Phương trình đạo hàm riêng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 37 trang )
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
01
TÀI LIỆU LÝ THUYẾT-BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
(Tài liệu chỉ mang nh tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com)
CHƯƠNG 0: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CŨ
I. Các ký hiệu đạo hàm và công thức
1. Giả thiết hàm : Ω→ℝ, ∈Ω⊂ℝ
. Khi đó
= grad=
(
,
, … ,
)
,
, … ,
=
;
∆=
=
= ∇
; ∇
(
∇
)
= ∇. ∇+ ∇
(tích phân từng phần)
2. Giả thiết hàm : Ω→ℝ
, > 1, ∈Ω⊂ℝ
:
(
)
=
(
)
,
(
)
, … ,
(
)
,
=
+
+ ⋯+
= ∇. F trong đó
=
3. Cho Ω⊂ℝ
là một miền có biên Ω∈
có vecto pháp tuyến tại các điểm trên mỗi mảnh. Khi đó,
i.
Ω
=
.
ii.
Ω
=
−
Ω
.
iii.
divΩ
=
.
(
công thức Divergence
)
.
iv.
φdivΩ
=
.
−
. ∇Ω
.
v.
φ∆Ω
=
−
∇∇Ω
(
công thức Green 1
)
.
vi.
(φ∆−∆)Ω
=
(
−
)
(
công thức Green 2
)
.
Chứng minh:
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
02
Công thức iv (dựa vào công thức Divergence)
φdivΩ
=
φ∇. FΩ
=
φ
+
+ ⋯+
Ω
=
φ
Ω
+
φ
Ω
+ ⋯+
φ
Ω
=
φ
−
Ω
+
φ
−
Ω
+ ⋯
… +
φ
−
Ω
=
φ
(
+
+ ⋯+
)
−
+
+ ⋯+
Ω
=
φ.
−
. ∇Ω
.
Công thức Green 1 (dựa vào công thức iv)
φ∆Ω
=
φ∇
Ω
=
φdiv
(
∇
)
Ω
=
φ∇.
−
∇∇Ω
=
−
∇∇Ω
.
Công thức Green 2 (dựa vào công thức Green 1)
(
φ∆−∆
)
Ω
=
φ∆Ω
−
∆Ω
=
−
∇∇Ω
+
−
∇∇Ω
=
(
−
)
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
03
II. Phương trình vi phân
1. Phương trình vi phân tuyến nh cấp 1:
+
(
)
= ()
Nghiệm tổng quát:
=
∫
(
)
(
)
∫
(
)
+ .
2. Phương trình tuyến nh cấp 2:
+
+ = ()
Cách m nghiệm tổng quát
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến nh thuần nhất:
+
+ = 0.
Giải phương trình đa thức đặc trưng:
+ + = 0
(
1
)
Trường hợp hợp (1) có hai nghiệm phân biệt
,
thì =
+
.
Trường hợp hợp (1) có nghiệm kép thì =
+
.
Trường hợp hợp (1) có nghiệm phức ± thì =
+
.
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của PT tuyến nh không thuần nhất
+
+ = ().
Nếu
(
)
=
() (∈ℝ, = ()):
là nghiệm đơn của (1) thì =
().
là nghiệm kép của (1) thì =
().
là không là nghiệm của (1) thì =
().
Nếu
(
)
=
(
(
)
+
(
)
) (, ∈ℝ, =
(
)
, = ()):
± là nghiệm của (1) thì =
[
(
)
+
(
)
].
± không là nghiệm của (1) thì =
[
(
)
+
(
)
].
Trong đó = max {, }
Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình = + .
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
04
III. Biến đổi Fourier:
Có 3 cách biến đổi Fourier thông dụng
D
ạ
ng bi
ế
n đ
ổ
i
C
ộ
ng th
ứ
c
Bi
ế
n đ
ổ
i ngư
ợ
c
Fourier t
ổ
ng quát
(
)
=
∫
(
,
)
(
,
)
=
∫
(
)
Fourier sin
(
)
=
∫
(
,
)
(
,
)
=
∫
(
)
Fourier cos
(
)
=
∫
(
,
)
(
,
)
=
∫
(
)
IV. Biến đổi Laplace
Cặp biến đổi Laplace
(
)
=
∫
(
)
=
(
(
)
)
(
)
,
,
,
…
,
1
,
!
,
!
,
…
,
!
;
sin
(
)
,
cos
(
)
√
√
(
)
(
−
)
(
−
)
Trong các chương ếp theo chúng ta sẽ giải m nghiệm của một số bài toán bằng các phương pháp khác
nhau dựa vào điều kiện ban đầu.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
05
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
Xét phương trình dạng:
+
+ = , ∈Ω⊂ℝ
, > 0, với,
= −
∑
,
;
∑
,
≥
(
+
+ ⋯+
)
;
〈
,
〉
=
∫
Ω
Bước 1: Lấy hàm Φ∈
(Ω
) ta có:
〈
, Φ
〉
+
〈
, Φ
〉
+
〈
, Φ
〉
=
〈
, Φ
〉
⇔
〈
, Φ
〉
+
〈
, Φ
〉
+
〈
,
∗
Φ
〉
+ ố ℎạ ê=
〈
, Φ
〉
(∗)
Bước 2: Tìm Φ sao cho
∗
Φ= λΦ
ố ℎạ ê ệ ê
. Ta có họ các vecto riêng {Φ
} và các giá trị riêng λ
.
Bước 3: Tìm
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
(nếu có) và
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
.
Bước 4: Kết luận hàm (theo khai triển Fourier)
(
,
)
=
∑
〈
,
〉
‖
‖
Φ
(bất đẳng thức Parseval).
Sau đây là một số bài tập xét trong trường hợp điều kiện thuần nhất
Bài 1.1: Bằng phương pháp tách biến m hàm
(
,
)
thỏa
=
; < < ,
(
,
)
=
(
,
)
= ,
(
,
)
= ; < < .
Giải:
B1: Lấy hàm Φ∈
[0, ] ta có:
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
[
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
]
+
(
,
)
Φ
()
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
[
−
(
,
)
Φ
(
)
+
(
0,
)
Φ
(
0
)
]
+
(
,
)
Φ
(). (∗)
B2: Chọn Φ sao cho
Φ
(
)
= λΦ
(
)
,
Φ
(
)
= Φ
(
0
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
06
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
√
⇒Φ
(
)
=
√
√
−
√
√
.
Do Φ
(
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
√
√
−
√
√
= 0
√
−
√
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
⇒Φ′
(
)
=
.
Do Φ
(
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
= 0
= 0
⇔
= 0. Chọn
= 1 ⇒Φ
(
)
= 1.
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
+
sin
√
−
.
⇒Φ
(
)
= −
√
−sin
√
−
+
√
−cos (
√
−).
Do Φ
(
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
−
√
−sin
√
−
+
√
−cos (
√
−) = 0
√
−= 0
⇔
−
√
−sin
√
−
= 0
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
= 0 ⇔
√
−= ⇔= −
Ta có Φ= Φ
= cos
; =
= −
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
và
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
Tính
〈
, Φ
〉
: từ (*) ta có
(
,
)
= 0 ⇔
(
,
)
= .
Cho = 0 ta có
(
, 0
)
= ⇔
= ⇔=
2
⇒
〈
, Φ
〉
=
2
và
‖
Φ
‖
= .
Tính
〈
, Φ
〉
: từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
Đặt
(
)
=
∫
(
,
)
Φ
(
)
ta có phương trình:
=
⇒
() =
.
Cho = 0 ta có
=
(
0
)
=
(
, 0
)
Φ
(
)
=
cos
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
07
=
+
cos (
)
=
[
(−1)
−1
]
.
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
[
(−1)
−1
]
.
‖
Φ
‖
=
cos
(
)=
1
2
1 + cos (
2
)
=
1
2
+
2
sin (
2
)
=
2
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
+
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
=
2
+
[
(−1)
−1
]
2
cos
=
2
+
2
[
(−1)
−1
]
cos
ớ
= −
Bài 1.2: Bằng phương pháp tách biến m hàm
(
,
)
thỏa
=
,
(
,
)
=
(
,
)
= ; > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= ; < < .
Giải:
B1: Lấy hàm Φ∈
[0,1] ta có:
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
⇔
[
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
]
+
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
⇔
(
1,
)
Φ
(
1
)
−
(
0,
)
Φ(0) +
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
(∗)
B2: Chọn Φ sao cho
Φ
(
)
= λΦ
(
)
,
Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
√
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
√
+
√
= 0
+
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
08
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
+
= 0
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
+
sin
√
−
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
cos
√
−
+
sin(
√
−) = 0
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
= 0 ⇔
√
−= ⇔= −
(
)
.
Ta có Φ= Φ
= sin
(
)
; =
= −
(
)
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
Từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
Đặt
(
)
=
∫
(
,
)
Φ
(
)
ta có phương trình:
() =
()
Phương trình đặc trưng:
=
⇔
=
(
)
⇔= ±
.
⇒
() =
cos
+
sin
;
() = −
sin
+
cos
.
Do
(
, 0
)
= 0
(
, 0
)
= 1
nên cho = 0 ta có
= 0
=
∫
sin
(
)
=
()
⇔
= 0
=
()
.
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
()
.
.
‖
Φ
‖
=
∫
sin
(
)
=
∫
(
1 −cos (2)
)
=
−
sin (2)
=
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
=
(
−1
)
+ 1
.
1
2
sin
(
)
=
2
(−1)
+ 1
sin
sin()
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
09
Bây giờ ta sẽ xét bài toán với điều kiện không thuần nhất |
≠,
|
≠. Ví dụ như
(
,
)
=
hay
(
,
)
= .
Bài 1.3: Bằng phương pháp tách biến m hàm
(
,
)
thỏa
=
; < < , >
(
,
)
= ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= ; < < .
Giải:
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
− ta được hệ
=
; 0 < < 1, > 0
(
0,
)
= 0,
(
1,
)
= 0,
(
, 0
)
= −; 0 < < 1.
B1: Lấy hàm Φ∈
[0,1] ta có:
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
[
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
]
+
(
,
)
Φ′′
(
)
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
(
1,
)
Φ
(
1
)
−
(
0,
)
Φ
(
0
)
+
(
,
)
Φ
(
)
.
(
∗
)
B2: Chọn Φ sao cho
Φ
(
)
= λΦ
(
)
,
Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
√
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
√
+
√
= 0
+
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
+
= 0
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
+
sin
√
−
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
cos
√
−
+
sin(
√
−) = 0
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
= 0 ⇔
√
−= ⇔= −
(
)
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
10
Ta có Φ= Φ
= sin
(
)
; =
= −
(
)
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
Từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
Đặt
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
Ta có phương trình:
(
)
=
() ⇒
() =
Cho = 0 ta có
=
(
0
)
=
(
, 0
)
Φ
(
)
= −
sin
(
)
= −
−
1
cos
(
)
+
1
(
)
= −−
1
(
−1
)
=
(
−1
)
.
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
(−1)
.
‖
Φ
‖
=
sin
(
)
=
1
2
(
1 −cos (2)
)
=
1
2
−
1
2
sin (2)
=
1
2
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
=
(−1)
1
2
sin
(
)
=
2
(−1)
sin()
.
Suy ra
(
,
)
=
(
,
)
+ = +
2
(−1)
sin()
.
Bài 1.4: Bằng phương pháp tách biến m hàm
(
,
)
thỏa
+
= ; < , < ,
(
,
)
=
(
,
)
= ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
11
Giải:
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
− ta có hệ
+
= 0; 0 < , < 1,
(
, 0
)
=
(
0,
)
= 0,
(
, 1
)
= 0,
(
1,
)
= 1 −.
B1: Lấy hàm Φ∈
[
0,1
]
, Φ= Φ() ta có:
(
,
)
Φ
(
)
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0
⇔
(
,
)
Φ
(
)
+
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0
⇔
(
,
)
Φ
(
)
+
(
, 1
)
Φ
(
1
)
−
(
, 0
)
Φ
(
0
)
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0 (∗)
B2: Chọn Φ sao cho
Φ
(
)
= λΦ
(
)
,
Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
√
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
√
+
√
= 0
+
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
+
= 0
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
+
sin
√
−
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
cos
√
−
+
sin(
√
−) = 0
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
= 0 ⇔
√
−= ⇔= −
(
)
.
Ta có Φ= Φ
= sin
(
)
; =
= −
(
)
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
Từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
)
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0.
Đặt
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
12
(
)
=
(
,
)
Φ
(
)
Ta có phương trình:
(
)
+
(
)
= 0
Phương trình đặc trưng:
= −
=
(
)
⇔= ±
⇒
(
)
=
+
;
(
)
=
−
Do
(
0,
)
= 0
(
1,
)
= 1 −
nên ta có
+
= 0
−
=
∫
(
1 −
)
sin
(
)
⇔
+
= 0
−
=
−
(
1 −
)
cos
(
)
−
()
⇔
+
= 0
−
=
−
(
1 −
)
cos
(
)
−
sin
(
)
=
⇔
+
= 0
−
=
⇔
=
(
)
=
()
=
(
)
=
()
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
1
2
cosh
(
)
−
1
2
cosh
(
)
=
1
2
cosh ()
(
−
)
=
1
2
cosh ()
2 sinh
(
)
=
sinh ()
cosh ()
.
‖
Φ
‖
=
sin
(
)
=
1
2
(
1 −cos (2)
)
=
1
2
−
1
2
sin (2)
=
1
2
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
=
sinh
(
)
cosh
(
)
1
2
sin
(
)
=
2
sinh ()
cosh ()
sin()
.
Suy ra
(
,
)
=
(
,
)
+ = +
2
sinh ()
cosh ()
sin()
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
13
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER
Từ hàm ban đầu (chưa biết), ta biến đổi Fourier () của hàm , sau đó sử dụng công thức biến đổi
Fourier ngược để ma àm . Tùy vào điều kiện của bài toán mà ta chọn biến đổi Fourier cho thích hợp, cụ
thể:
Bài toán có giả thiết (0, ) sử dụng biến đỗi Fourier sin.
Bài toán có giả thiết
(0, ) sử dụng biến đỗi Fourier cos.
Các trường hợp khác sử dụng công thức dạng phức trong biến đổi Fourier.
Sau đây là một số bài tập tham khảo,
Bài 2.1: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
+
= ,
(
,
)
= ; , > ,
(
,
)
= (), à
(
,
)
ị ặ.
Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có
(
,
)
sin
(
)
+
(
,
)
sin
(
)
= 0
⇔
[
(
,
)
sin
(
)
−
(
,
)
cos
(
)
]
→
→
−
(
,
)
sin
(
)
+
+
(, )
sin
(
)
= 0
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
−
(
,
)
sin
(
)
+
(, )
sin
(
)
= 0
Đặt
(
,
)
=
(, )
sin
(
)
Ta có phương trình:
−
= 0
Phương trình đặc trưng:
=
⇔= ±⇒
(
,
)
=
+
Do hàm
(
,
)
bị chặn nên
(
,
)
bị chặn ⇒
= 0 ⇒
(
,
)
=
Cho = 0 ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
14
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
sin
(
)
=
()
sin
(
)
⇒
(
,
)
=
()
sin
(
)
Suy ra
(
,
)
=
2
(
)
sin
(
)
sin
(
)
=
1
2
sin
(
)
sin
(
)
(
)
=
1
()
Tính
=
2
sin
(
)
sin
(
)
=
[
cos (−) −cos
(
+
)
]
=
[
(
−
)
]
−
[
(
+
)
]
=
−
,
trong đó
=
[
(
−
)
]
= −
1
(
−
)
→
→
−
−
(
−
)
=
1
−
−
−
1
(
−
)
→
→
+
−
(
−
)
=
1
−
−
−
=
1
−
−
.
Suy ra
1 +
−
=
1
⇔
=
+ (−)
. Tương tự ta có
=
+ (+ )
Vậy
(
,
)
=
1
+ (−)
−
+ (+ )
(
)
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
15
Bài 2.2: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
=
,
(
,
)
= ; , > ,
(
,
)
=
(
)
.
Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có
(
,
)
sin
(
)
=
1
(
,
)
sin
(
)
⇔
[
(
,
)
sin
(
)
−
(
,
)
cos
(
)
]
→
→
−
(
,
)
sin
(
)
=
1
(
,
)
sin
(
)
.
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
−
(
,
)
sin
(
)
=
1
(
,
)
sin
(
)
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
sin
(
)
.
Ta có phương trình: −
=
⇒
(
,
)
=
.
Cho = 0 ta có
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
sin
(
)
=
() sin
(
)
.
⇒
(
,
)
=
() sin
(
)
.
Suy ra
(
,
)
=
2
() sin
(
)
sin
(
)
.
Bây giờ ta xét bài tập với hàm () cho cụ thể.
Bài 2.3: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
=
,
(
,
)
= ; , > ,
(
,
)
=
.
Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
16
(
,
)
sin
(
)
= 2
(
,
)
sin
(
)
⇔
(
,
)
sin
(
)
= 2
[
(
,
)
sin
(
)
−
(
,
)
cos
(
)
]
→
→
−2
(
,
)
sin
(
)
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
(
,
)
sin
(
)
= −2
(
,
)
sin
(
)
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
sin
(
)
.
Ta có phương trình:
= −2
⇒
(
,
)
=
.
Cho = 0 ta có
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
sin
(
)
=
sin
(
)
=
[
−
sin ()
]
→
→
+
cos
(
)
=
cos
(
)
=
[
−
cos
(
)
]
→
→
−
= −
⇒=
+ 1
⇒
(
,
)
=
+ 1
Suy ra
(
,
)
=
2
+ 1
sin
(
)
Bài 2.4: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
=
,
(
,
)
= −; , > ,
(
,
)
= .
Giải:
Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier cos ta có:
(
,
)
cos
(
)
=
1
(
,
)
cos
(
)
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
17
⇔
[
(
,
)
cos
(
)
+
(
,
)
sin
(
)
]
→
→
−
(
,
)
cos
(
)
=
1
(
,
)
cos
(
)
.
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
−
(
,
)
cos
(
)
=
1
(
,
)
cos
(
)
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
sin
(
)
.
Ta có phương trình: −
=
⇔
+
= .
⇒(, ) =
∫
∫
+ =
+
=
1
+ =
+ .
Cho = 0 ta có
+ =
(
, 0
)
=
(
, 0
)
sin
(
)
= 0 ⇔= −
.
⇒
(
,
)
=
−
=
1 −
.
Suy ra
(
,
)
=
2
1 −
cos
(
)
.
Bài 2.5: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
= ; ∈ℝ, < < ,
(
,
)
=
(
)
,
(
,
)
= .
Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có
(
,
)
+
(
,
)
= 0
⇔
(
)
(
,
)
+
(
,
)
= 0.
Đặt
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
18
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
(
)
+
= 0 ⇔
−
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
⇔= ±⇒
(
,
)
=
+
. (1)
Do
(
, 0
)
=
(
)
(
,
)
= 0
nên ta lần lượt cho = 0, = 1 vào (1) ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
=
()
=
()
+
=
(
,
)
=
(
,
)
= 0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
−
−
(
)
=
−
2 sinh
(
)
(
)
=
−
(
)
=
2 sinh
(
)
(
)
⇒
(
,
)
=
−
2 sinh
(
)
(
)
+
2 sinh
(
)
(
)
=
−
(
)
2 sinh
(
)
(
)
+
(
)
2 sinh
(
)
(
)
=
(
)
−
(
)
2 sinh
(
)
(
)
=
sinh
(
(−)
)
sinh
(
)
(
)
.
Suy ra
(
,
)
=
1
2
sinh
(
(−)
)
sinh
(
)
(
)
.
Bài 2.6: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+
= ; ≤≤∞, −∞≤≤+∞,
(
,
)
=
(
)
,
(
,
)
= .
Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có
(
,
)
+
(
,
)
= 0
⇔
(
)
(
,
)
+
(
,
)
= 0.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
19
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
(
)
+
= 0 ⇔
+ (
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
= −(
)
⇔= ±
.
⇒
(
,
)
=
cos
(
)
+
sin
(
)
, (1)
à
(
,
)
= −
sin
(
)
+
cos
(
)
. (2)
Do
(
, 0
)
=
(
)
(
, 0
)
= 0
nên cho = 0 lần lượt vào biểu thức (1),(2) ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
=
()
=
()
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
= 0
⇔
=
()
= 0
⇒
(
,
)
=
(
)
cos
(
)
.
Suy ra
(
,
)
=
1
2
(
)
cos
(
)
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
20
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Sử dụng định lý Shi: = ℒ.
(
)
= ℒ
[
(−)(−)
]
trong đó
(
)
=
1 ế > 0
0 ế < 0
Bài 3.1: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
+
= ; , > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
Giải:
Ta có
(
,
)
+
(
,
)
=
⇔
(
,
)
+
[
(, )
]
→
→
+
(
,
)
=
⇔
(
,
)
+
(
,
)
=
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
+ =
⇒
(
,
)
=
∫
1
∫
+ =
1
+
=
1
−
1
+ =
−
1
+ . (1)
Cho = 0 thay vào (1) ta có
−
1
+ =
(
0,
)
=
(
0,
)
= 0 ⇔=
1
.
⇒
(
,
)
=
−
1
+
1
=
−
1
+
1
Biến đổi Laplace ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
21
(
,
)
= ℒ−
2
+
(
−
)
2
(−)
Suy ra
(
,
)
= −
2
+
(
−
)
2
(
−
)
=
⎩
⎨
⎧
−
2
+
(
−
)
2
ế −> 0
−
2
ế −< 0
Bài 3.2: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
+
= ; , > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
Giải:
Ta có
(
,
)
+
(
,
)
=
⇔
[
(, )
]
→
→
+
(
,
)
+
(
,
)
=
⇔
(
,
)
+
(
,
)
=
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
+ =
⇒
(
,
)
=
∫
1
∫
+ =
1
+ =
1
+ . (1)
Cho = 0 thay vào (1) ta có
1
+ =
(
0,
)
=
(
0,
)
= 0 ⇔= −
1
.
⇒
(
,
)
=
1
−
1
=
1
−
1
.
Biến đổi Laplace ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
22
(
,
)
= ℒ−(−
2
)(−
2
)
Suy ra
(
,
)
= −−
2
−
2
=
⎩
⎨
⎧
2
ế −
2
> 0
ế −
2
< 0
Bài 3.3: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
=
−
(
)
; < < , > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
Giải:
Ta có
(
,
)
=
1
(
,
)
−
(
)
⇔
(
,
)
=
1
[
(
,
)
+ (, )
]
→
→
+
(
,
)
−
(
)
⇔
(
,
)
=
(
,
)
−
(
)
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
−
= −
(
)
(1)
Phương trình đặc trưng:
−
= 0 ⇔= ±
Nghiệm của phương trình
−
= 0 có dạng (, )
=
+
(2)
Cho lần lượt = 0, = 1 vào (2) ta có
+
=
(
0,
)
= 0
+
=
(
0,
)
= 0
⇔
=
= 0 ⇒(, )
= 0.
Do
(
)
= −
(
)
= −
sin () nên nghiệm riêng của (1) có dạng
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
23
(
,
)
=
(
)
+
(
)
⇒
(
,
)
= −
cos
(
)
−
sin
(
)
Thay vào (1) ta có
−
cos
(
)
−
sin
(
)
−
(
)
+
(
)
= −
sin ()
⇔−
+
cos
(
)
−
+
(
)
= −
sin ()
Đồng nhất hai vế ta có
= 0
=
(
)
⇒
(
,
)
=
(
)
sin
(
)
Suy ra nghiệm tổngq uát của (1) có dạng
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
=
(
+
)
sin
(
)
=
1
−
+
sin
(
)
Biến đổi Laplace ta có
(
,
)
= ℒ
(
1 −cos
(
))
sin
(
)
.
Suy ra
(
,
)
=
(
1 −cos
(
))
sin
(
)
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
24
CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
Xét phương trình dạng:
+
+ = , ∈Ω⊂ℝ
, > 0, với,
= −
∑
,
+ ();
〈
,
〉
=
∫
Ω
Lấy hàm ∈
(Ω) ta có
〈
,
〉
+
〈
,
〉
+
〈
,
〉
=
〈
,
〉
⇔
〈
, Φ
〉
+
〈
, Φ
〉
+
〈
,
∗
Φ
〉
+ ố ℎạ ê=
〈
, Φ
〉
(∗)
Chọn
∈⊂
(
Ω
)
∈⊂
(
Ω
)
sao cho
+ ⊂
ố ℎạ ê ị ệ ê
Nếu không m được đạo hàm đó ta có bài toán m ∈ sao cho (*) đúng với ∀∈ được gọi là bài
toán m nghiệm yếu của phương trình.
Bài 4.1: Xét hệ
−
+ = ,
(
)
=
(
)
= .
Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , .
Giải:
Lấy hàm ∈
(0,1) ta có
−
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
(
)
(
)
⇔
[
−′()
(
)
]
+
[
(
)
′
(
)
+
(
)
(
)
]
=
(
)
(
)
⇔−
(
1
)
(
1
)
+
(
0
)
(
0
)
+
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
(
)
(
)
.
Chọn =
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
=
(
1
)
= 0
}
à =
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
=
(
1
)
= 0
}
.
Ta có bài toán nghiệm yếu, m ∈ sao cho
(
)
(
)
+
(
)
(
)
=
(
)
(
)
, ∀∈ (∗)
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
25
Bây giờ ta sẽ xét từ bài toán nghiệm yếu nếu giả sử có điều kiện (*) ta có thể suy ra bài toán ban đầu.
Bài 4.2: Xét hệ
−
+ = ; < < ,
(
)
= ,
() = .
Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , . Chứng minh bài toán nghiệm yếu suy bài toán ban đầu.
Giải:
Lấy hàm ∈
(0, L) ta có
−
(
)
(
)
+ 2
(
)
(
)
=
(
)
(
)
⇔
[
−′()
(
)
]
+
[
(
)
′
(
)
+ 2
(
)
(
)
]
=
(
)
(
)
⇔−
(
)
+
(
0
)
(
0
)
+
[
(
)
(
)
+ 2
(
)
(
)
]
=
(
)
(
)
.
Chọn
=
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
= 1
}
à =
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
= 0
}
.
Ta có bài toán nghiệm yếu, m ∈ sao cho
−
(
)
+
[
(
)
() + 2
(
)
(
)
]
=
(
)
(
)
, ∀∈ (∗)
Ngược lại, giả sử có ∈ thỏa (*), lấy hàm ∈
(0, ) ta có
(
)
()
=
[
(
)
(
)
−2
(
)
(
)
]
⇔
[
(
)
(
)
]
−
()
(
)
=
[
(
)
−2
(
)
]
(
)
⇔−
(
)
(
)
=
[
(
)
−2
(
)
]
(
)
⇔
(
)
(
)
= (−1)
[
−
(
)
+ 2
(
)
]
(
)
Vậy tồn tại ′′ sao cho
= −+ 2.
Do đó sử dụng bài toán ban đầu, lấy ∈ ta có
