34 câu lượng giác trong thi ĐH

LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
Đây là câu hỏi luôn có trong các đề thi đại học có điểm số là 1đ, câu này rất dễ lấy
điểm. Hi vọng 34 bài tập sau đây sẽ giúp các bạn có tài liệu ôn tập và đạt kết quả tốt.
Câu 1 : Giải phương trình :
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
Giải :
Điều kiện:
sin 2 0x
≠
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +

 ÷
 

2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x
x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 2 : Giải phương trình:
4
1
4sin4sinsincos
22
=−+ xxxx
Giải :
pt đã cho tương đương với pt:
4
1
)8cos1(
2
1

)5cos3(cos
2
1
)2cos1(
2
1
=−−−++
xxxx
0
2
1
5cos
2
1
3cos
2
1
5cos3cos
=






+−+⇔
xxxx







=−
=+
⇔=






−






+⇔
0
2
1
3cos
0
2
1
5cos
0
2

1
3cos
2
1
5cos
x
x
xx
⇔






+±=
+±=
3
2
9
5
2
15
2
ππ
ππ
kx
kx
Câu 3 : Định m để phương trình sau có nghiệm

2
4sin3xsinx + 4cos 3x - os x + os 2x + 0
4 4 4
c c m
π π π
     
− + =
 ÷  ÷  ÷
     
Giải :
( )
4sin3xsinx = 2 cos2x - cos4x
;
+/
( )
4 os 3x - os x + 2 os 2x - os4x 2 sin 2x + cos4x
4 4 2
c c c c
π π π
 
     
= + =
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
+/
( )
2
1 1

os 2x + 1 os 4x + 1 sin 4x
4 2 2 2
c c
π π
 
   
= + = −
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
( )
1 1
2 os2x + sin2x sin 4x + m - 0 (1)
2 2
c
+ =
Đặt
os2x + sin2x = 2 os 2x -
4
t c c
π
 
=
 ÷
 
(điều kiện:
2 2t
− ≤ ≤

).
Khi đó
2
sin 4x = 2sin2xcos2x = t 1
−
. Phương trình (1) trở thành:
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
2
4 2 2 0t t m
+ + − =
(2) với
2 2t
− ≤ ≤

2
(2) 4 2 2t t m⇔ + = −
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường
( ): 2 2D y m
= −
(là đường song
song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P):
2
4y t t
= +
với
2 2t
− ≤ ≤
.
Trong đoạn

2; 2
 
−
 
, hàm số
2
4y t t
= +
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 4 2
−
tại
2t
= −

và đạt giá trị lớn nhất là
2 4 2
+
tại
2t
=
. Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và
chỉ khi
2 4 2 2 2 2 4 2m
− ≤ − ≤ +
2 2 2 2m
⇔ − ≤ ≤
.
Câu 4 : Giải phương trình :
1 2(sinx cos x)

tanx cot 2x cot x 1
−
=
+ −
Giải :
Điều kiện : sinx.cosx
sinx.cos x 0
cot x 1
≠


≠

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
( )
2 sinx cosx
1
sinx cos2x cos x sinx
cos x sin2x sinx
−
=
−
+
Giải được
3
x k2
2
4
cos x (k Z)
3

2
x k2
4
π

= − + π

= − ⇔ ∈

π

= + π


Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
3
x k2 ,(k Z)
4
π
= + π ∈
Câu 5 : Giải phương trình:
2
5x x
4 3sin x cos x 2cos cos 3sin 2x 3cos x 2
2 2
0
2sin x 3
− + + +
=
−

Giải :
Điều kiện :
3
sin x
2
≠
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 3sin 2x cos x cos3x cos2x 3sin 2x 3cos x 2 0
3 sin 2x 2cos x 1 cos3x cos x cos2x 1 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 4cos x.sin x 2sin x 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 2sin x 2cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 3 sin 2x 2sin x 1 0 2cos x 1 3 si
− − + + + =
⇔ + − − − − + + =
⇔ + + + + + =
⇔ + + + + + =
⇔ + + + = ⇔ +
( )
n 2x cos2x 2 0− + =
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )

( )
1
2
cos x
x 2k
2cos x 1 0
2
3
k
1
3sin 2x cos2x 2 0
cos 2x
x k ;x k
3 2
3
−

π

=
= ± + π


+ =


⇔ ⇔ ⇔ ∈Ζ



π
−π
 
− + =



+ =
= π = + π
 ÷



 

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
2
x k ;x k2 ; x k2 (k Z)
3 3
− π −π
= π = + π = + π ∈
Câu 6 : Giải phương trình:
2 2
sin 3 cos2 sin 0x x x
+ =
Giải :
Pt tương đương:
2 2 3 2 2
sin 3 cos2 sin 0 (3sin 4sin ) cos 2 sin 0x x x x x x x+ = ⇔ − + =
2 2 2

sin (3 4sin ) cos 2 1 0x x x
 
⇔ − + =
 
{ }
2
[3 2(1 cos2 )] cos 2 1 0x x
⇔ − − + =
( )
2 2 2 3 2
sin (1 2cos2 ) cos 2 1 0 sin 4cos 2 4cos 2 cos2 1 0x x x x x x x
 
⇔ + + = ⇔ + + + =
 
( )
( )
2 2
sin cos 2 1 4cos 2 1 0x x x
⇔ + + =

2
sin 0
cos 2 1 ( )
2
4cos 2 1 0 (VN)
x
x k
x k
x k
x

π
π
π

=
=



⇔ = − ⇔ ∈


= +


+ =

¢
Câu 7 : Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải :
Điều kiện:

( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


≠


Phương trình tương đương
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x

⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của
phương trình đã cho là
( )
2

4
x k k
π
π
= − + ∈¢
Câu 8 : Giải phương trình trên khoảng (0;
π
) :

2 2
3
4sin 3 cos2 1 2cos ( )
2 4
x
x x
π
− = + −
Giải :
( )
3
2 1 cosx 3 cos2x 1 1 cos 2x
2
π
 
⇔ − − = + + −
 ÷
 
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
2 2cosx 3 cos2x 2 sin2x⇔ − − = −

2cosx 3 cos2x sin2x⇔ − = −
. ( Chia 2 vế cho 2 )
⇔ − = −
3 1
cosx cos2x sin2x
2 2
( )
cos 2x cos x
6
π
 
⇔ + = π −
 ÷
 

( ) ( )
hoÆc
π π π
⇔ = + = − + π
5 2 7
x k a x h2 b
18 3 6
Do
( )
x 0,
∈ π
nên họ nghiệm (a) chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chọn h = 1. Do đó pt có
ba nghiệm x thuộc
( )

0,
π
là:
1 2 3
5 17 5
x ,x ,x
18 18 6
π π π
= = =
Câu 9 : Giải phương trình lượng giác
2
2
1 sin 2 cos2
cos (sin 2 2cos )
1 tan
x x
x x x
x
+ −
= +
+
.
Giải :
Điều kiện: cosx ≠ 0.
Biến đổi PT về:
cos
2
x(1 + sin2x − cos2x) = cos
2
x (2sinx + 2cosx)⇔ 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx)

( vì cosx ≠ 0)
⇔ (sinx + cosx)
2
– (cos
2
x − sin
2
x) − 2(sinx + cosx) = 0
⇔ (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0
⇔ (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0 ⇔ sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
⇔ tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0) ⇔ x =
4
k
π
π
− +
, (k ∈ Z)
Câu 10 : Giải phương trình :
5
2.cos5 sin( 2 ) sin 2 .cot3 .
2
x x x x
π
π
 
− + = +
 ÷
 
Giải :
ĐK:

sin 3 0x
≠
pt
⇔
2cos5 sin 2 cos2 .cot3x x x x
+ =

⇔
2cos5 sin3 sin 2 cos3 cos2 .cos3x x x x x x
+ =
⇔
2cos5 sin3 cos5 0x x x
− =
⇔
cos5 ( 2 sin3 1) 0x x
− =
+)
1
sin 3 0
2
x = ≠
(t/m đk)
⇔
2
12 3
2
4 3
k
x
k

x
π π
π π

= +



= +



+)
cos5 0x
=
⇔

10 5
k
x
π π
= +
(t/m đk)
Câu 11 : Giải phương trình :
( )
( )
2 2
tan 1 tan 2 3sin 1 0x x x
+ + − − =
Giải :

Điều kiện
cos 0x
≠
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
Phương trình viết lại
2
2
1 tan
2 3sin
1 tan
x
x
x
−
− =
+

2
2 3sin os2 2sin 3sin 1 0x c x x x
⇔ − = ⇔ − + =
1
sin 1 ;sin
2
x x
⇔ = =

so sánh đ/k chọn
1
sin

2
x
=
( )
5
2 ; 2
6 6
x k x k k
π π
π π
⇔ = + = + ∈
¢
Câu 12 : Giải phương trình
1
cos cos cos2 1.
4 4 3
x x x
π π
   
− + + = −
 ÷  ÷
   

Giải :

⇔

( )
2
1

2cos .cos 2cos 1 1
4 3
x x
π
= − −
⇔

2
3 2 osx 2cos 4c x
= −

⇔

2
2cos 3 2 cos 4 0x x
− − =

⇔

2
(cos 2 2)( cos )=0
2
− +x x
2
cos
2
⇔ = −
x
⇔

3
2
4
x k
π
π
= ± +
.
Câu 13 : Giải phương trình:
cos2 5 2 2(2 cos )sin( )
4
x x x
π
+ = − −
Giải :
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔

− = − ≤

( ) ( )
2 sin 1 sin sin

4 4 4
x x
π π π
⇔ − = ⇔ − =
2
2
( )
2
x k
k Z
x k
π
π
π π

= +

⇔ ∈

= +

Câu 14 : Giải phương trình:
( )
3 2
cos cos
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x

−
= +
+
Giải :
ĐK:
sin cos 0x x
+ ≠
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2
1 sin cos 1 2 1 sin sin cosPT x x x x x
⇔ − − = + +

( ) ( )
1 sin 1 cos sin sin .cos 0x x x x x
⇔ + + + + =

( ) ( ) ( )
1 sin 1 cos 1 sin 0x x x
⇔ + + + =
sin 1
cos 1
x
x
= −

⇔

= −


(thoả mãn điều kiện)
2
2
2
x k
x m
π
π
π π

= − +

⇔

= +


( )
,k m
∈
Z
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
2
2
x k
π
π
= − +
và

2x m
π π
= +

( )
,k m
∈
Z
Câu 15 : Giải phương trình
4 4
4sin 4 os ( ) 1
4
2
os2x
x c x
c
π
+ − −
=
. (1)
Giải :
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
ĐK:
os2x 0 ( )
4 2
c x k k
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
¢

2
2
(1) (1 os2x) 1 os(2x- ) 1 2 os2x
2
c c c
π
 
⇔ − + + − =
 ÷
 
2 2
(1 os2x) (1 sin 2x) 1 2 os2xc c⇔ − + + − =
2 2 os2x+2sin 2x 2 os2x 2 os2x-sin2x 1c c c
⇔ − = ⇔ =
2 2 2
2( os sin ) ( osx+sinx) 0c x x c⇔ − − =
osx+sinx 0
( osx+sinx)( osx 3 inx) 0 ( )
4
osx 3sinx 0
arctan3
c
x k
c c s k
c
x k
π
π
π


=
= − +


⇔ − = ⇔ ⇔ ∈


− =

= +

¢
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là
arctan3 ( )x k k
π
= + ∈
¢
Câu 16 : Giải phương trình:
π
+ + + +
=
−
4sin .sin( ) 5 3sin 3(cos 2)
3
1
1 2cos
x x x x
x

Giải :
ĐK :
2
3
x k
π
π
≠ ± +
2
1 2.cos(2 ) 5( 3 sin cos ) 5 0 4.sin ( ) 10sin( ) 4 0
3 6 6
sin( ) 1/ 2
2
6
3
2
sin( ) 2 ( )
6
π π π
π
π
π
π
π π
⇔ − + + + + = ⇔ + + + + =

+ = −


= − +


⇔ ⇔



= +
+ = −



PT x x x x x
x
x k
x k
x VN
(L)

VËy
{ }
2S k
π π
= +

Câu 17 : Giải phương trình:
( )
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos

−
= +
+
x x
x
x x
Giải :
ĐK:
4
x k
π
π
≠ − +
. PT ⇔
(1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(1 sin )(sin cos )+ − − = + +x x x x x x
1 sin 0
sin cos sin cos 1 0
x
x x x x
+ =

⇔

+ + + =

( ) ( )
1 sin 0
1 sin cos 1 0
x
x x

+ =

⇔

+ + =

2
2
2
x k
x k
π
π
π π

= − +

⇔

= +

( Thoả mãn
điều kiện)
Câu 18 : Giải phương trình :
( )
2
2
2
sin cos 2sin
2

sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
 
   
= − − −
 ÷  ÷
 
+
   
 
.
Giải :
Điều kiện xác định
sin 0x
≠
hay
;x k k
π
≠ ∈
Z
.Phương trình đã cho tương đương với
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
( ) ( )
( )

2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 sin 1 0
4 4
3
cos 2 0
8 2
,
4
2
sin 1 0
2
x x x x x x x
k
x
x
k m Z
x m
x
π π
π π
π
π
π
   
+ = − ⇔ − − =
 ÷  ÷
   


 

= +

− =
 ÷

⇔ ⇔ ∈

 


= +
− =



So với điều kiện nghiệm của phương trình là
( )
3
; 2 ; ,
8 2 2
k
x x m k m Z
π π π
π
= + = + ∈
Câu 19 : Giải phương trình :
1 2(sinx cos x)
tanx cot 2x cot x 1
−
=

+ −
.
Giải :
Điều kiện : sinx.cosx
sinx.cos x 0
cot x 1
≠


≠

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
( )
2 sinx cosx
1
sinx cos2x cos x sinx
cos x sin2x sinx
−
=
−
+
Giải được
2 3 3
cos x x k2 ,x k2 (k Z)
2 4 4
π π
= − ⇔ = − + π = + π ∈
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:
3
x k2 ,(k Z)

4
π
= + π ∈
Câu 20 : Giải phương trình:
sin 2 1
2 os
sin cos
2.tan
x
c x
x x
x
+ =
+
.
Giải :
ĐK :
sin 0, cos 0,sin cos 0.x x x x
≠ ≠ + ≠
Phương trình đã cho tương đương :
0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos
=−
+
+ x
xx
xx

x
x
2
cos 2cos
0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4
2 sin
x x
x x x
x x
x
π
 
⇔ − = ⇔ + − =
 ÷
+
 

+)
.,
2
0cos 
∈+=⇔=
kkxx
π
π
+)
2
2 2
4

4
sin 2 sin( ) , Z
2
4
2 2
4 3
4
x m
x x m
x x m n
n
x
x x n
π
π
π
π
π
π π
π
π π


= +
= + +


= + ⇔ ⇔ ∈





= +
= − − +




.,
3
2
4

∈+=⇔
t
t
x
ππ
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là
π
π
kx
+=
2
;
.,,
3
2

4

∈+=
tk
t
x
ππ
Câu 21 : Giải phương trình:
2
sin( ) cos( )
1
6 3
(cos sinx.tan )
cos x 2 cos
x x
x
x
x
π π
− + −
− + =
.
Giải :
Điều kiện
cos 0
cos 0
2
x
x
≠




≠


. Phương trình
⇔
2
2
2
cos( ) cos( )
1
3 3
(cos 2sin )
cos 2 cos
x x
x
x
x x
π π
− + −
− + =
2
2 2
2cos( )cos
1 1 3sinx
2 6
(cos 1 cos ) 1 tan 3 t anx
cos cos cos cos

x
x x x
x x x x
π π
−
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ =
2
tan 0
tan 3 tan 0 ( )
tan 3
3
x k
x
x x k Z
x k
x
π
π
π
=

=


− = ⇔ ⇔ ∈


= +
=



Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của phương trình là
2
( )
3
x l
l Z
x l
π
π
π
=


∈

= +

Câu 22 : Giải phương trình:
3
12sin2cos2
4sin2cos
2
=
−+
−
xx
xx
Giải :
ĐK:






−≠
≠
⇔≠++−
2
1
2sin
12sin
012sin2sin2
2
x
x
xx
3
12sin2sin2
4sin2cos
2
=
++−
−
xx
xx
⇔
( )
xxxx 4cos2sin34sin2cos
+=−

⇔
xxxx 4sin4cos32sin32cos +=−
⇔






−=






+
6
4cos
3
2cos
ππ
xx
⇔







++−=+
+−=+
π
ππ
π
ππ
2
6
4
3
2
2
6
4
3
2
kxx
kxx
π
π
kx
+=
4
∨
3
2
6
ππ
kx
+−=

.
So lại điều kiện được nghiệm phương trình đã cho
3
2
6
ππ
kx +−=
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
Câu 23 : Giải phương trình:
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
2
0
2sinx - 3
x
=
Giải :
Điều kiện:
3
sinx
2
≠
và
os 0
2
x
c
≠
và cosx ≠ 0
Biến đổi pt về: 4cos

3
x - 4 cos
2
x – cosx + 1 = 0
osx = 1
1
cosx =
2
c


⇔

±

Câu 24 : Giải phương trình
2
2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x
+ + = +
.
Giải :
2
2cos 2 3sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x
+ + = +
2
(sin 3 cos ) 3(sin 3 cos ) 0x x x x
⇔ + − + =

sin 3 cos 0 sin 3 cos 3x x x x⇔ + = ∨ + =
(1)

Phương trình
sin 3 cos 3x x+ =
vô nghiệm vì
222
3)3(1
<+
Nên (1)
tan 3
3
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
(
k
∈
¢
). Vậy, PT có nghiệm là:
3
x k
π
π
= − +
(
k
∈
¢
).
Câu 25 : Giải phương trình :
5

2 2 os sin 1
12
c x x
π
 
− =
 ÷
 
Giải :
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
π π
 
 
⇔ − + =
 ÷
 
 
 
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
π π π π π π
π π π

   
⇔ − + = = ⇔ − = − =
 ÷  ÷
   
   
= − = −
 ÷  ÷
   
( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13
3
12 12
2 2
12 12
4
x k
x k
x k
x k x k
π
π π
π
π
π π

π π
π
π π


= +
− = − +


   
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈


 ÷  ÷
   


− = + = +




¢
Câu 26 : Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cosx x x x x x x x
+ + + = + + +
Giải :
[ ]
sin 0

(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
x cosx
x cosx x cosx x cosx
x cosx x cosx
− =

⇔ − + + + = ⇔

+ + + =

+ Với
sin 0 ( )
4
x cosx x k k Z
π
π
− = ⇔ = + ∈
+ Với
2 2(sin ) sin . 0x cosx x cosx
+ + + =
, đặt t =
sin (t 2; 2 )x cosx
 
+ ∈ −
 
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
được pt : t
2

+ 4t +3 = 0
1
3( )
t
t loai
= −

⇔

= −

t = -1
2
( )
2
2
x m
m Z
x m
π π
π
π
= +


⇒ ∈

= − +

Vậy :

, 2 , 2 ( , )
4 2
x k x m x m m Z k Z
π π
π π π π
= + = + = − + ∈ ∈
Câu 27 : Giải phương trình :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 )
4
c c x
π
+ +
Giải :
os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ ) os4x+ 3sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
2
PT c x c c x c x
π
 
⇔ + = + ⇔ + =
 ÷
 

18 3
sin(4 ) sin(2 ) 0 2sin(3 ). osx=0
6 6 6
x=
2
x k
x x x c

k
π π
π π π
π
π

= − +

⇔ + + + = ⇔ + ⇔


+


Vậy PT có hai nghiệm
2
x k
π
π
= +
và
18 3
x k
π π
= − +
.
Câu 28 : Giải phương trình:
sin 2 1
2 os
sin cos

2.tan
x
c x
x x
x
+ =
+
.
Giải :
Điều kiện:
sin 0, cos 0,sin cos 0.x x x x
≠ ≠ + ≠
Pt đã cho trở thành
0cos2
cossin
cossin2
sin2
cos
=−
+
+ x
xx
xx
x
x

2
cos 2cos
0 cos sin( ) sin 2 0
sin cos 4

2 sin
x x
x x x
x x
x
π
 
⇔ − = ⇔ + − =
 ÷
+
 

+)
.,
2
0cos ∈+=⇔= kkxx
π
π
+)
∈






+=
+=
⇔







+−−=
++=
⇔+= nm
n
x
mx
nxx
mxx
xx ,
3
2
4
2
4
2
4
2
2
4
2
)
4
sin(2sin
ππ
π

π
π
π
π
π
π
π
.,
3
2
4

∈+=⇔
t
t
x
ππ
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là :
π
π
kx
+=
2
;
.,,
3
2
4

∈+=

tk
t
x
ππ
Câu 29 : Giải phương trình. 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Giải :
1. Phương trình
⇔
( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos
2
x – sin
2
x) = 0

⇔
( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0
⇔
( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0
⇔
1
tan 1;cos
2
x x
= =
⇔
( )
. ; . ,
4 3
x k x l k l
π π

π π
= + = ± + ∈
¢
( k,l
∈
Z).
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
Câu 30 : Giải phương trình
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x
+ − + =
.
Giải :
Điều kiện
cos 0x
≠
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x
+ − + =

⇔
( )
2 2 3
sin 1 2sin 2sin 1 2sin 0x x x x
− + − + =
2
1 5

2sin sin 1 0 sin 1;sin 2 ; 2 ; 2
2 2 6 6
x x x x x k x k x k
π π π
π π π
⇔ + − = ⇔ = − = ⇔ = − + = + = +
.
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm
5
2 ; 2
6 6
S k k
π π
π π
 
= + +
 
 
Câu 31 : Giải phương trình:
1 1
2.cos2
sin cos
x
x x
= +
(1)
Giải :
Điều kiện:
2
x k

π
≠
cos sin
(1) 2.cos 2 0
sin .cos
x x
x
x x
+
⇔ − =
2
(cos sin )(cos sin )sin 2 (cos sin ) 0
2
x x x x x x x⇔ − + − + =
(cos sin ) (cos sin )sin 2 2 0x x x x x
 
⇔ + − − =
 
( )
2
2 sin 0
cos sin 0
4
(cos sin )sin 2 2 0
(cos sin ) 1 (cos sin ) 2 0
x
x x
x x x
x x x x
π


 
+ =
+ =

 ÷

 
⇔ ⇔


− − =


− − − − =

3
sin 0
4
(cos sin ) (cos sin ) 2 0
x
x x x x
π

 
+ =
 ÷

⇔
 



− − − + =


⇔

4
3
2
4
x k
x k
π
π
π
π
−
= +
= +
ĐS:
4
x k
π
π
−
= +

Câu 32 : Giải phương trình: 4cos
4

x – cos2x
1 3x
os4x +cos
2 4
c
−
=
7
2
Giải :
. 4cos
4
x – cos2x
1 3x
os4x +cos
2 4
c−
=
7
2
⇔ (1 + cos2x)
2
– cos2x
2
1 3x
(2 os 2 1)+cos
2 4
c x
− −
=

7
2

⇔
cos2x +
3x
os
4
c
= 2
SƯU TẦM
LƯỢNG GIÁC ( DÙNG CHO LỚP 11 VÀ ÔN THI ĐẠI HỌC )
⇔
os2x = 1
3x
cos 1
4
c



=


( vì VT ≤ 2 với mọi x) ⇔
( ; )
8
3
x k
k m

m
x
π
π
=


∈

=


¢
⇔ x = 8nπ (
n ∈¢
)
Câu 33 : Giải phương trình sau :
2
sin
2
1
3
cos
4
1
22
xx
=+
.
Giải :

( ) ( )
( )
cos
cos
cos sin
cos cos cos cos
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos
+
−
+ = ⇔ + =
 
⇔ + + = − ⇔ + = − =
 ÷
 
⇔ + − = − − ⇔ + − + − =
⇔ + − =
2 2
2 3 2 3
2
2
1
1 1 1 1
3
4 3 2 2 4 2 4
2
1 2 2 1 2 2 2 3
3 3
2 2 2 1 4 3 2 4 2 4 3 0
4 4 3 0

x
x x x
x x
x a a a
a a a a a a
a a a
( )
cos
cos
cos
.
cos cos
cos
0
3
0
3
1
3 3 2
2
2
6
2
3
3 3 3 3
loaïi
2
a
x x
k

x k
a
x x
x k
k
a
π
π
π
π
π π
π π
π


=
 
= = +


 
= +


⇔ = ⇔ ⇔ ⇔
 


 
= ± +

= = ± +


 
 

= −

Câu 34 : Giải phương trình :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (2 )
4
c c x
π
+ +
Giải :
os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2
os4x+ 3sin 4 os2x+ 3sin 2 0
PT c x c
c x c x
π
 
⇔ + = +
 ÷
 
⇔ + =

sin(4 ) sin(2 ) 0
6 6

18 3
2sin(3 ). osx=0
6
x=
2
x x
x k
x c
k
π π
π π
π
π
π
⇔ + + + =

= − +

⇔ + ⇔


+


Vậy PT có hai nghiệm
2
x k
π
π
= +

và
18 3
x k
π π
= − +
.
SƯU TẦM