tài liệu dạy thêm toán 11

TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
1>HÀM SỐ SIN
sin :
sin
R R
x y x
→
=a
2>HÀM SỐ COS
cos :
cos
R R
x y x
→
=a
3>HÀM SỐ TAN
tan :
tan
D R
x y x
→
=a
4>HÀM SỐ COT
t :
t
co D R
x y co x
→
=a
Một số tính chất của

hàm số y=sinx
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số lẻ .
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=cos
a>Tập xác đònh D=R
b>Tập giá trò :
[ ]
1;1−
c>Là hàm số chẵn
d>Hàm số tuần hoàn
vớichu kỳ 2
π
Một số tính chất của
hàm số y=tanx
a >Tập xác đònh
/
2
D R k
π
π
 
= +
 

 

b>Tập giá trò hàm số
R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
Một số tính chất của
hàm số y=cotx
a>Tập xác đònh
{ }
/D R k
π
=
b>Tập giá trò hàm số
R
c>Là hàm số lẻ
d>Hàm số tuần hoàn
với chu kỳ
π
BÀI TẬP
Bài 1 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
2
2 2
2
2 cot
1/ cot(2 ) 2 / tan(3 ) 3/
4 3 cos 1
sin 2 1

4 / 5/ tan 6 / sin
cos 1 3 1
3 2
7 / 1 cos 8/ 9/ cot( ) tan(2 )
sin cos 3 3
1 1 sin
10 / 11/ 12/
4 5cos 2sin
2sin 3 cot 3
x
y x y x y
x
x x
y y y
x x
y x y y x x
x x
x
y y y
x x
x x
π π
π π
= − = + =
−
+
= = =
+ −
= − = = − + +
−

= = =
− −
− −
Bài 2 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
2
2 2
2
1 4cos
1/ 2 3cos 2 / 3 4sin cos 3/
3
4 / 2sin cos2 5/ 3 2 | sin | 6 / 3 1 sin 1
x
y x y x x y
y x x y x y x
+
= + = − =
= − = − = + −
PHẦN I I : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
I> PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN .
1>Phương trình lượng giác cơ bản : sinx=a (1)
+Với |a|>1 thì phương trình (1) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt nào đó thì
đặt : a=
sin
α
khi đó ta có :
1

B
A
sin
α
=a=
OK
sin
cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11


2
sin sin
2
x k
x k Z
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +


Chú ý :
2
sin sin
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ii/Nếu a là giá trò không có góc đặc biệt thì

arcsin 2
sin
arcsin 2
x a k
x a
x a k
π
π π
= +

= ⇔

= − +



*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 sin 7 sin2 sin 0
2
2 2sin 3 0 8 sin3 0
3 2sin( ) 2 0 9 sin 3 cos 0
3
4 2sin(2 ) 1 0 10 sin 2 cos3 0
6
5 3sin(3 ) 2 0 11 sin(2 ) sin( ) 0
4 3 4
6 2sin( 3 ) 3 0 12 sin(3 ) cos(2 ) 0
3 6 3
13 s
x x x
x sinx x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =

> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =
>
2
in(2 ) cos( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =
2>Phương trình lượng giác cơ bản : cosx=a (2)
+Với |a|>1 thì phương trình (2) vô nghiệm .
+Với
| | 1a ≤

i/ Nếu a là giá trò của một góc đặc biệt thì
đặt a=
cos
α
khi đó ta có :

2
cos cos
2
x k
x k Z
x k
α π
α
α π

= +

= ⇔ ∈

= − +

Chú ý :
2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

ii/ Nếu a không phải là giá trò của góc bặc biệt thì
2
B
A
cos
α
=a=
OH
sin

cos
O
H
K
M
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

arccos 2
cos
arccos 2
x a k
x a
x sa k
π
π
= +

= ⇔

= − +


*BÀI TẬP : Giải phương trình :

1
1 cos 7 cos2 cos 0
2
2 2cos 3 0 8 cos cos3 0
3 2cos( ) 2 0 9 cos3 sin 0
3

4 2cos(2 ) 1 0 10 cos2 sin3 0
6
5 3cos(3 ) 2 0 11 cos(2 ) cos( ) 0
4 3 4
6 2cos( 3 ) 3 0 12 cos(3 ) sin(2 ) 0
3 6 3
13 c
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
π
π
π π π
π π π
> = > − =
> − = > + =
> + − = > − =
> + + = > + =
> − + = > + + − =
> − + = > − − + =
>
2
os(2 ) sin( ) 0
3 3
x x
π π
+ + + =

3>Phương trình lương giác cơ bản tanx=a (3)
+Điều kiện :
2
x k
π
π
≠ +
+Nếu a là gía trò của góc đặc biệt thì
Đặt a=
tan
α
khi đó ta có: tanx=
tan
α
x k
α π
⇔ = +

Chú ý :
tan tanu v u v k
π
= ⇔ = +
+Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì

tan arctanx a x a k
π
= ⇔ = +
4>Phương trình lượng giác cơ bản cotx=a (4)
+Điều kiện :
x k

π
≠
+Nếu a là giá trò của góc đặc biệt thì
Đặt
tana
α
=
khi đó ta có :
t tco x co x k
α α π
= ⇔ = +

Chú ý :
t tco u co v u v k
π
= ⇔ = +

+ Nếu a không là giá trò của góc đặc biệt thì :
cot arc tx a x co a k
π
= ⇔ = +
BÀI TẬP : Giải các phương trình :
3
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

1 tan 3 5 cot 3 0
2
2 tan 2 1 0 6 cot(3 ) 1 0
3
3

3 3 tan(3 ) 1 0 7 3cot(2 ) 3 0
4 2
2
4 3 tan(2 ) 3 0 8 4cot(2 ) 5 0
3 5
9 tan(3 ) tan 0 13 cot(2
4
x x
x x
x x
x x
x x x
π
π π
π π
π
> = > + =
> − = > − + =
> + − = > + + =
> − + = > − + =
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
> − − = > +
) cot( ) 0
4 4
2 3
10 tan(2 ) tan( ) 0 14 cot( 2 ) cot( ) 0
3 3 2 4
5 5
11 tan( ) cot(2 ) 0 15 cot( 3 ) tan(2 ) 0
3 3 3 3

4 5
12 tan(3 ) cot( 2 ) 0 16 cot(2 ) tan( ) 0
3 3 6 6
x
x x x x
x x x x
x x x x
π π
π π π π
π π π π
π π π π
− + =
> + + − = > − + − =
> − + − = > − − + =
> + + − = > + + + =
5>TÓM LẠI :
CHÚ Ý : CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN :
*
2
sin sin
2
arcsin 2
sin
arcsin 2
x k
x k Z
x k
x a k
x a
x a k

α π
α
π α π
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔

= − +


2
sin sin
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈


= − +


*
2
cos cos
2
cos 2
cos
cos 2
x k
x k Z
x k
x arc a k
x a
x arc a k
α π
α
α π
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

= +

= ⇔


= − +


2
cos cos
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +


*
tanx=tan x= +k
tan arctanx a x a k
α α π
π
⇔
= ⇔ = +

tan tanu v u v k
π
= ⇔ = +

*
t t
cot cot
co x co x k
x a x arc a k
α α π
π
= ⇔ = +
= ⇔ = +

t tco u co v u v k
π
= ⇔ = +


BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác :
4
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11

2 2
1 2sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0
4 2
2 sin(2 ) 2cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0
3 3
2
3 2sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1
3 3 6 3
3 2
4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0

2 2 3 3
2
5 sin (5 ) cos (
5
x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
x
π π
π π π π
π π π
π
π
> + = > + − =
> + + + = > + + =
> − + − = > + + + =
> + + + = > + + + + =
> + −
2 2
) 0 12 tan5 .tan 1
4
2
6 cot(3 ).tan( ) 1 13 tan .tan(2 ) 1 0
3 3 6
7 tan 2 .tan 3 1
x x
x x x x

x x
π
π π π
+ = > =
> + − = > − + =
> =
II>PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1)Phương trình bậc nhất .
* asinx+b=0 , * acosx+b=0 , * atanx+b=0 , * acotx+b=0 .
BÀI TẬP : Giải các phương trình lượng giác sau :
1>3sinx+2=0
2>-2sinx-3=0
3>
2 cos 1 0x + =
4>3cosx+5=0
5>
3 tan 3 0x + =
6>
3cot 3 0x + =

2>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .
A>Phương trình bậc hai đối với hàm số sin
* asin
2
x+bsinx+c=0
Đặt sinx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0

BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 2sin
2
x+3sinx+1=0 2/ sin
2
x+sinx-2=0 3/
2
2sin (2 3)sin 3 0x x− + + =
4/ 6-4cos
2
x-9sinx=0 5/
2
4sin 2( 3 1)sin 3 0x x− + + =
6/ sin
2
3x-2sin3x-3=0
7/ sin
2
x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin
2
x+cos
2
+sinx-1=0 9/ cos
2
x+sinx+1=0
10/ cos2x+5sinx+2=0 11>cos
2
x+cos2x+sinx+2=0 12>
sin cos 2 4 0
6 3

x x
π π
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos .
* acos
2
x+bcosx+c=0
Đặt cosx=t đk
| | 1t ≤
khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1/ 3cos
2
x+2cosx-1=0 2/2sin
2
x+5cosx+1=0 3>cos
2
-4cosx+5/2=0
5
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
4/cos
2
+cosx-2=0 5/16-15sin
2
x-8cosx=0 6/4sin

2
2x+8cos
2
x-8=0
7/
2 2
5 4sin 8cos 4
2
x
x− − = −
8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin
2
x-2cos
2
x+cos2x=0
10>sin
2
x+cos2x+cosx=0 11>
2
cos( ) cos(2 ) 2 0
3 3
x x
π π
+ + + − =
12>(1+tan
2
x)(cosx+2)-sin
2
x=cos
2

x
C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
* atan
2
x+btanx+c=0
Đk
2
x k
π
π
≠ +
Đặt tanx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
* acot
2
x+bcotx+c=0
Đk :
x k
π
≠
Đặt cotx=t khi đó ta có : at
2
+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau :
1>tan
2
x-tanx-2=0
2>
2

cot (1 3)cot 3 0x x− − + =
3>
2
3 cot 4cot 3 0x x− + =
4>
2
3
4 tan 2 0
cos
x
x
− − =
3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
Phương trình có dạng : Asin
2
x+Bsinxcosx+Ccos
2
x=D
+B
1
: xét cosx=0
+B
2
: với
cos 0
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +

chia hai vế của phương trình cho cos
2
x ta được :
(A-D)tan
2
x+Btanx+C-D=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình :

2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 2sin (1 3)sin cos (1 3)cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0
3 2sin 4sin cos 4cos 1 0 4 2 3cos 6sin cos 3 3
5 2sin sin cos cos 1 0 6 4sin 3 3sin 2 2cos 4
7 2sin 3cos 5sin cos 8 sin
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
> + − + − = > + + =
> + − − = > + = +
> + − + = > + − =
> + = > −
( )
2
2 2 2 2
2 2
2 2
8sin cos 7 cos 0

1
9 sin 2sin cos 2cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0
2
11 3sin 5cos 2cos2 4sin 2 0
12 2sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 30
x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
+ =
> + − = > − + + =
> + − − =
> + + + = +
4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .
(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)
Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b)
Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c
6
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là :
2 2 2
a +b -c 0
≥
Khi đó ta chia hai vế của phương trình với
2 2
a b+
khi đó ta được :
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c

x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Do
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
nên đặt :
2 2 2 2
sin , cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +
Khi đó ta được :
2 2 2 2
sin sin cos cos cos( )
c c
nx x x
a b a b
α α α

+ = ⇔ − =
+ +
Bài tập : Giải các phương trình :
1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3sin 2
3/ sin 7 3 cos7 2 4 / 3 cos sin 2
5/5cos2 12sin 2 13 6 / 2sin 5cos 4
7 / 3sin 5cos 4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
− = + =
+ = + =
− = − =
+ =
7
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
PH ẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
I>QUI TẮC ĐẾM .
a>Qui tắc cộng .
Một cơng việc được hồn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có
m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện khơng trùng với bất kỳ hành động nào của hành
động một thì cơng việc đó có m+n cách thực hiện .
b>Qui tắc nhân .
Một cơng việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ
nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hồn thành
cộng việc .
BÀI TẬP
II>HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
a>Hốn vị :

Có tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A
được gọi là một hốn vị của b phần tử .
Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là những hốn vị .
Ta viết số hốn vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)… 3.2.1 .
b>Chỉnh hợp :
Cho tập A gồm n phàn tử
( )
1n ≥
. Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo
một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
!
( 1) ( 1)
!
k
n
n
A n n n k
k
= = − − +
.
c>Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử
( )
1n ≥
. Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập
k của n phần tử của tập đã cho .

Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là :
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đồn đại biểu gồm 5 người hỏi :
a/ Có tất cả bao nhiêu cách .
b/ Có bao nhiêu cách thành lập đồn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .
III>NHỊ THỨC NIU TƠN
Cơng thức sau gọi là cơng thức nhị thức niu tơn

( )
0 0 1 1 1 1 1 1 0

n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a b C a b C a b C a b C a b
− − − −
+ = + + + + + +
Số hạng thứ k+1 là :
1
k n k k
k n
T C a b

−
+
=
.
8
TOAN HOẽC THEM ẹSO11
BI TP : T HP XC SUT .
S dng qui tc cng , qui tc nhõn , hoỏn v v chnh hp
Bi 1 : CHo mt hp ng 5 viờn bi trng c ỏnh s t 1 n 5 v 10 viờn bi c ỏnh s t 6
n 15 . cú bao nhiờu cỏch chn mt viờn bi ?
Bi 2 : Cú 7 cun sỏch toỏn khỏc nhau , 10 cn sỏch vn khỏc nhau v 3 cun sỏch lý khỏc nhau . Hi
cú bao nhiờu cỏch chn mt cun cỏch hc ?
Bi 3 : Cú 5 ca hng bỏn sỏch , ca hng 1 ch bỏn 100 cun sỏch toỏn , ca hng 2 bỏn 200 cun
sỏch vn , ca hng 3 ch bỏn 50 cun cỏch lý v 50 cun sỏch a , ca hng 4 ch bỏn 150 sỏch hoỏ ,
ca hng 5 ch bỏn 150 sỏch sinh v 50 sỏch k thut .
Hi cú bao nhiờu cỏch chn ca hng mua sỏch .
CC BI TP V S
Bi 3 : CHo tp hp s : {1,2,3,4} . Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn :
a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau ?
b> Cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ?
c> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 4: T tp hp s {1,2,3,4,5} Cú bao nhiờu cỏch chn mt s t nhiờn :
a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau .
b> 3 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 5 ?
c> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 ?
Bi 5 : T tp hp s : {0,1,2,3,4,5) ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn :
a> Cú hai ch s ụi mt khỏc nhau ?
b> Cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ?
c> L s chn cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ?
d> L s l cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ?

Bi 6 : T tp s t nhiờn {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn
a> Cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau ?
b> Cú 8 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 7 : T cỏc s 0,1,2,3,4,5 . Cú biờu cỏch lp mt s t nhiờn
a> L s l cú 3 ch s ụi mt khỏc nhau ?
b> L s chn cú 6 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 8 : T cỏc s : 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn :
a> Cú 2 ch s khỏc nhau v luụn cú mt ch s 2 .
b> Cú 3 ch s khỏc nhau v chia ht cho 3
c> Cú 5 ch s khỏc nhau v luụn nh hn 550
Bi 9: T cỏc s : 0,1,2,3,4,5 cú bao nhiờu cỏch lp mt s t nhiờn :
a> Cú 3 ch s khỏc nhau .
b> Cú 4 ch .
c> L s l v cú 4 ch s v ụi mt khỏc nhau .
d> L s chn v cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau ?
Bi 10 : T cỏc s 0,1,2,3,4,5,6 cú bao nhiờu cỏc lp mt s t nhiờn :
a> S cú 4 ch s ụi mt khỏc nhau .
b> S cú 5 ch s .
c> S cú 3 ch s chia ht cho 5 .
d> S cú 4 ch s trong ú luụn cú ch s 1 .
Bi 11: T cỏc s : 0,4,5,7,8,9 Ta cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn :
9
TOÁN HỌC THÊM ĐSỐ11
a> Có 4 chữ số đơi một khác nhau .
b> Có 3 chữ số và ln có mặt chữ số 9 .
c> Có 3 chữ số và lớn hơn 400 .
Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> là số chẵn có 3 chữ số .
b> số có 4 chữ số và ln có mặt chữ số 5 .
c> Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 .

Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên :
a> Có 3 chữ số và đơi một khác nhau .
b> Có 4 chữ số đơi một khác nhau là ln có mặt số 5 .
CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT
Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
a> Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn ln ở cạnh nhau .
b> Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt .
Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học
sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :
a> Các học sinh ngồi tuỳ ý .
b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn .
Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
a> Bạn C ngồi chính giữa .
b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút .
Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc
a> Có bao nhiêu cách sếp khác nhau .
b> Có bao nhiêu cách xếp sao cho khơng có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau .
Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các
thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu khơng nằm cạnh nhau .
Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh
thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .
Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại
diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ .
Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà tốn học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người
để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a> Phải có đủ 3 mơn .
b> Có nhiều nhất 1 nhà tốn học và có đủ 3 mơn .
Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1
trường đồn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu
như thế .

Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra
khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng .
Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp
đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu .
Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3
tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra .
Bài 26A : Có bảy bơng hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bơng hoa
vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bơng )
Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi
dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp .
10
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam
và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu :
a> Mọi người đều vui vẽ tham gia .
b> Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia .
Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca .
Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a> Nếu ít nhất hai nữ .
b> Nếu chọn tuỳ ý .
Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho :
a> Có đúng 2 nam .
b> Có ít nhất 2 nam và 1 nữ .
Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao
nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu .
Sử DụNG KHAI TRIểN NHị THứC NIU TƠN
Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :

( )

( )
( ) ( )
15
6
5 20 17
1
2 2 3 4 2 3a a b b a c x d x e x
x
 
> + > − > − > − > +
 ÷
 
Bài 31 : Tìm hệ số của x
3

trong nhị thức sau :
6
3
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
,
9
2
1

x
x
 
+
 ÷
 
,
9
2
3
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 32 : Tìm hệ số của x
5

trong nhị thức sau :
15
4
1
x
x
 
+
 ÷
 

,
10
3
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
,
20
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 33 : Tìm hệ số của x
3

trong nhị thức sau :
15
2
2
x
x

 
+
 ÷
 
,
8
3
2
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 34: Biết hệ số của x
2
trong khai triển (1-3x)
n
là 90 . Tìm n ?
Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển
20
3
2
2
x
x
 
+
 ÷
 

.
Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển :
12
3
3
x
x
 
+
 ÷
 
.
Bài 37 : Tìm số hạng không chưa x trong khai triển sau :
15
2
3
3
x
x
 
+
 ÷
 
.
Bài 38 : Tìm hệ số của x
31
trong khai triển nhị thức
40
2
1

x
x
 
+
 ÷
 
.
11
TOAN HOẽC THEM ẹSO11
IV>PHẫP TH V BIN C
1 / PHẫP TH .
Phộp th ngu nhiờn l phộp th m ta khụng oỏn trc c kt qu ca nú mc dự ó bit tp hp
tt c cỏc kt qu cú th cú ca phộp th .
Vớ d : Gieo mt ng tin , gieo mt con sỳc sc , rỳt mt con bi t b bi ,.
2/KHễNG GIAN MU
Tp hp cỏc kt qu cú th xy ra ca mt phộp th c gi l khụng gian mu ca phộp th v ký
hiu l

c l ụ mờ ga .
Vớ d : tỡm khụng gian mu ca cỏc phộp th sau :
1/Gieo mt ng tin hai ln .
2/Gieo mt con sỳc sc hai ln .
3/T cỏc s 1,2,3 tỡm cỏc s cú 3 ch s .
3/BIN C
Bin c l mt tp con ca khụng gian mu .
Tp

gi l bin c khụng th , tp

gi l bin c chc chn .

Chỳ ý : bin c cú th cho di dng l mt mnh mụ t tp hp , hoc cho di dng l mt tp
con ca khụng gian mu .
Vớ d :
1/gieo mt ng tin hai ln , Hóy xỏc nh bin c :
AMt sp xut hin ln u tiờn
Bcú ớt nht l mt mt sp
2/Giộo mt con sỳc sc hai ln , Hóy xỏc nh bin c :
AHai ln gieo cú s chm bng nhau
BHai ln gieo cú tng s chm bng 6
3/T cỏc s 1,2,3 , lp s cú ba ch s . Hóy xỏc nh bin c :
AS cú ba ch s bng nhau
Bl s chn cú ba ch s ụi mt khỏc nhau
BI TP :
Bi 1 : Gieo mt con sỳc sc cõn i , ng cht v quan sỏt s c xut hin .
a>Mụ t khụng gian mu .
b>xỏc nh cỏc bin c sau .
A:Xut hin mt chn chm
B:Xut hin mt l chm
C:Xut hin mt cú chm khụng nh hn 3
c>Trong cỏc bin c trờn hóy tỡm cỏc bin c xung khc .
Bi 2 : Mt hp ng 3 bi trng c ỏnh s t 1 n 3 , 2 bi c ỏnh s t 4 n 5 , ly ngu
nhiờn ng thi 2 bi :
a>Xõy dng khụng gian móu .
b>Xỏc nh cỏc bin c :
A:Hai bi cựng mu trng
B:Hai bi cựng mu
C:Hai bi cựng mu
D:Hai bi khỏc mu
c>Trong cỏc bin c trờn hóy tỡm cỏc bin c xung khc
Bi 3 : Gieo mt ng tin 3 ln v quan sỏt hin tng mt sp v mt nga .

a> Xõy dng khụng gian mu .
b> Xỏc nh cỏc bin c :
12
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp “
B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau “
C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp “
Bài 4 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất hiện của
con súc sắc .
a> xây dựng không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “
B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “
C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “
Bài 5 : Gieo một đồng tiền 3 lần :
a> Xây dựng không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “
B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “
C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “
Bài 6 : Gieo một con súc sắc 2 lần :
a> Mô tả không gian mẫu .
b> Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}
B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)}
C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)}.
Bài 7 : Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4 , lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không
gian mẫu .
a> Xác định các biến cố sau :
A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “

B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn “ .
Bài 8 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 , lấy liên tiếp hai lần một lần một quả và
xếp thứ tự từ trái sang phải .
a> Mô tả không gian mẫu .
b> Xác định các biến cố sau :
A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “
B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “
C:”Hai chữ số bằng nhau “.
V>XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1>ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
Giả sử A là biến cố có liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất
hiện .Tỷ số
( )
( )
n A
n Ω
gọi là xác suất của biến cố A ký hiệu là : P(A)
( )
( )
( )
n A
P A
n
=
Ω
n(A) là số phần tử của tập A ( Hay số kết quả thuận lợi cho biến cố A )

( )n Ω
số kết quả có thể xảy ra của phép thử .
13

TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
BÀI TẬP :
1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau :
a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm
b/ Lần gieo đầu bằng 6
c/ Tích của hai lần gieo là một số chẳn .
d/ Hai lần gieo có số chấm bằng nhau .
2> Một tổ có 7 nam và 3 nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh . Tính xác suất sao cho :
a/ Cả hai học sinh là nữ .
b/ không có nữ nào .
c/ có ít nhất là một nam .
d/ có đúng một hs là nữ .
3> Một hộp đựng 5 viên bi trắng , 7 viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên 3 viên bi . Tính xác suất để :
a/ 3 viên bi cùng màu .
b/ có đúng 3 bi đỏ .
c/ có ít nhất là hai bi trắng .
d/ có đủ hai màu .
4> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một cái bàn tròn , tìm xác suất
để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .
5> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một cái bàn dài , tìm xác suất
để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .
6>Một hộp đựng 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu được đánh số tử 1 đến 20 lấy
ngẫu nhiên một quả cầu . Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn :
a/Ghi số chẵn .
b/Mầu đỏ .
c/Mầu đỏ và ghi số chẵn .
d/Mầu xanh hoặc ghi số lẻ .
7>có 7 học sinh học môn anh văn và 8 học sinh học pháp văn và 9 học sinh học tiếng nhất . chọn ngẫu
nhiên 3 học sinh . Tính xác suất để :
a/ chọn đúng có hai thứ tiếng trong đó có hai học sinh học tiếng anh .

b/ Chọn có đúng ba thứ tiếng .
8>Một lớp có 60 học sinh trong đó 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinh
học cả tiếng ành và tiếng pháp . Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh . Tính xác suất của các biến cố sau :
a/Sinh viên được chọn học tiếng ành .
b/sinh viên được chọn chỉ học tiếng pháp .
c/Sinh viên được chọn không học tiến anh và tiếng pháp .

14
TOAN HOẽC THEM ẹSO11
PHN III. DY S - CP S CNG - CP S NHN
I>PHNG PHP QUI NP TON HC .
Khi chng minh mt mnh phự thuc vo s t nhiờn n thỡ ta dựng phng phỏp qui np toỏn hc.
Thc hin phng phỏp qui np toỏn hc theo cỏc bc sau : \
B
1
: Kim tra mnh vi n=1 (2,3,) (Nu mnh ỳng thỡ vo bc 2 ) .
B
2
: Gi s mnh ỳng vi n=1 ( gi l gi thit qui np )
B
3
: Ta cn chng minh mnh ỳng vi n=k+1 .
BI TP VN DNG PHNG PHP QUI NP TON HC .
Bi 1 : Chng minh cỏc ng thc sau ỳng vi mi n thuc vo N
*
.
1/ 2+5+8++(3n-1)=
(3 1)
2
n n +

. 2/ 3+9+27++3
n
=
1
3 3
2
n+

3/ 1
2
+2
2
+3
2
++(2n-1)
2
=
2
(4 1)
3
n n
4/ 1
3
+2
3
+3
3
++m
3
=

2 2
( 1)
4
n n +
5/ 1+2+3++n=
( 1)
2
n n +
6/ 2
2
+4
2
++(2n)
2
=
2 ( 1)(2 1)
3
n n n+ +
7/ 1
2
+2
2
+3
2
++n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +

8/
1 1 1 1 2 1

2 4 8 2 2
n
n n

+ + + + =
Bi 2 : Chng minh rng vi mi
*
n N
ta cú :
1/ n
3
-n chia ht cho 3 . 2/ n
3
+3n
2
+5n chia ht cho 3 .
3/ 11
n+1
+12
2n -1
chia ht cho 133 . 4/ 2n
3
-3n
2

+n chia ht cho 6 .
5/ 4

n
+15n-1 chia ht cho 9 . 6/ 13
n
-1 chia ht cho 6 .
7/ 3
2n+1
+2
n+2
chia ht cho 7 8/ 3
2n+2
+2
6n+1

chia ht cho 11 .
Bi 3 : Chng minh rng vi mi
*
n N
ta cú :
1/ 2
n
>2n+1 2/ 3
n
>3n+1 3/ 2
n+1
>2n+3 4/ 2
n+2
>2n+5

II> DY S .
1>nh ngha dóy s :

* Hm s u xỏc nh trờn tp s t nhiờn N
*
gi l dóy s vụ hn ký hiu (u
n
) , ta vit
*
:
( )
u N R
n u n

a
Vit dóy s dng khai trin u
1
,u
2
,,u
n
,
Trong ú u
1
gi l s hng u , u
n
gi l s hng tng quỏt .
* Hm s u xỏc nh trờn tp s M={1,2,3,4,,m) vi m thuc tp s t nhiờn N
*
gi l dóy s hu
hn ký hiu (u
n
) ,ta vit

:
( )
u M R
n u n

a
Vit dóy s dng khai trin u
1
,u
2
,,u
m
.
Trong ú u
1
gi l s hng u , u
m
gi l s hng cui .
2>cỏch cho mt dóy s .
a/Cho dóy s bi cụng thc ca s hng tng quỏt u
n
.
Vớ d :Cho dóy s (u
n
) : u
n
=2n+1
b/Cho dóy s bi biu thc truy hi .
+Cho s hng u hoc mt vi s hng u .
15

TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
+Cho biểu thức truy hồi ( Biểu thức truy hồi là biểu thức biểu diễn số hạng thứ u
n
qua số hạng
đứng trước nó hoặc một vài số hạng đứng trước nó ) .
Ví dụ : Cho dãy số :
1
1
2
2 1
n n
u
u u
−
=


= +

3>Dãy số tăng và dãy số giảm .
+Một dãy số (u
n
) gọi là số tăng nếu u
n+1
>u
n
với mọi n thuộc vào N* .
+ Một dãy số (u
n
) gọi là số giảm nếu u

n+1<
u
n
với mọi n thuộc vào N* .
Chú ý Để chứng minh một dãy số là tăng hay giảm thì ta thực hiện theo một trong hai cách :
C1: Lập tỷ số A
n
= u
n+1
-u
n
Nếu A
n
>0 thì đó là dãy tăng , còn A
n
<0 thì đó là dãy giảm .
C2 : Lập tỷ số : A
n
=
1
( 0)
n
n
n
u
u
u
+
>
Nếu A

n
>1 thì dãy số là dãy tăng , còn nhỏ hơn 1 thì dãy số là dãy giảm .
4>Dãy số bị chặn
+Một dãy số (u
n
) gọi là bichặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho u
n

≤
M với mọi n thuộc vào N* .
+ Một dãy số (u
n
) gọi là chặn dưới tồn tại số thực m sao cho u
n
m≥
với mọi n thuộc vào N* .
BÀI TẬP
Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau .

2
1 1
1
2 2
1
1 2 1
2
2 1
1/ 2 / 3/
2 1 2 1
1

1 1
1
4 / 5/ 2 6/ 2
2 1
2 2 1
n
n n n
n n
n n
n n n n
n
n
n n
u u u
n
u u
u
u u
u u
u u u u
u
u
−
− − −
−
−
= = =
+ +
+



= =


=

 
= =
  
= +

 
= + +


=


Bài 2 : Xét tính tăng , giảm của các dãy số sau :
2
2
2
1 1 2 1
1/ 2 2/ 3/ 4/ 2 5
1 5 2
2 2 1 2 1
5/ 6/ 7 / 8/ ( )
1 ! 4
n n n n
n

n
n n n n
n n
u u u u n
n n n
n n
u u u u
n n n
− +
= − = = = +
+ +
− −
= = = =
+
16
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
III>CẤP SỐ CỘNG
1>Định nghĩa :
Một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bắng số hạng đứng ngay
trước nó cộng thêm một số không đổi d .(d gọi là công sai của câp số cộng ) .
u
n+1
=u
n
+d
2>Số hạng tổng qúat :
Cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu là u
1
thì số hạng tổng quá là : u
n

=u
1
+(n-1)d
3>Tính tổng của n số hạng đầu tiên :
1
( )
2
n
n
n u u
S
+
=
BÀI TậP
Bài 1 : Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng ? khi đó tìm số hạng đầu và công sai của cấp số
cộng đó ?
2
7 3 5 2
1/ 5 2 2/ 3/ 4 / 3 5 / ( 1)
2 3
n
n n n n n
n n
u n u u u u n
− +
= + = = = = +
Bài 2 : Cho dãy số : u
n
=9-5n
a/Viết 5 số hạng đầu của dãy số .

b/Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu và công sai
c/Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .
Bài 3 : Tìm công sai và tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau :
a/ (u
n
) : 4,7,10,13,16,…
b/ (u
n
) : 1,6,11,16,…
Bài 4 : tính u
1
và công sai d của cấp số cộng sau biết :
a/
1 5
4
2 0
14
u u
s
+ =


=

b/
4
7
10
19
u

u
=


=

c/
1 5 3
1 6
10
7
u u u
u u
+ − =


+ =

d/
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
− =


=


e/
2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
+ − =


+ =

i/
3 5
12
14
129
u u
s
+ =


=

Bài 5 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21và tổng bình phương
của chúng bằng 155 .
Bài 6 : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng các số hạng đó là 143 ,hiệu của số
hạng cuối và số hạng đầu là 36 .
Bài 7 : tính số đó ba góc của tam giác ABC biết số đo ba góc đó là cấp số cộng .
17

TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
PHẦN IV : GIỚI HẠN
I > GIỚI HẠN DÃY
1/Định nghĩa 1 : dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |u
n
| có thể nhỏ hơn một
số dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi . ký hiệu :
lim 0
n
x
u
→+∞
=
hay
0
n
u khi n→ → +∞
2/Định nghĩa 2 : dãy số (v
n
) có giới hạn là a ( hay v
n
dần tới a khi n dần tới
+∞
nếu
lim( ) 0
n
x
v a

→∞
− =
.
Ký hiệu :
lim
n
x
v a
→+∞
=
hay
n
v a khi n→ → +∞
.
3/Một vài giới hạn đắc biệt :

1 1
. lim 0 . lim 0 . lim 0(| | 1)
. lim lim
n
k
x x x
n n
x x
a b c q q
n n
d u c u c c
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
= = = <

= ⇒ = =
4/Một số tính chất
a)Nếu
lim , lim
n n
x x
u a v b
→+∞ →+∞
= =
thì

lim ( ) , lim ( )
lim ( . ) . , lim ( )
n n n n
x x
n
n n
x x
n
u v a b u v a b
u
a
u v a b
v b
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
• + = + • − = −
• = • =
b)Nếu
0

n
u ≥
với mọi n và
lim
n
x
u a
→∞
=
thì
0, lim
n
x
a u a
→+∞
≥ =
Chú ý :
lim
n
x
u a
→+∞
=
thì ta có thể viết limu
n
=a
5/Giới hạn vô cực
a/Định nghĩa ;
.Ta nói dãy số u
n

có giới hạn
+∞
khi
n → +∞
nếu u
n
có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số
hạng nào đó trở đi ký hiệu :
lim
n
x
u
→+∞
= +∞
.
.Ta nói dãy số u
n
có giới hạn
−∞
khi
n → +∞
nếu
lim ( )
n
x
u
→+∞
− = +∞
.
b/Các tính chất :

a. Nếu Limu
n
=a và Limv
n
=
±∞
thì
0
n
n
u
Lim
v
=
b. Nếu limu
n
=a>0 và Limv
n
=0 và v
n
>0 với mọi n thì
lim
n
n
u
v
= +∞
c. Nếu limu
n
=

+∞
và limv
n
=a >0 thì Nếu Limu
n.
v
n
=
+∞
.
18
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
BÀI TẬP
Bài 1 : Tính giới hạn sau :
2 2 3 2
) (2 3 1) ) ( 3) ) (3 5)a Lim n n b Lim n n c Lim n n n+ − − − + − + +

2 2 2
2 2 2
2 2
2 3
3
2 2
3 2 3 2 5 7
1. 3. 4.
2 3 2 3 3 6
4 1 1 5 3 1
5. 6. 7.
2 2 7 4 3
(2 1)( 2) 5 5 1 ( )(2 1)

8. 9. 10.
2 3 1 (5 2)( 4) 3 1
2 1 2 3 5
11. 12.
3 7 6
n n n
Lim Lim Lim
n n n
n n n n n
Lim Lim Lim
n n n n n n
n n n n n n n
Lim Lim Lim
n n n n n n
n n n n
Lim Lim
n n n
+ − −
+ + −
− − + + +
+ − + −
− + + − + −
− + + − + −
+ + +
+ + +
3 3 2
2 2 2 2 3
2 2
3
3

1 1
13.
9 2 3
3 2 3 4 1 2 3 1
14. 15. 16.
1 3 3 2
27 3
n n
Lim
n n
n n n n n n n n
Lim Lim Lim
n n n n
n n
+ + −
+ +
− + + − + + + −
− + − +
− +
Bài 2 : Tính giới hạn :
1 2
1 1 1 1 1
1 2
1
2 3 3.5 2.3 7.5 2.7 7.3 2.6
1) 2) 3) 4)
2.3 5.2 5 5.3 5 5.7 5.3 5.6
( 2) 5 4.3 7 ( 3) 5 2 3 4
5) 6) 7) 8)
3 5 2.5 7 ( 3) 5 1 2 3 4

( 3) 5
9)
3 5
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n
n
Lim Lim Lim Lim
Lim Lim Lim Lim
Lim
+
+ + + + +
+ +
+
+ − − +
+ + − −
− − + − − + −
+ + − + + + +
− +
+
1 2
1 1 1
5 7 1
10)
3 7 3.2
n n
n n n n
Lim

+ +
+ + +
+ +
+ +
Bài 3 Tính giới hạn sau :
2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 33 2 3 2
3 33 3
2
1) ( 2 1) 2) ( 3 5 1) 3) ( 2 1 1)
2 1 3 2 3 2 1
4) 5) 6) 7)
1 1 2 2
7) ( 8 3 1 1 2 ) 8) ( 27 1 2 )
2 2 3
9) 10)
1
Lim n n Lim n n Lim n n n
n n n n n n n n n n n n
Lim Lim Lim Lim
n n n n n n n n n
Lim n n n Lim n n n
n n n n
Lim Lim
n n
+ − + + − − + − − +
+ − − + − + − + − − + +
+ − + − + − + −

+ − + − − − −
− + +
+ −
2
1
1
n
n n
− +
− −
Bài 4 : Tính giới hạn :

2 2 2
1 1 1 1 1 1
) ( ) ) ( )
1.3 2.4 ( 2) 1.3 3.5 (2 1)(2 1)
1 1 1
) (1 )(1 ) (1 ) . (1/ 2)
2 3
a Lim b Lim
n n n n
c Lim
n
+ + + + + +
+ − +
− − −
19
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
II>GIỚN HẠN HÀM SỐ
1>Định nghĩa 1 : Cho khoảng K chứa điểm x

0
và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x
0
}
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x
0
nếu vớidãy số (x
n
) bất kỳ ,x
n

∈
K\{x
0
} và
0n
x x→
ta có :
( )
n
f x L→
. Ta ký hiệu :
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
.
2>Các tính chât ( về giới hạn hữu hạn )

a/Giả sử
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x M
→
=
khi đó ta có :
[ ] [ ]
[ ]
0 0
0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
( )
lim ( ). ( ) . lim ( 0)
( )
x x x x
x x x x
f x g x L M f x g x L M
f x L
f x g x L M M
g x M
→ →

→ →
• + = + • − = −
• = • = ≠
b/Nếu
( ) 0f x ≥
và
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
thì
0
0, lim ( )
x x
L f x L
→
≥ =
(Chú ý dấu của F(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn với x khác x
0
) .
NHẬN XÉT :
0
0
lim
x x
x x
→
=

từ đó ta có
0
0
lim
k k
x x
x x
→
=
,
0
lim
x x
c c
→
=
với c là hằng số .
BÀI TẬP
Bài 1 : Tính giới hạn :
1)
2
1
lim
x
x
→
2)
2
2
lim( 1)

x
x
→
+
3)
2
1
lim( 2 1)
x
x x
→−
+ +
4)
1
lim( 2 1)
x
x x
→
+ +
5)
1
1
lim
2 1
x
x
x
→
+
−

Bài 2 : Tính các gới hạn sau :
1)
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
2)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
+
3)
2
2
3 3 6
lim

2
x
x x
x
→−
− + +
+
4)
2
2
6
lim
4 4
x
x x
x
→
+ −
−
5)
2
1
1
lim
3 2
x
x
x x
→
−

− +
6)
Bài 3 : Tính giới hạn :
3>Giới hạn một bên
Định nghĩa 2 :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x
0
;b)
Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f(x) khi x dần tới x
0
nếu với mọi dãy số x
n
bất kỳ với
x
0
<x
n
<b và
0n
x x→
thì
( )
n
f x L→
khi đó ta ký hiệu :
0
lim ( )
x x
f x L
+

→
=
Cho hàm số y=f(x) xác định trrn khoảng (a;x
0
)
Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f(x) khi x dần tới x
0
nếu với mọi dãy số x
n
bất kỳ với
a<x
n
<x
0
và
0n
x x→
thì
( )
n
f x L→
khi đó ta ký hiệu :
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
=
Chú ý :

0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L f x f x L
+ −
→
→ →
= ⇔ = =
4>Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực .
Định nghĩa 3 :
a/Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
( )
;a +∞
.
20
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi
x → +∞
nếu với mọi dãy (x
n
) bất kỳ , x
n
>a và
n
x → +∞
ta
có
( )

n
f x L→
khi đó ta ký hiệu :
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
.
b/ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
( )
;b−∞
.
Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn là L khi
x → −∞
nếu với mọi dãy (x
n
) bất kỳ , x
n
<b và
n
x → −∞
ta
có
( )
n
f x L→
khi đó ta ký hiệu :
lim ( )
x

f x L
→−∞
=
.
Chú ý :
a/Với c và k là hằng số và k là nguyên dương ta luôn có :

lim ; lim
k
x x
c
c c c
x
→±∞ →±∞
= =
b/Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi
0
x x→
vẫn còn đúng với khi
( )x x→ +∞ → −∞
.
5>Giới hạn vô cực của hàm số .
a/Định nghĩa 4 :
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng
( )
;a +∞
Ta nói hàm số y=f(x) có gới hạn là
−∞
khi
x → +∞

nếu với dãy số (x
n
) bất kỳ x
n
>a và
n
x → +∞
ta có
( )
n
f x = −∞
khi đó ta ký hiệu là :
lim ( )
x
f x
→+∞
= −∞
NHẬN XÉT :
lim ( ) lim ( ( ))
x x
f x f x
→+∞ →+∞
= +∞ ⇔ − = −∞
b/Một vài giới hạn đặc biệt
(1)
lim
k
x
x
→+∞

= +∞
với k là nguyên dương .
(2)
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
nếu k là lẻ
(3)
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
nếu k là chẵn
c/ một vài qui tắc về giới hạn vô cực .
*Giới hạn của tích f(x).g(x)
Nếu
0 0
lim ( ) 0 , lim ( ) ( )
x x x x
f x L g x
→ →
= ≠ = +∞ −∞
thì
0
lim ( ). ( )

x x
f x g x
→
theo các qui tắc sau :
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
L>0
+∞
+∞
−∞
−∞
L<0
+∞
−∞
−∞
+∞
*Giới hạn của thương

0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
0
lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
L
±∞
Tuỳ ý 0

L>0 +
+∞
21
TOAÙN HOÏC THEÂM ÑSOÁ11

0
-
−∞
L<0 +
−∞
-
+∞
22