SKKN giúp học sinh học tốt hằng đẳng thúc đáng nhớ

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH
NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn
đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố
gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn lại
không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống
sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và
công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công
nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt,
sáng tạo là người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật
nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng.
Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì
nó giúp các em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic,
không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như:
vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành
nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần
cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng)
Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu
tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là
môn học “thể thao của trí tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được
các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán
… từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo.
Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới
học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần
nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu
cầu. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong
chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em. Nhờ
những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh

hơn và chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức
thành nhân tử một cách hợp lý.
Để học sinh nắm được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đòi hỏi học sinh
phải thấy được cơ sở xây dựng nên bảy hằng đẳng thức. Thấy được ứng
dụng thực tế của bảy hằng đẳng thức vào giải toán như thế nào? Có như
vậy các em mới có động lực trong học tập.
Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận
hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê
học tập tìm tòi kiến thức.
II. THỰC TRẠNG
Qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài của
các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn
mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia
Trong quá trình làm bài tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng
mà chủ yếu là giáo viên phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở
dẫn dắt gần như làm sẵn.
Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào
giải toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa
các hằng đẳng thức với nhau.
Trong bài kiểm tra 15 phút vừa qua cho thấy với một bài tập rút gọn
(x–2)(x+2)+(x
2
–5x+4)–2x
2
. Khi làm bài nhiều em không biết vận dụng
hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để viết (x–2)(x+2)=x
2
–2
2

mà các em
lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với đa thức vừa dài dòng và hay sai
sót còn đối với đa thức x
2
–5x+4 thì các em lại phân tích để đưa về dạng
hiệu hai bình phương. Hay bài tính (x+2)(x
2
+1) thay vì các em phải thực
hiện nhân đa thức với đa thức thì các em lại ngộ nhận x
2
+1 là hằng đẳng
thức. Việc không tìm ra kết quả dẫn đến các em hoang mang, chán nản.
Thự tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận
dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng
túng nên kết quả bài làm còn thấp.
Với thực trạng như trên để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt
các hằng đẳng thức vào giải bài tập cần có các giải pháp như sau
III. CÁC GIẢI PHÁP
– Việc đầu tiên để các em nắm vững được bảy hằng đẳng thức là
giáo viên phải làm cho học sinh thấy được cơ sở để dẫn đến các hằng đẳng
thức. Các em thấy được sự tiện lợi của các hằng đẳng thức đó trong giải
toán.
– Đối với hai hằng đẳng thức bình phương một tổng và bình phương
một hiệu nó đều có hạng tử giống nhau chỉ khác nhau về dấu của hạng tử
thứ hai, nếu là bình phương một tổng thì tất cả các hạng tử đều mạng dấu
cộng còn bình phương một hiệu thì hạng tử thứ hai mang dấu trừ các hạng
tử còn lại mang dấu cộng. Nên sử dụng các dạng bài tập như điền khuyết,
trắc nghiệm đúng sai đề các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức.
Ví dụ:
a/ Điền vào chỗ trống để được hằng đẳng thức đúng:

A
2
+…… +B
2
= (…+B)
2
…. – 2AB+B
2
= (A +B)
2
A
2
… 2AB+B
2
= (…–…)
2
b/ Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau
+ Bình phương một tổng bằng tổng hai bìng phương.
+ Bình phương một hiệu bằng hiệu hai bình phương.
+ Tích (a+b)(a+b) là bình phương một tổng.
+ Tích (a+b)(a–b) là bình phương một hiệu.
+ Tích (a–b)(a–b) là bình phương một hiệu.
Trong khi giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhận
dạng khi nào thì có thể sử dụng hai hằng đẳng thức này, đó là các đa thức
chỉ chứa ba hạng tử hoặc dùng cách nhóm để trong một nhóm có ba hạng
tử thì có thể sử dụng hằng đẳng thức này. Khi đó phải xét xem có hạng tử
nào có dạng A
2
, B
2

hay không nếu có phải xác định được A
2
=?; B
2
=?, từ đó
mới phân tích xem hạng tử còn lại có ở dạng
±
2AB hay không? Đối với
hằng đẳng thức hiệu hai bình phương học sinh phải nắm vững dạng của nó,
nếu ta có A
2
mà có –B
2
thì đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x
2
–4xy+y
2
.

Giáo viên
phải hướng dẫn học sinh tìm A
2
=4x
2
=(2x)
2
; B
2
=y

2
và sau đó các em phải
phân tích –4xy= –2.2x.y. Từ đó các em mới vận dụng thì kết quả tìm được
là đúng.
Chẳng hạn đa thức x
2
+2x+4 nhiều em sẽ ngộ nhận đó là hằng đẳng
thức bình phương một tổng vì A
2
=x
2
; B
2
=4=2
2
nhưng ta thấy 2x không có
dạng 2AB nên khi các em làm bài hay vấp phải sai lầm như trên.
– Có khi muốn vận dụng các em phải biết cách nhóm phù hợp
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x
2
–9y
2
–16+24y nhiều em sẽ
nhóm hai hạng tử đầu để có hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hai
hạng tử sau để đặt nhân tử chung. Nhưng nếu các em làm như vậy thì
không có kết quả. Đối với bài toán này các em phải biết thay đổi vị trí và
nhóm thích hợp như sau:
4x
2
–9y

2
–16+24y =4x
2
–9y
2
+24y–16
=4x
2
–(9y
2
–24y+16)
=(2x)
2
–(3y–4)
2
=(2x–3y+4)(2x+3y–4)
Hay khi phân tích đa thức 2xy–x
2
–y
2
+16 thành nhân tử. Đa số là các
em lúng túng không biết nhóm như thế nào cho phù hợp có em sẽ thực hiện
như sau: 2xy–x
2
–y
2
+16 =(2xy–x
2
)–(y
2

–16)
=x(2y–x)–(y+4)(y–4)
Đến bước này thì các em không thể làm tiếp được nữa. Đối với bài
tập này ngoài việc nhóm các hạng tử, các em phải biết giao hoán các hạng
tử và khi nhóm thì phải đặt dấu trừ đằng trước dấu ngoặc thì mới xuất hiện
dạng hằng đẳng thức. Do đó, đòi hỏi các em phải biết suy luận biến đổi
2xy–x
2
–y
2
+16=16–(x
2
–2xy+y
2
). Nếu các em làm được bước này thì coi như
các em đã nắm và vận dụng được kiến thức về hằng đẳng thức bình phương
một hiệu. Tiếp theo bước này thì học sinh phải nhận ra dạng hằng đẳng
thức tiếp theo 16–(x–y)
2
là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với A
2
=16
Þ
A=4; B
2
=(x–y)
2

Þ
B=x–y. Từ đó các em có thể phân tích tiếp 16–(x–y)

2
=4
2
–(x–y)
2
=[4–(x–y)][4+(x–y)]
=(4–x+y)(4+x–y)
Đến đây mới là kết quả phân tích của bài toán
Để làm được điều này đối với học sinh khá giỏi thì cũng là một vấn
đề đơn giản nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em không
dễ gì nhìn ra được, do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tương tự để các
em luyện tập,từ đó các em gặp phải các dạng tương tự các em sẽ biết phân
tích lập luận để tìm ra hướng giải quyết. Một điều các em thường vấp phải
trong khi làm bài, các em thường nhầm lẫn giữa bình phương một hiệu và
hiệu hai bình phương, lập phương một tổng (hiệu) với tổng (hiệu) hai lập
phương do đó khi hướng dẫn giáo viên phải cho học sinh nhắc lại
Ví dụ: Tính nhanh 101
2
Nhiều em sẽ thực hiện như sau: 101
2
=(100+1)
2
=100
2
+1
2
=10000+1
=10001.
Khi sửa bài giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh thấy rõ là (100+1)
2

≠
100
2
+1
2
– Với hai hằng đẳng thức lập phương một tổng và lập phương một
hiệu giáo viên cũng cần hướng dẫn cho các em trong những trường hợp nào
thì sử dụng chẳng hạn phân tích những hằng đẳng thức có bốn hạng tử ta có
thể liên tưởng đến một trong hai hằng đẳng thức này. Nếu đa thức có tất cả
bốn hạng tử mang dấu cộng thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức lập phương một
tổng còn nếu có cả dấu cộng và dấu trừ thì chỉ có thể rơi vào hằng đẳng
thức lập phương một hiệu. Giữa hai hằng đẳng thức này giáo viên cũng cần
hướng dẫn cho học sinh cách nhớ là các hạng tử giống nhau nhưng đối với
lập phương một hiệu thì dấu cộng, trừ xen kẽ nhau.
( )
3
3 2 2 3
A B A 3A B 3AB B± = ± + ±
Do đó khi vận dụng phải xác định đâu là biểu thức A
3
, đâu là biểu thức B
3
sau đó suy ra A và B từ đó mới phân tích xem có hạng tử 3A
2
B; 3AB
2
hay
không?
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 8x
3

+36x
2
+54x+27
Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm
A
3
=8x
3
=(2x)
3
⇒
A=2x;
B
3
=27=3
3
⇒
B=3
Từ đó phân tích 36x
2
=3.(2x)
2
.3=3A
2
B
54x=3.2x.3
2
=3AB
2
Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng như vậy sẽ là hằng đẳng thức lập

phương một tổng.
Hoặc phân tích đa thức –x
3
+9x
2
–27x+27 mặc dù đa thức có bốn hạng
tử và bậc cao nhất của hạng tử là bậc ba nhưng trong trường hợp này ta ta
thấy dấu của các hạng tử không trùng hợp với dấu của hằng đẳng thức nào
cả vậy thì câu hỏi đặt ra là ta làm như thế nào để đưa được về hằng đẳng
thức lập phương một hiệu, rõ ràng ở đây chỉ có thể đưa về hằng đẳng thức
lập phương một hiệu vì có hạng tử mang dấu trừ. Lúc này giáo viên hướng
dẫn học sinh cách đưa dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc và sau đó tìm A
3
=? để
suy ra A; B
3
=? để suy ra B và tìm xem có hạng tử –3A
2
B và 3AB
2
hay
không? Rồi mới yêu cầu học sinh trình bày lời giải. Khi đó lời giải cụ thể
là: –x
3
+9x
2
–27x+27 = –(x
3
–9x
2

+27x–27)
= –(x
3
–3.x
2
.3+3.x.3
2
–3
3
)
= –(x–3)
3
– Còn đối với hai hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương và hiệu hai
lập phương
3 3 2 2
A B (A B)(A AB B )± = ± +m
thì giáo viên cũng cần phải
làm rõ để học sinh nhìn thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai
đa thức này. Để từ đó khi gặp các bài tập các em sẽ vận dụng không bị
nhầm lẫn
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3
1
8x
8
+
các em phải xác
định được A
3
=8x

3
; B
3
1
8
=
từ đó các em mới tìm ra A=2x; B
1
2
=
và vận
dụng được hằng đẳng thức A
3
+B
3
– Phân tích một đa thức thành nhân tử dùng hằng đẳng thức là một phương
pháp đòi hỏi các em phải nắm chắc được các hằng đẳng thức.
IV. KẾT LUẬN
Theo chủ quan của bản thân có thể những giải pháp trên các đồng
nghiệp cũng đã sử dụng nhưng tôi xin mạnh dạn viết lại để chúng ta cùng
thảo luận và tìm ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn
giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức vào phân tích
đa thức thành nhân tử một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn.
Trong qua trình vận dụng rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp
Đạ tẻh ngày 25 tháng 10 năm 2006
Người viết
Nguyễn Thị Hiên