Chuyên đề bất phương trình mũ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.18 KB, 4 trang )
1
Bất phương trình mũ
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
1
1
2
5 2 5 2
x
x
x
.
1
Giải
Ta có
1
1
1
2
5 2 5 2
x
x
x
1
1
2
x
x
x
1
1 0
2
x
x
x
2
4 1
0
2
x x
x
.
Ta có bảng xét dấu của
2
4 1
2
x x
x
:
x
2 3
2
2 3
2
4 1
2
x x
x
0
||
0
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình
1
là
2 3; 2 2 3;
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34 15
x x x x x x
.
1
Giải
Ta có
1
2 2 2
2 2 2
25 25 9 9 34 15
x x x x x x
.
Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho
2
2
9
x x
, ta được
2 2
2 2
25 5
25 9 34
9 3
x x x x
2 2
2 2
25 5
25 34 9 0
9 3
x x x x
.
Đặt
2
2
5
3
x x
t
, từ
2
2
2 1 1 1
x x x
suy ra
5
0;
3
t
. Khi đó bất phương trình trên
trở thành
2
25 34 9 0
t t
9
25
1
t
t
.
Do đó bất phương trình
1
tương đường với
2
2
2
2
5 9
3 25
5
1
3
x x
x x
2
2
2 2
2 0
x x
x x
2
2
2 2 0
2 0
x x
x x
2
;1 3 1 3;
0;2
x
x
;1 3 0;2 1 3;x
.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
2
1 1
x
x x
.
1
Giải
Ta thấy
2
2
1 3
1 0
2 4
x x x
x
. Do đó
1
2
2
1 1
0
1 1
0
x x
x
x x
x
1
x
x
1
x
.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
.
1
Giải
Nhân hai vế của bất phương trình
1
với
2 0
x
, ta được bất phương trình tương đương:
2
2 2 2
0
2 1
x x
x
2
2 2 2
0
2 1
x x
x
2 1 2 2
0
2 1
x x
x
2 2
0
2 1
x
x
2 2
2 1
x
x
1
0
x
x
.
Ví dụ 5. Tìm
a
để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
2
4 1 2 1 0
x x
a a a
.
1
Giải
Đặt
2
x
t
, suy ra
0
t
và bất phương trình
1
trở thành
2
4 1 1 0
a t a t a
2
4 1 4 1
a t t t
2
4 1
4 1
t
a
t t
.
2
Xét hàm
2
4 1
4 1
t
f t
t t
(
0
t
). Ta có
2
2
2
4 2
' 0
4 1
t t
f t
t t
0
t
.
0
1
_
0
_
f t( )
f ' t( )
+∞
∞
t
3
1
nghiệm đúng với mọi
x
2
nghiệm đúng với mọi
0
t
đường thẳng
y a
nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số
y f t
(
0
t
)
1
a
.
Ví dụ 6. Tìm
m
để bất phương trình sau có nghiệm
4 2 3 0
x x
m m
.
1
Giải
Đặt
2
x
t
, suy ra
0
t
và bất phương trình
1
trở thành
2
3 0
t mt m
.
2
Để
1
có nghiệm thì trước hết
2
phải có nghiệm. Muốn như vậy thì tam thức bậc hai
2
3
f t t mt m
phải có
0
, tức là
2
4 3 0
m m
2
4 12 0
m m
2
6
m
m
.
3
Khi đó
2
2 2
4 12 4 12
2 2
m m m m m m
t
.
1
có nghiệm
2
có nghiệm dương
2
4 12 0
m m m
2
4 12
m m m
2 2
0
0
4 12
m
m
m m m
0
3
m
m
.
Kết hợp với điều kiện
3
suy ra những giá trị cần tìm của
m
là
; 3 6;
.
B. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1)
2
1
2
1
2
2
x
x x
. ĐS:
2;
.
2)
-1
-1
1
5 2 5 2
x
x
x
. ĐS:
0;1 3;
.
3)
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
. ĐS:
1;0 1;
.
4)
3 1
2 1
1 1
2
2
x
x
. ĐS:
0;
.
5)
1 2 1 2
9 9 9 4 4 4
x x x x x x
. ĐS:
9
4
21
91
;log
.
6)
1 3 4 2
7.3 5 3 5
x x x x
. ĐS:
5
3
; log 2
.
7)
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
. ĐS:
3
2
0;log 3
.
4
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
1)
9 2.3 3
x x
. ĐS:
;1
.
2)
2 1
1
1 1
3 3
3 12
x x
. ĐS:
1;0
.
3)
1
1
0
2 2
2 1
x x
x
. ĐS:
;0 1;
.
4)
2 2 2
1 2 1 2 2
25 9 34.15
x x x x x x
. ĐS:
;1 3 0;2 1 3;
.
5)
9 3 11 2 2 5 2 6 2 3 2 1
x x x
. ĐS:
;0
.
6)
2 2
2
2 - 2 -
1 2 -
3 5 3 5 2 0
x x x x
x x
. ĐS:
0;2
.
7)
2
9 3 3 9
x x x
. ĐS:
1;
.
Bài 3. Giải các bất phương trình sau
1)
2 2
1 1 1
2 2 2 2
x x x x
. ĐS:
1;2
.
2)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x
. ĐS:
5;
.
3)
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
. ĐS:
0;4
.
4)
2 3 6 3 5
2 15.2 2
x x x x
. ĐS:
2;
.
Bài 4. Giải các bất phương trình sau
1)
2.2 3.3 6 1
x x x
. ĐS:
;2
.
2)
4 2 4
3 2 13
x x
. ĐS:
0;
.
3)
2 2
sin cos
2 2 2 sin cos
x x
x x
. ĐS:
2
4
k
,
k
.
