Ôn tập hè cho học sinh lớp 7 lên lớp 8

BUỔI 01
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
A. Lý thuyết
1. Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức , nhân đa thức với đa thức và viết
dạng tổng quát.
A.(B+C) = AB+ AC
( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB +B
2
2. (A-B)
2
=A
2
-2AB +B
2
3. A
2
- B
2
=( A-B)(A+B)
4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2

B+3AB
2
+B
3
5. (A-B)
2
=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
) 7. A
3
-B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2

)
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
- Nhóm các hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp
- Thêm, bớt cùng 1 hạng tử - Tách hạng tử
- Đặt biến phụ - Nhẩm nghiệm của đa thức
Bài 1: Làm tính nhân:
b) ( -2x
3
+
3
4
y
2
-7xy) 4 b) ( 5x – y)
2

c)
( ) ( )
3 2 3 2− +
d)
2 2
2 2
x y . x y
5 5
   
+ −
 ÷ ÷
   
e) (x

2
-2x+3) (x-4) f)( 2x
3
-3x -1) (5x+2)
g) ( 25x
2
+ 10xy + 4y
2
) ( 5x – 2y) h) (5x
3
– x
2
+2x–3)(4x
2
– x+ 2)
k) ( x-3y)(x
2
+ 3xy + 9y
2
) l)
2 4 2
1 1 1
x . x x
3 3 9
   
− + +
 ÷ ÷
   
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x

3
- 2x
2
+ x b) x
2
– 2x – 15
c) 5x
2
y
3
– 25x
3
y
4
+ 10x
3
y
3
d) 12x
2
y – 18xy
2
– 30y
2
e) 5(x-y) – y.( x – y) f) y .( x – z) + 7(z-x)
g) 27x
2
( y- 1) – 9x
3
( 1 – y) h) 36 – 12x + x

2
i) 4x
2
+ 12x + 9 k) x
4
+

y
4
l) xy + xz + 3y + 3z n) 11x + 11y – x
2
– xy

3 2
a)x 3x 4x 12
− − +
2 2
b)2x 2y 6x 6y
− − −

3 2
c)x 3x 3x 1+ − −

4 2
d)x 5x 4
− +

Bài 6: Chứng minh rằng: x
2
– x + 1 > 0 với mọi số thực x?

Bài 7: Làm tính chia: ( x
4
– 2x
3
+ 2x – 1): ( x
2
– 1)
Bài 8: a, Giá trị của m để x
2
– ( m +1)x + 4 chia hết cho x -1
Bài 1: Chứng minh biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến x, biết:
a) A= (2x +5)
3
- 30x (2x+5) -8x
3

b.Tìm a để đa thức f(x) = x
4
– 5x
2
+ a chia hết cho đa thức g(x) =x
2
– 3x + 2
Bài 2: Tìm x, biết
a) 7x
2
– 28 = 0 b)
( )
2
2

x x 4 0
3
− =
h) 5x ( x – 3 ) – 2x + 6 = 0 i)
( ) ( ) ( )
2
x 2 x 2 x 2 0+ − − + =
k) x
2
– 5 = 0 l)
3 2
x 5x 4x 20 0+ − − =
Buæi 2:
Tø gi¸c
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC, K
là điểm đối xứng của M qua I.
a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA. Chứng minh tứ
giác ABEC là hình thoi
Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, Qua C vẽ đường thẳng song song với
BD, chúng cắt nnhau tại I
a) Chứng minh: OBIC là hình chữ nhật
b) Chứng minh AB=OI
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBIC là hình vuông
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và góc A =60
0
. Gọi E, F theo thứ
tự là trung điểm của BC, AD.

a) Chứng minh AE vuông góc với BF
b) Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?
c) Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?
d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B . Chứng minh tứ giác BMCD là
hình chữ nhật.
e) Chứng minh M, E, Dthẳng hàng
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung
điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD
với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD
a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang
b) PMQN là hình gì?
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB<AC), đường cao AK. Gọi 3 ®iÓm D, E , F lần lượt
là trung điểm của AB, AC, BC.
a) BDEF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh DEFK là hình thang cân
c) Gọi H là trực tâm của tam gíac ABC. M,N, P theo thứ tự là trung điểm
của HA, HB, HC. Chứng minh các đoạn thẳng MF, NE, PD bằng nhau và cắt nhau
tại trung điểm mỗi đoạn.
Bài 6: Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm,. Gọi AM là trung
tuyến của tam giác.
a) Tính đoạn AM
b) Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc Với AC. Tứ giác ADME có
dạng đặc biệt nào?
c) DECB có dạng đặc biệt nào?
Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC.
Gọi D là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông
b) Gọi I là trung điểm AD. Chứng minh IA=IB=IC=ID
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60

0
, kẻ tia Ax song song
BC . Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD=DC.
a) Tính các góc BAD và gãc DAC
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
c) Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh ADEB là hình thoi
Bài 9: Cho hình vuông ABCD, E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối tia
BC sao cho BF= DE.
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân
b) Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh I thuộc BD.
c) Lấy K đối xứng của A qua I. Chứng minh AEKF là hình vuông .
( Híng dÉn:Tõ E kÎ EP //BC , P
∈
BD )
Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, gọi AF là phân
giác của tam giác ADE. Gọi H là hình chiếu của F trên AE. Gọi K là giao điểm của
FH và BC.
a) Tính độ dài AH
b) Chứng minh AK là phân giác của góc BAC
c) Tính chu vi và diện tích tam giác tam giác CKF
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB,
BC, AC. Chứng minh:
a) Tứ giác BCDE là hình thang cân.
b) Tứ giác BEDF là hình bình hành
c) Tứ giác ADFE là hình thoi.
Bài 2: Cho
∆
ABC cân ở A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a) Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành.
b) BE cắt CF ở G. Vẽ các điểm M ,N sao cho E là trung điểm của GN, F là

trung điểm của GM.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật , AMGN là hình thoi.
c) Chứng minh AMBN là hình thang. Nếu AMBN là hình thang cân thì
∆
ABC có thêm đặc điểm gì?
Bài 3. Cho
∆
ABC vuông tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH. Trên
tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA .
a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh: BC // ID.
c) Chứng minh: Tứ giác BIDC là hình thang cân.
d) Vẻ HE
⊥
AB tại E , HF
⊥
AC tại F. Chứng minh: AM
⊥
EF.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC và AB. Gọi P là điểm đốI xứng của M qua điểm N
a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành
b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật
c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh: BQ = 2PQ
d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình
vuông ? Hãy chứng minh ?
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm BC. Gọi M là điểm đối
xứng của D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng của D
qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh M đối xứng với N qua A
d) Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm
của AB và CD.
a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành
b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?
c) Gọi M là giao điểm của AF và DE ; N là giao điểm của BF và CE.
d) Chứng minh bốn đường thẳng AC, EF, MN, BD đồng qui.
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi
M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD.
a) Chứng minh: Tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Chứng minh: DM=MN=NB.
c) Chứng minh: MENF là hình bình hành.
d) AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J. Chứng minh IJ, MN, EF đồng quy.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB,CD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành
b) Tứ giác AMND là hình thoi
c) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối xứng với
điểm N qua D . Hỏi Tứ giác ANKQ là hình gì? Vì sao?
d) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN là hình
thang cân
BUỔI 03
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Lý thut
1. Nªu ®Þnh nghÜa ph©n thøc ®¹i sè? T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph©n thøc cã nghÜa?
2. Nªu ®Þnh nghÜa 2 ph©n thøc b»ng nhau
3. Nªu tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc. Nªu quy t¾c ®ỉi dÊu cđa ph©n thøc.
4. Nªu quy t¾c céng , trõ , nh©n , chia c¸c ph©n thøc ®¹i sè.
5. Giả sử

A(x)
B(x)
là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến x để
giá trò của phân thøc ®ỵc x¸c ®Þnh
B. Bµi tËp
Bµi 1: Cho ph©n thøc:
2
3
3x 6x 12
x 8
+ +
−
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ ph©n thøc ®· cho ®ỵc x¸c ®Þnh?
b) Rót gän ph©n thøc?
c) TÝnh gi¸ trÞ cđa ph©n thøc sau khi rót gän víi x=
4001
2000
Bµi 2: Cho biĨu thøc sau:
2
3 2
1 x x x 1 2x 1
A . :
x 1 1 x x 1 x 2x 1
 
+ + +
= −
 ÷
− − + + +
 
a) Rót gän biĨu thøc A?

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa A khi
1
x
2
=
?
Bµi 4: Cho biĨu thøc:
2
2
x 1 3 x 3 4x 4
B .
2x 2 x 1 2x 2 5
+ + −
 
= + −
 
− − +
 
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa biĨu thøc ®ỵc x¸c ®Þnh?
b) CMR: khi giá trị của biểu thức đợc xác định thì nó không phụ thuộc vào
giá trị của biến x?
Bài 5: Cho
4x
100x
10x
2x5
10x
2x5
A
2

2
22
+







+

+

+
=
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?
b) Tính giá trị của A tại x = 20040 ?
Bài 6: Cho phân thức
2
2
x 10x 25
x 5x
+

a) Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0?
b) Tìm x để giá trị của phân thức bằng 5/2?
c) Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên?
Bài 7: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:
1

1
x
a)
1
x
x
+

b)
2 2
1 1 1 1
( ):( )
x 4x 4 x 4x 4 x 2 x 2
+
+ + + +
c)
2
2
x 3x
( 1):(1 )
x 1 1 x
+
+
3 2
3x x 1
d)
x 1 x x 1

+
+ +

3
2 2 2
1 x x 1 1
e) .
x 1 x x x 2x 1 1 x


+
ữ
+ +

Bài 8: Chứng minh đẳng thức:
3 2
9 1 x 3 x 3
:
x 9x x 3 x 3x 3x 9 3 x


+ =
ữ ữ
+ + +

Bài 9: Cho biểu thức:
2
x 2x x 5 50 5x
B
2x 10 x 2x(x 5)
+
= + +
+ +

a) Tìm điều kiện xác định của B ?
b) Tìm x để B = 0; B =
1
4
.
c) Tìm x để B > 0; B < 0?
BUỔI 4:
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A. Lý thuyÕt
1) Phát biểu định lý ta-lét trong tam giác, hệ quả của định lí Ta-let. Vẽ hình và viết
giả thiết, kết luận.
2) Phát biểu định lý ta-lét đảo trong tam giác. Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận.
3) Phát biểu định lý về tính chất đường phân giác trong tam giác. Vẽ hình và viết
giả thiết, kết luận.
4) Các dấu hiệu hai tam giác đồng dạng, hai tam giác vuông đồng dạng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 36cm ; AC = 48cm và đường cao AH
a) Tính BC; AH
b) HAB HCA
c) Kẻ phân giác góc B cắt AC tại F . Tính BF
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vuông góc kẻ từ A xuống BD.
a) Chứng minh
∆
HAD đồng dạng với
∆
CDB.
b)Tính độ dài AH.
c) Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AH; DH . Tứ giác BMPN là hình
gì ? vì sao ?

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD =
5cm và
·
·
DAB DBC=
a) CMR: ABD BDC
b) Tính cạnh BC; DC
Bài 5: Cho tam giác ABC; có AB = 15cm;
AC = 20cm; BC = 25cm.
a) Chứng minh: ABC vuông tại A
b) Trên AC lấy E tuỳ ý , từ E kẻ EH
⊥
BC tại H và K là giao điểm BA với HE.
CMR: EA.EC = EH.EK
c) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Qua E kẻ đường thẳng bất kỳ cắt AB; CD lần
lượt tại M; N. Tính
ME
?
NE
=
Bài 3: Cho tam giác ABC vng tai A có AB = 6 cm; AC = 8cm. Trên một nửa
mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B vẽ tia Ax song song với BC. Từ C vẽ CD
⊥
Ax ( tại D )
a) Chứng minh hai tam giác ADC và CAB đồng dạng.
b) Tính DC.
c) BD cắt AC tại I. Tính diện tích tam giác BIC.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D,E
theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho góc DME bằng góc B.
a) Chứng minh

∆
BDM đồng dạng với
∆
CME
b) Chứng minh BD.CE khơng đổi.
c) Chứng minh DM là phân giác của góc BDE
BU ỔI 6:
GIẢI BÀI TẬP BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. MỤC TIÊU:
- Tiếp tục rèn luyện cho HS kỹ năng giải bài tốn bằng cách lập phương
trình.
- HS biết cách chọn ẩn khác nhau hoặc biểu diễn các đại lượng theo các cách
khác nhau, rèn luyện kỹ năng trình bày bài, lập luận chính xác.
II. TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:
Giải toán bằng cách lập PT :
* PP:
- B1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn, đơn vò & ĐK cho ẩn.
+ Biểu thò số liệu chưa biết theo ẩn.
+ Lập PT biểu thò mối quan hệ các đòa lg.
- B2: Giải phương trình.
- B3: Chọn nghiệm thoả ĐK của ẩn và trả
lời.
* p dụng: 1) Hiện nay mẹ hơn con 30
tuổi , biết rằng 8 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp
ba lần tuổi con . Hỏi hiện nay mỗi người bao
nhiêu tuổi ?
Giải:
Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay.
(ĐK: x nguyên dương)

Ta có hệ phương trình:
7
2
.x =
5
2
(x + 20)
=> x = 50 (thoả ĐK)
Vậy qng đường AB là: 50. 3,5 =
175km
* Bài tập tự giải:
1) Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi
cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi
ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi cháu . Tính
tuổi mỗi người hiện nay.
( ĐS: Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi)
2) Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết
thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì
số ấy tăng thêm 1219 đơn vò .
x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay.
Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau .
x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau
Theo đề bài ta có phương trình:
3(x + 8) = x + 38
 3x + 24 = x + 38
 2x = 14
 x = 7 ,thoả ĐK
Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi mẹ là
37 tuổi .
2) Lúc 6h sáng, một xe máy khởi

hành từ A để đến B. Sau đó 1h, một
ơtơ cũng xuất phát từ A đến B với
vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc
trung bình của xe máy là 20km/h. Cả
hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’
sáng cùng ngày. Tính độ dài qng
đường AB.
Qng đường(km) = Vận tốc(Km/h) *
Thời gian(h)
v
(km/h
)
t(h) S(km)
Xe
máy
x
7
2
7
2
.x
Ơtơ
x +
20
5
2
5
2
(x +
20)

Giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x >
20)
x + 20 (km/h) là vận tốc của ơtơ
7
2
.x là qng đường xe máy đi được
(ĐS: số 135)
3) Một người đi xe đạp từ A đến
B với vận tốc trung bình15km/h.
Lúc về người đó đi với vận tốc
12km/h nên thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 45 phút. Tính
độ dài qng đường AB.
4) Một canơ xi dòng từ bến A
đến bến B mất 5 giờ và ngược
dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ.
Tính khoảng cách giữa hai bến A
và B, biết rằng vận tốc của dòng
nước là 2km/h.
5
2
(x + 20) là quãng đường ôtô đi
được
Bài 1. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm
việc trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết
5 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 2. Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h .
Sau khi đi được
2

3
quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h . Tính quãng
đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà
đến trường là 28 phút
Bài 3. Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít. Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B
18 lít thì số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc
đầu.
Bài 4. Một người đi xe đạp từ A đén B với vận tốc trung bình 12km/h. Khi đi về từ
B đến A; người đó đi với vận tốc trung bình là 10 km/h nên thời gian về nhiều hơn
thời gian đi là 15 phút. Tính độ dài quảng đường AB ?
Bài 5. Có 15 quyển vở gồm hai loại: loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá
1500 đồng một quyển. Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng. Hỏi có mấy quyển
vở mỗi loại ?
Bài 6. Một ca nô xuôi d‚ng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược d‚ng từ bến B
đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết vận tốc d‚ng nước là
2km/h.
III. Giải bất phương trình và biểu diển tập hợp nghiệm trên trục số
1) 2x + 5
≤
7; 2)
2x 2 3 3x 2
5 10 4
+ −
+ <
; 3)
2x 1
5
+
-
2x 2

3
−
> -7;
IV. Các bài tập đại số khác khác:
1)Tìm x biết: a)
2
1
x 1
>
−
; b) x
2
< 1; c) x
2
– 3x + 2 < 0
2) Tìm x để phân thức:
2
5 2x−
không âm .
3) Chứng minh rằng: 2x
2
+4x +3 > 0 với mọi x
4) Giải các phương trình: a) x
2
– 7x – 30 = 0;
b) (x
2
+ x + 3) (x
2
+ x + 4) = 12;