). Và thời gian giảm
đi 1giờ nên thời gian đi hết quãng đường là: y – 1 (h)
- Khi giảm vận tốc đi 10km/h thì vận tốc lúc đó là : x – 10 (km/h). Và thời gian
tăng thêm 2giờ nên thời gian đi hết quãng đường là y + 2 (h)
- Do quãng đường AB không đổi nên ta có hệ phương trình:
(x 10)(y 1) xy x 10y 10 x 30(tm)
(x 10)(y 2) xy 2x 10y 20 y 4(tm)
      
  
 
  
     
  

Vậy vận tốc người đó dự định đi là 30km/h, thời gian dự định đi là 4giờ.
Bài 3. Hai bến sông A và B cách nhau 240km. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến địa
điểm C nằm chính giữa hai bến A và B, cùng lúc đó một ca nô ngược dòng từ B đến C.

Trang 23

Ca nô từ A đến C trước ca nô từ B đến C 1giờ. Tìm vận tốc của dòng nước, biết vận tốc
thực của hai ca nô bằng nhau và bằng 27km/h.
Dạng 2: Lập số
Cần nhớ
ab 10a b
 

. Điều kiện:
0 a 9;0 b 9
   
,a,b



abc 100a 10b c
  
. Điều kiện:
0 a 9;0 b,c 9
   
,a,b,c



BÀI TẬP
Bài 1. Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng nếu viết chữ số 1 vào giữa hai chữ số
ta được số mới có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 280. Nếu đổi chỗ hai chữ số đã cho ta
được số mới lớn hơn số đó 18 đơn vị.
Bài giải
- Gọi số cần tìm là:
ab 10a b
 
. Điều kiện:
0 a 9;0 b 9
   
, a,b



.
- Do khi thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 280
đơn vị nên ta có:
a1b ab 280 100a 10 b 10a b 280 a 3
         
(1)
- Do khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên ta có:
ba ab 18 10b a 10a b 18 b a 2
         
(2)
Từ (1) và (2) ta có a = 3; b = 5.
Vậy số cần tìm là 35.
Bài 2. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng
chục 4 đơn vị. Nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 3 và
dư 7.
Bài giải
- Gọi số cần tìm là:
ab 10a b
 
. Điều kiện
0 a 9;0 b 9
   
,a,b



- Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có: b – a = 4. (1)
- Khi đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó ta được thươnglà 3 và dư 7 nên ta
có:
ab 3(a b) 7 10a b 3a 3b 7 7a 2b 7

          
(2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
b a 4 a 3
7a 2b 7 b 7
  
 

 
  
 

Vậy số cần tìm là 37.
Dạng 3: Toán làm chung làm riêng
Cần nhớ
 Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị.
 Tìm trong một đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao
nhiêu phần công việc.
 Phần công việc bằng 1/thời gian.

Trang 24

BÀI TẬP
Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 8giờ thì xong. Nếu người thứ nhất
làm trong 6giờ sau đó dừng lại và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn
thành công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong việc?
Bài giải
Cách 1
- Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình thì xong việc là: x (giờ) (x >0)
- Gọi thời gian người thứ hai làm một mình thì xong công việc là y (giờ) (y >0)

- Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
1
x
(công việc)
- Trong 1 giờ người thứ hai làm được
1
y
(công việc)
- Trong 1 giờ cả hai người làm được
1
8
(công việc) nên ta có:
1 1 1
x y 8
 
(1)
- Trong 6 giờ người thứ nhất làm được
6
x
(công việc)
- Trong 9 giờ người thứ hai làm được
9
y
(công việc)
Theo bài ra ta có phương trình
6 9
1
x y
 
(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1 1 1
x y 8
6 9
1
x y

 




 



Đặt
1
a
x

;
1
b
y

,ta được
1
1
a

x 24
a b
24
8
1 y 12
6a 9b 1
b
12





 

 
 
  


 
 





Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ.
người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là 12 giờ.
Cách 2

- Gọi số phần công việc người thứ nhất làm trong một giờ là


x x 0


- Số phần công việc người thứ hai làm trong một giờ là


y y 0


- Do hai người làm chung trong 8 giờ thì xong việc nên ta có:

Trang 25

1
x y 8x 8y 1
8
    
(1)
- Do người thứ nhất làm trong 6 giờ và người thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong
công việc nên ta có phương trình:
6x 9y 1
 
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
1
x
8x 8y 1

24
6x 9y 1 1
y
12



 



 
 






Vậy thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc là 24 giờ và người thứ hai
hoàn thành công việc là 12 giờ.
Bài 2. Trong một bể nước có một vòi chảy ra và một vòi chảy vào. Nếu mở cùng hai vòi
thì sau 6 giờ sẽ đầy bể. Hỏi vòi chảy vào chảy trong bao lâu thì đầy bể. Biết rằng thời
gian vòi chảy vào chảy đầy bể ít hơn vòi chảy ra hết bể nước đầy là 8 giờ và vận tốc
chảy của các vòi không đổi.
Dạng 4. Toán diện tích
BÀI TẬP
Bài 1. Một hình chữ nhật nếu ta tăng chiều dài và chiều rộng lên 4m thì diện tích sẽ
tăng thêm 88m
2

. Nếu ta giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích
sẽ tăng thêm 18m
2
. Tìm kích thước hình chữ nhật.
Bài giải
- Gọi chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là




x m x 0


- Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là




y m y 0


- Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là


2
x.y m

- Do khi tăng chiều dài, chiều rộng thêm 4m thì diện tích tăng 88m
2
nên ta có pt

(x 4)(y 4) xy 88 x y 18
      
(1)
- Do khi giảm chiều dài 2m và tăng chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 18m
2

nên ta có pt
(x 2)(y 3) xy 18 3x 2y 24
      
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x y 18 x 10
3x 2y 24 y 8
  
 

 
  
 

Vậy chiều dài ban đầu của HCN là 10m, chiều rộng ban đầu của HCN là 8m.
Bài 2. Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm được 900 sản phẩm. Sang tháng 2 do sự thay
đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I, số sản
phẩm của tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II. Vì tổng số sản phẩm trong
tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm. Hỏi trong tháng 1 mổi tổ sản xuất được bao
nhiêu sản phẩm?