Tính toán ngẫu nhiên với dạng Hemite-Dương Tôn Đảm-tạp chí phát triển KH&CN tập 11 số 6-2008
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (81.19 KB, 5 trang )
TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008
TNH TON NGU NHIấN VI QU TRèNH DNG HERMITE
Dng Tụn m
Trng i hc Cụng ngh Thụng tin, HQG HCM
1. M U
Hm ngu nhiờn dng a thc Hermite ó c cp n trong cỏc ti liu ca H.McKean
[3], Lawrence.C.Evan [4], B.K Oksendan [2] . . . V mt lý thuyt chỳng cú nhng tớnh cht lý
thỳ v cng cú nhng ng dng quan trng. Ta bt u t nhng khỏi nim c bn ca gii tớch
ngu nhiờn ú l vi v tớch phõn Itụ ca cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn.
2.KHI NIM V QU TRèNH NGU NHIấN DNG HERMITE
2.1.nh Ngha 2.1
a Thc Hermite bc
n
l a thc xỏc nh bi
22
()
(,)expexp0,1,2,
!22
nn
n
n
txdx
Hxtn
ntdxt
==
(1.1)
-Theo nh ngha trờn ta cú:
2
012
3422
34
(,)1;(,);(,)
22
(,);(,);
622448
xt
HxtHxtxHxt
xtxxtxt
HxtHxt
===
==+
2.2.nh Ngha 2.2
Cho
t
W
l quỏ trỡnh Wiener tiờu chun mt chiu (chuyn ng Brown), khi ú quỏ trỡnh
ngu nhiờn:
(
)
,
nt
HWt
xỏc nh theo (1.1) , c gi l quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite.
Vớ d:
()
3
3
,
62
tt
t
WtW
HWt=
Khỏi nim vi, tớch phõn ngu nhiờn m ta xột trong bi ny l vi, tớch phõn Itụ, ngha l nu
hu chc chn ta cú
0
00
(,)(,)
tt
tt
XXsdssdW
=++
,
khi ú ta vit
(,)(,)
tt
dXtdttdW
=+
(1.2)
Biu thc (1.2) c gi l vi phõn Itụ ca
t
X
, hay ta cũn gi n gin l vi phõn ngu nhiờn
ca
t
X
.
2.3.nh lý 2.3 (Cụng thc Itụ)
Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008
Cho
t
X
là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng (1.2) và
2
(,):
xtRR
ϕ →
là một
hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất
x
, một lần khả vi liên tục theo biến thứ hai
t
. Khi
đó quá trình ngẫu nhiên
(
)
,
t
Xt
ϕ
có vi phân ngẫu nhiên tính bởi công thức:
() () () ()
2
2
2
1
,,,,(,)
2
ttttt
dXtXtdtXtdXXttdt
txx
ϕϕϕ
ϕβω
∂∂∂
=++
∂∂∂
(1.3)
Công thức (1.3) được gọi là công thức Itô, chứng minh nó trong trường hợp một chiều có thể
xem trong [6].
3. MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU
NHIÊN DẠNG HERMITE
3.1.Định lý 3.1
Cho
(
)
,
nnt
HHWt
=
là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với
m
nguyên và lớn
hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên
()
122
1
(1)
2
mmm
nnnnn
mm
dHmHdHHHdt
−−
−
−
=+
(2.1)
3.2.Bổ đề 3.2
Đối với quá trình ngẫu nhiên Hermite ta sẽ có
(
)
(
)
1
,,
ntntt
dHWtHWtdW
−
=
(2.2)
Chứng minh bổ đề: Trước hết ta có nhận xét,
()
2
2
2
2
0
0
2
expexp
22
()exp
2
x
nn
t
nn
n
n
n
xt
dtd
ex
ddt
dx
t
dxt
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
−
=
=
−
−=−
=−−
Suy ra:
() ()
2
22
2
0
expexp!,
22
x
nn
n
t
n
nn
dtdx
xetnHxt
ddxt
λ
λ
λ
λ
=
−=−−=
Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm
2
exp
2
t
x
λ
λ
−
tại
0
λ
=
ta sẽ có
2
0
exp(,).
2
n
n
n
t
xHxt
λ
λλ
∞
=
−=
∑
Mặt khác, ta thấy rằng nếu áp dụng công thức Itô cho hàm
()
2
0
exp,.
2
n
ttnt
n
t
WHWt
λ
φλλ
∞
=
=−=
∑
(2.3)
TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008
Ta s cú
t
li l nghim ca phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn
(0)1
ttt
ddW
=
=
0
1
t
tss
dW
=+
T ú ta cú
1
001
00
11
tt
nnn
nnsns
nnn
HHdWHdW
===
=+=+
()()
1
0
,,
t
ntnss
HWtHWsdW
=
(2.4)
T (2.4) ta suy ra (2.2).
Chng minh nh lý 2.1
p dng cụng thc Itụ cho hm
(
)
,
m
tt
XtX
=
, vi
m
nguyờn, ln hn 1 v
(
)
,
tnt
XHWt
. Khi ú t (1.3) v (2.2) ta s thu c iu cn chng minh l biu thc
(2.1).
Vớ d khi
2
m
=
t (2.1) ta s cú
(
)
22
1
2
nnnn
dHHdHHdt
=+
(2.5)
Chỳ ý: Biu thc (2.5) cũn cú th thu c t nhn xột sau
Nu
1
X
v
2
X
cú vi phõn ngu nhiờn tng ng l
111
222
t
t
dXdtdW
dXdtdW
=+
=+
Khi ú:
(
)
12122112
.
dXXXdXXdXdt
=++
Vi
(
)
12
,
nt
XXHWt
s dng (2.2) ta s thu c (2.5).
3.3.H qu 3.3
Cho
(
)
,
nt
HWt
l cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite, ta s cú
() ()
2
0
,exp
t
ntt
n
HWteW
=
=
(2.6)
Tht vy khi s dng h thc (2.3) vi
1
=
s suy ra c (2.6).
3.4.nh lý 3.4
Cho
(
)
,
nt
HWt
;
1,2,3
n
=
l cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn dng Hermite,
ta s cú:
(i)
(
)
{
}
,0
nt
EHWt
=
(2.7)
Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008
(ii)
()
{}
()
22
1
0
,,
t
ntns
EHWtEHWsds
−
=
∫
(2.8)
(iii)
()()
1
0
,,0
t
nsnss
EHWsHWsdW
−
=
∫
(2.9)
Chứng minh định lý 2.4
+ Chứng minh (i) và (ii):
Ta có nhận xét
(
)
(
)
2
,,1,2,3;0
nt
HWtLtnt
ο
∈=>
K
và từ (2.2) ta có:
()()
1
0
,,
t
ntnss
HWtHWsdW
−
=
∫
Trước hết ta chứng minh (i) và (ii) đối với các hàm bước nhảy (step process),
(
)
1
,
ns
HWs
−
và giả định rằng
(
)
()
11
,
k
nsn
HWsH
−−
=
khi
()
11
;
k
kkn
sssH
+−
≤<
là
(
)
k
s
F
- đo được và
(
)
k
s
F
độc lập với
σ
- trường sinh bởi các chuyển động Brown trong tương lai sau thời điểm
k
s
(i)=>
()
{}
()()()
()
()
1
()
111
0
0
,,
t
n
k
ntnssnkk
k
EHWtEHWsdWEHWsWs
−
−−+
=
==−
∑
∫
()
()()
()
1
()
11
0
0
0
n
k
nkk
k
EHEWsWs
−
−+
=
=
=−=
∑
144424443
(ii)=>
()()
()
()()
()
{}
2
1
()()
11111
,0
0
t
n
kj
nsnnkkjj
kj
EHdWEHHWsWsWsWs
−
−−−++
=
=−−
∑
∫
Với
jk
<
, khi đó
(
)
(
)
1
kk
WsWs
+
−
độc lập với
(
)
(
)
(
)
()()
111
kj
nnjj
HHWsWs
−−+
−
:
()()
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
()()
()
{}
()()
()
()()
1111
()()
1111
0
0
kj
nnkkjj
kj
nnjjkk
EHHWsWsWsWs
EHHWsWsEWsWs
−−++
−−++
=
<∞
−−=
−−=
144424443
1444442444443
Do đó
()
()()
()
{}
2
1
2
2
()
111
0
0
.
t
n
k
nsnkk
k
EHdWEHWsWs
−
−−+
=
=−=
∑
∫
TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 11, SO 06 - 2008
()
(
)
()()
()
(
)
()
(
)
()
11
22
2
()()
1111
00
nn
kk
nkknkk
kk
EHEWsWsEHss
++
==
==
2
1
0
t
n
EHdt
=
Phn tip theo ta xp x hm
(
)
1
,
ns
HWs
bng dóy cỏc hm bc nhy v s dng cỏc kt
qu va thu c ri chuyn qua gii hn theo nh ngha tớch phõn Ito, ta s thu c (i) v (ii).
+ Chng minh (iii):
T h thc (2.5) ta cú
()()()()
22
11
00
,2,,,
tt
ntnsnssns
HWtHWsHWsdWHWsds
=+
=>
()
{}
()()()
22
11
00
,2,,,
tt
ntnsnssns
EHWtEHWsHWsdWEHWsds
=+
T ú s dng (2.8) ta s thu c (2.9).
TI LIU THAM KHO
[1]. A.Friedman.Stochastic Differential Equations and Applications Dover Publication, Inc
(2006)
[2]. B.K Oksendan. Stochastic Differential Equations: and Introduction with Applications.
Springer (1995)
[3]. H.McKean.Stochastic Integrals, Academic Press (1969)
[4]. Lawrence C.Evan. An introduction to Stochastic Differential Equations, UC Berkley
(2002)
[5]. Dng Tụn m, Quỏ trỡnh ngu nhiờn phn 1: Tớch phõn ngu nhiờn v phng trỡnh
vi phõn ngu nhiờn. NXB HQG Tp.HCM (2007)
[6]. A.D.Ventxe, Giỏo trỡnh lý thuyt quỏ trỡnh ngu nhiờn, NXB H v THCN H Ni
(1987)
