Bài tập tổng hợp quan hệ song song

Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường
thẳng đi qua hai điểm chung đó
Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai
đường thẳng đó.
Cách 3: Sử dụng định lí 2. SGK. Tr61 và hệ quả của nó
- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P). mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao
tuyến là b thì b song song với a.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cách 4: Sử dụng định lí 3. SGK. Tr67.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một
đường thẳng. Từ đó xác định được giao tuyến
Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia
Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy
- CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của
hai mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3
Dạng toán 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình
- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình
- Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đa
giác khép kin, đa giác khép kín đó chính là thiết diện.
Dạng toán 5: Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh

song song trong hình học phẳng (đường trung bình, định lí talét đảo,…)
Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba
Cách 3: Áp dụng các định lí về giao tuyến (Cách 2, 3, 4 – Bài toán 1)
Cách 4: CM hai đường thẳng đó cùng vuông góc với một mặt phẳng
Dạng toán 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Cách 1: Áp dụng định lí: Đường thẳng d không nằm trong (P) và d song song với một đường
thẳng d’ nằm trong (P) thì d song song với (P).
Cách 2: CM đường không nằm trong mặt và CM đường thẳng và mặt phẳng đó cùng song
song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng.
Dạng toán 7: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách 1: Áp dụng định lí: Một mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đường thẳng
này cùng song song với mp(Q) thì (P) song song với (Q)
Cách 2: CM hai mặt phẳng này phân biệt và CM hai mặt phẳng đó cùng song song hoặc
cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
Dạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Cách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai
điểm chung đó
Cách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Cách 3: Sử dụng định lí 2. SGK. Tr61 và hệ quả của nó
- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp(P). mp(Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến là b thì b
song song với a.
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cách 4: Sử dụng định lí 3. SGK. Tr67.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và
hai giao tuyến song song với nhau.

*) Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là:
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo một đường thẳng. Từ
đó xác định được giao tuyến
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC,BD lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho MN không song
song BC, MP không song song AD. Tìm giao tuyến các mặt phẳng sau:
a) (MNP) và (ABC) b) (MNP) và (ABD) c) (MNP) và (BCD) d) (MNP) và (ACD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của
a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)
Bài 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp(ABC ), một điểm I thuộc đoạn SA. Một đường
thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J, K. Tìm giao tuyến của:
a) ( I,a) và (SAC ) b) ( I,a) và (SAB ) c) ( I,a) và (SBC )
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không song song
BC, trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI) và (ABC) b) (MNI) và (BCD) c) (MNI) và (ABD) d) (MNI) và (ACD)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N. Tìm các giao tuyến sau:
a) (BMN) và (ACD) b) (CMN) và (ABD) c) (DMN) và (ABC)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm AC, BC; K thuộc BD sao cho KD < KB. Tìm giao
tuyến của: a) (IJK) và (ACD) b) (IJK) và (ABD)
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I , trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm
J,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) (ABJ) và (ACD) b) (IJK) và (ACD) c) (IJK) và (ABD) d) (IJK) và (ABC)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J là trung điểm của AD và BC
a)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD)
b)Gọi M,N lần lượt là điểm nằm trên đoạn AB và AC.Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)
Bài 9. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SB, SD; P thuộc SC: PC < PS.
Tìm giao tuyến của:
a) (SAC) và (SBD) b) (MNP) và (SBD) c) (MNP) và (SAC)
d) (MNP) và (SAB) e) (MNP) và (SAD) f) (MNP) và (ABCD)

Bài 10. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi M, N là trung điểm BC, CD. Tìm giao
tuyến của
a) (SAC) và (SBD) b) (SMN) và (SAD) c) (SAB) và (SCD)
d) (SMN) và (SAC) e) (SMN) và (SAB)
Bài 11. Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm
giao tuyến của :
a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD)
Bài 12. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm của BC, CD, SA. Tìm giao
tuyến của
a) (IJK) và (SAB) b) (IJK) và (SAD) c) (IJK) và (SBC) d) (IJK) và (SBD)
Bài 13. Cho chóp S.ABCD đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm SA, J thuộc AD sao cho JD =
AD; K thuộc SB sao cho SK = 2BK. Tìm giao tuyến
a) (IJK) và (ABCD) b) (IJK) và (SBD) c) (IJK) và (SBC)
Bài 14. Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho BM =
BS ; SN = (3/4) SA. Tìm giao tuyến
a) (OMN) và (SAB) b) (OMN) và (SAD) c) (OMN) và (SBC) d) (OMN) và (SCD)
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho
AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của :
a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD)
Dạng 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
•
α
d
a
M
Tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ (α) = ?
Phương pháp 1:
Tìm a

⊂
(
α
)
Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và
•
α
M
β
d
a
chúng cắt nhau tại M : d
∩
(
α
) = M ( hình vẽ )
Phương pháp 2:
Tìm (
β
) chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của (
α
) và (
β
)
Trong
β
: a
∩
d = M d

∩
(
α
) = M ( hình vẽ b)
BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm K thuộc BD: KD < KB. Tìm giao
điểm của:
a) CD và (MNK) b) AD và (MNK)
4
1
4
1
4
1
Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC,BC lần lượt lấy các điểm M,N,P. Tìm các giao điểm sau:
a) MN và (ADP) b) BC và (DMN)
Bài 3. Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt (ABC)
tại P. Xác định giao điểm P
Bài 4. Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC;
AD sao cho
AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Gọi Q là trung điểm NP. Tìm giao điểm :
a) MN và (BCD) b) BD và (MNP) c) MQ và (BCD)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm giao điểm:
a) BC và (DMN) b) AC và (DMN) c) MN và (ACD)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểmM,N; trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các
giao điểm sau:
a) MP và (ACD) b) AD và (MNP) c) BD và (MNP)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O, tìm giao điểm của AM với các mặt
phẳng (SBC) ,(SCD)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I,J.Tìm các giao điểm sau:

a)IJ và (SBC) b)IJ và (SAC)
Bài 9. Cho tứ diện ABCD,gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao
cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:
a)CD và (MNP) b)AD và (MNP)
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh thang AD // BC. M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB, SD. Tìm
giao điểm:
a) SA và (MCD) b) MN và (SAC) c) SA và (MNC)
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và M là trung điểm SC. Gọi N thuộc AB .Tìm giao
điểm của:
a) AM và (SBD). b) SD và (ABM). c)MN và (SBD).
Bài 10. Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao
cho CK = 3KS
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b)Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
Bài 12. Cho chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song và I thuộc SA. Tìm giao điểm
a) SD và (IBC) b) IC và (SBD) c) SB và (ICD)
Bài 13. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, AD và G là trọng
tâm ΔSAD. Tìm giao điểm của:
a) GM và (ABCD) b) AD và (OMG) c) SA và (OGM)
Bài 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K sao
cho BK = 2KD
a)Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
b)Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
c)Chứng minh rằng FK song song IJ
d)Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường
thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
Bài 15. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P thuộc BD: PB = 2PD. Tìm giao điểm
của:
a) AC và (MNP) b) BD và (MNP)
Bài 16. Cho chóp S.ABCD có đáy AB > CD. Gọi M thuộc SA, N thuộc AB, P thuộc BC. Tìm giao điểm

a) MP và (SBD) b) SD và (MNP) c) SC và (MNP)
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của SA, AC; P thuộc AB sao cho 2PB = AB,
I thuộc SC sao cho SC = 3SI. Tìm giao điểm:
a) SI và (MNP) b) AC và (MNP) c) SB và (MNP) d) BC và (MNP)
Bài 18. Cho tứ diện ABCD có M thuộc AC, N thuộc AD và P nằm bên trong ΔBCD. Tìm giao điểm
a) CD và (ABP) b) MN và (ABP) c) AP và (BMN)
Dạng 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
PHƯƠNG PH
α
β
A
C
•
•
•
B
ÁP GIẢI:
• Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C
∈
(
α
)
Chỉ ra A ; B ; C
∈
(
β
)
Kết luận : A; B; C
∈

d với d = (
α
)
∩
(
β
) nên A; B; C thẳng hàng
•
M
N
•
•
a
b
P
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a
∩
b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
BÀI TẬP
Bài 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trên SA, SB, SC sao cho DE ∩ AB = I, EF ∩ BC = J, FD ∩ AC
= K.
a) Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF)
b) Chúng minh rằng I, J, K thẳng hàng
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của
đoạn AB và SC .
a) Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
b) Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)

c) Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Bài 3. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và
OJ cắt SC tại M .
a) Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
b) Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
c) Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC, M thuộc SB, O là giao điểm của AC và BD
a) Tìm giao điểm N của SC và (ADM)
b) DM cắt AN tại I. CMR: S, I, O thẳng hàng
Bài 5. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không
song song với AB, LN không song song với SC.
a) Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b) Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
c) Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Bài 6. Cho chóp S.ABCD có AB không song song với CD, M trung điểm SC.
a) Tìm giao điểm N của SD và (ABM)
b) O = AC ∩ BD. CMR: SO, AM, BN đồng quy
Bài 7. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
a) Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
b) Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)
c) Chứng minh C , I , J thẳng hàng
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E
a)Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui
Bài 9. Cho chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E và I, J là trung điểm SA, SB; lấy N tùy ý trên SD.
a) Tìm giao điểm M của SC và (IJN)
b) CMR: IJ, MN, SE đồng quy
Bài 10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I, K là 2 điểm cố định trên SA và SC với SI = 2 IA, KC = 3SK. Một mp
(
α

) quay quanh IK cắt SB tại M và SD tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) CMR ba đường thẳng IK, MN, SO đồng quy. Từ đó suy ra cách dựng điểm N khi biết điểm M
b) Gọi
E AD BC
= ∩
và F =
IN MK
∩
. CMR 3 điểm S, E, F thẳng hàng
c) Gọi P = IN
AD
∩
và Q = MK
∩
BC. Chứng minh khi
( )
α
thay đổi đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm
cố định . (đó là giao điểm của KI và AC )
Dạng 4: THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD, BC, AD, M trung điểm SA. Tìm thiết diện của chóp và (BCM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; P thuộc AD và không là trung điểm AD.
Tìm thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm AD, CD; I là điểm trên
SO. Tìm thiết diện hình chóp với mp (MNI).
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm BC, CD, SA. Tìm thiết diện
của hình chóp và (IJK)
TỔNG HỢP GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM VÀ THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC.
a) Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC)

b) Tìm giao điểm SA và (MNP)
c) Xác định thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 2. Cho chóp S.ABCD, M thuộc SC; N, P trung điểm AB, AD.
a) Tìm giao điểm của CD và (MNP)
b) Tìm giao điểm của SD và (MNP)
c) Tìm giao tuyến của (SBC) và (MNP)
d) Tìm thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có I, J là hai điểm trên AD và SB.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI)
b) Tìm giao điểm K của I J và (SAC)
c) Tìm giao điểm L của DJ và (SAC)
d) CMR: A, K, L thẳng hàng
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Lấy K thuộc đoạn BC, I trung điểm SA, J thuộc
đoạn AB.
a) Tìm giao điểm của KI và (SBD)
b) Tìm giao tuyến của (I JK) và (SCD)
Bài 5. Cho chóp S.ABCD đáy hình thang, AB là đáy lớn. I, J trung điểm SA, SB; M thuộc SD.
a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm K của IM và (SBC)
c) Tìm giao điểm N của SC và (I JM)
d) Tìm thiết diện của chóp và (I JM)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và
SC
a)Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC)
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm M
a)Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
b)Chứng minh rằng ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui
Bài 8. Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong 1 mặt phẳng

a)Xác định các giao tuyến sau :
(AEC)

(BFD) ; (BCE)

(AFD)
b)Lấy 1 điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm AM

(BCE)
Bài 9. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD, AB > CD. Lấy I, J, K nằm trên SA, CD, BC.
a) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAB) b) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAC)
c) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAD) d) Tìm giao điểm của SB và (I JK)
e) Tìm giao điểm của IC và (SJK)
Bài 10. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC. I thuộc SA: SA = 3 IA, J thuộc SC; M là trung
điểm SB.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm E của AB và (I JM)
c) Tìm giao điểm F của BC và (I JM)
d) Tìm giao điểm N của SD và (I JM)
e) Gọi H = MN ∩ BD. CMR: H, E, F thẳng hàng
ĐỀ KIỂM TRA THÁNG 9
Môn TOÁN Lớp 11 – Nâng cao
Thời gian làm bài 90 phút
Câu I: (5đ) Giải các phương trình sau :
1) (1đ)
( )
x x
2
3tan 1 3 tan 1 0
− + + =

2) (1đ)
x x
2
3
2cos 3 cos2 0
4
π
 
− + =
 ÷
 
3) (1đ)
x
x
x
2
1 cos2
1 cot2
sin 2
−
+ =
4) (1đ)
x x x
3
4cos 3 2sin2 8cos+ =
5) (1đ)
( )
x
x
x

2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Câu II: (2đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(– 2; 3) , B(1; – 4); đường thẳng d:
x y3 5 8 0− + =
; đường tròn (C ):
x y
2 2
( 4) ( 1) 4+ + − =
. Gọi B’, (C′) lần lượt là ảnh của B, (C) qua
phép đối xứng tâm O. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
.
1) Tìm toạ độ của điểm B’, phương trình của d’ và (C′) .
2) Tìm phương trình đường tròn (C′′) ảnh của (C) qua phép vị tâm O tỉ số k = –2.
Câu III: (1đ) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình
3 0x y− + =
. Hãy viết phương
trình đường thẳng
'd

là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm là gốc tọa độ O và tỉ số vị tự.
Câu IV. (2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M và N lần
lượt là hai trung điểm của SA và SC.
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SBN) và mặt phẳng (SDM).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (BMN).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (BMN)