Phương trình lượng giác cơ bản

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Bảng giá trị các hàm số lượng giác của các góc đặc biệt:
x
HS
LG
0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
3
2
π
2π
0
o
30
o
45
o
60
o
90
o
180
o

120
o
270
o
360
o
Sinx
0
1
2
2
2
3
2
1
0
3
2
-
1
0
Cosx
1
3
2
2
2
1
2
0

-
1
1
2
0
1
Tanx
0
3
3
1
3
||
0
3
||
0
Cotx ||
3
1
3
3
0
||
3
3
0
||
Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt:
Hai góc đối nhau: Hai góc hơn kém Hai góc hơn kém nhau π

sin(-α) = -sin α sin(α+π)=-sin α
cos(-α) = cosα cos(α+π)=-cosα
tan(-α) = -tan α tan(α+π)= tan α
cot(-α) = -cot α cot(α+π) = cot α
Hai góc bù nhau Hai góc phụ nhau
sin(π – α) = sinα
cos(π – α) = -cosα
tan(π – α) = -tanα
cot(π – α) = -cotα
Các hệ thức cơ bản :

2 2
sin x cos x 1+ =

sinx
t anx= ,(x k )
cosx 2
π
≠ + π

cosx
cotx= ,(x k )
sinx
≠ π

k
t anx.cotx=1,(x )
2
π
≠

2
2
1
1 tan x,(x k )
2
cos x
π
= + ≠ + π

2
2
1
1 cot x,(x k )
sin x
= + ≠ π
Công thức góc nhân đôi:

2 2 2 2
cos2x=cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1− = − = −
sin2x = 2sinx.cosx

2
2t anx
tan 2x
1-tan x
=
Công thức nhân ba:
1

3
sin3x 3sinx-4sin x=

3
cos3x=4cos x 3cosx−

3
2
3t anx-tan x
tan3x
1 3tan x
=
−
Công thức chia đôi: t = tan
x
,x (2k 1)
2
≠ + π
:

Công thức hạ bậc:

2 2 2
1 cos2x 1 cos2x 1 cos2x
cos x , sin x , tan x
2 2 1+cos2x
+ − −
= = =

Hằng đẳng thức thường dùng

( )
2 2 4 4 2 6 6 2
2
2 2
2 2
1 3
sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2
2 4
1 1
1 tan 1+cot 1 sin 2 sin cos
cos sin
a a a a a a a
a a a a a
a a
+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
Công thức cộng :
Cos(x+y) = cosx.cosy-sinx.siny Cos(x-y) = cosx.cosy+sinx.siny
Sin(x+y) =sinx.cosy+siny.cosx Sin(x-y) =sinx.cosy-siny.cosx

tanx+tany
t an(x+y)=
1-tanx.tany

tanx-tany
t an(x-y)=
1+tanx.tany

cotx.coty-1

cot(x+y)=
cotx+coty

cotx.coty+1
cot(x-y)=
coty-cotx
Công thức biến đổi tích thành tổng: Công thức biến đổi tổng thànhtích:
[ ]
1
cosx.cosy= cos(x+y)+cos(x-y)
2

x+y x-y
cosx+cosy=2cos .cos
2 2
[ ]
1
sinx.siny= - cos(x+y)-cos(x-y)
2

x+y x-y
cosx-cosy=-2sin .sin
2 2
[ ]
1
sinx.cosy= sin(x+y)+sin(x-y)
2

x+y x-y
sinx+siny=2sin .cos

2 2
[ ]
1
cosx.siny= sin(x+y)-sin(x-y)
2

x+y x-y
sinx-siny=2cos .sin
2 2
sin(x+y)
t anx+tany=
cosx.cosy

sin(x-y)
t anx-tany=
cosx.cosy

sin(x y)
cot x cot y
sinx.siny
+
+ =
Phương trình lượng giác cơ bản:
(k Z)∈

u v k2
sin u sin v
u v k2
= + π


= ⇔
= π − + π



cosu=cosv u v k2⇔ = ± + π

u & v đều có ẩn đối với tan & cot phải đk

tan u tan v u v k= ⇔ = + π

cot u cot v u v k= ⇔ = + π
2
( )
( )
Đk:
Chú ý:
Phương trình bậc I theo 1 hs lượng giác
sinx = m
sinx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi
Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:
Chú ý:
sinx=±1

x= ± +k2� ; sinx=0

x=kπ
cosu = m
cosx = m vô nghiệm khi |m|>1 & có nghiệm khi
Nếu m không nằm trong các giá trị lượng giác đặc biệt:

Chú ý:
cosx=1

x= k2π; cosx = -1

x= π +k2π; cosx = 0

x= + kπ
tanx=m
tanx=0⇔ sinx=0⇔ x= kπ
cotx = m
cotx=0⇔cosx=0⇔x= + kπ
Công thức dạng: A= acosu + bsinu
A= acosu + bsinu
3
**** Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác
asin
2
u + bsinu+c =0
acos
2
u + bcosu+c =0
Cách giải:
Đặt: t= sinu (hay t= cosu)
Đk: -1≤ t ≤ 1
atan
2
u + btanu+c =0
acot
2

u + bcotu+c =0
Cách giải:
Đặt: t= tanu (hay t= cotu)
Phương trình bậc I đối với sin & cos:
acosu + bsinu = c (1) (với ab≠0)
Đk để pt có nghiệm: a
2
+b
2
≥ c
2
Cách giải:
(1)
⇔


⇔

⇔
*** Phương trình thuần bậc II cho sin & cos:
asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x = d (1)
a
2
+b
2
+c

2
≠ 0
Cách giải:
C1: Chia làm 2 trường hợp
TH1: cosx = 0
(1)
⇔
a=d
- Nếu a=d (sai)
- Nếu a=d (đúng) thì pt có 1 họ nghiệm: x= + kπ
TH2: cosx ≠ 0 chia 2 vế của (1) cho cos
2
x
(1)
⇔
atan
2
x + btanx + c = d(1 + tan
2
x)
C2 hạ bậc: (1)
*** Phương trình đối xứng theo sin & cos:
(1) (với ab≠0)
Cách giải: Đặt t = cosx- sinx =
Đk: - ≤ t ≤
t
2
= (cosx- sinx)
2
= 1 – 2sinxcosx sinxcosx =

(1) at + b +c =0
*** Phương trình đẳng cấp bậc 2,bậc 3 theo sin &cos:
Asin
2
x+bsinxcosc+csin
2
x =d
Cách giải:
4
TH1:cosx =0.thế vào pt rồi giải.
TH2:cosx khác 0.chia cả 2 vế cho cos
2
x.ta được pt chứa tanx.
5