SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRÊN CƠ SỞ XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CHUỖI CÁC BÀI TOÁN ( THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC CHƯƠNG I SGK 11 )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT

Mã số :. . . . . . . . . . .

TÍCH CỰC HỐ HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRÊN CƠ SỞ
XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CHUỖI CÁC BÀI TOÁN
( THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC CHƯƠNG I SGK 11 )

Tần Thế Anh
Lĩnh vực nghiên cứu
Người thực hiện :

- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ mơn: Tốn
- Lĩnh vực khác
Sản phẩm đính kèm
Mơ hình
Phần mềm Hình ảnh Hiện vật khác

Năm học 2013 - 2014


SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và Tên: Tần Thế Anh
2. Ngày tháng năm sinh: 24/01/1980
3. Giới tính : Nam
4. Địa chỉ: Trường THPT Đoàn Kết
5. Điện thoại: 0918607431

6. fax:……..email:
7. Chức vụ: giáo viên – Tổ phó tổ tốn.
8. Đơn vị cơng tác: Trường THPT Đồn Kết.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
Học vị ( hoặc chun mơn trình độ cao nhất): cử nhân khoa học
Năm nhận bằng: 2002
Chuyên nghành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Tốn
Số năm có kinh nghiệm: 11 năm
Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 05.


MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .........................................................4
Thực trạng trước khi chọn đề tài:...........................................................4
A. Thuận lợi và khó khăn 7.................................................................5
a. Thuận lợi ..................................................................................5
b. Khó khăn ..................................................................................5
2. Đối tượng nghiên cứu: ..................................................................5
3. Phạm vi của đề tài: ........................................................................6
4. Phương pháp nghiên cứu: .............................................................6
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI.............................................................7
I. Cơ sở lý luận.................................................................................7
II. Nội dung đề tài.............................................................................7
21. Xây dựng hệ thống bài tốn nâng dần mu6c1 độ khó tạo niềm
tin hứng thú cho học sinh trong q trình giải tốn...............................7
22. Xây dựng hệ thống bài tốn có nhiều cách giải. ……………...13

23. Xây dựng hệ thống bài tập liên quan đến thực tế........15
24. Bài tập đề nghị ............................................................19
PHẦN IV.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI. 20
PHẦN IV : KẾT LUẬN..................................................................... 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO:........................................................... 21


TÊN ĐỀ TÀI: TÍCH CỰC HỐ HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRÊN CƠ SỞ
XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CHUỖI CÁC BÀI TOÁN
( THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC CHƯƠNG I SGK 11 )

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Một trong những mục đích dạy học các phép biến hình ở trường THPT là
nhằm cung cấp cho học sinh hệ thống tri thức tốn học, đồng thời sử dụng phép biến
hình dùng phương tiện để “nhìn lại” chương trình hình học được xây dựng theo
phương pháp tiên đề, ngồi ra cịn cung cấp cho học sinh cơng cụ để giải một số dạng
tốn hình học phẳng. Vì vậy việc coi trọng nghiên cứu các phép biến hình là vấn đề
cần thiết.
Tuy nhiên, qua thực tế dạy học phép biến hình ở trường phổ thơng, thực tế giáo
viên chúng ta cịn chưa quan tâm nghiên cứu một cách đầy đủ về phép biến hình, đặc
biệt là còn lúng túng và chưa quan tâm nhiều về vấn đề dạy ứng dụng của phép biến
hình vào tốn thực tế.
Về phía học sinh, hầu hết cho rằng phép biến hình là một vấn đề khó và việc
vận dụng nó để giải bài tập là khơng nhiều và chủ yếu là để giải các bài thi trong kỳ
thi học sinh giỏi. Đa số học sinh ngại sử dụng phép biến hình để giải tốn, vì thế
nhiều bài tốn giải được bằng phép biến hình một cách đơn giản thì các em lại giải
bằng các phương pháp khác hết sức cồng kềnh, phức tạp.
Mặt khác hệ thống bài tập sách giáo khoa chưa được sắp xếp một cách chủ
định để khai thác các tiềm năng giải toán bằng phép biến hình cụ thể, các bài tập chưa

được thiết kế theo dự tính sư phạm từ dễ đến khó, số lượng bài tập cịn ít, khơng đủ
các dạng tốn, đặc biệt chưa có các bài tập thực tế. Điều này cũng gây khó khăn cho
việc dạy và học tốn phép biến hình trong trường phổ thơng. Vì những lý do nêu trên,
nên việc dạy học phép biến hình trong trường phổ thơng chủ yếu là dạy phép biến
hình trên cơ sở toạ độ, còn các ứng dụng của phép biến hình và bài tốn thực tế cịn
mang tính chiếu lệ, việc tích cực hố các hoạt động của học sinh trong các tiết học
này còn hạn chế. Để khắc phục tình trạng này, một trong các biện pháp có thể thực
hiện được trong điều kiện dạy học hiện nay là bài tập hoá ngay các tri thức lý thuyết
cần truyền thụ cho học sinh, tập hợp các bài toán liên quan đến các bài tập đó, tạo
thành chuỗi các bài toán, cho phép thu hút được các đối tượng học sinh khác nhau
tham gia vào quá trình lĩnh hội tri thức dễ dàng hơn. Có thể nói chuỗi bài tốn là các
tập hợp các bài tốn có liên quan với nhau về cấu trúc hoặc về tri thức phương pháp
phù hợp với mục đích dạy học xác định.
Vì vậy, việc xây dựng và sử dụng chuỗi các bài toán trong q trình dạy học có
thể góp phần tích cực hoạt động học tập của học sinh.


THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ
TÀI.
A. THUẬN LỢI VÀ KHĨ KHĂN
a. Thuận lợi
* Về phía chương trình:
Phạm vi áp dụng tương đối lớn, gồm tồn bộ chương I về phép biến hình và
phép dời hình. Số tiết trong chương trình tương đối nhiều.
Đề tài này cũng có thể áp dụng cho việc luyện thi đại học, bồi dưỡng học sinh
giỏi tìm tịi và phát hiện các bài toán mới và các bài toán thực tiễn ứng dụng trong
đời sống.
* Về phía giáo viên:
Đã có sự chuẩn bị chu đáo để triển khai đề tài một cách hiệu quả thơng qua các
ví dụ và các bài tập trong sách giáo khoa, các các bài toán thực tiễn và các bài tập

trong sách tham khảo.
* Về phía học sinh:
Hầu hết các em đang tìm tịi, định hướng cách giải các bài tốn về phép biến
hình và đặc biệt các em rất hứng thú khi giải quyết các bài tốn thực tiễn. Đồng
thời, các em tích cực nghiên cứu để giải các bài toán trong đề thi học sinh giỏi, các
đề thi đại học và cao đẳng. Vì vậy học sinh rất hứng thú, chủ động tích cực khi
giáo viên triển khai chủ đề này.
b. Khó khăn
* Về chương trình:
Đây là một mảng kiến thức rất khó, kiến thức hàn lâm, địi hỏi học sinh phải có
tư duy tốt mới cảm thụ được một cách bài bản. Tuy nhiên, bài tập trong sách giáo
khoa phần này ít, bài tập chưa đa dạng, thiếu các bài toán ứng dụng thực tiễn là
một ứng dụng thú vị ở chương này.
* Về phía giáo viên:
Tất cả các giáo viên của trường đều rất quan tâm đến phần phép biến hình và
đầu tư cơng sức vào phần này rất có trách nhiệm và nhiệt tình. Tuy nhiên, các
dạng tốn nâng cao chủ yếu nằm trong chương trình nâng cao và trong đề thi đại
học và học sinh giỏi, ít gặp trong các bài tập sách giáo khoa nên không thực sự đi
sâu.


* Về phía học sinh :
Mặt bằng kiến thức khơng đồng đều, các bài tốn về phép biến hình địi hỏi
học sinh phải có tư duy tốt mới phân tích được, từ đó mới áp dụng để giải tốn
được.
B. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong dạy học hình học chương I lớp 11,
các ứng dụng toán thực tiễn.
C. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi khối 11, cụ thể, lớp 11A1,

11A2 trường THPT Đoàn Kết.
Đối chứng 11A2, thử nghiệm 11A1.
D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tơi đã
sử dụng nhóm các phương pháp sau:
Nghiên cứu các tài liệu :sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo.
Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp để có nhiều phương pháp giải hay.
Trao đổi với các em học sinh về cách giải các bài toán về phép biến hình, các bài
tốn thực tế, từ đó cung cấp cho các em một hướng giải tốt hơn.
Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi đã tiến hành thực nghiệm lớp 11A1, 11A2
của trường.

II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Khi nói đến vai trị, vị trí của việc giải bài tập và xây dựng hệ thống bài tập nhà
sư phạm, nhà giáo dục GPOLYA đã nói “ Việc dạy giải tốn phải là một bộ phận của
nhiều quá trình, của mọi hoạt động tốn học có ích trong trường phổ thơng “. Nắm
vững mơn tốn, đó là “Biết giải tốn khơng chỉ các bài tập thơng thường mà cả những
bài tốn địi hỏi tư duy độc lập cao, có óc phán đốn và sự cảm nhận nhanh nhẹn, tính
độc đáo và sáng tạo”. Vì vậy, nhiệm vụ hàng đầu và chủ yếu nhất của giáo trình trung
học phổ thơng là các bài toán và chuỗi các phương pháp giải quyết bài toán”.


A.A.XTOTIAR trong “ Giáo dục mơn học tốn “ cho rằng “Dạy học qua bài
tập toán là vấn đề đã biết từ lâu và được thảo luận rộng rãi trong các tài liệu giáo dục
toán học. Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa có cách giải quyết thoả đáng. Cách giải
quyết thích hợp địi hỏi phải soạn thảo hệ thống bài tập tương ứng với chương trình
và thích hợp với hoạt động tốn học ...”.
Ngồi ra đây cũng là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình THPT

nên có rất nhiều bài báo chun mơn cũng như sách tham khảo đề cập tới.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

21. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TỐN NÂNG DẦN MỨC ĐỘ KHĨ
KHĂN, TẠO NIỀM TIN HỨNG THÚ CHO HỌC SINH TRONG QUÁ
TRÌNH GIẢI TỐN.
Việc nâng dần mức độ khó khăn của bài tốn trong q trình dạy học tạo cho học
sinh (Kể cả học sinh yếu) một niềm tin, hứng thú trong học tập. Ta xét ví dụ sau đây
khi xét ứng dụng của phép vị tự để tìm tập hợp điểm.
Ở sách giáo khoa hình học 11, sau khi học xong bài phép vị tự có một bài tập như
sau:
Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định còn điểm A chạy trên một
đường tròn (O). Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC.

u
u
IG 1 ur 1 ur
= ⇒ IG = IA
Đây là bài toán đơn giản, chỉ cần hướng dẫn các em tỷ số
IA 3
3


1/3
Do B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định suy ra VI ( A) = G
Vì A thuộc đường tròn (O) nên G thuộc đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị
tự tâm I tỷ số 1/3.

Nhận xét 1: Sử dụng bài toán 1 đã nêu với tư cách là tri thức phương pháp ta có
thể giải được các bài tốn sau đây bằng phương pháp tương tự: Gắn điểm cần tìm

tập hợp điểm với một điểm nào đó đã biết tập hợp của nó qua một phép vị tự.
Nhận xét 2: Ở bài toán 1 hai điểm B, C cố định, điểm A di động. Bây giờ cho hai
điểm B, C di động, điểm A cố định ta có bài tốn sau:
Bài tốn 2: Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên (O). B, C là hai điểm di động
trên đường thẳng d. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải bài này tương tự bài 1 nhưng khó hơn một chút ở chổ tập hợp tạo ảnh I của
G ẩn sau hai điểm di động B, C.
Hướng dẫn:

VI2/3 ( I ) = G mà I ∈ d ⇒ tập hợp điểm G cần tìm là đường thẳng d’ là ảnh của đường
2/3
thẳng d qua VI ( I ) .
Vẫn với giả thiết như bài 2 nhưng B, C di động trên đường tròn (O) sao cho dây cung
BC có độ dài khơng đổi, ta có bài tốn sau:

Bài toán 3: Cho điểm A cố định trên đường tròn tâm (O;R), B, C là hai điểm di động
trên (O;R) sao cho BC có độ dài khơng đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác
ABC.
Hướng dẫn:
Lời giải bài này tương tự bài 2 nhưng bài toán 3 khó hơn ở chổ cần tìm tập hợp tạo
ảnh I của G. Để tìm tập hợp điểm I học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức như:
Đường kính đi qua trung điểm của dây cung, định lý PYTAGO cùng với giả thiết của
bài tốn, suy ra OI có độ dài không đổi để kết luận tập hợp điểm I.


Bài tốn 4: Cho điểm P cố định nằm ngồi đường tròn tâm (O;R), từ P kẻ tiếp tuyến
PA và cát tuyến PBC tới (O). Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi cát
tuyến PBC thay đổi.
Hướng dẫn:

ur 2 u u
u
ur
2/3
Gọi I là trung điểm của BC. Ta có: AI = AG ⇒ VI ( I ) = G
3
Ta cần tìm tập hợp điểm I, vì I nhìn đoạn PO khơng đổi dưới một góc vng nên I
thuộc đường trịn (O’) đường kính PO nên G thuộc đường tròn (O’’) là ảnh của của
(O’) qua phép vị tự tâm A tỷ số 2/3.
Một khó khăn mới nảy sinh của bài toán này mà các bài toán trước khơng có là
giới hạn của quỹ tích. Nếu học sinh cứ suy nghĩ rập khn theo các bài tốn trước thì
kết luận của bài tốn sẽ sai ngay. Để hạn chế quỹ tích học sinh phải để ý đến trung
điểm I của BC chỉ nằm trong (O) nên I thuộc cung A’OA (A’ là giao điểm thứ hai
của (O) và (O’), suy ra G thuộc cung AA0 là ảnh của cung A’OA qua phép vị tự tâm
A tỷ số 2/3.
Qua bài tốn này giúp cho học sinh thấy rằng khơng thể cứ máy móc áp dụng các bài
tốn như nhau mà phải có sự nhạy cảm tinh tế đối với mỗi bài tốn. Từ đó, các em sẽ
thấy được sự đa dạng phong phú của các bài toán, thấy được vẻ đẹp tốn học để các
em thêm u thích nó hơn.
Bài tốn 5: Cho đường trịn (O), dây cung AB cố định và M là một điểm di động trên
đường trịn P là điểm sao cho AMPB là hình bình hành. Tìm tập hợp trọng tâm G của
tam giác BMP khi điểm M thay đổi.
Hướng dẫn:


uu uu
ur ur
r
MP = AB ⇒ Tuuu (M ) = P, M ∈ (O ) ⇒ P ∈ (O ') là ảnh của (O) qua phép
A, B cố định

AB
tịnh tiến theo vecto AB.
uu 2 uu
ur
ur
2/3
Mặt khác AG = AP ⇒ VI ( P ) = G ⇒ G ∈ (O '') là ảnh của (O’) qua phép vị tự tâm
3
A tỷ số 2/3.
Bài toán 6: Cho điểm P cố định nằm ngồi đường trịn tâm (O;R), M là một điểm di
động trên (O). H là hình chiếu của O lên PM.
a) Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác PMO.
b) Tìm tập hợp trung điểm I của PH.
c) Tìm tập hợp trọng tâm G’ của tam giác PHO.
Hướng dẫn:
1/3
a) OP cố định suy ra trung điểm J của OP cố định nên VJ ( M ) = G mà
M ∈ (O) ⇒ G ∈ (O ') là ảnh của (O) qua VJ1/3
b) H ln nhìn đoạn PO dưới một góc vng nên H thuộc đường trịn (O 1) đường
kính PO. Vì H nằm trong (O) nên phải giới hạn quỹ tích H. Qua P kẻ hai tiếp tuyến
PA, PB với (O) suy ra H thuộc cung AOB
1/
VP 2 ( H ) = I suy ra tập hợp trung điểm I của PH là ảnh của cung AOB qua phép vị tự
tâm P tỷ số ½.
1/3
c) VJ ( H ) = G ' nên tập hợp trọng tâm G’ của tam giác PHO là ảnh của cung AOB
qua phép vị tự tâm J tỷ số 1/3


Nhận xét: Các bài tốn trên đã có tỷ số k (Dễ thấy do tính chất của trọng tâm tam

giác hay trung điểm). Bây giờ ta nâng dần mức độ khó khăn bằng cách chưa cho
tỷ số k.
Bài tốn 7: Cho điểm M di động trên đường tròn (O) và một điểm I cố định nằm
ngồi (O). Tìm quỹ tích giao điểm của IM với các đường phân giác trong và ngồi
của góc IOM.
Hướng dẫn:

Đặt OI=d; OM=R
E, F là chân các đường phân giác trong và ngồi của góc MOI ta có:
ur
u
ur
EI
d
EI
d
EI
d
d uu
= ⇔
=
⇔
=
⇒ IE =
IM
EM R
EI + EM d + R
EM R + d
d +R
ur

u
uu
ur
d
IM
Tương tự ta có: IF =
d −R


Đặt

k1 =

d
d
; k2 =
⇒ VIk1 (M ) = E ;VIk2 ( M ) = F ; suy ra tập hợp điểm E, F.
d+R
d−R

Ta có thể nâng dần mức độ khó của bài toán bằng cách tăng dần các điểm trung gian.
Chẳng hạn, tìm tập hợp điểm M mà M là ảnh của M1, M1 là ảnh của M2 . . .
Bài tốn 8: Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, từ một điểm M di
động trên (O) ta vẽ các đường thẳng MA, MB cắt (O’) tại C, D. Tìm tập hợp trực tâm
H của tam giác ADC.
Hướng dẫn:

Đây là một bài tốn khó phải huy động nhiều kiến thức liên quan như:
Đường thẳng ƠLE, mối liên hệ giữa các diểm trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn
ngoại tiếp tam giác. Muốn tìm tập hợp điểm H ta phải tìm tập hợp trọng tâm G, muốn

tìm tập hợp điểm G ta cần tìm tập hợp điểm I của CD.
·
Tìm tập hợp điểm I: Ta có DAC = ·
AMD + ·
ADM = hằng số ⇒ DC = 2l (Không đổi)
2
2
⇒ O ' I = l 2 − R 2 không đổi nên I thuộc đường tròn C (O ', R1 = l − R )
Tập hợp điểm G: VA2/3 ( I ) = G ⇒ G thuộc đường tròn (C1) là ảnh của (C) qua phép vị tự
tâm A tỷ u ur2/3. u u
số
u u u u ur
Lại có: O ' H = 3O ' G ⇒ VO3' (G ) = H , suy ra tập hợp điểm H thuộc đường tròn (C 2) là ảnh
của (C1) qua phép vị tự tâm O’ tỷ số 3.
Với bài toán này nếu yêu cầu học sinh xác định tâm và bán kính của đường
trịn (C2) thì mức độ khó khăn lại được nâng lên một bước, địi hỏi học sinh phải nắm
vững tích các phép biến hình ở mức độ nâng cao.
•

VA2/3 ( I ) = G

•

3
VO ' (G ) = H

Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự VJ2 , với J được xác định như sau:
u ur
uu
ur

u u u ur u
ur
uu r
2 uu r
(1 − 3)O ' J + 3(1 − ) AJ = 0 ⇔ AJ − 2O ' J = O suy ra O’ là trung điểm của AJ.
3


k

k
k
(Tích 2 phép vị tự VO11 và VO22 là phép vị tự VO được xác định bởi k = k 1+k2. Tâm O

uu
uu
r
u uu
uu
r
thoả mãn điều kiện (1 − k1 )O1O = (1 − k 2 )O1O2 ).

Nhận xét: Nói tóm lại việc xây dựng chuỗi bài tốn nâng dần mức độ khó khăn
của nó trong q trình dạy học không những tạo cho học sinh sự hứng thú trong
học tập mà còn giúp các em dễ dàng hơn trong việc tiếp thu tri thức mới.

22. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TỐN CĨ NHIỀU CÁCH GIẢI.
Trong q trình dạy học tốn, người giáo viên cần u cầu học sinh tìm tịi,
sáng tạo nhiều cách giải (trong các điều kiện có thể được). Cách giải hay sẽ giúp học
sinh có tư duy mềm dẻo, linh hoạt, tạo cho học sinh thấy được các hứng thú trong

tốn học. Qua việc tìm nhiều lời giải, học sinh càng được củng cố kiến thức, càng tạo
niềm tin và lịng say mê giải tốn cho các em. Tìm được nhiều lời giải là luyện tập
cho học sinh biết cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau. Điều đó rất bổ
ích cho việc phát triển tư duy.
Ta xét ví dụ sau:
Bài tốn: Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên
(O). Tìm tập hợp trực tâm H của của tam giác MAB.
Hướng dẫn:

Cách 1: Phương pháp tổng hợp:
Xét tam giác MAB trong trường hợp A nhọn

·
giác
nội
tiếp)
suy
ra
B1 HA1 + ·
AMB = 1800 (Tứ
·
AHB = 1800 − ·
AMB = α = const , suy ra H thuộc cung chứa góc α của đoạn

Ta

có

AB.
Tương tự cho trường hợp góc A tù

Cách 2: Dùng phép tịnh tiến:


Gọi

u ur A’ur làr điểm đối xứng với A qua O khi đó
uu u u
u
r
MH = A ' B = v = const ⇒ Tuuu (M ) = H , vì M ∈ (o) ⇒ H thuộc (O’) là ảnh
AB

của (O) qua phép tịnh tiến theo vecto AB.
Cách 3: Sử dụng tính chất tích của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến.
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua O, khi đó AHBM’ là hình bình hành suy ra M’H
DO
DI
M  M '  H .
→
→
cắt AB tại trung điểm I của AB, ta có O, I cố định nên
DI .DO : M → H

Vậy tập hợp H là ảnh của (O) qua tích hai phép đối xứng tâm O và I.
Cách 4: Tích của hai phép vị tự khác tâm:

uu
ur

uu

ur

Gọi G là trọng tâm của tam giác AMB suy ra O, H, G thẳng hàng và OH = 3OG ,
theo
tính
chất
trọng
tâm
ta
lại
có:

ur 1 u u
u
ur
3
VO
VI1/3
3
IG = IM ⇒ M → G  H ⇒ VO .VI1/3 : M → H
→
3

Vậy tập hợp điểm h là ảnh của (O) qua tích hai phép vị tự nói trên.
Cách 5: Sử dụng phép đối xứng trục.
Qua O vẽ d//AB. Gọi M’’ là điểm đối xứng với M qua d, ta có H là điểm đối xứng
với M” qua AB suy ra H là ảnh của M qua tích hai phép đối xứng trục AB//d từ đó
suy ra toạ độ điểm H.

23. XÂY DỰNG CÁC HỆ THỐNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

THỰC TẾ.


Toán học bắt nguyền từ thực tiễn và được xây dựng để phục vụ thực tiễn. Vì vậy, khi
dạy học các nội dung tốn học ở các trường phổ thơng cần xây dựng được hệ thống
các bài toán liên quan đến thực tiễn, từ đó tạo hứng thú cho học sinh, tránh tình trạng
học sinh cho rằng tốn học là khái niệm trừu tượng xa rời thực tế, làm giảm nổ lực
học tập của các em. Sau đây, tôi xin đưa ra một số bài tốn thực tiễn địi hỏi phải áp
dụng trực tiếp toán học để giải quyết.
Bài toán: Ở sách giáo khoa 11 trong bài phép đối xứng trục có ví dụ sau: Cho đường
thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía so với d. Tìm trên d một điểm M sao cho
tổng AM+BM có giá trị nhỏ nhất.
Giải:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, khi đó với mọi điểm M trên d ta có:
AM+MB=A’M+MB
Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A’M + MB nhỏ nhất, mà A’M + MB nhỏ nhất khi và chỉ
khi A’, M, B thẳng hàng khi đó M là giao điểm của A’B và d.
Nhận xét: Việc giải bài toán này đơn giản, tuy nhiên sau khi giải xong bài này ta
có thể sử dụng bài tốn này như là một tri thức phương pháp để giải các bài toán
liên quan đến thực tiễn sau đây:
Bài toán 1: Có hai kho hàng ở cùng phía đối với đường ray xe lửa (đoạn đường ray
này là đường thẳng). Phải xây dựng một nhà ga ở vị trí nào để tổng đường đi từ hai
kho hàng đến nhà ga là ngắn nhất.
Hướng dẫn:
+ Chuyển bài toán thực tế này về bài tốn thuần t tốn học (Chính là bài toán ở
trên).
+ Giải bài toán thuần tuý toán học.
+ Trả lời bài toán thực tiễn từ kết quả thu được ở trên.
Bài tốn 2: Có hai kho hàng ở hai vị trí A,B ở cùng phía đối với đường ray xe lửa

(đoạn đường ray này là đường thẳng). Phải xây dựng hai nhà ga C, D cách nhau
20km ở vị trí nào để tổng đường đi AC + CD + DB là nhỏ nhất.
Hướng dẫn:


Tìm cách chuyển bài tốn này về bài tốn ban đầu bằng phép đối xứng trục như sau:
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d, C là điểm bất kỳ trên d, D là điểm thuộc d sao
cho CD = 20.
Dựng hình bình hành CDBE khi đó AC + CD + DB = A’C +CE + CD nhỏ nhất khi
và chỉ khi A’C + CE nhỏ nhất, khi đó C là giao điểm của A’E và d suy ra điểm D. Từ
đó xác định được vị trí xây nhà ga.
Bài tốn 3: Có hai thị trấn A, B nằm về hai phía của một con sơng (hai bờ x, y biểu
thị bằng hai đường thẳng song song). Hỏi phải xây dựng cầu CD vng góc với hai
bờ sơng ở vị trí nào để đường đi từ A đến B qua cầu là ngắn nhất.
Hướng dẫn:
CD không đổi nên AC + CD + DB nhỏ nhất khi và chỉ khi AC + DB nhỏ nhất.
Dựng hình bình hành ACDA’ khi đó AC + DB = A’D + DB nhỏ nhất khi và chỉ khi
A’, D, B thẳng hàng, từ đó ta có kết quả cho bài tốn thực tiễn.

Bài tốn 4: Có ba thành phố A, B, C ở 3 vị trí tạo thành một tam giác. Trên đường đi
từ A đến B có một kho hàng, Trên đường đi từ A đến C có một kho hàng. Tìm trên
đường đi từ B tới C một vị trí để đặt một trung tâm phân phối hàng sao cho tổng
đường đi từ trung tâm tới hai kho hàng là ngắn nhất.
Hướng dẫn:


Gọi vị trí hai kho hàng là M, N. Xác định M 1 đối xứng với M qua BC, khi đó PM +
PN = PM1 + PN nhỏ nhất khi và chỉ khi M1, P, N thẳng hàng, từ đó suy ra vị trí đặt
trung tâm phân phối hàng tại P.
Bài tốn 5: Có ba thành phố A, B, C ở 3 vị trí tạo thành một tam giác có góc A nhọn.

Trên đường đi từ B đến C có một kho hàng đặt tại P. Hỏi phải xây dựng trung tâm
phân phối hàng tại M trên đường AB, N trên đường AC sao cho tổng chi phí vận
chuyển nhỏ nhất.
Hướng dẫn:

Tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất khi: PM + PN + NP nhỏ nhất.
Dựng P1 đối xứng với P qua AB
P2 đối xứng P qua AC.
Khi đó: PM + PN + NP = P 1M + MN + P2N nhỏ nhất khi và chỉ khi P1, M, N, P2
thẳng hàng. Từ đó suy ra vị trí các trung tâm phân phối hàng.
Bài tốn 6: Có ba thành phố A, B, C ở 3 vị trí tạo thành một tam giác nhọn. Tìm trên
đường đi từ A đến B vị trí xây dựng trung tâm phân phối hàng tại M trên đường từ A
đến C vị trí đặt trung tâm phân phối hàng N và trên đường BC vị trí đặt trung tâm
phân phối hàng P sao cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
Hướng dẫn:


Trên BC lấy điểm P bất kỳ, dựng P1 đối xứng với P qua AB, P2 đối xứng P qua AC.
Khi đó: PM + PN + NP nhỏ nhất khi và chỉ khi M, N thuộc đường thẳng P1P2
Và PM + PN + NP = P1P2.
Bây giờ ta phải tìm vị trí điểm P trên BC để P1P2 nhỏ nhất.

·
·
Vì tam giác A P1P2 cân tại A có P AP2 = 2 BAC = const suy ra P1P2 nhỏ nhất khi
1
AP = AP2 = AP ⇔ AP ⊥ BC
1
Lập luận tương tự ta có: AB ⊥ BN ; AB ⊥ CM

.

Vậy đường gấp khúc M, N, P nhỏ nhất khi và chỉ khi M, N, P là các chân đường cao
của tam giác ABC. Từ đó suy ra kết luận về bài toán thực tế.
24 . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1)

Cho hình bình hành ABCD có AB cố định , đường chéo AC có độ dài bằng m
khơng đổi. Khi C thay đổi , tìm quỹ tích điểm D.

2)

Cho đường trịn tâm O và hai điểm A,B. Một điểm M thay đổi trên đường trịn
(O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho : MM ' + MA = MB

3)

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Cho biết A và B cố định,
AD=a, DC=b (a,b là hằng số dương). Tìm quỹ tích điểm D và C.

4) Trong tam giác ABC có hai đỉnh B,C cố định cịn A chạy trên đường trịn (O;R)

cố định khơng có điểm chung với đường BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác
ABC.
5) Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, điểm A lưu động trên một đường thẳng d
sao cho BC khơng cắt đường thẳng d. Tìm tập hợp
a) Trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Trung điểm I của BC.
6) Cho đường trịn (O;R) đường kính AB cố định , MN là đường kính lưu động. C là

trung điểm của bán kính OA. Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm của NC và BN.
7) Cho đường trịn (O;R) và điểm P cố định nằm ngồi đường trịn(O;R). Một dây
cung BC thay đổi của (O) nhưng có độ dài khơng đổi bằng R 3 . Tìm quỹ tích trọng
tâm của tam giác PBC.


III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
19Sau khi triển khai đề tài, hầu hết học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này,
kết quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải tốn, các em có nhiều tiến bộ, đa
số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào giải bài tập, thậm chí những bài rất phức tạp.
Đồng thời, các em cũng tự tìm tịi ra nhiều cách giải hơn cho các bài toán được cho.
Đặc biệt, các em đã biết giải quyết một cách hiệu quả các bài toán thực tiễn. Sau khi
thử nghiệm và đối chứng, tôi thu được kết quả sau:
Đối chứng:
Lớp

TSHS

11A2

46

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

33

71.7

11

28.3

Thử nghiệm:
Lớp

TSHS

11A1

41

Đạt yêu cầu

Khơng đạt u cầu

TS

%

TS

%

39

95,1

2

4,9

IV. KẾT LUẬN:
Nói về ứng dụng của phép biến hình khơng chỉ có các ứng dụng tơi đã trình
bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vơ cùng rộng lớn. Tuy nhiên, với khn
khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một số ứng dụng trên.
Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học
sinh khá giỏi của trường THPT Đoàn Kết, trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi
TN và luyện thi đại học cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng học sinh
tiếp thu tương đối chủ động, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải
các dạng bài tập ở trên.
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tơi, mong đóng góp cùng đồng
nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của phép biến hình trong
chương trình tốn học phổ thơng làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như
nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này.
Trong quá trình trình bày đề tài này chắc sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót.
Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp để các đề tài sau của tôi được
tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.


V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Sách giáo khoa hình học 11
Sách bài tập hình học 11.
Sách giáo viên.
Báo tốn học và tuổi trẻ.
“Các phép biến hình trong hình học phẳng” của tác giả Lê Xuân Sơn.
“Ứng dụng của phép biến hình vào giải đề thi học sinh giỏi” của tác giả Trần Nam
Dũng.
7. “ Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi” của tác giả Nguyễn Văn Mậu.
NGƯỜI THỰC HIỆN

TẦN THẾ ANH

SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: THPT Đồn Kết

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - tự do - hạnh phúc


Tân Phú, ngày 18 tháng 05 năm 2014
PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013 - 2014
Tên đề tài: “TÍCH CỰC HỐ HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRÊN CƠ SỞ

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CHUỖI CÁC BÀI TOÁN”
Người viết: Tần Thế Anh ; Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT Đồn Kết.
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục
Phương Pháp dạy học bộ mơn 
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
1.Tính mới
- Có giải pháp hồn tồn mới
- Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có
2.Hiệu quả
- Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao:
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp
dụng trong tồn nghành có hiệu quả cao
-Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
-Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụng
tại đơn vị có hiệu quả cao
3.Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:
Tốt
Khá
Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến khích có khả năng ứng dụng thực tiễn,dễ thực
hiện và dễ đi vào cuộc sống:
Tốt
Khá
Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
hiệu quả trong phạm vi rộng:

Tốt
Khá
Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
Đinh Quang Minh

HIỆUTRƯỞNG
Nguyễn Văn Hiển