Giáo trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng phần b TS lê văn hạp

Phần B
Phơng trình đạo hàm riêng
Chơng I Nhập môn . Phân loại phơng trình
Đ1. Các định nghĩa và ví dụ
1.1 Các định nghĩa
a) Một phơng trình liên hệ giữa các biến độc lập : x
1
, x
2
, , x
n
; các ẩn hàm u
1
(x
1
, , x
n
), ,
u
N
(x
1
, , u

n
) và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó, gọi là một phơng trình đạo hàm riêng
(PTDHR).
Ví dụ
0
uu
xy
xy

+=

;
22
22
0
uu
xy

+=

.
Dạng tổng quát của phơng trình đạo hàm riêng của các ẩn hàm u
1
, , u
N
đối với các biến
độc lập : x
1
, , x
n

là :
F(x
1
, , x
n
, u
1
, , u
N
,
1
1

n
k
i
k
k
n
u
x
x


, ) = 0, (1.1)
trong đó i = 1, N , k
i
Z
+
và

=
=

1
n
i
i
kk, còn F là một hàm của nhiều biến.
b) Cấp của phơng trình (1.1) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phơng trình (1.1).
Một phơng trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phơng trình đạo hàm
riêng.
Phơng trình đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của ẩn hàm u đối với hai biến x, y có dạng :
F(x, y, u,
,
uu
x
y


) = 0, (1.2)
F(x, y, u,
,
uu
x
y


,
222
22

,,
uuu
x
xy y


) = 0 (1.3)
c) Phơng trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với các ẩn hàm u
1
, ,
u
N
và các đạo hàm riêng của chúng có mặt trong phơng trình. Phơng trình không tuyến tính gọi
là phơng trình phi tuyến. Nếu F chỉ tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất thì phơng
trình (1.1) gọi là phơng trình á tuyến tính.
Ví dụ
()
222
22 22
22
20

++++++

uuuuu
xy xyu
xxyy xy
=,

74

là phơng trình tuyến tính cấp hai của u đối với hai biến x, y.
()
222
2
22
20
uuu
xxyyxyu
xxyy

++++

=
là phơng trình á tuyến tính.
d) Hệ (u
1
, , u
N
) gọi là nghiệm của (1.1) nếu khi thay hệ đó vào (1.1), ta đợc một đồng nhất
thức của các biến độc lập.
Ví dụ
()
22

20
xx xx xy yy
uu uu+ =
có nghiệm là u(x, y) = x
2
+ y
2
.
1.2 Ví dụ
Phơng trình dao động của một sợi dây.
Trong mặt phẳng (xOu), xét một sợi dây ab căng thẳng
& Ox


. Bằng một cách nào đó, ta làm dây rung
động và nghiên cứu quy luật dao động của sợi dây ab.
Giả sử dây ab rất nhỏ để nó không cỡng lại sự uốn và có lực căng tơng đối lớn so với trọng lợng
của dây khiến ta bỏ qua yếu tố trọng lợng của dây.
Ta chỉ xét dao động ngang của dây, tức là khi dao động của chất điểm trên dây chuyển động
thẳng góc với trục
.
Ox

Gọi u(x, t) là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng M(x) tại thời điểm t.
Ta giả thiết độ lệch u(x, t) nhỏ và đạo hàm
u
x


rất nhỏ nên có thể bỏ qua lợng

2
u
x





.
Độ dài dây
()

=+ =


2
1
bb
x
aa
l u dx dx b a
,
nói cách khác, ta xem độ dài dây không thay đổi khi dây dao động.
Nh vậy, theo định luật Hook, lực căng T


tại mọi vị trí đều có cờng độ không đổi. Kí hiệu
lực căng tại M(x), ứng với thời điểm t là T(x, t). Ta có :
T(x, t) = T
0

, x [a, b].
Giả sử lực ngoài tác động lên sợi dây song song với trục Ou


và phân bố trên một đơn vị dài
là F(x, t). Gọi p(x) là tỉ trọng dài của sợi dây.
Khối lợng dây trong khoảng dx là :
m = p(x)dx.

75







Theo định luật Newton : tổng các lực tác động vào sợi dây bằng khối lợng dây nhân với
quán tính của sợi dây :
F = ma (*)
Gọi (x) là góc hợp bởi trục Ox


và lực căng T


hớng theo tiếp tuyến với sợi dây tại M(x).
Chiếu đẳng thức (*) lên trục
, ta có :
Ou

t
0
sin(x + dx) T
0
sin(x) + Fdx = p(x)dx.
2
2
u
t


.
vì
sin(x) =
()
()




=

+


+

22
tg
.
1tg
1
u
x
u
x
x
x
u
x

Vậy
T
0
(
u
x


(x + dx)
u
x


(x)) + F(x, t)dx = p(x)
2

2
u
dx
t



Hay p(x)
2
2
u
t


= T
0
()()
uu
x
dx x
x
dx


+

x
+ F(x, t),
cho dx 0, ta có :
p(x)
2
2
u
t


= T
0
2
2
u
x


+ F(x, t). (1.4)
Khi đó (1.4) gọi là phơng trình dao động của dây.
Nếu sợi dây đồng chất p(x) = p
0
, (1.4) có dạng :
()
22
2
22
,
uu
afx

tx

=+

t,
với a
2
=
0
0
T
p
, f(x, t) =
()
0
,
F
xt
p
gọi là phơng trình truyền sóng một chiều.
Phơng trình truyền sóng hai chiều có dạng :
()
222
2
222
,,
uuu
af
txy

=++



xyt
.
Phơng trình truyền nhiệt có dạng :
()
22
2
22
,,
uuu
af
txy


=++



xyt
.
Phơng trình truyền âm có dạng :
()
2222
2
2222
,, .

=+++



uuuu
af
txyz
xyt


76







Ph−¬ng tr×nh Laplace cã d¹ng :
∆u =
22
22
0.
∂∂
+=
∂∂
uu
xy

77







Đ2. Phơng trình đạo hàm riêng cấp một
2.1. Một số khái niệm
Phơng trình tuyến tính cấp một của ẩn hàm u đối với x
1
, x
2
, , x
n
là phơng trình có dạng :
()(
11
1
, , , , , ,
n
in n
i
i
u
Xx xu fx xu
x

=

=


)
(2.1)
trong đó X
i
, i = 1, n , và f là các hàm của x
1
, , x
n
và u.
Nếu (2.1) có dạng :
()
1
1
, , 0
n
in
i
i
u
Xx x
x
=

=

, (2.2)
(2.2) gọi là phơng trình tuyến tính thuần nhất.
2.2. Phơng trình tuyến tính thuần nhất
Xét phơng trình tuyến tính thuần nhất của (2.2). Giả sử X
i
, i = 1, n , là các hàm liên tục cùng
với các đạo hàm riêng của chúng trong một lân cận v(X
0
), X
0
= (x , , x ) và không đồng thời
bằng không tại X
0
1
0
n
0
, chẳng hạn :
X
n
(X
0
) 0. (2.3)
Rõ ràng u = C (C : hằng số) là nghiệm của (2.2) gọi là nghiệm hiển nhiên. Sau đây ta sẽ
chứng minh rằng, với những giả thiết thích hợp nào đó, phơng trình (2.2) có vô số nghiệm không
hiển nhiên.
Tơng ứng với (2.2), ta xét hệ phơng trình vi phân thờng dạng đối xứng :
12
12

n
n
dx
dx dx
XX X
===, (2.4)
(2.4) gọi là hệ đối xứng tơng ứng với (2.2).
Nếu với giả thiết (2.3) thì trong một lân cận nào đó của X
0
hệ (2.4) tơng đơng với một hệ
dạng chuẩn tắc sau đây :
11
11

nn
nn
nn
dx X
dx X
dx X
dx X


=

=


(2.5)
a) Định nghĩa. Hàm

(x
1
, x
2
, , x
n
) khả vi liên tục và không đồng nhất bằng hằng số gọi là tích
phân của hệ (2.4) hay (2.5) nếu nó trở thành đồng nhất bằng hằng số khi ta thay x
1
, x
2
, , x
n 1
bởi
bất kì nghiệm riêng nào của (2.4) hay (2.5).
Giả sử

(x
1
, x
2
, , x
n

) là tích phân của (2.5) và (x
1
, x
2
, , x
n 1
), trong đó x
i
= x
i
(x
n
),
i =
1, 1n , là một nghiệm riêng của (2.4). Khi đó ta có :
d

= C, C là hằng số,

78







hay
d

=
1
0
n
i
i
i
dx
x
=

=




1
1
()
n
i
n
i
in n
X
dx
xX x

=

+=



0.
Vậy
1
0
n
i
i
i
X
x
=

=



(2.6)
b) Định lí
1) Nếu hàm số

(x
1
, x
2
, , x
n

) là tích phân khả vi liên tục của hệ (2.4) thì u =

(x
1
, x
2
, , x
n
)
là nghiệm của phơng trình (2.2).
2) Ngợc lại, nếu u =

(x
1
, x
2
, , x
n
) khác hằng số là nghiệm của (2.2) thì

(x
1
, x
2
, , x
n
) là
tích phân của hệ (2.4).
Chứng minh
1) Theo giả thiết và (2.6) ta suy ra u =

(x
1
, x
2
, , x
n
) là nghiệm của (2.2).
2) Giả sử u =

(x
1
, x
2
, , x
n
) là nghiệm của (2.2). Ta có :
d

=
1
0
n
i
i
i
dx
x
=

=



.
Với x
i
= x
i
(x
n
), 1, n , thoả mãn (2.5) nên :
d

=
1
1
()
n
i
n
i
in n
X
dx
xX x

=

+=

0,
hay
1
0
n
i
i
i
X
x
=

=



,
theo định nghĩa,

(x
1
, x
2
, , x
n
) chính là tích phân của (2.4).
Nh vậy, việc tìm nghiệm của phơng trình (2.2) tơng đơng với việc tìm tích phân của hệ

(2.4). Với giả thiết (2.3) hệ (2.4) tơng đơng với hệ (2.5) trong một lân cận nào đó của X
0
= (x ,
, x
) và giả sử rằng trong lân cận này hệ (2.5) có (n 1) tích phân độc lập.
0
1
0
n

1
(x
1
, x
2
, , x
n
),

2
(x
1
, x
2
, , x
n
), ,

n 1
(x

1
, x
2
, , x
n
).
Khi đó
u = (

1
, ,

n 1
), (2.7)
với là một hàm khả vi liên tục bất kì, sẽ là một tích phân của (2.5). Vậy
u = (

1
, ,

n 1
) là nghiệm của (2.2).
c)
Ví dụ. Xét phơng trình
0.

++=

uuu
xyz

xyz
(*)

79







Hệ đối xứng tơng ứng
uuu
x
yz

==

. (**)
Dễ thấy

1
(x, y) =
y
x
,

2
(x, z) =
z

x
; (x 0) là hai tích phân độc lập của hệ (**). Vậy nghiệm
tổng quát của phơng trình (*) là u = (
y
x
,
z
x
), với là một hàm khả vi liên tục bất kì.
2.3. Phơng trình tuyến tính không thuần nhất
Xét phơng trình
()(
11
1
, , , , , , .
=

=


n
in n
i
i
u
Xx xu fx xu
x
)
(2.1)
Giả thiết X

i
, i = 1, n và f liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một lân
cận của điểm
= (x , , x , u
0
X

0
1
0
n
0
) ngoài ra X
n
( ) 0. Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của
phơng trình (2.1) có dạng ẩn :
0
X

V(x
1
, x
2
, , x
n
, u) = 0, (*)
trong đó V là hàm khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện :
()
0
V

u
u


0.
Thật vậy, theo định lí hàm ẩn, hàm u xác định từ (*) khả vi và :
i
i
V
x
u
V
x
u



=



, i =
1, n .
Thế vào (2.1) ta đợc :
1
0
n
i
i
i

VV
Xf
xu
=

+=


. (2.8)
Nh vậy V(x
1
, x
2
, , x
n
, u) = 0 là nghiệm của phơng trình tuyến tính thuần nhất (2.8).
Gọi

1
(x
1
, x
2
, , x
n
, u), ,

n
(x
1

, x
2
, , x
n
, u) là n tích phân độc lập của hệ đối xứng tơng
ứng với (2.8) :
1
1

n
n
dx
dx
du
XX
== =
f
.
Khi đó nghiệm tổng quát (2.8) có dạng :
V = (

1
, ,

n
).
trong đó là một hàm khả vi liên tục bất kì. Vậy nghiệm của (2.1) có dạng V = (

1
, ,

n
) = 0
2.4. Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phơng trình tuyến tính thuần nhất
Xét bài toán Cauchy sau đây :
()
1
1
, , 0
n
in
i
i
u
Xx x
x
=

=


, (2.2)
u
0
nn
x
x=
=

(x

1
, , x
n 1
), (2.9)

80







trong đó X
i
, i = 1, n , liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một lân cận của X
0

= (x
, , x ) và là một hàm khả vi liên tục của các biến x
0
1
0
n
1
, , x
n 1
.
Gọi

1
, ,

n1
là n 1 tích phân độc lập của hệ vi phân (2.4) tơng ứng với (2.2).
Đặt
()
()
0
11 1 1
0
11 1 1
, , ,
, , ,
nn
nnn
xxx
xxx



=




=

n



Giải từ hệ này ra các x
i
, i = 1, 1n

, trong lân cận của điểm X
0
:
x
1
=
1
(
1

, ,
1
n

)

x
n 1
=
n 1
(
1

, ,
1
n


).
Hàm số u =

(
1
(

1
, ,

n 1
), ,
n 1
(

1
, ,

n 1
)) là nghiệm của
bài toán (2.2) (2.9).
Thật vậy, theo (2.7), u thoả mãn phơng trình (2.2). Mặt khác
u
0

nn
x
x=
=

(
1
(
1

, ,
1
n

), ,
n 1
(
1

, ,
1
n


) =

(x
1
, , x
n 1

)
Ví dụ. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau đây :
()
2
4 khi 2
zz
xyx z
xy
zy x


++ =




= =


Hệ vi phân tơng ứng :
2
dx dy dz
x
yx z
==
+
,
có hai tích phân độc lập

1

(x, y) =
2
y
x
x

,

2
(x, z) =
z
x
. Thế x = 2 vào các tích phân độc lập và
xét hệ :
1
2
4
2
2
y
z


=




=

hay
1
2
24
2
y
z

=
+


=



Ta có z = y 4 hay 2

1
+ 4 4 = 2

2
.
Suy ra

2
=

1

, tức là :
2
y
xz
x
x

= .
Vậy z = y x
2
là nghiệm phải tìm.

81







Đ3. Dạng tổng quát của phơng trình tuyến tính cấp
m
. Khái niệm đặc
trng
3.1. Dạng tổng quát của phơng trình tuyến tính cấp m
Cho R
n
và hàm u = u(x
1
, , x

n
) xác định trên . Kí hiệu :
j
x
D
u =
j
u
x


=
j
x
u ;
j
j
j
j
x
j
D
x




=

, j = 1, n .

D

=
12
12
1
1


n
n
n
xxx x
n
DDD D
x
x







==

,
ở đây

= (

1
, ,

n
),

j
và
+
Z
1
n
j
j =
=



.
Dạng tổng quát của phơng trình tuyến tính cấp m trong miền R
n
là :
() ()
m
axDu fx



=

, (3.1)
với
x , f, a

là những hàm xác định trên .
Ví dụ. Phơng trình tuyến tính cấp hai có dạng :
() () () ()
2
,1 1
.
nn
ij i
ij i
ij i
uu
ax bx cxu fx
xx x
==

++=



3.2. Khái niệm đặc trng
Kí hiệu : = (
1
, ,
n
) ;

=
1
1

n
n



với

= (

1
, ,

n
),

i
0,

i

Z
, i = 1, n .
a) Phơng trình
()
0

m
ax
=


=


gọi là phơng trình đặc trng của phơng trình (3.1).
b)
= (
1
, ,
n
) 0 gọi là vectơ có hớng đặc trng nếu nó thoả mãn phơng trình đặc
trng.
c) Mặt
S R
n
gọi là đặc trng của phơng trình (1) nếu với mọi x S thì vectơ pháp tuyến
=
n(x) của S tại x có hớng đặc trng.
3.3. Bài toán Cauchy
Kí hiệu
x = (x
1
, , x
n
) R
n

, t = x
n
R, x = (x
1
, , x
n1
) R
n1
,
t = t
0
là siêu phẳng của R
n1
.

82







Xét bài toán : tìm nghiệm của phơng trình (3.1) trong miền = R
n1
ì (t
0
; +) và thoả mãn
điều kiện ban đầu sau đây :
()

0
j
ttt j
D
u
=
=


x
(3.2)
trong đó

j
, j = 0, 1, 2, , m 1 là các hàm cho trớc xác định trong R
n 1
. Bài toán (3.1) (3.2)
gọi là bài toán Cauchy. Ta có định lí sau đây :
Định lí Cauchy-Covarlepskaia
Giả sử thực hiện đợc các điều kiện sau :
a)
a

(x), và f(x) là các hàm giải tích trong lân cận của điểm x
0
= (
0
x

, t

0
) với
0
x

=
(
00
11
, ,
n
x
x

).
b)
a (x


0
) 0 với

*
= (0, , 0, m).
c)

j
(x), j = 0, 1, ,m 1 giải tích trong lân cận của
0
x

.
Khi đó bài toán Cauchy (3.1) (3.2) tồn tại duy nhất nghiệm
u(x) giải tích trong lân cận của
điểm x
0
.

83







Đ4. Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính
cấp hai trong trờng hợp hai biến
Xét phơng trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực xác định trong miền R
2
:
a(
x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
xy
+ c(x, y)u
yy
+ F(x, y, u, u
x

, u
y
) = 0. (4.1)
Xét (
x
0
, y
0
) là một điểm cố định.
a) Phơng trình (4.1) gọi là elip tại (
x
0
, y
0
) nếu tại điểm đó b
2
ac < 0.
b) Phơng trình (4.1) gọi là hyperbol tại (
x
0
, y
0
) nếu tại điểm đó b
2
ac > 0.
c) Phơng trình (4.1) gọi là parabol tại (
x
0
, y
0

) nếu tại điểm đó b
2
ac = 0.
Nếu phơng trình (4.1) là elip (hyperbol, parabol) tại mọi (
x, y) thì ta gọi (4.1) là elip
(hyperbol, parabol) trên
.
Ta sẽ dùng phép đổi để đa phơng trình (4.1) thuộc từng loại về các phơng trình dạng rút
gọn, gọi là các phơng trình chính tắc.
Xét phép biến đổi không suy biến :
()
()
,
,
x
y
x
y

=


=


(4.2)
Trong đó
, là những hàm khả vi liên tục hai lần và Jacobien
J(x, y) =
()

()
,
0
,
y
x
y
x
D
Dxy



=


.
Khi đó

() ()
()
() ()
22
22
;
2
2
xx xyy y
xx x x x x xx xx
x

yxy xyyx xyxy
yy y y y y yy yy
uu u uu u
uu u u u u
uu u u u u
uu u u u u




=+ =+


=++++



=+ ++++


=++++


xy
(4.3)
Thay (4.3) vào (4.1) ta đợc phơng trình sau :
a
1
(, )u

+ 2b
1
(, )u

+ c
1
(, )u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0 (4.4)
trong đó :
()()
()
()
()
()()
()
2
2
1
1
2
2
1
,2

,
,2
xxyy
x
xxyyxx
xxyy
aabc
bab c
cabc

= + +


= + + +



= + +

y
(4.5)

84

Ta có
2
a
1
b
1
c
1
= (b
2
ac)J
2
(x, y).
Vậy qua phép biến đổi không suy biến (4.2), loại của phơng trình (4.1) không thay đổi. Ta
có thể chọn phép biến đổi để phơng trình (4.4) có dạng đơn giản. Trong (4.5) nếu chọn
, là
nghiệm của phơng trình :
a
2
x

+ 2b

x

y
+ c
2
y

= 0,
thì
a
1
= c
1
= 0 và phơng trình (4.4) có dạng :
2
b
1
(, )u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0
gọi là phơng trình chính tắc.
Phơng trình (4.6) là phơng trình đặc trng của (4.1). Để tìm nghiệm của phơng trình đặc
trng (4.6), ta thiết lập bổ đề sau đây :
Bổ đề. Giả sử C
1
() với R
2
và
22
x
y

+


> 0, (x, y) . Khi đó z =

(x, y) là nghiệm
riêng của phơng trình (4.6) khi và chỉ khi

(x, y) = C (hằng số) là tích phân tổng quát của
phơng trình sau đây :
a(dy)
2
2bdxdy + c(dx)
2
= 0 (4.7)
(4.7) cũng gọi là phơng trình đặc trng của (4.1).
Chứng minh
Giả sử z =

(x, y) là một nghiệm riêng của (4.6). Nếu

y
0 thì từ (4.6) suy ra :
2
20
xx
yy
ab

+=




c.
Xét hệ thức

(x, y) = C (C : hằng số), với giả thiết của bổ đề, hệ thức này xác định một ẩn
hàm y = y(x) khả vi và y(x) =
x
y


,
do đó a(y)
2
2by + c = 0,
hay a(dy)
2
2bdxdy + c(dx)
2
= 0.
Nếu

y
= 0 thì

x
0, lặp lại lí luận trên, trong đó

y
đợc thay bằng

x
, ta cũng đi đến kết
luận của bổ đề.
Ngợc lại, giả sử

(x, y) = C là tích phân tổng quát của (4.7). Ta cần chứng minh rằng : với
mọi (x
0
, y
0
) , z =

(x, y) là nghiệm riêng nào đó của (4.6) tại điểm (x
0
, y
0
).
Thật vậy, đặt

(x
0
, y
0
) = C
0
và xét hệ thức :

(x, y) = C
0
. Nếu

y
0, theo định lí hàm ẩn, ta
có hàm y = y(x) khả vi và y(x) =
x
y


.

85







Theo giả thiết ta có :
a(y)
2
2by + c = 0,
hay
a(
x
y

)
2
+ 2b
x
y


+ c
2
y

= 0.
Vậy z =

(x, y) là nghiệm riêng của (4.6) thoả mãn điều kiện đầu

(x, y)
(
00
,
)
x
y
= C
0
.
Nếu

y
= 0 thì

x
0, lí luận hoàn toàn tơng tự, ta cũng chứng minh đợ z =

(x, y) là
nghiệm riêng của (4.6).
Nh vậy, việc tìm nghiệm của (4.6) tơng ứng với việc tìm tích phân tổng quát của (4.7).
Ta thờng xét phơng trình vi phân (4.7) dới một trong hai dạng sau :
a(y(x))
2
2by(x) + c = 0 khi a 0, (4.8)
a 2bx(y) + c(x(y))
2
= 0 khi a = 0 và c 0. (4.9)
Ta xét các trờng hợp sau đây :
Trờng hợp I : b
2
ac > 0, khi đó phơng trình (4.1) thuộc loại hyperbol và phơng trình đặc
trng (4.8) hay (4.9) có hai nghiệm phân biệt.
1) a 0, hai nghiệm của (4.8) là :
2
1
bba
y
a

=

c
;
2
2
bba
y
a
+
=

c

Suy ra
y
1
=
2
1
bbac
dx C
a

+

; y
2
=
2
2
bbac

dx C
a
+
+

,
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số.
Vậy (4.6) có hai tích phân tổng quát :

(x, y) = y
2
1
bbac
dx C
a

=

,
(x, y) = y
2
2
bbac
dx C
a
+

=

.
Dùng phép biến đổi :
()
()
,
,
x
y
x
y

=


=



Vì
J =
0
y
x
xy yx
y
x

=



,

86







(do y
12
x
x
y
y
y= =





) nên phép biến đổi này là không suy biến.
Theo bổ đề, qua phép biến đổi này ta có a
1
= c

1
= 0 và :
()
22 22
1111
0bbacJbac= = >

nên b
1
0. Khi đó phơng trình (4.4) có dạng :
()
2
11
2,,,,
u
bFuuu


+ =

0,

hay
(
2
1
,,, , 0,


= =

u
Fuuu
)
(4.10)
với
1
1
1
2
F
F
b
= .
2) a = 0
Nếu c = 0 thì b 0 (do b
2
ac > 0). Khi đó phơng trình (4.1) đã có dạng (4.10).
Nếu c 0. Thay vì xét phơng trình đặc trng dạng (4.8) ta xét (4.9) và lí luận hoàn toàn
tơng tự nh trên, ta cũng đi đến phơng trình (4.10)
Nhận xét : Bằng phép biến đổi tiếp theo :
=+


=


Phơng trình (4.10) đợc đa về dạng :
u

u

= F
1
(, , u, u

, u

). (4.11)
Cả hai phơng trình (4.10) và phơng trình (4.11) đều gọi là phơng trình chính tắc của
phơng trình loại hyperbol.
Trờng hợp II : b
2
ac = 0. Khi đó phơng trình (4.1) thuộc loại parabol.
1) Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0. Khi đó phơng trình (4.1) có dạng chính tắc :
(
2
2
,,, , 0
xy
u
cFxyuuu
y

+=

)
, (a = 0),
hoặc
(

2
2
,,, , 0
xy
u
aFxyuuu
)
x

+=

, (c = 0).
2) Nếu b 0 thì ac 0 hay a 0 và c 0, phơng trình đặc trng (4.8) có nghiệm kép :
b
y
a
=

,
hay (4.6) có một tích phân tổng quát :

(x, y) = y +
b
dx C
a
=

.

87

Dùng phép biến đổi :
()
()
,
,
x
y
x
y

=


=



trong đó C
2
() và J =
()
(, )
0

,
D
Dxy


. Với phép biến đổi không suy biến này theo bổ đề, ta có:
a
1
= 0. Ta sẽ chứng tỏ rằng b
1
= 0 và c
1
0.
Thật vậy :
a
2
1
b
1
c
1
= (b
2
ac)J
2
= 0 = hay b
2
1
b
1

= 0.
Mặt khác ta có b
2
= ac; giả thiết a, c đều dơng, khi đó
C
1
= a
(
)
2
22
2. . .
xxyyx
ac c a c+ += +
y
.
Do J 0 ta suy ra C
1
0. Vậy (4.4) có dạng
C
1
u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0,

hay
u

=
1
F
(, , u, u

, u

) (4.12)
trong đó
1
F
=
1
1
F
C
.
Phơng trình (4.12) gọi là phơng trình chính tắc loại parabol.
Trờng hợp III : b
2
ac < 0. Khi đó (4.1) thuộc loại phơng trình elip. Trong trờng hợp này, ta giả
thiết a, b, c là các hàm giải tích trên miền . Do
0 < b
2
< ac nên a và c 0. Phơng trình (4.8) có hai nghiệm phức liên hợp
2
11

biacb
y
C
a

=+

;
2
22
biacb
y
C
a
+
=+

.
Do đó các tích phân tổng quát của (4.6) có dạng :

(x, y) = y
2
1
biacb
dx C
a

=

,

(x, y) = y
2
2
biacb
dx C
a
+
=

.
Đặt

(x, y) = C
1
dới dạng :

(x, y) =

(x, y) + i(x, y) = C
1
,
trong đó

, là những hàm thực.
Dùng phép biến đổi :
()
()
,
,
x

y
x
y

=


=



dễ dàng kiểm chứng đây là phép biến đổi không suy biến. Do

(x, y) = C
1
là tích phân tổng quát
của (4.6) nên :

88







a(
x
+ i
x

)
2
+ 2b(
x
+ i
x
)(
y
+ i
y
) + c(
y
+ i
y
)
2


= 0.
Tách phần thực và phần ảo trong đẳng thức trên ta đợc :
()
222
22
0
2
x
xy y x x y y
xx xy yx yy
abcab c
ab c

+ +=+ +


+ + +=



Vậy a
1
= c
1
0 và b
1
= 0. Suy ra a
1
c
1
> 0 vì a
2
1
b
1
c
1
< 0. Khi đó phơng trình (4.4) có dạng :
a
1
u

+ a
1
u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0,
hay
u

+ u

=
*
1
F
(, , u, u

, u

)
trong đó
1
1
1
=

F
F
a

.
Phơng trình (4.13) gọi là phơng trình chính tắc loại elip.

89







Đ5. Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trong
trờng hợp nhiều biến
Xét phơng trình tuyến tính dạng :
L(u) =
(5.1)
(
1
,1 1
, , ,
ij i
nn
ij x x i x n
ij i
au bu cu f x x
==

++=

)
trong đó a
ij
= a
ji
, b
i
, f, i, j =
1, n
là những hàm thực của các biến x
1
, , x
n
xác định trong miền
R
n
và A = (a
ij
) là một ma trận đối xứng.
,1
n
ij
=
Với x
0
= (
0
1

, ,
n
0
x
x
) cố định, ma trận :
A(x
0
) = (a
ij
(x
0
))
,1
n
ij
=
là một ma trận hằng đối xứng, nó xác định một dạng toàn phơng :
g(x) =
(5.2)
()
0
,1
()
n
ij i j i i
ij
axxx xAxx
=
=

0
trong đó x =
1
n
x
x







, x = (x
1
, , x
n
) .
Nếu dùng phép biến đổi không suy biến :
x = Ty (5.3)
trong đó
T = (
ij
) , y =
,1
n
ij
=

1
n
y
y







hay x
i
=
1
n
ki k
k
y
=


, i =
1, n
(5.3)
thì dạng toàn phơng (5.2) trở thành :
h(y) = g(Ty) = yTA(x
0
)Ty,
h(y) = yBy,

trong đó B = TAT = (b
ij
) , T và y là các ma trận chuyển vị của T và y.
,1
n
ij
=
h(y) =
.
,1
n
ij i j
ij
byy
=

Vì A(x
0
) là ma trận đối xứng nên tồn tại ma trận trực giao T sao cho B có dạng chéo :

90







1
0

0
n
B



=








Khi đó
g(y) =
2
1
n
ii
i
y
=


(5.4)
Số phần tử dơng, số phần tử âm và số phần tử 0 trên đờng chéo của B bất biến đối với phép
biến đổi (5.3) và bằng số nghiệm dơng, nghiệm âm và nghiệm bằng không của phơng trình:
det(A(x

0
) E) = 0 (5.5)
trong đó E là ma trận đơn vị cấp n. Phơng trình (5.5) chính là phơng trình đặc trng của phơng
trình (5.1).
Chính vì vậy, ta có thể định nghĩa :
1) Các phơng trình (5.1) gọi là phơng trình elip tại x
0
nếu tất cả các nghiệm của (5.5)
đều khác không và cùng dấu. Khi đó dạng toàn phơng tơng ứng (5.4) là một dạng xác định
(dơng hoặc âm).
2) Phơng trình (5.1) gọi là phơng trình hyperbol tại x
0
nếu tất cả các nghiệm của (5.5)
đều khác không, trong đó có n 1 nghiệm cùng dấu, nghiệm còn lại trái dấu.
3) Phơng trình (5.1) gọi là phơng trình parabol tại x
0
nếu trong n nghiệm của (5.5) có
một nghiệm bằng không, n 1 nghiệm còn lại khác không và cùng dấu.
Nếu tại mọi điểm x
0
R
n
, phơng trình (5.1) thuộc cùng loại elip (hyperbol, parabol) thì
ta gọi (5.1) thuộc loại đó trên miền .
Khi đó, tại mỗi điểm x
0
= (
0
1
, ,

n
0
x
x
) , ta có thể đa phơng trình (5.1) về dạng đơn giản,
gọi là dạng chính tắc.
Gọi T = (
ij
) là ma trận trực giao cho :
1
0
0
n
B



=








Xét phép biến đổi không suy biến :
x = Ty y = Tx,
y
k

=
1
n
ki i
i
x
=


.
Khi đó
1
ik
n
x
ki y
k
uu
=
=

;
,1
ij kl
n
x
xkilj
kl
uu
=

=

yy

và phơng trình (5.1) trở thành :

91







L(u) .
,1 ,1 1 1
()()
kl
nn nn
ij ki lj y y i ki yk
ij kl i k
aubucu
== ==
+ + =

f
hay L(u)
,
,1 1
.

kl k
nn
kl yy k y
kl k
au bu cu f
==
++

=
Đa thức đặc trng tơng ứng có dạng :
g(y) = yBy =
2
,
,1 1
nn
kl k l k k
kl k
ayy y
==
=


Vậy
,
nếu =
0nếu
k
kl
kl
a

kl


=




Khi đó (5.1) trở thành :
L(u)

()
1
1
1
, , , , , , 0
kl n
n
kyy n y y
k
uFyyuuu
=
+ =

đây là dạng chính tắc của phơng trình (5.1).
1) Nếu tại x
0
phơng trình (5.1) có dạng elip. Giả sử
k
= , đặt

y
2
0
k
v >
k
= v
k
z
k
, k =
1, n
. Khi đó :
L(u)

()
1
1
1
, , , , , 0.
ii n
n
zz z z
i
uzuuu
=
+ =

là dạng chính tắc của phơng trình elip.
2) Nếu tại x

0
phơng trình (5.1) có dạng hyperbol. Giả sử
1
< 0, ,

n 1
< 0 và
n
> 0, bằng cách đổi biến số nh trong trờng hợp 1), phơng trình (5.1) có dạng
chính tắc :
L(u)

()
1
1
1
1
, , , , , , 0.
nn nn n
n
zz zz n z z
i
uuzzuuu

=
+

=
3) Nếu tại x
0

phơng trình (5.1) có dạng parabol. Giả sử
1
, ,
n 1
đều dơng,
n
= 0 thì (5.1) sẽ
có dạng chính tắc :
L(u)

()
1
1
1
, , , , , , 0.
ii n
n
zz n z z
i
uzzuuu
=
+ =

Ví dụ
1) Phơng trình Laplace có dạng elip.
2) Phơng trình truyền sóng có dạng hyperbol.
3) Phơng trình truyền nhiệt có dạng parabol.
Khi n = 2, cách phân loại ở trên trùng với cách phân loại đã đợc trình bày ở
Đ
4. Thật vậy, với

phơng trình :

92







a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
xy
+ c(x, y)u
yy
+ F(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0,
ma trận
A(x, y) =
()
()
(
)
()
,,
,,

axy bxy
bxy cxy



,
phơng trình đặc trng :
det(A E) = 0
2
(a + c) + ac b
2
= 0.
1) Phơng trình loại elip det(A E) = 0 có hai nghiệm cùng dấu P = ac b
2
> 0.
2) Phơng trình loại hyperbol det(A E) = 0 có hai nghiệm trái dấu P = ac b
2
< 0.
3) Phơng trình loại parabol det(A E) = 0 có một nghiệm bằng 0 P = ac b
2
= 0.
Bài tập
1.1.
Tìm nghiệm tổng quát của các phơng trình sau đây :
a) yz
x
+ xz
y
= x y.
b) xyz.x x

2
z
y
= yz.
c) z
x
sin
2
x + z
y
tgz = cos
2
z.
1.2.
Xác định loại của phơng trình và đa về dạng chính tắc các phơng trình sau đây :
a) u
xx
+ 2u
xy
+ 5u
yy
32u = 0.
b) u
xx
2u
xy
+ u
yy
+ 9u
x

+ 9u
y
9u = 0.
c) 2u
xx
+ 3u
xy
+ u
yy
+ 7u
x
+ 4u
y
2u = 0.
d) u
xx
+ 4u
xy
+ 13u
yy
+ 3u
y
9u + 9(x + y) = 0.
e) u
xx
2cosx.u
xy
(3 + sin
2
x)u

yy
yu
y
= 0.
1.3.
Tìm nghiệm tổng quát của các phơng trình sau :
a) u
xx
2sinx.u
xy
cos
2
x.u
yy
cosx.u
y
= 0.
b) xu
xx
xu
yy
+ 2u
x
= 0.
c) (x y)u
xy
u
x
+ u
y

= 0.


93