chuyên đề hình học lớp 10

Tổ Toán
&
CHUYÊN ĐỀ

 Thầy giáo hướng dẫn: .
 Nhóm thực hiện:

A/ NỘI DUNG CẦN NẮM:
I. ĐƯỜNG THẲNG:
II. ĐƯỜNG TRÒN:
III. PARABOL:
IV. ELIP:
V. BA ĐƯỜNG CONIC:
VI. HYPEPOL:
B/ LÝ THUYẾT:
I/
Phương trình đường thẳng.
Các bước lập phương trình
Lý thuyết:
* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
0 0 0
( ; )M x y
và có VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
là
0 1
0 2

x x u t
y y u t
= +


= +

* Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm
0 0 0
( ; )M x y
và có VTPT
( ; )n a b=
r
là
0 0
( ) ( ) 0a x x b y y
− + − =
biến đổi về dạng
0ax by c+ + =
với
0 0
c ax by= − −
* Đường thẳng
: 0ax by c
∆ + + =
có VTPT
( ; )n a b=
r
,và VTCP
( ; )u b a= −

r
hoặc
( ; )v b a= −
r
Áp dụng:
1.Đường thẳng đi qua hai điểm
A
và
B
:
a.PT tham số:
VTCP
( ; )
A B A B
AB x x y y= − −
uuur
.PTTS :
( )
( )
A A B
A A B
x x x x t
y y y y t
= + −


= + −

b.PT tổng quát:
VTCP

( ; )
A B A B
AB x x y y= − −
uuur
Suy ra VTPT
( ; )n a b
r
PTTQ có dạng
( ) ( ) 0
A A
a x x b y y
− + − =
Chú ý:Hai đường thẳng song song :
VTCP của đường thẳng là VTCP của đường kia.
VTPT của đường thẳng là VTPT của đường kia.
Hai đường thẳng vuông góc :
VTCP của đường thẳng là VTPT của đường kia.
VTPT của đường thẳng là VTCP của đường kia.
2.Đường thẳng d đi qua một điểm
0 0
( ; )M x y
và vuông góc với
BC
a.PTTQ :
+ d vuông góc với
BC
nên nhận VTCP của
BC
làm VTPT
n BC=

r uuur
+ Viết PTTQ.
b.PTTS:
+ d vuông góc với
BC
nên nhận VTCP của
BC
làm VTPT
n BC=
r uuur
.Suy ra VTCP của d.
+ Viết PTTS.
3.Đường thẳng d đi qua một điểm
M
và vuông góc với
0 1
0 2
:
x x tu
y y tu
= +

∆

= +

Đường thẳng
∆
có VTCP
1 2

( ; )u u u=
r
a.PTTQ của d:
+Đthẳng d nhận VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
của
∆
làm VTPT
+ Viết pt TQ.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
của
∆
làm VTPT ,suy ra VTCP của d là
2 1
( ; )u u u= −
r
+ Viết PTTS.
4.Đường thẳng d đi qua một điểm
M
và song song với
0 1
0 2
:
x x tu

y y tu
= +

∆

= +

Đường thẳng
∆
có VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
a.PTTQ của d:
+Đthẳng d nhận VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
của
∆
làm VTCP,suy ra VTPT của d.
+Viết pt TQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTCP
1 2
( ; )u u u=
r
của
∆
làm VTCP .

+ Viết PTTS.
5.Đường thẳng d đi qua một điểm
M
và vuông góc với
: 0ax by c∆ + + =
Đường thẳng
∆
có VTPT
( ; )n a b=
r
a.PTTQ của d:
Cách 1:
+Đthẳng d nhận VTPT
( ; )n a b=
r
của
∆
làm VTCP,suy ra VTPT của d.
+ Viết pt TQ của d đi qua
M
và có VTPT
( ; )n a b=
r
Cách 2:
+Do d vuông góc với
: 0ax by c∆ + + =
nên d có phương trình
1
0bx ay c− + + =
(*)

+Thay toạ độ điểm
M
vào pt(*) tìm
1
c
+ Kết luận PTTQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTPT
( ; )n a b=
r
của
∆
làm VCPT
( ; )u b a= −
r
+ Viết PTTS của d
6.Đường thẳng d đi qua một điểm
M
và song song với
: 0ax by c∆ + + =
*Đường thẳng
∆
có VTPT
( ; )n a b=
r
a.PTTQ của d:
Cách 1:
+Đthẳng d nhận VTPT của
∆
làmVTPT

( ; )n a b=
r
+Viết pt TQ của d
Cách 2:
Do d song song với
: 0ax by c∆ + + =
nên d có phương trình
2
0ax by c+ + =
(*)
+Thay toạ độ điểm
M
vào pt(*) tìm
2
c
+ Kết luận PTTQ của d.
b.PTTS:
+Đthẳng d nhận VTPT
( ; )n a b=
r
của
∆
làm VTPT ,suy ra VTCP.
+Viết PTTS của d.
*Cách lập pt đường tròn thoả điều kiện cho trước đơn giản thường gặp
Dạng 1: Đường tròn có tâm
( ; )I a b
và bán kính
R
,thế vào pt (1)

Dạng 2:Đường tròn nhận đoạn thẳng
,( ), AB BC
làm đường kính.
PP: + Tìm tâm
I
của đường tròn đường kính
,( ), AB BC
là trung điểm của
, , AB BC
+ Tính bán kính của đường tròn
,( )
2 2
AB BC
R IA IB R IC IB= = = = = =
+ Thay vào pt đường tròn (1)
Dạng 3:Đường tròn có tâm
( ; )I a b
và đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
PP: + Bán kính đ tròn
2 2
( ) ( )
M I M I
R IM x x y y
= = − + −

+ Viết pt đtròn.
Dạng 4:Đường tròn có tâm
( ; )I a b

và tiếp xúc với đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
PP: + Bán kính đ tròn
2 2
. .
( , )
A a B b C
R d I
A B
+ +
= ∆ =
+
+ Viết pt đ tròn.
Dạng 5: Đường tròn đi qua ba điểm
, ,A B C
PP: + Giả sử pt đường tròn có dạng
2 2
2 2 0x y ax by c
+ − − + =
(*)
+ Thay lần lượt toạ độ của ba điểm
, ,A B C
vào pt(*) được hệ ba pt ẩn
, ,a b c
+Giải hệ pt ba ẩn ở trên tìm
, ,a b c
+Thay kết quả
, ,a b c
tìm được vào pt đường tròn (*),kết luận.
III/BÀI TẬP TỔNG HỢP CÓ HƯỚNG DẪN:

Câu 1: (5.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, Cho hai điểm A(1; 2); B(3;-1) và đường thẳng d: 3x + 4y -1 = 0.
a) Tìm tọa độ vectơ
AB
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua hai điểm A, B.
c) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d.
d) Tính góc giữa 2 đường thẳng d
1
: x - 2y + 5 = 0 và d
2
: 3x – y + 6 = 0
Câu 2: (4.0 điểm)Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4); B(1;1); C(3;1).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có hệ số góc k = 3
b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường cao BH của tam giác.
Câu 3: (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
∆
:
1 2
,
x t
t R
y t

= +
∈

=


.
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng
∆
sao cho độ dài đoạn OM ngắn nhất, với O là gốc tọa độ./.
ĐÁP ÁN:
a)a)
)3;2( −AB
b)Vì đường thẳng
∆
qua A, B nên
∆
nhận vectơ
)3;2( −AB
làm vtcp
Vậy ptts của đt
∆
qua A :



−=
+=
ty
tx
32
21

c)Trung điểm M(2;1/2)
Suy ra:
5

7
);( =dMd

d)
Đường thẳng d
1
có véc tơ pháp tuyến là
)2;1(
1
−n
Đường thẳng d
2
có véc tơ pháp tuyến là
)1;3(
2
−n
Gọi
ϕ
là góc giữa d
1
và d
2
ta có
2
2
25
5
10.5
23
.

.
cos
21
21
==
+
==
nn
nn
ϕ

0
45=⇒
ϕ
a)Gọi
);( bau
là véc tơ chỉ phưong của đường thẳng cần tìm
Ta có: k=
a
b
=3 . Chọn a =1 và b = 3
⇒
vtcp
)3;1(u
⇒
vtpt
)1;3( −n
Pt tông quát là: 3(x-2)-1(y-4) =0
3x – y – 2 = 0
b)Ta có:

(1; 3)AC = −
uuur
Vi BH vuông góc với AC nên đường cao BH nhận
AC
uuur
làm vtpt. Nên vtcp của BH là:
(3;1)u =
r
Pt tham số của đường cao BH:



+=
+=
ty
tx
1
31
Pttq: x-3y + 2 = 0
Ta có: O(0;0) và
(1 2 ; )M t t+ ∈∆
2 2 2
2
: (1 2 ) 5 4 1
2 1
5
5
5
Suy ra OM t t t t
t

= + + = + +
 
= + +
 ÷
 
Để OM ngắn nhất thì
2
5
t = −
.
Vậy
1 2
;
5 5
M
 
−
 ÷
 
1: :Tìm toạ độ tâm và bán kính của các đường tròn sau đây:
a)
2 2
( 3) ( 4) 2x x− + + =
b)
2 2
( 2) ( 4) 3x x+ + + =
c)
2 2
( 5) ( 7) 9x x+ + − =
d)

2 2
( 1) ( 6) 25x x− + − =

2 2
) 6 2 0e x y y+ − − =
2 2
) 6 5 0f x y x+ − − =
2 2
) 2 6 3 0g x y x y+ + − − =
2 2
) 4 8 3 0h x y x y− − + − − =
HD: Xác định đúng dạng ( x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
trong đó

I( a,b)
BT2: .Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho điểm và đường tròn (O)
:
1. Chứng minh rằng A là một điểm nằm ngoài đường tròn (O).
2. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn (O).
BT3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường thẳng
và hai điểm
1. Viết phương trình đường tròn đi qua và có tâm .
2. Viết phương trình đường tiếp tuyến tại A với đường tròn .
3. Viết phương trình các tiếp tuyến với , biết tiếp tuyến đi qua . Tìm tọa độ tiếp điểm .
BT4: Cho đường tròn . Viết phương trình các tiếp tuyến của đường

tròn có hệ số góc .
BT5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(- 2; 1) và đường thẳng d : 3x - 4y = 0
a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d.
b. Viết phương trình tập hợp các điểm mà qua các điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau.
BT6: Cho đường tròn
Và đường thẳng
a. Chứng minh rằng không cắt
b. Từ điểm M thuộc kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm). Chứng minh rằng
khi M thay đổi trên thì AB luôn đi qua một điểm cố định.7: Cho họ đường tròn có phương
trình:
Tìm tập hợp tâm của khi thay đổi.
BT7: Viết phương trình đường tròn đi qua A(1,0) và tiếp xúc với hai đường thẳng
BT8: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn và một điểm
.
Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt theo một dây cung có độ dài 8
BT9: Trong mặt phẳng với hệ Đề các trực chuẩn , cho đường tròn và
đường thẳng
a. Chứng minh rằng từ một điểm M bất kỳ trên ta luôn kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới
(C).
b. Giả sử hai tiếp tuyến từ M tới (C) có các tiếp điểm là A và B. Chứng minh rằng khi M chạy
trên đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
BT10: Cho đường tròn và đường thẳng
( là tham số).
a. Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt .
b. Tìm để độ dài đoạn luôn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
BT11: Cho họ đường tròn có phương trình:
Chứng minh rằng luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định
BT12: Trong mặt phẳng tọa độ cho có phương trình .Viết
phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm đến .

BT13: Cho hai đường tròn
có tâm lần lượt là và
1. Chứng minh tiếp xúc ngoài với và tìm tọa độ tiếp điểm .
2. Gọi là một tiếp tuyến chung không đi qua của và . Tìm tọa độ giao điểm của
và đường thẳng .
Viết phương trình đường trong đi qua và tiếp xúc với hai đường tròn và tại .
BT14: Trong mặt phẳng với hệ tạo độ vuông góc Oxy, xét họ đường tròn có phương trình
( là tham số).
Xác định tọa độ của tâm đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với trục Oy.
BT15 : Cho họ đường tròn có phương trình:
Tim để tiếp xúc với
BT16 : Cho họ đường tròn có phương trình:
Tìm để tiếp xúc với đường tròn
BT17 : Cho đường tròn có phương trình: .Viết phương trình tiếp tuyến
của đường tròn đi qua .
BT18 : Tìm các giá trị của a để hệ sau có đúng hai nghiệm
BT 19 : Cho đường tròn (T) có phương trình :
a. Xác định tâm và bán kính của (T).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d) có phương
trình 12x - 5y + 2 = 0.
BT 20 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : và đường thẳng (D) có
phương trình :
Tìm tọa độ điểm T trên (D) sao cho qua T kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai điểm A , B
và
BT 21 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn : và
điểm .
Gọi và là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến . Viết phương trình đường thẳng
.
BT 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : và
đường thẳng d: . Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán

kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)
BT23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0xy cho hai điểm A (2; 0) và B (6; 4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
BT24: Cho hai đường tròn :
1. Xác định các giao điểm của và .
2. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0; 1)
BT25 : Cho hai đường tròn :
1. Xác định các giao điểm của và .
2. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm đó và điểm A(0; 1)
BT 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn (C) :
và đường thẳng d : .
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao
điểm của (C) và (C') .
BT27: Cho đường tròn (C) : . Lập phương trình đường tròn (C') đối
xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d): .
BT28: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : .Viết phương trình
các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm F (0; 3)
BT29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn .
Tìm tất cả các tiếp tuyến của song song với đường thẳng .
BT30: Tìm độ dài dây cung xác định bởi đường thẳng 4x + 3y - 8 = 0 và đường tròn tâm I (2; 1) tiếp
xúc với đường thẳng 5x - 12y + 15 = 0.
BT 31: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
Viết phương trình đường tròn qua và tiếp xúc với đường thẳng tại giao điểm của
với trục tung
BT 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : và
điểm . Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C). Viết phương trình các tiếp tuyến
của đường tròn (C) kẻ từ điểm A.
BT33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy.
Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đường tròn
BT34 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm

. Xác định tọa độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
BT 35 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A (4; - 2) , B (- 2; 2) , C (- 4 ; - 1) .
Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC và phương trình tiếp tuyến với (C) tại B.
BT 36 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P) : và điểm . Viết
phương trình đường tròn có tâm và tiếp xúc với tiếp tuyến của tại
.
BT 37: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A (5; 0) , B (1; 4) và đường thẳng (d) có
phương trình : .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm nằm trên
đường thẳng (d).
BT 38: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm . Tìm tọa độ
tâm I của đường tròn qua ba điểm .
BT 39: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết các tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng
.
b. Tìm điều kiện của m để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .
BT 40 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn . Lập phương
trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết rằng tiếp tuyến đó qua
BT 41: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng , có phương trình:
.Viết phương trình đường tròn có tâm
nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với và .
BT42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho:

đường tròn và đường thẳng .
Tìm tọa độ điểm sao cho đường tròn tâm có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn ,
tiếp xúc ngoài với đường tròn .
BT 43 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho đường tròn (C): và
điểm . Gọi và là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).Viết phương
trình đường thẳng .
BT 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

BT 45: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn
và đường thẳng
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d).
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C').
BT 46: Trong mặt phẳng hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho họ đường tròn (Cm):
.Tìm quỹ tích tâm đường tròn (Cm)
BT 47 : Cho đường tròn và điểm .
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A,B sao cho M là trung điểm của
đoạn AB.
BT 48: Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường
tròn:
Chứng minh rằng học luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
BT 49: Trong mặt phẳng Oxy cho họ đường
tròn:
Tìm m để cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt và . Chứng minh
rằng khi đó đường thẳng có phương không đổi.
BT 50 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường cong có phương trình
.Tìm tất cả các giá trị để là
đường tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn khi thay đổi.
BT 51: Trong mặt phẳng, xét họ đường tròn có phương trình
( là tham số).Tìm quỹ tích tâm các đường
tròn của họ đó.
BT 52 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :
1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác có ba cạnh lần lượt nằm trên các đường thẳng và trục
tung .
2. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác nói trên.
BT 53: Lập phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt đường tròn :
thành một dây cung có độ dài bằng 8.
BT 54: Cho vòng tròn (C) : và điểm A (3; 5).
Hãy tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến vòng tròn. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với vòng

tròn tại M, N. Hãy tính độ dài MN.
BT 55: Cho họ vòng tròn :
1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ vòng tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố định .
2. Chứng minh rằng với mọi m, họ vòng tròn luôn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt
BT 56: Trong mặt phẳng cho đường tròn :
Tìm m để tồn tại duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA,PB tới (C) (A,B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều
BT 57: Trong mặt phẳng cho tam giác . Gọi H là chân
đường cao kẻ từ B, M và N là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua
các điểm H, M, N
BT 58: Viết phương trình đường tròn (C), biết rằng (C) đi qua hai điểm A (1; 1) ; B (3; 3) và tiếp xúc
đường thẳng .
BT 59: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy , hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB là : , phương trình đường thẳng BC
là và phương trình đường thẳng AC là
BT 60 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : và đường thẳng (D) có
phương trình :
Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (D) và tiếp xúc với đường tròn.
BT 61: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : và đường thẳng (D) có
phương trình :
Viết phương trình đường thẳng song song với (D) và cắt đường tròn tại hai điểm M, N sao cho độ dài
MN bằng 2.
BT 62: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba góc nhọn , biết A (5 ; 4) và B (2 ;
7). Gọi AE và BF là hai đường cao của tam giác đó. Hãy viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác ABEF.
BT 63: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : .
Hãy viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x + y =
0.
BT 64: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C) : và
đường thẳng (d) : 3x - 4y + 23 = 0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C), biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d).
BT 65: Cho ba điểm A(0 ; 1) ; B(2 ; 0) ; C(3 ; 2). Tập hợp các điểm M(x ; y) sao cho :
BT 66: Cho A(1; 1) và B(2 ; 3) , tập hợp các điểm M sao cho :
BT 67: Cho hai đường tròn (C) : và (C’) : ,
M là điểm di sao cho độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) gấp hai lần độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C’).
Tìm quỹ tích M.
BT 68: Với giá trị nào của m thì độ dài tiếp tuyến phát xuất từ A(5 ; 4) đến đường tròn (C) :
bằng 1?
BT 69: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(2;1) và 2 đường thẳng và
.Viết PT đường tròn tiếp xúc tại và có tâm thuộc .
BT 70: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1;0)và tiếp xúc với hai đường thẳng :x+y-
4=0 và : x+y+2=0
BT 71: Viết phương trình đường tròn có hoành độ tâm a=9 , bán kính R=2 và tiếp xúc với đường
thẳng (d): 2x+y-10=0
BT 72: Một đường tròn qua điểm (3;5) và cắt Oy tại điểm A(0;4) và điểm B(0;-2) . Viết phương trình
đường tròn đó , cho biết tâm và bán kính.
BT 73: Cho hai đường thẳng (d) và ( ) có phương trình lần lượt là : 2x-y+2=0 và 2x+y-4=0 . Viết
phương trình đường tròn (C) có bán kính R = nằm trong góc nhọn của hai đường thẳng (d) và ( )
và tiếp xúc với chúng.
BT 74 : Trong không gian Oxy cho 2 đường tròn :
.Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
BT 75: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :
Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại 2 điểm A;B sao cho
BT 76: Trong mặt phẳng Oxy , lập phương trình đuờng tròn qua A(1;2) ; B(3;1) và có tâm I thuộc
đường thẳng : 7x+3y+1=0.
BT 77: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho họ đường cong :
a) Chứng minh rằng là họ đường tròn và tồn tại 1 đường thẳng là trục đẳng phương của tất cả
các đường tròn
b) Chứng minh rằng các đường tròn của họ luôn tiếp xúc với nhau tại 1 điểm cố định. Tìm điểm
đó.

BT 78: Cho 2 đường tròn (0) và (0') tiếp xúc ngoài tại A. Dựng góc BAC vuông ,trong đó B thuộc (O)
và C thuộc (O').Tìm quĩ tích trung điểm I của BC.
BT 79: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :
Lập phương trình đường tròn đối xứng với (C) qua đường thẳng : x-2 = 0 .
BT 80: Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng : x-y-2=0 tại
điểm M (3;1) và tâm I thuộc đường thẳng : 2x-y-2=0 .
BT 81: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường tròn :
a) Chứng minh rằng ; và cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B.
b) Viết phương trình đường tròn qua A,B và tiếp xúc với đường thẳng ; x-2y+4=0
BT 82 : Cho đường tròn (O;R). 2 đường kính AB, MN. Tiếp tuyến tại A cắt BM tại H, cắt BN tại K.
P,Q lần lượt là trung điểm của AH và AK. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ di
chuyển trên một đường thẳng cố định với AB cố định
BT 83: Cho đường tròn (C) có phương trình: và điểm A(4;7).
a) Lập phương trình đường tròn (C') tiếp xúc với (C) biết (C') đi qua điểm A.
b) Trong trường hợp (C') tiếp xúc ngoài (C) hãy tìm trên (C) điểm M, trên (C') điểm N sao cho tam
giác IMN có diện tích lớn nhất (Với I là tâm của đường tròn (C)).
BT 84: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 4x - 4y - 1 = 0; điểm A (0;1) và đường thẳng (D): x - y = 0.
1. Viết phương trình tổng quát của các tiếp tuyến (d
1
);(d
2
) của đường tròn (C) di qua A.
2. Tính cosin các góc nhọn tạo bởi (D) lần lượt với (d
1
),(d
2

).
BT 85: Cho đường tròn (C): . Viết các phương trình tiếp tuyến tại
các điểm có toạ độ là những số nguyên thuộc đường tròn.
BT 86: Cho hai điểm và
1. Tìm quỹ tích các điểm sao cho
2. Tìm quỹ tích các điểm sao cho trong đó là một số cho trước
BT 87: Cho 2 họ đường tròn lần lượt có phương trình:
. Tìm trục đẳng phương của . Chứng
minh rằng khi m thay đổi , các trục đẳng phương đó luôn đi qua 1 điểm cố định
BT 88: Lập phương trình đường tròn đi qua và tâm đường tròn thuộc đường thẳng (d)
: x+y+2=0.
1. Phương pháp giải.
Cách 1:
- Đưa phương tŕnh đă cho về dạng: (C) : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (1)
- Xét dấu biểu thức P = a
2
+ b
2
– c
+ Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R =
2 2
a b c+ −
+ Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x-a)
2
+ (y-b)

2
= P (2).
+ Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R =
P
+ Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và bán kính nếu
có.
a) x
2
+ y
2
+2x -4y + 9 = 0
b) x
2
+ y
2
-6x +4y + 13 = 0
c) 2x
2
+ 2y
2
-8x -4y -6 = 0
d) 5x
2
+ 4y
2
+x -4y + 1 = 0
Giải: a) Ta có: a
2

+ b
2
– c = -4 < 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 0 ⇒ phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có: a
2
+ b
2
– c = 8 ⇒ phương trình này là phương trình đường tròn tâm I(2/7;-3/7) và bán kính R
=
5
2
7
d) Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x
2
và y
2
khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x
2
+ y
2
-2mx -4(m-2)y + 6 - m = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kình theo m.
Giải: (1) là phương trình đường tròn ⇔ a

2
+ b
2
– c > 0 ⇔ m
2
– 3m + 2 > 0 ⇔
2
1
m
m
>


<

Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I(m ; 2(m – 2)) và bán kính: R =
2
3 2m m− +
Ví dụ 3: Cho (C): x
2
+ y
2
-2xcos α -2y sin α + cos 2 α = 0
a) CMR: (C) là đường tròn.
b) Xác định α để (C) có bán kính Max
c) Tìm quỹ tích tâm I khi α thay đổi.
Giải:
a) a
2
+ b

2
– c = 1 – cos2 α ≥0 với mọi α
Khi a
2
+ b
2
– c = 0 thì coi là đường tròn có bán kính bằng 0.
c) Có R
2
= 2 sin
2
α ≤ 2. R
max
=
2
⇔ anpha = π /2 + k π
d) Toạ độ tâm I:
os
sin
x c
y
α
α
=


=

Khử anpha từ hệ này ta được toạ độ tâm I thoả mãn phương trình
đường tròn: x

2
+ y
2

= 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm.
Cách 1:
- Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của đường tròn (C)
- Viết phương trình của (C) theo dạng (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
.
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0.
- Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
- Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý: :
*) Đường tròn (C) đi qua các điểm A, B ⇔ IA
2
= IB
2
= R

2
*) Trong dạng này có một bài toán rất hay gặp là "Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC", bài toán này cũng chính là bài toán viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B,
C không thẳng hàng cho trước. Giải bài này ta làm theo cách 2.
Ví dụ 4 : Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0).
b) Có đường kính AB: A( 1; 1), B( 7; 5).
c) Đi qua 3 điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2)
Giải:
2 2
1 5+
=
26
a) Đường tròn này có bán kính là OI =
2 2
1 5+
=
26

phương trình đường tròn có dạng (x-1)
2
+ (y+5)
2
= 26
b) Đường tròn này có tâm I là trung điểm của AB: I(4; 3), bán kính bằng AB/2 =
2 13
13
2
=
 Phương trình đường tròn: (x-4)

2
+ (y-3)
2
= 13
d) Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện đề bài ta có hệ phương trình:
2
4 16 4 8 0
1
25 25 10 10 0
2
36 4 12 4 0
20
a
a b c
a b c b
a b c
c
= −

+ + − + =


 
+ − − + = ⇔ = −
 

 
+ − + + =

= −


Vậy phương trình đường tròn có dạng: x
2
+ y
2
+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng.
Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d(I, ∆ ).= R
- Đường tròn (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆: tại A ⇔ d(I, ∆ ) = IA.= R
- Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
⇔ d(I, ∆
1
) = d(I, ∆
2
) = R.
Ví dụ 5: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C)có tâm I(2;3) và tiếp xúc với 0x.
b) (C)có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x – 2y + 7 = 0.
Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = 0 (∆ )
Ta có: R = d(I;;∆ ) =

3
3
1
=

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x-2)
2
+ (y – 3)
2
= 9
b) Ta có: R = d(I;;∆ ) =
1 4 7
2
1 4 5
− − −
=
+

Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (x+1)
2
+ (y – 2)
2
= 4/5
Ví dụ 6: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy
Giải: Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư,, nên đường tròn cần tìm cũng ở góc phần tư thứ tư. Do đó
tâm của đường tròn có dạng: I(R; -R), với R là bán kính đường tròn.
R = IA ⇒ (2 – R)
2
+ (-1+ R)
2

= R
2
⇔ R
2
– 6R + 5 = 0 ⇒
1
5
R
R
=


=

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x-1)
2
+ (y+1)
2
= 1
(x-5)
2
+ (y+5)
2
= 25
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d
1
: 3x + 4y + 5 = 0 và d
2
: 4x – 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường
tròn có tâm nằm trên đường thẳng d: x – 6y – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d

1
và d
2
.
Giải:
Đường tròn cần tìm có tâm I nằm trên đường thẳng d
⇒ toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)
- Vì đường tròn tiếp xúc với d
1
, d
2
nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng
nhau và bằng bán kính R.
⇒
3(6 10) 4 5 4(6 10) 3 5
5 5
a a a a+ + + + − −
=
⇔
0
22 35 21 35
70
33
a
a a
a
=


+ = + ⇔

−

=

*) Với a = 0 ⇒ I(10;0) và R = 7 ⇒ ptđt: (x-10)
2
+ y
2
= 49
*) Với a = -70/33 ⇒ I ( -30/11; -70/33) và R = 97/33
⇒ phương trình đường tròn: (x+ 30/11)
2
+ (y+70/33)
2
= (97/33)
2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7 – 5 = 0 ; x + y + 13 = 0 và
với một trong hai đường thẳng đấy tại M(1;2).
Giải:
Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến hai đường thẳng đã
cho và đến tiếp điểm M bằng nhau:
⇒
2 2
7 7 5 13
(1)
5 2 2
13
(1 ) (2 ) (2)
2
x x y

x y
x y

− − + +
=



+ +

= − + −


Từ (1) ⇒
3 35
7 5 5 5 65
3 15
x y
x y x y
y x
= +

− − = + + ⇔

= − −

*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y
2
+ 4y + 4 = 0 ⇔ y = -2 ⇒ x = 29; R = 20
2

Phương trình đường tròn có dạng: (x-29)
2
+ (y+2)
2
= 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x
2
+ 12x + 36 = 0 ⇔ x = -6 ⇒ y = 3 ; R = 5
2
Phương trình đường tròn có dạng: (x+6)
2
+ (y-3)
2
= 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với cả ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35; x – 1 = 0
Giải: Gọi I(x; y) là tâm của hai đường tròn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường thẳng đã cho
bằng nhau:
⇒
3 4 35 3 4 35
(1)
5 5
1
3 4 35
(2)
1
5
x y x y
x
x y


+ − − −
=



−
− −

=


Từ (1) ⇒
35
3
0
x
y

=


=

Thay vào (2) ta được
35 40 32
, ,
3 3 3
25, 16
0
5, 4

x y R
x R
y
x R

= = ± =


= − =


= ⇒


= =


Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài:
(x+25)
2
+ y
2
= 256
(x-5)
2
+ y
2
= 16
(x-35/3)
2

+ (y+40/3)
2
=(32/3)
2

(x-35/3)
2
+ (y-b=40/3)
2
= (32/3)
2

Ví dụ 10: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x = 5 và tiếp xúc với hai đường
thẳng: d
1
: 3x – y + 3 = 0, d
2
= x – 3y + 9 = 0.
Giải: Tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng x = 5 nên toạ độ của tâm I có dạng I (5;b).Gọi R là
bán kính đường tròn.
Khoảng cách từ I đến d
1
là: R =
15 3
10
b− +
.
Khoảng cách từ I đến d
2
là: R =

5 3 9
10
b− +
.
⇒
2 40
18 14 3
8
10
b R
b b
b
R

= − =

− = − ⇔ ⇒


=
=



Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề bài là:
(x-5)
2
+ (y+2)
2
= 40

(x-5)
2
+ (y-8)
2
= 10
Dạng 3: Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách1:
- Tính diện tích tam giác và các cạnh của tam giác để suy ra bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác: r =
S
p
- Gọi I(x;y) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
⇒
Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh
bằng nhau và bằng r. Từ đó thành lập được hệ phương trình hai ẩn x và y.
- Giải hệ phương trình đó tìm được x, y từ đó có phương trình đường tròn phải tìm.
Cách 2:
- Viết phương trình đường phân giác trong của hai góc của tam giác.
- Tìm giao điểm hai đường phân giác đó ta được toạ độ tâm I.
- Tính khoảng cách từ tâm I đến một trong ba cạnh của tam giác ta được bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác )AB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998)
Giải:
a) Nhận xét: Tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của
cạnh huyền AB ⇒ I(4;3)
Bán kính R = IA = 5
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:

(x-4)
2
+ (y-3)
2
= 25
b) Diện tích tam giác OAB là S = ½. 8.6 = 24
Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 ⇒ r =
S
p
=2
Vì đường tròn này tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x-2)
2
+ (y-2)
2
= 4
Ví dụ 12: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi ba đường thẳng:
4x-3y-65 = 0; 7x-24y+55 = 0; 3x+ 4y – 5= 0
Giải: Gọi ABC là tam giác đã cho với các cạnh là:
AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = 0
CA: 3x+ 4y – 5= 0
⇒ A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) và dễ thấy tam giác ABC vuông ở A.
AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: r = 5.
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(x;y) ⇒ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng
đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
4 3 65 7 24 5 3 4 5

5
5 25 5
x y x y x y− − − + + −
= = =
Giải hệ này ta tìm được I(10;0)
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : (x-10)
2
+ y
2
= 25
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Tìm toạ độ giao điểm.
Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 (1) (A
2
+ B
2
≠ 0)
và đường tròn (C): x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 (2). (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của ∆ và (C). Số giao điểm của ∆ và (C) là số nghiệm của hệ
phương trình:
2 2
Ax 0
2ax 2 0
By C
x y by c

+ + =


+ − − + =

- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆ và (C) không có giao điểm nào ⇒ ∆ không cắt đường tròn.
- Nếu hệ có duy nhất một nghiệm thì ∆ và (C) có một giao điểm ⇒ ∆ tiếp xúc với đường tròn.
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt thì ∆ và (C) có hai giao điểm ⇒ ∆ cắt đường tròn tại hai
điểm phân biệt
Nhận xét: ∆ và (C) có điểm chung ⇔ ∆ cắt hoặc tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến ∆ với bán kính R.
Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến ∆ ⇒ h =
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
TH1: h> R ⇔ ∆ không cắt đường tròn ⇒ ∆ và (C) không có giao điểm nào.
TH2: h = R ⇔ ∆ tiếp xúc với đường tròn ⇒ ∆ và (C) có duy nhất một giao điểm.
TH3: h< R ⇔ ∆ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ⇒ ∆ và (C) có 2 giao điểm.
Nhận xét:
Nếu bài toán chỉ yêu cầu xét vị trí tương đối của (C) và d mà không cần quan tâm đến toạ độ
giao điểm thì ta làm theo phương pháp 2.
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – 2 = 0 và (C)có tâm I(-1;2) và bán kính R =
13
a) Viết phương trình đường tròn.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (C) và d.
Giải:
Phương trình đường tròn là: (x+1)

2
+ (y-2)
2
= 13.
Để tìm toạ độ giao điểm của (C) và d ta sủ dụng cách 1.
Toạ độ giao điểm của (C) và d là nghiệm của hệ phương trình:
2 2
5 2 0
( 1) ( 2) 13
x y
x y
− − =


+ + − =

Giải hệ này ta tìm được hai giao điểm A(2;0) và B(-3;-1)
Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm của (C) và d trong đó:
d: mx-y-3m-2=0
(C): x
2
+ y
2
-4x-2y = 0
Giải: Vì bài toán này không phải chỉ ra toạ độ giao điểm nên ta có thể sử dụng phương pháp 2 để giải.
Tâm và bán kính của đường tròn này là: I(2;1) và R =
5
Khoảng cách từ tâm I đến d là h =
2
3

1
m
m
+
+
TH1:
2
3
1
m
m
+
+
<
5
⇔ (m+3)
2
<5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4> 0 ⇔
1
2
2
m
m

< −



>

⇒ h < R ⇒ d và (C) có 2 giao điểm.
TH2:
2
3
1
m
m
+
+
=
5
⇔ (m+3)
2
=5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4= 0 ⇔
1
2
2
m
m

= −



=

⇒ h = R ⇒ d và (C) có 1 giao điểm hay d tiếp xúc với (C).
TH3:
2
3
1
m
m
+
+
>
5
⇔ (m+3)
2
>5(m
2
+ 1) ⇔ 4m
2
– 6m-4< 0 ⇔ -1/2 < m< 2
⇒ h > R ⇒ d và (C) không có giao điểm nào.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 15: Cho (C): x
2
+ y
2
-4x + 6y – 12 = 0 và điểm D(1;1).
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
1
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt

giá trị lớn nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
2
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB đạt
giá trị nhỏ nhất.
1) Viết phương trình đường thẳng ∆
3
đi qua D và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
DA=2DB
Giải:
Đường tròn này có tâm I(2;-3) và bán kính R = 5.
Ta có ID =
17
< 5 ⇒ D nằm trong đường tròn ⇒ mọi đường thẳng đi qua D đều cắt
đường tròn tại hai điểm phân biệt.
a) ∆
1
đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
max
⇔ AB là đường kính của
đường tròn này ⇒ ∆
1
đi qua D và I ⇒ phương trình có dạng: 4x+y-5 = 0.
b) ∆
2
đi qua D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
min
⇔ d(I;AB)
max
= ID ⇔ AB ⊥

ID tại D ⇒ ∆
1
đi qua D và nhận ID làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng: x-4y+3 = 0.
c) Ta có: Phương tích của điểm D đối với đường tròn (C) là: P =
.DA DB
uuuruuur
=-2DA
2

mà P = ID
2
– R
2
= 17 – 25 = -8 ⇒ DA
2
= 4
⇒ (x
A
– 1)
2
+ (y
A
– 1)
2
=4 (1)
mà A ∈ (C) ⇒ x
A
2
+ y
A

2
-4x
A
+ 6y
A
– 12 = 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ A(-1;1) hoặc A(115/17;33/17)
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 1 và 98x-15y-83=0
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn.
Cho đường tròn (C): (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
. (C) có tâm I(a;b) và bán kính R
Bài toán 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x
0
;y
0
)
∈
(C).
Giải: Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C). Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại M ⇒ ∆ đi qua M và
nhận
IM
uuur
(x
0
– a; y

0
– b) làm vecctơ pháp tuyến ⇒ phương trình có dạng:
(x
0
– a)(x- x
0
) + (y
0
– a)(y- y
0
) = 0 (1)
Chú ý:
+ Phương trình (*) có thể biến đổi về dạng sau: (x
0
– a)(x- a) + (y
0
– a)(y- b) = R
2
(1a)
+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng : x
2
+ y
2
-2ax -2by + c = 0 thì tiếp tuyến của đường
tròn tại điểm M(x
0
,y
0
) có dạng: xx
0

+ yy
0
– (x+x
0
)a- (y+y
0
)b + c = 0 (1b) (Phương trình này được suy
trực tiếp từ (1a)).
Cách thành lập phương trình tiếp tuyến ở dạng(1a) và (1b)gọi là "phương pháp phân đôi toạ
độ".
Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm M(x
0
;

y
0
) không thuộc đường
tròn.
Bài toán này có hai cách giải như sau:
Cách 1:
+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với Ox. Khi đó ∆ có phương trình là x = x
0
.
∆ là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I;∆ ) = R. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được ∆ có phải là
tiếp tuyến của đường tròn hay không.
+/ Xét đường thẳng ∆ đi qua M và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ có dạng: y = k(x-x
0
)
+ y
0

.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được k.
Chú ý: Để chứng minh một điểm M nằm ngoài đường tròn ta làm như sau:
- Tính IM.
- So sánh IM với R: + Nếu IM > R thì M nằm ngoài đường tròn
+ Nếu IM < R thì M nằm trong đường tròn.
+ Nếu IM = R thì M nằm trên đường tròn.
Cách 2:
- Đường thẳng ∆ đi qua M có phương trình: a(x-x
0
) + b(y-y
0
) = 0 trong đó a
2
+ b
2
≠ 0.
- ∆ là tiếp tuyến với đường tròn (C) ⇔ d(I;∆ ) = R (*)
- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa a và b. Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên có thể
chọn a một giá trị thích hợp rồi suy ra b hoặc ngược lại.
Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến có hệ số góc là k.
Giải:
- Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m.
- ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R. Giải điều kiện này ta sẽ tìm được m.
Chú ý:
- Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng: ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ có dạng:
ax+by + c' = 0 (c' ≠ c).
- Nếu tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = 0 thì phương trình ∆ sẽ có dạng:
-bx+ay + c' = 0 (c' ≠ c).
Ví dụ 16: Cho đường tròn (C) có phương trình x

2
+ y
2
-6x +2y + 6 = 0 và điểm A (1;3)
a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R = 2.
a) Ta có: IA = 2
5
> R ⇒ A nằm ngoài đường tròn (C).
b) Ta giải bài toán này theo hai cách.
Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:
a(x – 2) + b( y – 6) = 0 (a
2
+ b
2
≠ 0)
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R
⇔
2 2
(3 1) ( 1 3)a b
a b
− + − −
+
=2 ⇔ (a - 2b)
2
= (a
2
+ b

2
) ⇔ 3b
2
-4ab = 0 ⇔
0
4
3
b
b a
=



=

.
*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 1.
*) Nếu b=
4
3
a. Chọn a = 3, b = 4
phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0
Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) là: x = 1
3x – 4y – 15 = 0.
Cách 2:
*) Xét ∆ đi qua A và vuông góc với Ox ⇒ phương trình ∆ : x = 1 hay x – 1 = 0.
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
3 1
1
−

=2. Đẳng thức này đúng nên x = 1 là tiếp
tuyến của (C).
*) Xét ∆ đi qua A và có hệ số góc là k. Phương trình của ∆ là: y = k(x – 1) + 3 hay kx – y + 3 – k = 0.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
2
3 1 3
1
k k
k
+ + −
+
=2
(k+2)
2
= k
2
+ 1 ⇔ k =-
3
4
⇒ ta được tiếp tuyến: y = -
3
4
(x–1) + 3 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0
Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp nhưng lời giải của mỗi trường hợp lại khá ngắn
gọn và đơn giản. Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ năng tính toán còn hạn chế. Một sai lầm mà
học sinh thường mắc phải khi giải theo cách này đó là không xét trường hợp thứ nhất tức là tiếp tuyến
vuông góc với Ox (đường thẳng không có hệ số góc) và do đó bài toán sẽ mất nghiệm.
Ví dụ 17: Cho đường tròn có phương trình là: x
2
+ y

2
+4x +4y -17 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)
b) d đi qua A(3;6)
c) d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = 0
Giải:
Đường tròn này có tâm I(-2;-2), bán kính R = 5
a) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ nhất.
Theo phương pháp phân đôi toạ độ ⇒ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M(2;1) là:
2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 = 0
⇔ 4x + 3y-11 = 0.
b) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ hai.
Phương trình đường thẳng đi qua A có vectơ pháp tuyến là (a; b) có dạng:
a(x – 2) + b( y – 6) = 0
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn ⇔ d(I,d) = R
⇔
2 2
( 2 3) ( 2 6)a b
a b
− − + − −
+
=5 ⇔ (5a + 8b)
2
= 25(a
2
+ b
2
) ⇔ 39 b
2

+80ab = 0.
*) Nếu b = 0, vì a ≠ 0 chọn a = 1 ⇒ phương trình tiếp tuyến có dạng: x = 2.
*) Nếu b ≠ 0: ⇒ a = -39/80.b. Chọn a = -39, b = 80
phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.
c) Đây là bài toán tiếp tuyến thứ ba.
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = 0 có dạng: 3x – 4y + c
= 0.
Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn ⇔ d(I;d
3
) = R ⇔
2 2
3.( 2) 4( 2)
3 4
c− − − +
+
=5
⇔
2 c+
=25 ⇒ c = 23 hoặc c = -27.
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0.
Ví dụ 18: Cho đường tròn x
2
+ y
2
-2x -6y + 6 = 0 và điểm M(2;4).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung
điểm của đoạn thẳng AB.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k = -1.
Đại học Tài chính kế toán- 1997

Giải:
Đường tròn này có tâm I(1;3) và bán kính R = 2.
a) Ta có: IM =
2
< 2 = R ⇒ M nằm trong đường tròn. Vậy mọi đường thẳng đi qua M đều cắt
đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Đường thẳng ∆ đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB
⇒ IM ⊥ AB ⇒ ∆ nhận
IM
uuur
(1;1) làm vectơ pháp tuyến ⇒ phương trình của ∆:
x-2+y-4 = 0 ⇔ x + y – 6 = 0.
b) Phương trình của ∆ có hệ số góc là k=-1: y = -x+m hay x + y – m = 0
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ⇔
1 3
1 1
m+ −
+
=2
(4-m)
2
= 8 ⇔
4 2 2
4 2 2
m
m

= −

= +



Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài là: x + y -4+2
2
= 0
x + y -4-2
2
= 0
Ví dụ 19: Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
+2x -4y -4 = 0 và điểm A(2; 5).
Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn. Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với đường tròn tại
hai điểm M, N. Hãy tính độ dài MN.
Đại học Ngoại thương- 1997
Giải:
Qua A ta kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = 2 và y = 5.