Bài tập tổng hợp

NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
Bài 1: Nguyên hàm
A- Tóm tắt lí thuyết:
1, Định nghĩa và tính chất:
2, Bảng các nguyên hàm:
3, Các nguyên hàm mở rộng: ( với các điều kiện thích hợp)
1.
Cbax
na
dxbax
nn
++
+
=+
+
∫
1
).(
1
1
.
1
.)(
2.
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax

ln.
1
.
1
3.
∫
+=
++
Ce
a
dxe
baxbax
.
1
.
4.
Cbax
a
dxbxa
++=+
∫
)sin(.
1
).cos(
5.
Cbax
a
dxbxa
++−=+
∫

)cos(.
1
).sin(
6.
∫
++=
+
Cbaxtg
a
dx
bax
)(.
1
.
)(cos
1
2
7.
∫
++−=
+
Cbaxg
a
dx
bax
)(cot.
1
.
)(sin
1

2
B- Bài tập:
1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
A. f(x) = (2x
3
– 1)
2
B. f(x) =
3
4
xx
C. f(x) = 2
2x
.3
x
.5
x
D. f(x) = sin
4
x G. f(x) =
x
xx
2
66
cos
cossin +
E. f(x) = tg
2
x F. f(x) = sinx.sin3x.sin5x
2. Tìm họ nguyên hàm của:

A. f(x) =
21
1
−+−
xx
B. f(x) =
2
2
−−
xx
x
3. Tìm họ nguyên hàm của:
A. f(x) =
12
164
2
+
++
x
xx
B. f(x) =
352
1
2
++
xx
C. f(x) =
1
1
4

−
x
4. Cho hàm số: f(x) =
23
333
3
2
+−
++
xx
xx
. Xác định các h số A, B, C để:
f(x) =
2
)1(
2
+
+
−
+
x
C
x
BAx
, từ đó tìm ra nguyên hàm của hàm số f(x).
5. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
A. f(x) = x
2
1 x
−

B. f(x) =
1
2
2
++
xx
x
C. f(x) =
1
1
2
+
xx
D. f(x) =
xx
−
3
2
1
6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
A. f(x) = tgx C. f(x) =
xsin
1
D. f(x) =
x
4
sin
1
B. f(x) = cos
3

x
7. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
A. f(x) = lnx B. f(x) = x
2
.sinx C. f(x) = x
2
.e
-2x
D. f(x) = e
x
.cosx E. f(x) = x.lnx F. f(x) = e
x
.sinx
C- Luyện tập:
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
8. f(x) = (2
x
+ 3
x
)
2
9. f(x) = cos
4
x 10. f(x) = sin
2
x.cos
4
x
11. f(x) = (2tgx + cotgx)
2

12. f(x) = sin(2x+1).cos(3x-1)
13. f(x) =
x
xx
2
44
sin
cossin
+
14. f(x) =
12
144
23
+
−+
x
xx
15. f(x) =
56
1
2
+−
xx
16. f(x) =
2343
1
−−+
xx
17. f(x) =
1

2
3
+
x
x
18. f(x) =
x
4
cos
1
19. f(x) = sin
3
x
20. f(x) =
)3)(2)(1(
+++
xxx
x
21. f(x) =
3
cossin
cossin
xx
xx
−
+
22. f(x) =
x
4
cos

1
23. f(x) =
x
x
sin
cos
3
26. f(x) = tg
5
x
24. f(x) =
xx cos..sin
1
4
25. f(x) =
xx
42
cos..sin
1
Bài 2: Tích phân
A- Tóm tắt lí thuyết:
1. Định nghĩa: cho:
∫
+=
CxFdxxf )()(
. Khi đó:
∫
−=
b
a

aFbFdxxf )()()(
2. Tính chất:
B- Bài tập:
1.
∫
π
0
4
.cos dxx
4.
∫
+
2ln
0
5
x
e
dx
7.
∫
−
2
1
4
3
1
3
)(
x
dxxx

10.
∫
π
2
0
2
.cos dxxx
2.
∫
−
1
0
3
1 dxxx
5.
∫
4
0
.
π
dxtgx
8.
∫
+
2
0
2cos2
.cos
π
x

dxx
11.
∫
0
1
).sin(ln dxx
3.
∫
+−
+
1
0
2
53
)13(
xx
dxx
6.
∫
−
2
0
2
1dxx
9.
∫
−
2ln
0
. dxex

x
12. Tính I =
∫
2
0
42
.cos.sin
π
dxxx
và J =
∫
2
0
24
.cos.sin
π
dxxx
13. I =
∫
+
dx
xx
x
33
3
sincos
cos
14. Cho f(x) là hàm lẻ, liên tục trên [-a; a]. CMR:
0).(
=

∫
−
a
a
dxxf
15. Cho f(x) là hàm chẵn, liên tục trên [-a; a]. CMR:
∫∫
=
−
aa
a
dxxfdxxf
0
).(2).(
C- Luyện tập:
25.
∫
−
3
6
).sincos(
π
π
dxxx
28.
∫
+
2
0
sincos

sin
π
dx
xx
x
31.
∫
+
1
0
3
)1(x
xdx
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
26.
∫
−++
1
0
11 xx
dx
29.
dxxxx ).cos.(sin2cos
2
0
44
∫
+
π
32.

∫
+−
+
1
0
2
65
)32(
xx
dxx
27.
∫
−
−−+
5
3
).22( dxxx
30.
∫
−
−
2
2
4
1dxx
33.
∫
−
−
3

3
2
1dxx
34.
∫
++
+
2ln
0
2
2
23
3
dx
ee
ee
xx
xx
45.
∫
+
2
0
cossin
.sin
π
xx
dxx
nn
n

56.
∫
−
1
0
2
1 dxx
35.
∫
+
4
0
2
cos1
.4sin
π
x
dxx
46.
∫
+
2
0
3
cos1
.sin4
π
x
dxx
57.

∫
2
0
ln
e
xx
dx
36.
∫
+−
−
1
0
2
65
)21(
xx
dxx
47.
∫
−
1
2
2
2
2
1
dx
x
x

58.
∫
+
2
0
cos2
π
x
dx
37.
∫
+
−
2
1
3
3
)1(
1
dx
xx
x
48.
∫
+
+
2
1
2
ln

)1(
xxx
dxx
59.
∫
+
4
0
cossin
cos
π
xx
xdx
38.
∫
e
x
dxx
1
)sin(ln
49.
∫
+
32
0
2
4x
dx
60.
∫

3
6
3
sin
.cos
π
π
x
dxx
39.
∫
++
1
0
2
3
1
dx
xx
x
50.
∫
−
−−
2
2
2
2 dxxx
61.
∫

8
3
8
22
cos.sin
π
π
xx
dx
40.
∫
+
8
3
1x
xdx
51.
∫
+
−
)13ln(
2ln
1dxe
x
62.
∫
−
π
0
.2cos1 dxx

41.
∫
++
2
0
3cos2sin
π
xx
dx
52.
∫
2
0
2
sin
.
π
x
dxx
63.
∫
++
1
0
544 x
dx
42.
∫
+
π

2
0
sin1 dxx
53.
∫
+
2ln
0
2
)1(
dx
e
e
x
x
64.
∫
2
0
5
sin
π
xdx
43.
∫
−







−
+
2
1
2
1
1
1
ln.cos dx
x
x
x
54.
∫
−
++
1
1
2
)1ln( dxxx
65.
∫
+
2
1
2
1 xx
dx

44.
∫
+
2
0
2
)cos1(sin
π
dxxx
55.
∫
83
6
22
cos.sin
π
π
xx
dx
66.
∫
+
2
0
2sin1
π
x
dx
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
Bài 3: Ứng dụng của tích phân

A- Tóm tắt lý thuyết:
1. Diện tích hình phẳng:
1, Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x) và hai
đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S =
∫
b
a
dxxf )(
2, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C
1
): y = f(x),
(C
2
): y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b, (a < b) là: S=
∫
−
b
a
dxxgxf )()(
2. Thể tích vật tròn xoay quanh trục Ox:
1, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đường cong (C): y = f(x), trục Ox và
2 đường thẳng x = a, x = b. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay
quanh trục Ox là:
V =
[ ]
∫∫
=
b
a
b

a
dxxfdxy
2
2
)(
ππ
2, Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đường cong (C
1
): y = f(x); (C
2
): y
= g(x) (f(x) và g(x) cùng dấu) và 2 đường thẳng: x = a, x = b. Thể tích vật
tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:
V =
[ ]
∫∫
−=−
b
a
b
a
dxxgxfdxyy |)]([)(|||
2
22
2
2
1
ππ
B- Bài tập:
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a, x = 0, x =
2
1
, trục Ox, y =
4
1 x
x
−
b, x = -2, x = 2, y = -x
3
+ 3x + 1, y = x
2
+ x + 1
c, x = 1, x = e, y = 0, y =
x
xln1
+
d, x = -1, x = 2, y = xe
x
, trục Ox
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a, y = -x và y = 2 – x
2
c, y = x
3
– x
2
– 8x + 1 và y = x
2
-7x – 1

b, y = 5 – x và y = x
2
– 2x + 3 d, y = x
2
– 2x + 2 và y = - x
2
– x +3
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a, (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -
2
1
b, (P): y =
2
1
x
2
– 2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M(
2
5
; 1)
c, (P): y = x
2
– 4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5)
d, (C): y = x
3
– 2x
2
+ 4x – 3, trục Ox và tiếp tuyế của (C) tại điểm có hoành

độ x = 2
NguyÔn Cao Thêi - THPT Yªn Mü - Hng Yªn
e, y = -
2
4 x
−
; x
2
+ 3x = 0
f, y = x
2
, y =
27
2
x
, y =
x
27
g, (P): y
2
= 2x và (C): x
2
+ y
2
= 8
4. Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do các hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quay quanh Ox:
a, y = x
3
+ 1, y = 0, x = 0, x = 1 e, x

2
+ (y – 1)
2
= 4, trục Ox
b, y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e f, x
2
+ y – 5 = 0, x + y – 3 = 0
c, y = -3x
2
+ 3x + 6, y = 0 g, y = x
2
, y =
x
d, y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2
5. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường: y = tgx, x = 0, x =
3
π
, y = 0
a, Tính diện tích của (D)
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox
6. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = -x
2
+ 4 và trục hoành
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy
7. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y
2
= 8x và đường thẳng x = 2
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy

8. Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y =
x
và đường thẳng y = 2
a, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Ox
b, Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi (D) quay quanh Oy