Bài toàn tìm điểm M trên đồ thị hàm số

Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho tổng các khoảng cách từ M đến
hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Lê quang Dũng – trường THPT số 2 Phù Cát – Bình định
Ví dụ 1 : Tìm M thuộc đồ thi (C) của hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
sao cho tổng khoảng cách từ
đó đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
Giải : (C)
1
1
x
y
x
+
=
−
, M thuộc (C) đặt
0
0

1 ,
2
1
M M

x
x x y= + +=

Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là :
0 0
0 0
2
1 1 1
2
MM
d y x
x
x
x
x= + ≥ ++ + + +=
, điều kiện
( )
0
0
2
1 1 0x
x
 
 ÷

+

≥+
i) x
0

>0 , ta có d>2
ii)
0
2 1x− ≤ ≤ −
, ta có d
0
0
2
2 2 2 2d x
x
≥ − − − ≥ −
Khi đó d nhỏ nhất 
0
2x = −
=> M(
1 , 2 2 1
M M
x y− = −= ++
)
Ví dụ 2 : Tìm M thuộc đồ thi (C) của hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
−
sao cho tổng khoảng cách từ
đó đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất

Giải : (C)
2 1
1
x
y
x
−
=
−
, M thuộc (C) đặt
0
0

1 ,
1
2
M M
x
x x y= + +=

Khi đó khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là :
0 0
0 0
1
2 3 1
1
MM
d y x
x
x

x
x= + ≥ ++ + + +=
, điều kiện
( )
0
0
1
2 1 0x
x
 
 ÷

+

≥+
i) x
0
>0 , ta có d>3
ii)
0
1
1
2
x− ≤ ≤ −
, ta có d
0 0
0
1
3 ( )d x g x
x

≥ + + =
( )
0
2
0
1
’ 1 0g x
x
= − ≤
, với
0
1
1
2
x− ≤ ≤ −
=>
1
( )
2
d g≥ −

Khi đó d nhỏ nhất  M(
,
1
2
0
M M
x y= =
)
Ví dụ 3 : Tìm M thuộc đồ thi (C) của hàm số

2
1
x
y
x
+
=
−
sao cho tổng khoảng cách từ
đó đến đường thẳng (d) y=-x bằng
2