CÁC ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN VÀO 10

Phòng Giáo Dục huyện Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trờng THCS Thị Trấn Năm học 2005 2006
Họ và tên: Môn thi: Toán học
Lớp: Thời gian làm bài:150 phút
Điểm Lời nhận xét của giáo viên
Câu 1: Cho x,y z là các số nguyên dơng thoả mãn: xy + yz + xz = 3
a, chứng minh rằng: 3 + x
2
= (x + y)(x - z)
b, Tính giá trị của biểu thức:
M =
2
22
2
22
2
22
3
33
3
33
3
33
z
yx
z
y
xz
y
x
zy

x
+
++
+
+
++
+
+
++ ))(())(())((
Câu 2: Xét phơng trình:

6
9696
mx
xxxx
+
=++
a, giải phơng trình với m = 23
b, Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm
Câu 3: Cho phơng trình: x
2
- 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 , ẩn x
a, CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b, Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị nguyên của m để biểu thức A =
34
4

22
2
2
1

+
m
mxx
nguyên
Câu 4: a, chứng minh:
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
với
11 ba ,
b, Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức B =
22
22
yxyx

yxyx
++
+
Câu 5: cho

ABC có các góc đều nhọn,
0
45=A

, vẽ các đờng cao BD và CE của

ABC.
Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a, Chứng minh: HD = DC
b, Tính tỉ số
BC
DE
c, Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC. Chứng minh OA

DE
Câu 6: a, Giải hệ phơng trình:

{
1
136
22
2
=+

=+
yx
yxxyx

b, cho
555
22
=++++ ))(( yyxx
. Tính tổng x + y
Đáp án môn toán 9
Câu 1:(3đ)
a, Biến đổi VP =
3
22
+=+++ xzyxyxzx
( vì xz+xy+yz = 3)
Vậy VP = VT (1đ)
b, Tơng tự ta chứng minh đợc:
( )( )
zyxyy ++=+
2
3

( )( )
xzzyz ++=+
2
3
Thay vào biểu thức M ta đợc:
( )( )( )( )
( )( )

( )( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )
xzzy
zyxyzxyx
z
xyzy
zxyxxzyz
y
zxyx
xzzyzyxy
xM
++
++++
+
++
++++
+
++
++++
=

( ) ( ) ( )
222
yxzzxyzyx +++++=


( ) ( ) ( )
yxzzxyzyx +++++=

zyxzyzxyxzxy +++++=


( )
6322 ==++= .zxyzxy
(2đ)
Câu 2:(3đ)
Điều kiện x- 9
90

x
(0,25đ)
Biến đổi phơng trình về dạng:

( ) ( )
6
3939
22
mx
xx

=++
Đặt t
9= x
khi đó
9
2
== tx

(0,25đ)
phơng trình đã cho trở thành:

( ) ( )
mttt ++=






++ 9336
2
22

( )
mttt =+=++ 9336
2
(0,25đ)

0912
2
=++ mtt
với
3

t

027
2

=+ mt
với
30

t
(0,25đ)
a, Với m = 23 ta có:
03212
2
=+ tt
với
3t

4
2
=t
với
30

t
(0,25đ)
giải ra ta đợc:
248
321
=== ttt ,,


phơng trình có 3 nghiệm:(0,25đ)
132573
321

=== xxx ,,
(0,5đ)
b, Với
3

t
thì
0912
2
=++ mtt
( )
276
2
+= mt
. Phơng trình này có nghiệm khi -m
+ 27
0

27

m
(0,5đ)
Với
30

t
thì phơng trình
mt = 27
2
có nghiệm khi

27027

mm
(0,25đ)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm khi
27

m
(0,25đ)
Câu 3:(3đ)
a, ta có:
( ) ( ) ( )
0124212421
2
2
2
+=++== mmmmmm
với
m


Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt (1đ)
b, Theo hệ thức viét ta có:
( )
12
21
=+ mxx

42
21

= mxx .
(0,25đ)
ta có :
( ) ( ) ( )
422142
2
21
2
21
2
2
2
1
=+=+ mmxxxxxx
(0,25đ)

12124
2
+= mm

34
3
3
34
1212
34
412124
34
4
22

22
2
2
1

+=

+
=

+
=

+
=
mm
m
m
mmm
m
mxx
A
(0,75đ)
A nguyên
34
3


m
nguyên

34

m
là ớc của 3 (0,25đ)
Giải ra ta đợc m= 0, m = 1
Vậy với m = 0, hoặc m = 1 thì A nguyên (0,5đ)
Câu 4:(2,5đ)
a, Xét hiệu:






+

+
+






+

+
=
+

+
+
+
ab
b
ab
a
ab
ba
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2222
(0,25đ)

( )
( )
( )
( )

( )( )
( )
abba
ababbaba
+++
+++
=
111
11
22
22
(0,25đ)

( ) ( )
( )
( )
0
111
1
22
2

+++

=
abba
abab
)(
(0,25đ)
Vì

010111 + ababba ,,
(0,25đ)
b, Viết B dới dạng:

1
1
2
2
++
+
=
aa
aa
B
(1) (Đặt
a
y
x
=
) (0,25đ)
Do
01
2
++ aa
nên (1)
1
22
+=++ aaBBaBa
(0,25đ)

( ) ( ) ( )
0111
2
=+++ BaBaB
(2) (0,25đ)
Nếu
101
==
BB
thì có nghiệm a = 0 => x = 0
Nếu
1

B
thì để (2) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là:
0


( ) ( ) ( )( )
3
3
1
033130141
22
+ BBBBB
(0,25đ)
Với
3
1
=B

hoặc
3
=
B
thì nghiệm của (2) là:
( )
12
1

+
=
B
B
a
Với
3
1
=B
thì a= 1,
3
=
B
thì a= -1
Vậy
3
1
=
B
Min
khi và chỉ khi a = 1 hay

yx
y
x
== 1
(0,25đ)

3=
B
Max
khi và chỉ khi a = -1 hay
yx
y
x
== 1
(0,25đ)
Câu 5:(6đ)
Vẽ hình đúng
a, Tam giác vuông AEC có góc A = 45
o
=> góc ACE = 45
o

tam giác vuông HDC có góc DCH = 45
0
=> góc DHC = 45
0
=> tam giác DHC cân
(1,5đ)
=> HD = DC (0,25đ)
b, Ta có CE

AB, BD

AC, góc BEC = 90
0
, BDC = 90
0
=> tứ giác EDCB nội tiếo đờng
tròn đờng kính BC
=> góc DEC = DBC (cùng chắn cung DC) (0,5đ)
Mà góc AED + DEC = 90
0
và góc DCB + DBC = 90
0
=> góc AED = ACB
=>

AED ~

ACB (g.g) (0,5đ)
=>
2
2
2
===
.AE
AE
AC
AE
BC

DE
(vì

AEC vuông cân => AC= AE.
2
) (1đ)
c, Dựngk tia tiếp tuyến Ax với đờng tròn(O) nội tiếp tam giác ABC, ta có :
góc BAx= BCA mà góc BCA = AED (1đ)
nên góc BAx = AED do đó DE//Ax (0,5đ)
mà OA

Ax => OA

DE (0,5đ)
Câu 6:(2,5đ)
a, Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với:

013326
2
=++ xyxyxx

1
22
=+ yx
(0,25đ)
( )( )
01213 =+ yxx

1
22

=+ yx
013
=
x

012 =+ yx

1
22
=+ yx
(0,5đ)
Giải hệ trên ta đợc các nghiệm (x, y) là:
( )

5
3
5
4
10
3
22
3
1
3
22
3
1
;;;;,;,
(0,75đ)
b, Lần lợt nhân hai vế của đẳng thức với
5
2
+ xx
và
5
2
+ yy

Ta đợc
xxyy +=++ 55
22
(0,25đ)

yyxx +=++ 55
22
(0,25đ)
Công từng vế ta đợc:
002 =+=+=+ yxyxyxyx )(
(0,5đ)