sáng kiến kinh nghiệm phép nghịch đảo trong hình học phẳng

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”
LỜI MỞ ĐẦU
1) Mục đích: Cung cấp thêm một công cụ khá mạnh để giải bài toán hình học
phẳng
2) Các ví dụ minh họa.
3) Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện.
Hy vọng với một số ví dụ và một lượng bài tập vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các
em học sinh. Việc tìm tòi các dạng toán có thể dùng phép nghịch đảo là một công việc
đòi hỏi sự say mê chịu khó và một tinh thần ham học.
Trong khi trình bày đề tài, chắc chắn không thể không thiếu xót,rất mong sự đóng
góp của các Thầy Cô để bài viết được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn
GV. PHẠM ĐỨC MINH
I) Các định nghĩa:
a) Góc giữa đường thẳng và đường tròn: góc giữa đường thẳng d và đường tròn (O) là
góc giữa d và tiếp tuyến
∆
của (O) tại giao điểm M của (O) và d.
Khi d và (O) không có điểm chung hoặc d là tiếp tuyến của (O) thì góc giữa d và (O)
bằng 0
b) Góc giữa hai đường tròn:
Cho hai đường tròn (O) và (O’).Góc giữa hai đường tròn (O) và (O’) là góc giữa hai tiếp
tuyến tại giao điểm của (O) và (O’).
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì góc giữa chúng bằng 0.
c) Hai đường tròn (O) và (O’) gọi là trực giao nếu hai tiếp tuyến tại điểm chung vuông
góc nhau
d
d
∆

α
d
d’
α
* OO’
2
= R
2
+ R’
2
* P
O /(O’)
= R
2
; P
O’ /(O )
= R
’2
* (ABCD) = – 1
II) PHÉP NGHỊCH ĐẢO:
1) Định nghĩa:Cho điểm O cố định và số thực
k 0≠
.
Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu: f =
k
O
N
k
O
N : M M' OM.OM' k

⇔ =
a
2) Tính chất:
*
k k
o o
N (M) M' N (M') M
= ⇔ =
. Ta ghi:
k
o
N : M M'
↔
*
k k
o o
N (N (M)) M
=
nên
k k
o o
N No
là phép đồng nhất.
* Đường tròn nghịch đảo:Xét
k
o
N : M M'a
Nếu k > 0 thì M và M’ nằm cùng phía với O. Khi đó
( ) ( )
k

o
N : O; k O; ka
Đường tròn (O;
k
) gọi là đường tròn nghịch đảo qua
k
o
N
: nó là tập hợp những điểm bất
động của phép nghịch đảo.
Chứng minh: Lấy điểm M trên (O;
k
)
( )
k
o
N :M M' OM.OM' k OM' k M' O; k
⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
a
MM’
O
O
O’
M
A
B
C
D
* Phép nghịch đảo
k

o
N
biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo thành chính
nó.
Chứng minh: Xét đường tròn nghịch đảo (O;
k
) và đường tròn (O’) trực giao với (O). M
là điểm tùy ý trên (O’) và
k
o
N :M M' OM.OM' k
⇔ =
a
Giả sử OM cắt (O’) tại M’’. Ta có:P
O/ (O’)
=
( )
2
OM.OM'' k k OM.OM'
= = =
M' M''⇒ ≡
(đpcm)
*
k
o
N : A A'
B B'
a
a
thì

k
A'B' AB
OA.OB
=
Chứng minh:
* Nếu O,A,B không thẳng hàng: do
OA.OA' OB.OB' k
= =
nên A,A’,B,B’ đồng viên
k
A'B' OA' OA' OA.OA'
OAB OB'A' A'B' AB AB AB
AB OB OB OA.OB OA.OB
⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = =
:
O
O’
M
M’
k
O
A
A’
B
B’
O
* Nếu O, A, B thằng hàng: do
OA.OA' OB.OB' (OB BA)(OB' B'A') OB.OB'
= ⇔ + + =
( )

OB.B'A' OB'.BA BA.B'A' 0 B'A'. OB BA OB'.AB⇔ + + = ⇔ + =
OB'.AB OB.OB' k
A'B' AB .AB
OA OA.OB OA.OB
⇔ = − = − = −
k
A'B' AB
OA.OB
⇒ =
Chú ý:Khẳng định
k
O
N :AB A'B'a
là sai.
3)Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo:
a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo là chính nó.
(d) qua O
k
o
N :d d
⇒
a
Chứng minh:Lấy điểm M tùy ý trên (d) và
k
O
M' N (M) OM.OM' k O,M,M'
= ⇒ = ⇒
thẳng hàng
M' (d)
⇒ ∈

b)Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo là đường
tròn qua cực nghịch đảo
(d) không qua O
k
o
N :d (C)
⇒
a
qua O.
Chứng minh:Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên (d) và
k
O
A' N (A)
=
Lấy điểm M tùy ý trên (d) và
k
O
M' N (M) OM.OM' k OA.OA'
= ⇒ = = ⇒
bốn điểm M, M’, A, A’ đồng viên
·
·
0
MAA' MM'A' 90 M'
⇒ = = ⇒
thuộc đường tròn đường
kính OA’.
O
M M’
d

A
B
A’
B’
O
A
A’
M
M’
O’
O
1
O
A’
A
M
M’
O
1
O’
( k > 0) (k < 0)
Cách xác định tâm của đường tròn (C):
Gọi O’ là tâm của (C), suy ra O’ là trung điểm của OA’. O
1
là điểm đối xứng của O qua
(d). Ta có:
k
1 O 1
1
OO .OO' 2OA. OA' OA.OA' k O' N (O )

2
= = = ⇒ =
4) Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo:
a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn đi qua cực nghịch đảo là đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo và tâm của
đường tròn đã cho.
(C) qua O
k
o
N :(C) d
⇒
a
không qua O và d
1
OO
⊥
Chứng minh: Gọi A là điểm đối xứng với O qua tâm O
1
và B là ảnh của A qua
k
O
N
M là điểm tùy ý trên (C) và N =
k
O
N
(M).Ta có:
OM.ON k OA.OB
= = ⇒
bốn điểm

A,B,M,Nđồng viên
·
·
0
AMN ABN 90
⇒ = = ⇒
N thuộcđường thẳng d qua B và vuông góc
với OA.
b) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là đường tròn
không đi qua cực nghịch đảo.
(C)(I;R) không qua O
k
o
N :(C) (C')(I';R ')
⇒
a
không qua O
Chứng minh: Lấy điểm M tùy ý trên (C), OM cắt (C) tại N.
Ta có:
O/(C)
OM.ON p
℘ = =
O
A
O
1
M
N
B
d

O
N’
I
I’
M’
N
(C)
(C’)
M
Suy ra ảnh của (C) qua
p
O
N
là chính (C).
Gọi M’ là ảnh của M qua
k
O
N
suy ra M’ là ảnh của N qua phép vị tự
k
p
O
V
.
Đảo lại nếu M’ là ảnh của N qua
k
p
O
V
thì

k k
OM' ON OM.OM' OM. ON k
p p
= ⇒ = =
suy ra M’
là ảnh của M qua
k
O
N
.
Vậy ảnh (C’) của (C) qua
k
O
N
là ảnh của (C) qua
k
p
O
V
với p =
/( )O C
℘
là đường tròn
5)Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa đường thẳng và đường tròn; góc giữa hai
đường tròn.
III.Các ví dụ:
1) Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm ngoài (O), AB cắt (O) tại C’
AC cắt (O) tại B’, BB’ cắt CC’ tại H. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) ( M, N là tiếp
điểm ). Chứng minh: M, N, H thẳng hàng.
Giải:Hiển nhiên H là trực tâm tam giác ABC

Ta có: AM
2
= AN
2
=
AB.AC' AB'.AC AH.AK k
= = =
k
A
N : K H;M ;N N
⇒ ↔ ↔ ↔
mà K, M,N thuộc đường tròn đường kính OA
⇒
(KMN) qua cực A
k
A
N :(KMN)
⇒ ↔
đường thẳng HMN
Vậy: H,M,N thẳng hàng.
OM' k
OM.OM' k
p
ON
⇒ = ⇒ =
A
B
C
K
H

H
C’
O
B’
N
M
2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Gọi B’,C’lần lượt là hình chiếu của B và C
lên AC, AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại A song song với B’C’ và AO vuông
góc với B’C’.
Giải:
Hiển nhiên bốn điểm B,C, B’,C’ đồng viên nên
AB.AC' AB'.AC k
= =
k
A
N : B' C;C' B
⇒ ↔ ↔
k
A
N
⇒
biến đường tròn (ABC)
≡
(O) thành đường thẳng B’C’.Theo
tính chất B’C’ vuông góc với OA
Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A suy ra d cũng vuông góc với OA nên d // B’C’.
3) Cho đường tròn (O) đường kính AB có I là điểm cố định thuộc đoạn AB ( I
≠
A,B)
Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (O) tại P, Q ( d

≠
AB). AP, AQ cắt tiếp tuyến của
(O) tại B lần lượt tại M, N. Chứng minh đường tròn (AMN) đi qua điểm cố định và tâm
của (AMN) nằm trên một đường thẳng cố định.
Giải:
Tam giác vuông ABM, ABN có BP, BQlà đường cao: AB
2
=
AP.AM AQ.AN k
= =
k
A
N :P M;Q N⇒ ↔ ↔
, suy ra đường thẳng PQ không qua cực A biến thành đường tròn
(AMN) mà PQ qua I cố định nên (AMN) qua I’ =
k
A
N (I)
cố định.
* Do (AMN) qua A và I’ cố định nên tâm của (AMN) nằm trên đường trung trực của AI’
cố định.
B
C’
d
A
C
B’
O
4) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao BD, CE.P là giao điểm của
DE và AM.Biết

3
2
=
BC
AM
. Chứng minh P là trung điểm AM.
Giải:Gọi N là giao điểm của AM và đường tròn (ABC).
* B,E,D,C đồng viên nên
k
A
AE.AB AD.AC k N :B E;C D
= = ⇒ ↔ ↔
⇒
(ABC) biến thành đường thẳng DE
⇒
k
A
N : N P AN.AP k
↔ ⇒ =
*
/( )M ABC
℘
=
2
BC BC 3 BC
MB.MC MA.MN .MN MN
4 2
2 3
= ⇒ = ⇒ =
*B,E,D,C nội tiếp đường tròn tâm M

A/(M)
⇒℘
=
2
2
BC
AM AE.AB k AN.AP
4
− = = =
2 2
2
BC BC
AP(AM MN) AM
4 2
⇒ + = − =
BC 3 1
AP AM
4 2
⇒ = = ⇒
P là trung điểm của AM.
A B
N
Q
P
M
I
A
B C
E
M

D
N
P
5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O
1
).Đường tròn (O) qua A, C cắt AB, AC lần
lượt tại K, N. Giả sử (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B, M.
Chứng minh:
·
0
90
=
OMB
Giải:
Gọi (O
2
) là đường tròn (KBN)
Ta có: P
B /(O)
=
BK.BA BN.BC k
= =
k
B
1 1
A K
N : C N
BO BO
↔



↔


↔

⇒
(ABC) biến thành NK mà BO
1
⊥
(O
1
) nên BO
1
⊥
NK
có OO
2
⊥
KN nên BO
1
//OO
2
(1)
k
B
2 2
(BNK) AC
N :
BO BO

↔


↔

mà BO
2
⊥
(O
2
) nên BO
2
⊥
AC,
có OO
1
⊥
AC nên BO
2
// OO
1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BO
1
OO
2
là hình bình hành.Gọi I là tâm BO
1
OO
2

suy ra I là trung
điểm O
1
O
2
mà O
1
O
2
⊥
BM nênOM
⊥
BM hay
·
0
OMB 90
=
A
M
K
N
B
C
O
O
2
O
1
6)Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (AC) và (BD) cắt nhau
tại X,Y.Đường thẳng XY cắt BC tại Z.P là điểm trên đường thẳng XY khác với Z. CP cắt

(AC) tại C và M. BP cắt (BD) tại B và N.Chứng minh: AM, DN, XY đồng qui.
Giải: Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm của (AC) và (BD).
Ta có XY là trục đẳng phương của (O
1
) và (O
2
)
⇒
2
1
/( ) /( )P o P O
℘ =℘
PX.PY PM.PC PN.PB k
⇒ = = =
k
P
X Y
N : C M
B N
↔


⇒ ↔


↔


AM (PA'C)
ND (PD'B)
XY XY
↔


⇒ ↔


↔

với
k
P
A' N (A)
=
và
k
P
D' N (D)=
. Để chứng minh AM,ND, XY đồng qui ta chứng minh XY
là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD’B).
* Ta có: A,A’,C,M đồng viên nên
·
·
0
PA'C 90 PZC Z (PA'C)
= = ⇒ ∈
D,D’,B,N đồng viên nên

·
·
0
PD'B 90 PZB Z (PD'B)
= = ⇒ ∈
⇒
PZ là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B)
hay XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B) hay AM,DN,XY đồng qui.
A B
C
D
X
Y
P
M
N
A’
Z
O
2
O
1
Các bài tập luyện tập:
7) Cho đường tròn (O) và hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại điểm P cố định
ở trong đường tròn (O). H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến AB.
a.Chứng minh: PH đi qua trung điểm của A’B’ và PH.PI không đổi.
b. Đường tròn (C) qua A,P và tiếp xúc với (O) tại A;
Đường tròn (C’) qua A’,P và tiếp xúc với (O) tại A’.(C) cắt (C’) tại M.Tìm tập hợp điểm
M.
8) Cho ba đường tròn (C),(C

1
),(C
2
) trong đó (C
1
),(C
2
) tiếp xúc trong với (C) tại B và (C
1
),(C
2
) tiếp xúc ngoài tại D.Tiếp tuyến chung trong của (C
1
),(C
2
)cắt (C) tại A và E. Đường
thẳng AB cắt (C
1
) tại điểm thứ hai là M, đường thẳng AC cắt (C
2
) tại điểm thứ hai là N.
Chứng minh:
1 1 2
+ =
DA DE MN
9) Cho bốn đường tròn phân biệt (C
i
) i=1,2,3,4. Hai đường tròn (C
1
),(C

3
) tiếp xúc ngoài
nhau tại P và hai đường tròn (C
2
),(C
4
) tiếp xúc ngoài nhau cũng tại P. Gọi A,B,C,D là giao
điểm thứ hai của (C
1
),(C
2
); (C
2
),(C
3
); (C
3
),(C
4
);(C
4
),(C
1
). Chứng minh:
2
2
AB.BC PB
AD.DC PD
=
10) Cho đườngtròn (O;R)tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm H cố định. M,N là hai điểm

di động trên d sao cho
. = −HM HN k
( k > 0 không đổi ). Từ M, N vẽ hai tiếp tuyến
MA,NB với (O) (A, B là tiếp điểm khác H)
a) Chứng minh (OMN) qua hai điểm cố định.
b) Chứng minh AB qua điểm cố định.