Biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . .

8

Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Khái niệm về biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

1.2

Chuỗi Fourier

3

Công thức tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản

14

2.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . .

32

2.4

Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine . . . . . . . . . . .

44

2.5

Tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học

57

3.1

Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên . . . . . . . . . .

62

3.3

Một số định lý quan trọng và ví dụ

72

1

. . . . . . . . . . . . . .


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2


LỜI NĨI ĐẦU
Tốn giải tích là một trong những chun ngành nghiên cứu quan trọng
hàng đầu của toán học hiện đại. Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người
quan tâm, nghiên cứu. Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất

nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê,
hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Ngày nay các
nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan
trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó.
Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng của nó trong thống kê toán học.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗi
Fourier và tính chất cơ bản của nó. Trong q trình tìm hiểu về chuỗi Fourier
sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân. Qua đó ta đưa
ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier.
Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và các định lý quan trọng liên quan
tới biến đổi Fourier. Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier và
các ví dụ cơ bản. Tiếp theo ta sẽ nói về biến đổi Fourier của các hàm suy
rộng. Phần trọng tâm trong chương này chính là đi nghiên cứu về các tính
chất cơ bản của biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval. Cuối cùng
ta tìm hiểu về biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, tổng Poisson.
Trong chương cuối ta sẽ đề cập tới các khái niệm về hàm đặc trưng, hàm
phân bố, hàm mật độ cùng các tính chất liên quan. Đồng thời đưa ra cách
3


tính mơmen, phương sai bằng phương pháp biến đổi Fourier.
Trong q trình thực hiện luận văn tơi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng
dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Các thầy cơ trong khoa Tốn
- Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà
Nội đã giúp tơi có thêm nhiều kiến thức để có thể hồn thành luận văn và
khóa học một cách tốt đẹp. Bên cạnh đó cịn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cơ phịng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hồn thành

các thủ tục bảo vệ, các thầy cơ và các bạn trong seminar Tốn Giải Tích đã
có những góp ý hữu ích để tơi hồn thiện luận văn tốt nhất.
Tơi xin chân thành cảm ơn tất cả những đóng góp q báu ấy.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân đã ln động viên,
ủng hộ tơi trong suốt thời gian học tập và hồn thành khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô
và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Nguyễn Thị Phương

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức
về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân.

1.1
1.1.1

Chuỗi Fourier
Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan
trọng của nó.
Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm
quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội

tụ của nó.
Định nghĩa 1.1.1. Chuỗi hàm dạng
∞

a0
+
(an cos nx + bn sin nx) ,
2
n=1

(1.1)

trong đó a0 , an , bn (n = 1, 2, . . . ) là các hằng số, được gọi là chuỗi lượng giác.
Giả sử f (x) là hàm liên tục trong khoảng (−∞, +∞), tuần hoàn với chu
5


kỳ 2π. Ta xác định các hệ số a0 , an , bn (n = 1, 2, . . . ) theo công thức:
1
a0 =
π
1
an =
π
1
bn =
π

π

f (x)dx,

(1.2)

f (x) cos(nx)dx,

(1.3)

f (x) sin(nx)dx.

(1.4)

−π
π
−π
π
−π

Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức
(1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và ký hiệu
∞

a0
f (x) ∼
+
(an cos nx + bn sin nx) .
2
n=1

(1.5)

Chú ý rằng vì f (x) là hàm tuần hồn với chu kỳ 2π nên trong các cơng
thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân
trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ.
Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các cơng thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn =
0(n = 1, 2, . . . ) còn
2 π
a0 =
f (x)dx,
π 0
2
an = f (x) cos(nx)dx,
π
Khi đó

(n = 1, 2, . . . ).

∞

a0
+
an cos nx.
f (x) ∼
2
n=1
Nếu f (x) là hàm lẻ thì a0 = 0, an = 0(n = 1, 2, . . . ) còn
2
bn =
π

π

f (x) sin(nx)dx,

(n = 1, 2, . . . ).

0

Khi đó

∞

f (x) ∼

bn sin nx.
n=1

Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây
6


Định nghĩa 1.1.2. [7] Cho f (x) là hàm số tuần hồn với chu kỳ 2π và khả
tích trên đoạn [−π, π]. Khi đó các hệ số được xác định bởi
1
ˆ
f (n) =
2π

π

f (x)e−inx dx,

n ∈ Z,

(1.6)

−π

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x). Chuỗi hàm
+∞

ˆ
f (n)einx

(1.7)

n=−∞

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x).
ˆ
Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của f (n) là cn và chuỗi Fourier
của hàm f (x) được viết dưới dạng
+∞

cn einx .

f (x) ∼

(1.8)

n=−∞

Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f (x) thì
+∞

cn einx .

f (x) =
n=−∞

Trường hợp tổng quát, nếu f : [a, b] → C và tuần hoàn với chu kỳ L = b − a
thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau:
1
ˆ
f (n) =
L

b

f (x)e−2πinx/L dx,

a
+∞

(1.9)
ˆ
f (n)e2πinx/L .

f (x) ∼
n=−∞

Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm f khả tích và tuần hồn với chu kỳ 2π. Với
mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định
bởi

N

ˆ
f (n)einx .

SN (f )(x) =
n=−N

Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
7


1.1.2

Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier

Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier.
Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hồn với chu kỳ 2π
ˆ
và có hệ số Fourier lần lượt là f và g được xác định theo công thức (1.6)
ˆ
1
ˆ
f (n) =
2π

1
g (n) =
ˆ
2π

π

f (x)e−inx dx,
−π
π

g(x)e−inx dx,

n ∈ Z.

−π

ˆ
Nếu ta có hàm f = g thì f (n) = g (n) với mọi n ∈ Z. Nhưng ngược lại, nếu
ˆ
ˆ
các hệ số Fourier f (n) = g (n) thì chưa chắc f = g. Ví dụ
ˆ
f (x) = x3 + 2 = g(x) = x + 2 trên [−π, π],
nhưng ta lại có
π

π

f (x)dx =

−π

g(x)dx = 4π.
−π

Định lý 1.1.1. [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hồn với chu
ˆ
kỳ 2π và f (n) = 0 với mọi n ∈ Z. Khi đó, nếu f liên tục tại x0 thì f (x0 ) =
0.
ˆ
Hệ quả 1.1.1. [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và f (n) = 0 với mọi n ∈ Z thì
f = 0.
Từ những kết quả trên ta có định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier
như sau
Định lý 1.1.2. Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [−π, π] và có hệ số
ˆ
Fourier lần lượt là f (n) và g (n) được xác định theo (1.6)
ˆ
1
ˆ
f (n) =
2π
1
g (n) =
ˆ
2π

π

f (x)e−inx dx,

−π
π

g(x)e−inx dx,
−π

8

n ∈ Z.


Khi đó, ta có
f =g
ˆ
khi và chỉ khi f (n) = g (n).
ˆ
Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier.
Định lý 1.1.3. [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu
kỳ 2π và f (x) ∼

∞
n=−∞

ˆ
f (n)einx có các hệ số thỏa mãn

∞
−∞

ˆ

|f (n)| < ∞

thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f , tức là
SN (f )(x)

f (x),

khi

N → ∞.

Chứng minh. Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì
giới hạn của nó cũng liên tục. Ta có
π

1
ˆ
|f (n)einx | =
2π
Theo giả thiết

f (x)e
−π

∞
n=−∞

inx

1

dx ≤
2π

π

ˆ
|f (x)||einx |dx = |f (n)|.
−π

ˆ
|f (n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass thì SN (f )(x)

hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra
∞

∞

ˆ
f (n)einx .

ˆ
f (n)einx = lim

g(x) =

N →∞

n=−∞

n=−∞

ˆ
ˆ
Hơn nữa, hệ số Fourier của hàm g(x) đúng bằng f (n) do đó f (n) = g (n) hay
ˆ
ˆ
f (n) − g (n) = 0. Khi đó, áp dụng Hệ quả 1.1 cho hàm liên tục f − g ta được
ˆ
f − g = 0 hay f = g. Vậy
SN (f )(x)

f (x),

khi N → ∞.

Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.4. Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi, liên tục
k
cấp k trên [−π, π], tức là f ∈ C[−π,π] . Khi đó ta có đánh giá cho các hệ số

Fourier
ˆ
f (n) = O(1/|n|k )
9

khi

|n| → ∞,

ˆ
nói cách khác tồn tại một hằng số C > 0 sao cho f (n) ≤

C
.
|n|k

Và khi k ≥ 2

thì ta có chuỗi Fourier hội tụ đều trên [−π, π].
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ đi tìm hiểu về tích phân Fourier và mối
liên hệ của nó với chuỗi Fourier.

1.2
1.2.1

Tích phân Fourier
Khái niệm về biến đổi tích phân

Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f (x) xác định trên [a, b]. Khi đó
F{f (x)} = F (k) xác định bởi
b

F{f (x)} = F (k) =

K(x, k)f (x)dx.

(1.10)

a

được gọi là biến đổi tích phân của hàm f , trong đó K(x, k) được gọi là nhân
của biến đổi, là hàm số với hai biến x và k .
Toán tử F thường được gọi là tốn tử biến đổi tích phân hoặc đơn giản là
phép biến đổi tích phân. Biến k của hàm biến đổi F (k) gọi là biến biến đổi.
Tương tự, biến đổi tích phân của một hàm nhiều biến xác định bởi
F{f (x)} = F (k) =

K(x, k)f (x)dx,

(1.11)

S

trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ), k = (k1 , k2 , ..., kn ) và S ⊂ Rn .
Ý tưởng của tốn tử biến đổi tích phân là cái gì đó tương tự như tốn tử
vi phân tuyến tính thường gặp, D ≡ d , tác động đến một hàm số f (x) để
dx
đem lại một hàm số f (x) khác
Df (x) = f (x).

(1.12)

Thông thường, f (x) được gọi là đạo hàm hay ảnh của f (x) đối với phép biến
đổi tuyến tính D.
10


Có rất nhiều biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Fourier, Laplace,
Hankel và Melin. Chúng được xác định bởi các nhân K(x, k) khác nhau và

các giá trị a, b khác nhau trong (3.7).
Dễ thấy F là toán tử tuyến tính vì với các hằng số α, β bất kỳ, f (x) và g(x)
xác định trên [a, b] ta có
b

F{αf (x) + βg(x)} =

[αf (x) + βg(x)]K(x, k)dx
a

= αF{f (x)} + βF{g(x)}.

1.2.2

Cơng thức tích phân Fourier

Một hàm f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng
−a < x < a, nếu
(i) f (x) chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn hữu hạn trong khoảng −a < x < a
và khơng có điểm gián đoạn vơ hạn.
(ii) f (x) chỉ có một số hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong khoảng
−a < x < a.
Từ lý thuyết của chuỗi Fourier ta biết rằng nếu f (x) thỏa mãn điều kiện
Dirichlet trong khoảng −a < x < a thì nó có thể biểu diễn như là chuỗi
Fourier phức tạp

∞

f (x) =

an exp(inπx/a),

(1.13)

n=−∞

trong đó các hệ số an được xác định bởi
1
an =
2a

a

f (ξ) exp(−inπξ/a)dξ.

(1.14)

−a

Biểu diễn này rõ ràng là tuần hoàn với chu kỳ 2a. Tuy nhiên, vế phải của
(1.13) không thể biểu diễn f (x) ngoài khoảng −a < x < a dù f (x) tuần
hồn với chu kỳ 2a. Vì vậy, bài toán trên khoảng hữu hạn dẫn đến chuỗi
11


Fourier, và bài toán trên trục thực −∞ < x < ∞ dẫn tới cơng thức tích phân
Fourier. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm một biểu diễn tích phân của một hàm
khơng tuần hồn f (x) trong khoảng (−∞, ∞) khi cho a → ∞. Đặt kn =
π
a,

và δk = (kn+1 − kn ) =
1
f (x) =
2π

nπ
a

sau đó thế hệ số an vào trong (1.13) ta thu được

∞

a

(δk)

f (ξ) exp(−iξkn )dξ exp(ixkn ).

(1.15)

−a

n=−∞

Khi cho a → ∞, kn trở thành biến số k liên tục và δk thành dk. Như vậy,
tổng trên có thể thay thế bởi tích phân trong giới hạn này và (1.15) được quy
về kết quả sau
1
f (x) =

2π

∞

∞

f (ξ)e−ikξ dξ eikx dk.
−∞

(1.16)

−∞

Đây chính là cơng thức tích phân Fourier. Mặc dù cịn nhiều lập luận chứng
minh công thức (1.16) chưa chặt chẽ nhưng công thức này là chính xác và
hợp lý cho hàm khả vi liên tục từng đoạn trong khoảng hữu hạn và khả tích
tuyệt đối trên tồn trục thực.
Một hàm f (x) được gọi là khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞) nếu
∞

|f (x)|dx < ∞

(1.17)

−∞

tồn tại.
Nó có thể chỉ ra được cơng thức (1.16) là hợp lý trong điều kiện tổng quát
hơn. Kết quả được thấy rõ trong định lý sau.
Định lý 1.2.1 (Định lý tích phân Fourier, [6]). Nếu f (x) thỏa mãn điều kiện

Dirichlet trong khoảng (−∞, ∞), và khả tích tuyệt đối trên (−∞, ∞), khi đó
tích phân Fourier (1.16) hội tụ đến hàm

1
2

[f (x + 0) + f (x − 0)] tại điểm gián

đoạn hữu hạn x. Nói cách khác,
1
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] =
2
2π

∞

∞

e
−∞

12

f (ξ)e−ikξ dξ dk.

ikx
−∞

(1.18)

Nếu hàm f (x) liên tục tại x thì f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). Khi đó cơng
thức (1.18) trở thành cơng thức (1.16).
Ta biểu diễn nhân tố mũ exp [ik(x − ξ)] trong (1.16) về hàm lượng giác
và sử dụng tính chẵn lẻ của hàm cosine và hàm sine tương ứng như hàm của
biến k, vì thế (1.16) có thể viết như là
f (x) =

1
π

∞

∞

f (ξ) cos k(x − ξ)dξ.

dk

(1.19)

−∞

0

Đây là cách biểu diễn khác của cơng thức tích phân Fourier. Trong lĩnh vực
vật lý, hàm f (x) triệt tiêu rất nhanh khi |x| → ∞, điều này đảm bảo sự tồn
tại của các tích phân lặp.
Bây giờ ta giả sử rằng f (x) là hàm chẵn và khai triển hàm cosine trong

(1.19) ta thu được
2
f (x) = f (−x) =
π

∞

∞

cos(kx)dk
0

f (ξ) cos(kξ)dξ.

(1.20)

0

Nó được gọi là cơng thức tích phân Fourier cosine.
Tương tự, với f (x) là hàm lẻ, ta thu được công thức tích phân Fourier
sine
2
f (x) = −f (−x) =
π

∞

∞

sin(kx)dk

0

f (ξ) sin(kξ)dξ.

(1.21)

0

Từ chuỗi Fourier và tích phân Fourier đã nghiên cứu ở trên, sau đây ta sẽ đi
tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và các tính chất của nó trong chương
tiếp theo.

13


Chương 2

Biến đổi tích phân Fourier
và các tính chất cơ bản
2.1

Định nghĩa và ví dụ

Chúng ta sử dụng cơng thức tích phân Fourier (1.16) để đưa ra định nghĩa
cơ bản nhất của biến đổi Fourier.
Định nghĩa 2.1.1. [6] Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi
F{f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân
1
F{f (x)} = F (k) = √
2π

∞

e−ikx f (x)dx,

trong đó F được gọi là toán tử biến đổi Fourier hay biến đổi Fourier và
thu được bằng cách tách

1
2π

(2.1)

−∞
√1
2π

trong công thức (1.16). Nó thường được gọi là

biến đổi Fourier phức. Điều kiện đủ cho f (x) có biến đổi Fourier là f (x) khả
tích tuyệt đối trên (−∞, ∞). Do f (x) là hội tụ tuyệt đối nên tích phân trong
(2.1) là hội tụ. Hơn nữa, nó cịn là hội tụ đều theo k.

14


Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biến
đổi Fourier. Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý. Nhiều
hàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax,
hàm mũ và xn H(x) khơng có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyên

xuất hiện trong các ứng dụng. Tích phân (2.1) không hội tụ khi f (x) là một
trong những dạng trên. Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier.
Định nghĩa 2.1.2. Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F −1 {F (k)} = f (x)
được xác định là
1
F −1 {F (k)} = f (x) = √
2π

∞

eikx F (k)dk,

(2.2)

−∞

trong đó F −1 được gọi là tốn tử biến đổi Fourier ngược.
Ta thấy cả F và F −1 là tốn tử tích phân tuyến tính. Trong tốn ứng
dụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = ( 2π ) là một
λ
biến bước sóng, trong đó λ là bước sóng. Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, x
được thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,
trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây. Hàm F (w) = F{f (t)} được gọi là
phổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t). Trong lý luận kỹ thuật điện, biến
đổi Fourier được định nghĩa theo cách sau
∞

f (t)e−2πνit dt,

F{f (t)} = F (ν) =

(2.3)

−∞

và biến đổi ngược của nó
∞

F

−1

{F (ν)} = f (t) =

F (ν)e

2πiνt

−∞

1
dν =
2π

∞

F (w)eiwt dw,
−∞

trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc.

Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier.
Ví dụ 2.1.1. Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2 ).

15

(2.4)


Ta chứng minh
k2
1
F (k) = F{exp(−ax2 )} = √ exp(− ),
4a
2a

a > 0.

(2.5)

Bằng định nghĩa ta có
∞
2
1
e−ikx−ax dx
F (k) = √
2π −∞
∞
1
ik 2 k 2
√

=
exp −a(x + ) −
dx
2a
4a
2π −∞
∞
2
1
k2
= √ exp(− )
e−ay dy,
4a −∞
2π

Đặt I =

2
∞
e−ay dy,
−∞

suy ra
∞

∞

e−a(x

I2 =

−∞

2

+y 2 )

dxdy

−∞

Đặt: x = r cos θ, y = r sin θ. Khi đó
∞

2π

e−a(r

2

I =
0

∞

0

2

0
2π

−

=
0
2π

=
0

1
θ
=
2a

1 −r2
e
2a

∞

dθ
0

1
dθ
2a
2π

=

0

π
.
a

Khi đó

1
F (k) = √ exp(−k 2 /4a)
2π
Nếu a =

rdr dθ

e−ar rdr dθ

=

π
a.

cos2 θ+r 2 sin2 θ)

0
2π

Suy ra I =

2

π
1
k2
= √ exp −
a
4a
2a

.

1
2

F{e−x

2

/2

} = e−k

2

/2

.

(2.6)

Điều này chỉ ra rằng F{f (x)} = f (k). Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2 ) và
biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1.
16


Hình 2.1: Đồ thị hàm f (x) = exp(−ax2 ) và F (k) với a = 1.
Ví dụ 2.1.2. Tìm biến đổi Fourier của exp(−a|x|).
Ta sẽ đi chứng minh
F{exp(−a|x|)} =

2
a
· 2
,
π (a + k 2 )

a > 0.

(2.7)

Theo định nghĩa
F{e

−a|x|

∞
1
}= √
e−a|x|−ikx dx
2π −∞

∞
1
=√
e−(a+ik)x dx +
2π 0
1
1
1
+
=√
2π a + ik a − ik

=

0

e(a−ik)x dx
−∞

2
a
.
π (a2 + k 2 )

Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0.
Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 được
minh họa bằng Hình 2.2.
Ví dụ 2.1.3. Tìm biến đổi Fourier của
f (x) =

1−

|x|
a

H

17

1−

|x|
a

,a = 0

(2.8)


Hình 2.2: Đồ thị hàm f (x) = exp(−a|x|) và F (k) với a = 1.
trong đó H(x) là hàm Heaviside được định nghĩa bởi


1, nếu x > 0,
H(x) =

0, nếu x < 0.

(2.9)

Hoặc tổng quát hơn
nếu x > a,


0,

H(x − a) =



1,

nếu x < a,

(2.10)

ở đây a là số thực cố định. Như vậy hàm Heaviside H(x − a) gián đoạn hữu
hạn tại x = a.
F{f (x)} =
=
=
=
=

1
√
2π
2
√
2π

2a
√
2π
2a
√
2π
2a
√
2π

a

e−ikx 1 −
−a
a

1−
0

|x|
a

dx

x
cos(kx)dx
a

1

(1 − x) cos(akx)dx
0
1

(1 − x)
0
1
0

d
dx

sin(akx)
dx
ak
18

sin akx
ak

dx,

(k = 0, a = 0)


a
=√
2π

1

0

d sin2 ( akx )
2
dx
ak 2
dx
(2)

a sin2 ak
2
=√
.
ak 2
2π
2

Ví dụ 2.1.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ[−a,a] (x), trong đó
nếu |x| < a,


0,

χ[−a,a] (x) = H(a − |x|) =



1,

nếu |x| > a.

(2.11)

Ta có
1
Fa (k) = F{χ[−a,a] (x)} = √
2π
1
=√
2π

∞

e−ikx χ[−a,a] (x)dx
−∞
a

e−ikx dx =
−a

2
π

sin(ak)
k

.

Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1.

Hình 2.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a] (x) và F (k) với a = 1.

19


2.2

Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng

Một cách tự nhiên để xác định biến đổi Fourier của một hàm suy rộng là
xét f (x) trong (2.1) như một hàm suy rộng. Ưu điểm của nó là mọi hàm suy
rộng đều có biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược, và các hàm thơng
thường thì biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của nó tạo nên một tập
con của các hàm suy rộng.
Sau đây ta sẽ định nghĩa thế nào là một hàm tốt.
Định nghĩa 2.2.1. [6] Giả sử một hàm giá trị thực hoặc phức g(x) được xác
định với mọi x ∈ R và khả vi vô hạn lần mọi nơi. Và ta giả sử rằng mỗi đạo
hàm của nó dần tới 0 khi |x| → ∞ nhanh hơn bất cứ lũy thừa dương nào của
(x−1 ), nói cách khác, với mỗi N và n nguyên dương
lim xN g (n) (x) = 0,

|x|→∞

thì hàm g(x) được gọi là một hàm tốt.
Thông thường, lớp các hàm tốt được ký hiệu bởi S. Các hàm tốt đóng vai
trị quan trọng trong giải tích Fourier vì các định lý nghịch đảo, tích chập và
phép lấy vi phân . . . rút ra được các dạng đơn giản mà khơng có vấn đề về
sự hội tụ. Tính chất giảm nhanh về 0 và khả vi vô hạn của hàm tốt dẫn đến
biến đổi Fourier của một hàm tốt cũng là một hàm tốt.
Một hàm tốt cũng đóng vai trị quan trọng trong lý thuyết hàm suy rộng.

Một hàm tốt có giá bị chặn là một dạng đặc biệt của hàm tốt mà có vai trị
to lớn với lý thyết hàm suy rộng. Một hàm tốt cũng có các tính chất quan
trọng sau
• Tổng của hai hàm tốt là một hàm tốt.
• Tích và tích chập của hai hàm tốt cũng là một hàm tốt.
• Đạo hàm của một hàm tốt là một hàm tốt.
20


Một hàm tốt thì thuộc lớp các hàm khả tích Lebesgue Lp với mọi 1 ≤ p ≤ ∞.
Tích phân của một hàm tốt không nhất thiết phải là tốt. Tuy nhiên, nếu φ(x)
là một hàm tốt, khi đó với mọi x hàm g xác định bởi
x

g(x) =

φ(t)dt
−∞

là hàm tốt khi và chỉ khi

∞
−∞

φ(t)dt tồn tại.

Những hàm tốt không chỉ liên tục mà còn liên tục đều và liên tục tuyệt
đối trong R. Tuy nhiên, một hàm tốt không nhất thiết phải có khai triển
Taylor trong mọi khoảng. Ví dụ, xét một hàm tốt có giá bị chặn


 exp −(1 − x2 )−1 ,
nếu |x| < 1
g(x) =

0,
nếu |x| ≥ 1.
Hàm g là khả vi vô hạn tại x = ±1 nên nó là hàm tốt. Nó khơng có khai
triển Taylor trong mọi khoảng bởi vì khi khai triển Taylor của hàm g với x
bất kỳ trong |x| > 1 thì sẽ dần tới 0 với mọi giá trị của x.
Ví dụ, exp(−x2 ), x exp(−x2 ), (1+x2 )−1 exp(−x2 ), và sech2 x là những hàm
tốt, trong khi exp(−|x|) không khả vi tại x = 0, và hàm (1 + x2 )−1 khơng là
hàm tốt vì nó giảm q chậm khi |x| → ∞.
Một dãy các hàm tốt {fn (x)} được gọi là đều nếu với bất kỳ hàm tốt g(x)
nào có

∞

lim

n→∞

tồn tại. Ví dụ, fn (x) =
nếu

1
n φ(x)

fn (x)g(x)dx

là dãy hàm đều cho bất kỳ hàm tốt φ(x) nào,

∞

lim

n→∞

(2.12)

−∞

1
fn (x)g(x)dx = lim
n→∞ n
−∞

∞

φ(x)g(x)dx = 0.

(2.13)

−∞

Hai dãy đều của hàm tốt là tương đương nếu với bất kỳ hàm tốt g(x) nào
giới hạn (2.12) tồn tại và giống nhau cho mỗi dãy.
Một hàm suy rộng f (x) là một dãy các hàm tốt chính quy và hai hàm suy
rộng là bằng nhau nếu các dãy xác định chúng tương đương. Hàm suy rộng
21

chỉ xác định bằng những tác động trên tích phân của những hàm tốt nếu
∞

∞

f (x)g(x)dx = lim

f, g =

n→∞
−∞

−∞

fn (x)g(x)dx = lim fn , g
n→∞

(2.14)

với mọi hàm tốt g(x), ở đây ký hiệu f, g sử dụng để ký hiệu tác động của
hàm suy rộng f (x) lên hàm tốt g(x) hay f, g đại diện cho số các hàm f liên
hợp với g. Nếu f là một hàm thơng thường thì (1 + x2 )−N f (x) là một hàm
khả tích trên (−∞, ∞) với mỗi N, khi đó hàm suy rộng f tương đương với
hàm thơng thường xác định nhờ một dãy các hàm tốt fn (x) sao cho mọi hàm
tốt g(x) thì
∞

lim

n→∞
−∞

∞

fn (x)g(x)dx =

f (x)g(x)dx.

(2.15)

−∞

Ví dụ hàm suy rộng tương đương với 0 có thể biểu diễn được bởi một trong
hai dãy

φn (x)
n

và

φn (x)
n2 .

Hàm chuẩn I(x) xác định bởi
∞

∞

I(x)g(x)dx =

−∞

g(x)dx

(2.16)

−∞
2

x
với mọi hàm tốt g(x). Từ hàm tốt ta xác định được hàm chuẩn {exp(− 4n )}.

Do đó hàm chuẩn là hàm suy rộng và tương đương với hàm thông thường
f (x) = 1.
Hàm Heaviside H(x) cho bởi
∞

∞

H(x)g(x)dx =
−∞

g(x)dx.

(2.17)

0

Hàm suy rộng H(x) tương đương với chuẩn thông thường



0 nếu x < 0,
H(x) =

1 nếu x > 0,
22

(2.18)


vì hàm suy rộng được xác định thơng qua tác động trên tích phân của những
hàm tốt, giá trị của hàm H(x) tại x = 0 khơng có nghĩa.
Hàm dấu sgn(x) cho bởi
∞

∞

g(x)dx −

sgn(x)g(x)dx =
−∞

0

g(x)dx

(2.19)

−∞

0

với mọi hàm tốt g(x). Do đó, sgn(x) có thể đồng nhất với hàm thơng thường
∞

∞

H(x)g(x)dx =

g(x)dx.

−∞

(2.20)

0

Hàm suy rộng H(x) tương đương với chuẩn thông thường


−1 nếu x < 0,
sgn(x) =

+1 nếu x > 0.

(2.21)

Thực ra, sgn(x) = 2H(x) − I(x) có thể xem như từ
∞

∞

[2H(x) − I(x)]g(x)dx

sgn(x)g(x)dx =
−∞

−∞
∞

∞

H(x)g(x)dx −

=2
−∞
∞

−∞
∞

g(x)dx −

=

g(x)dx

−∞

0

∞

0

g(x)dx −

=

I(x)g(x)dx

g(x)dx.

−∞

0

Năm 1926, Dirac giới thiệu hàm delta δ(x) có tính chất sau
∞

δ(x) = 0,

x = 0,

δ(x)dx = 1.
−∞

23

(2.22)

Hàm delta Dirac δ(x) xác định với mọi hàm tốt φ(x)
∞

δ(x)φ(x)dx = φ(0).
−∞

Khơng có hàm thơng thường nào tương đương với hàm delta.
Tính chất (2.22) khơng có trong các hàm tốn học thơng thường nào. Do
đó hàm delta khơng có trong lớp các hàm thơng thường này. Tuy nhiên nó
đóng vai trò quan trọng trong thực tế và hàm δ(x) là hàm suy rộng. Khái
niệm của hàm delta Dirac là rõ ràng và đơn giản trong toán học hiện đại. Nó
rất hữu ích trong vật lý và kỹ thuật. Một cách tự nhiên, hàm delta Dirac đại
diện cho một điểm khối, đó là hạt của đơn vị khối lượng đặt tại gốc. Trong
trường hợp này nó có thể xem như là hàm mật độ khối lượng. Điều này dẫn
đến mỗi hạt riêng có thể xem như là giới hạn của dãy các hàm phân bố liên
tục ngày càng trở nên tập trung lại. Ví dụ, ta xét dãy sau
n
exp(−nx2 ),
π

δn (x) =

n = 1, 2, 3, . . .

(2.23)

Ta thấy δn (x) → 0 khi n → ∞ với mọi x = 0 và δn (0) → ∞ khi n → ∞ chỉ
ra trong Hình 2.4 với mọi n = 1, 2, 3, . . .
∞

δn (x)dx = 1
−∞

và

∞

lim

n→∞
−∞

∞

δn (x)dx =

δ(x)dx = 1
−∞

như mong đợi. Vì vậy hàm delta Dirac có thể xem như giới hạn của một dãy
hàm các hàm thông thường, ta viết
δ(x) = lim

n→∞

n
exp(−nx2 ).
π

(2.24)

Đôi khi, hàm δ(x) có thể xác định qua tính chất cơ bản sau
∞

f (x)δ(x − a)dx = f (a),
−∞

24

(2.25)


Hình 2.4: Dãy các hàm delta δn (x).
ở đây hàm f (x) liên tục với mọi khoảng chứa x = a. Rõ ràng
∞

∞

f (a)δ(x − a)dx = f (a)
−∞

δ(x − a)dx = f (a),

(2.26)

−∞

do đó (2.25) và (2.26) dẫn đến kết quả sau
f (x)δ(x − a) = f (a)δ(x − a).

(2.27)

Kết quả sau đây cũng đúng
xδ(x) = 0,

(2.28)

δ(x − a) = δ(a − x).

(2.29)

Kết quả trong (2.29) chỉ ra δ(x) là hàm chẵn.

25