Chuyên đề so sánh Giá trị biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 5

Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com
CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1. Cho S =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
+ + + + + + + + +
.
Hãy so sánh S và
1
2
.
Bài giải. S là tổng của 10 phân số mà
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ; ; ; ; ,
11 20 12 20 13 20 14 20 15 20 16 20 17 20 18 20 19 20
> > > > > > > > >
do đó
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
9 .
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
+ + + + + + + + > ×
Suy ra:
1 1 10 1
9 .
20 20 20 2
S > × + = =
Bài 2. Tìm M biết:
1 13 33 61 9601 9997
.
3 15 35 63 9603 9999
M = + + + + + +

Bài giải.
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 15 35 9603 9999
M
         
= − + − + − + + − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         

2 2 2 2 2
1 1 1 1
1 3 3 5 5 7 97 99 99 101
 
= + + + + − + + + + +
 ÷
× × × × ×
 
M = A – B
Ta thấy từ 1 đến 99 có các số lẻ liên tiếp là: (99 – 1) : 2 + 1 = 50 (số).
Do đó A = 1
×
50 = 50.
B =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 3 3 5 5 7 97 99 99 101 1 101.
− + − + − + + − + − = −
Vậy M =
100 1

50 49 .
101 101
− =
Bài 3. Tính tích:
1 1 1 1
1 1 1 1
15 21 28 210
       
− × − × − × × −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Bài giải.
1 1 1 1 14 20 27 209
1 1 1 1
15 21 28 210 15 21 28 210
       
− × − × − × × − = × × × ×
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.
=
28 40 54 418 4 7 5 8 6 9 19 22

30 42 56 420 5 6 6 7 7 8 20 21
× × × ×
× × × × = × × × ×
× × × ×
=
( ) ( )
( ) ( )

4 5 6 19 7 8 9 22
4 22 11
.
5 6 7 20 6 7 8 21 20 6 15
× × × × × × × × ×
×
= =
× × × × × × × × × ×
Bài 4. So sánh A và B, biết rằng:
2006 2007
987654321 246813579
A = +
và
2007 2006
987654321 246813579
B = +
.
Bài giải. Ta có:
2006 2007
987654321 246813579
A = +
=
2006 2006 1
.
987654321 246813579 246813579
+ +
1
50 số 1
Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com
2007 2006

987654321 246813579
B = +
=
2006 1 2006
.
987654321 987654321 246813579
+ +
Ta thấy: Tổng
2006 2006
987654321 246813579
+
đều có mặt ở A và B.
Do
1 1
246813579 987654321
>
nên A > B.
Bài 5. So sánh tổng A với
39
40
biết:
1 1 1 1 1 1
.
21 22 23 24 79 80
A = + + + + + +
Bài giải. Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

21 22 23 24 79 80 21 22 50 51 52 80
A

   
= + + + + + + = + + + + + + +
 ÷  ÷
   
Ta thấy tổng
1 1 1

21 22 50
+ + +
có 50 – 21 + 1 = 30 (số hạng).
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1
; ; ; .
21 50 22 50 49 50
> > >
Suy ra:
1 1 1 1 3
30 .
21 22 50 50 5
+ + + > × =
Tương tự đối với tổng còn lại, ta cũng suy ra:
1 1 1 1 3
30 .
51 52 80 80 8
+ + + > × =
Do đó
1 1 1 1 1 1 3 3 39
.
21 22 50 51 52 80 5 8 40
A

   
= + + + + + + + > + =
 ÷  ÷
   
Hay A >
39
40
.
Bài 6. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2009 2009 20082008 2008 2008 20092009
2008 20072007
A
× × − × ×
=
×
.
Bài giải.
2009 2009 20082008 2008 2008 20092009
2008 20072007
A
× × − × ×
=
×

2009 2009 2008 10001 2008 2008 2009 10001
2008 20072007
A
× × × − × × ×
=
×

( )
2009 2008 10001 2009 2008
2009 2008 10001 2009
.
2008 20072007 2008 2007 10001 2007
A
× × × −
× ×
= = =
× × ×
Bài 7. So sánh:
2006 2007 2008 2009
2007 2008 2009 2006
+ + +
và 4.
Bài giải. Vì :
2006 1 2007 1 2008 1 2009 1 1 1
1 ; 1 ; 1 ; 1
2007 2007 2008 2008 2009 2009 2006 2006 2006 2006
= − = − = − = + + +
nên
2006 2007 2008 2009 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009 2006 2006 2006
+ + + = − + − + − + + + +

1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2006 2007 2006 2008 2006 2009

     
= + + + + − + − + −
 ÷  ÷  ÷
     
Mặt khác:
1 1 1 1
.
2006 2007 2008 2009
> > >
Do đó:
2006 2007 2008 2009
4.
2007 2008 2009 2006
+ + + >
2
Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com
Bài 8. So sánh M và N biết:
2003 2004 2003 2004
;
2004 2005 2004 2005
M N
+
= + =
+
.
Bài 9. Hãy so sánh:
432143214321
999999999999
A =
và

1231 1231 1231 1231
1997 19971997 199819982000
B
+ + +
=
+ +
.
Bài giải. Cách 1. Ta có 10A > 1 (vì 10A là phân số mà tử số có 13 chữ số, mẫu số có 12
chữ số). 10B < 1 (vì 10B là phân số mà tử số có 5 chữ số, mẫu số có 12 chữ số).
Do đó 10A > 10B. Vậy A > B.
Cách 2. Chia cả tử số và mẫu số của A cho 100010001 ta có:
4321
9999
A =
. Do
4321 3333
9999 9999
>
nên
1
.
3
A >
Còn
1231 4 4924 1
.
19971997 14772 3
B
×
< < =

Vậy A > B.
Bài 10. So sánh
7777772
7777778
A =
và
88888881
88888889
B =
.
Bài giải. Phần bù tới đơn vị của hai phân số đó là:
6
7777778
và
8
88888889
.
Ta có:
6 60 8 8
7777778 77777780 77777780 88888889
= > >
nên
6 8
7777778 88888889
>
.
Vậy
7777772
7777778
<

88888881
88888889
.
Bài 11. So sánh A và B
2 2 2 2

1 3 3 5 5 7 2003 2005
A = + + + +
× × × ×
;
2006
2005
B =
.
(Đề Giao lưu TTT tỉnh Hà Tây năm 2006)
Bài 12. Chứng tỏ rằng:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 .
2 3 4 2004 2005
       
− × − × − × × − >
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
(Đề Giao lưu TTT tỉnh Thái Bình năm 2006)
Bài 13. Cho
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
S = + + + + + + + + +
Hãy so sánh S và
1

3
.
3
Câu lạc bộ Toán Tiểu học – toantieuhoc.com
So sánh biểu thức qua biểu thức trung gian.
Bài 14. So sánh
1 1 1 1 1

4 9 16 25 4048144
A = + + + + +
với 1.
Bài giải. Cách 1. Ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
4 3 9 8 16 15 25 24 4048144 4048143
< < < < <
.
Do đó
1 1 1 1 1

3 8 15 24 4048143
A B< = + + + + +
.
Mặt khác:
1 1 1 1 1

1 3 2 4 3 5 4 6 2011 2013
B = + + + + +
× × × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 2 4 3 5 2011 2013
1 1 1 1 1 3 3
1 1.
2 2 2012 2013 2 2 4
 
= × − + − + − + + −
 ÷
 
 
= × + − − < × = <
 ÷
 
Vậy A < 1.
Cách 2. Do
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
4 1 2 9 2 3 16 3 4 25 4 5 4048144 2011 2012
< < < < <
× × × × ×
.
Nên A < C =
1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 4 5 2011 2012
+ + + + +
× × × × ×
.
Mặt khác:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1
1 2 2 3 3 4 4 5 2011 2012 2012
C = − + − + − + − + + − = − <
.
Vậy A < 1.
4