đề thi học kì 2 lớp 11 - có lời giải chi tiết

2
Cõu 1: cho cp s nhõn (U
n
), vi:
1 3
3 5
72
10
u u
u u
- =
ỡ
ớ
+ =
ợ
. Tỡm s hng u v cụng bi ca cp s nhõn trờn
Gii: Ta cú
2 2
1 3
1 1 1
2 4 2 4
3 5
1 1 1
72
72 (1 ) 72 (1)
10
10 ( ) 10 (2)
u u
u u q u q
u u
u q u q u q q

- =
ỡ ỡ
- = - =
ỡ

ớ ớ ớ
+ =
+ = + =
ợ
ợ ợ
. Vỡ q = 0 khụng phi l nghim
ca h phng trỡnh trờn nờn ta thc hin ly phng trỡnh (1) chia cho phng trỡnh (2) v theo
v ta c:
( ) ( )
2
2 2
2 2 4 4 2
1
2 4 2 4
2
1
1
( )
(1 )
72 1 72
9
10 1 72 72 82 10 0
5
( ) 10 10
( )

4
q n
u q
q
q q q q q
u q q q q
q l
ộ
=
ờ
-
-
= = - = + + - =
ờ
+ +
ờ
= -
ờ
ở

Vi q
2
= 1/9 ta cú q = 1/3 hoc q = -1/3.
q = 1/3 th vo (1) ta c
1 1
8
72 81
9
u u
= =

.
q = -1/3 th vo (1) ta c u
1
= 81.
Cõu 2: a) tỡm a hm s
5 6 4
( 2)
2
( )
3 1
( 2)
2 2
x
x
x
f x
a
x x
ỡ
+ -
ạ
ù
ù
-
=
ớ
ổ ử
ù
- =
ỗ ữ

ù
ố ứ
ợ
liờn tc ti x
o
= 2.
Gii: TC: D =R.
Ta cú
2 2 2 2
2 2
5 6 4 ( 5 6 4)( 5 6 4) 5 6 16 5 10
lim ( ) lim lim lim lim
2
( 2)( 5 6 4) ( 2)( 5 6 4) ( 2)( 5 6 4)
5( 2) 5 5
lim lim
8
( 2)( 5 6 4) 5 6 4
3 1
( ) (2) .2 3 1
2 2
o
x x x x x x
x x
o
x x x x x
f x
x
x x x x x x
x

x x x
a
f x f a
đ đ đ đ đ
đ đ
+ - + - + + + - -
ã = = = =
-
- + + - + + - + +
-
= = =
- + + + +
ổ ử
ã = = - = -
ỗ ữ
ố ứ
Hm s f(x) liờn tc ti x
o
= 2 khi v ch khi
5 13
lim ( ) ( ) 3 1 5 24 8 24 13
8 24
o
o
x x
f x f x a a a a
đ
= = - = - = =
.
b) Tỡm o hm ca cỏc hm s sau:

3 2
2
) ( ) 2 4 3
3
f x x x x
a
= + + -

2cos
) ( )
sinx+cos
x
f x
x
b
=
.
Gii:
3 2
'
3 2
3 3 3
3 2 3 2 3 2 3 2
2
) ( ) 2 4 3
3
2
2 4 3
2 4 4 2( 2 2) 2 2
3

'( )
2 2 2 2
2. 2 4 3 2. 2 4 3 2. 2 4 3 2 4 3
3 3 3 3
f x x x x
x x x
x x x x x x
f x
x x x x x x x x x x x x
a
= + + -
ổ ử
+ + -
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ
ị = = = =
+ + - + + - + + - + + -

O
D
C
A
B
S
J
H
2 2
2 2 2
2 2

2cos
) ( )
sinx+cos
(2cos )'(sinx+cos ) (2cos )(sinx+cos )' 2sinx(
sinx+cos ) (2cos )(cos sinx)'
'( )
(sinx+cos ) (sinx+cos )
2sin x - 2sinxcos 2cos 2sinxcos 2sin x 2cos
sin 2sin cos os
x
f x
x
x x x x x x x
f x
x x
x x
x x x c x
b
=
- - - -
Þ = =
- - + - -
= =
+ +
2 2 2
2 2 2 2
2(sin x +cos )
sin os 2sin cos (sin os ) 2sin cos
2
1 sin 2

x x
x c x x x x c x x x
x
-
=
+ + + +
-
=
+

Câu 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
– 5 tại điểm có
hoành độ x = 3.
b) Chứng minh rằng phương trình: -x
4
+ x
3
– 3x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm trên tập xác định
của nó.
Giải: a) Gọi A(x
o
, y
o
) là tiếp điểm của đồ thị trên và tiếp tuyến cần tìm, vậy x
o
= 3.
Ta có

3 2 2
2 5 ' 3 4 '( ) '(3) 15
o
y x x y x x y x y
= - - Þ = - Þ = =
;
( ) (3) 4
o o
y y x y
= = =
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y = 15(x - 3) + 4 hay y = 15x – 41
b) TXĐ D = R
Đặt f(x) = -x
4
+ x
3
– 3x + 1. Vì f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R vậy f(x) cũng liên tục trên
các đoạn [-2,0] và [0,1].
Nhận xét: f(-2).f(0) = (-17).1 = -17 < 0 ; : f(0).f(1) = 1. (-2) = -2 < 0
Vậy nên phương trình -x
4
+ x
3
– 3x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng (-2, 1) hay
phương trình này có ít nhất hai nghiệm trên tập xác định của nó.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tậm O. Biết SA ^ (ABCD),
3
AB a
=

, AD = a, SA = 2a. Gọi J là hình chiếu của A lên SD.
a) AJ ^ (SDC)
b) Tính góc giữa SC và mp(ABCD).
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng: (SBD) và (ABCD).
Giải:
a) Ta có
DC AD (ABCDlà hình vuông)
DC SA (SA (ABCD DC)
DC (SAD)
AD,SA (SAD)
AD SA A
mà AJ (SAD) nên DC AJhay AJ DC
^
ì
ï
^ ^ É
ï
Þ ^
í
Ì
ï
ï
Ç =
î
Ì ^ ^

AJ DC (cmt)
AJ SD (gt)
AJ (SDC)
DC,SD (SDC)

DC SD D
^
ì
ï
^
ï
Þ ^
í
Ì
ï
ï
Ç =
î

b) * Ta có
SA (ABCD) A
SC (ABCD) C
^ =
ì
í
Ç =
î

ÞAC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
·
(
)
·
SC,(ABCD) SCA
Þ =

* Xét vuông tại B (ABCD là hình chữ nhật).
Áp dụng định lý Pythagore ta có
2 2 2 2 2 2
AC AB BC (a 3) a 4a AC 2a
= + = + = Þ =

Xét DSAC vuông tại A (
SA (ABCD) AC
^ É
), ta có: SA = AC = 2a vậy nên DSAC vuông cân tại
A. Suy ra
·
o
SCA 45
=

Vậy
·
(
)
·
o
SC,(ABCD) SCA 45
= =
c)* Gọi AH là đường cao của tam giác ACD, ta có:
BD SA(gt)
BD SH
BD AH
^
ì

Þ ^
í
^
î

Nhận thấy:
{
}
·
( )
·
(SBD) (ABCD) BD
AH BD H
(SBD),(ABCD) SHA
SH BD H
AH (ABCD)
SH (SBD)
ì Ç =
ï
^ =
ï
ï
Þ =
^ =
í
ï
Ì
ï
ï
Ì

î

* Xét DABD ta có:
ABD
1 1 AB.AD AB.AD (a 3)a a 3
S AB.AD AH.BD AB.AD AH.BD AH
2 2 BD AC 2a 2
D
= = Þ = Þ = = = =
Xét DSAH vuông tại A (
SA (ABCD) AH
^ É
),ta có:
· ·
SA 2a 4 3 4 3
tan(SHA) SHA arctan
AH 3 3
a 3
2
= = = Þ =

Vậy nên
·
( )
·
4 3
(SBD),(ABCD) SHA arctan
3
= =