ôn tập lượng giác toán 10

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 56




I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OAOM
(,)
a
=
. Giả sử
Mxy
(;)
.

( )
xOH
yOK
ATk
BSk
cos
sin
sin
tan
cos2
cos
cot
sin

a
a
ap
aap
a
a
aap
a
==
==
æö
==¹+
ç÷
èø
==¹

Nhận xét:
·
,1cos1;1sin1
aaa
"-££-££

· tana xác định khi
kkZ
,
2
p
ap
¹+Î
· cota xác định khi

kkZ
,
ap
¹Î

·
k
sin(2)sin
apa
+=
·
k
tan()tan
apa
+=


k
cos(2)cos
apa
+=

k
cot()cot
apa
+=

2. Dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0
6
p

4
p

3
p

2
p

2
3
p

3
4
p

p

3
2
p

2
p

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2

2
2

3
2

1
3
2

2
2

0 –1 0
cos 1
3
2

2
2

1
2

0
1
2
-

2
2
-
–1 0 1
tan 0
3

3

1
3


3
-

–1 0

0
cot

3

1
3
3

0
3
3
-
–1

0


CHƯƠNG VI

GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosa
+ – – +
sina
+ + – –
tana
+ – + –
cota
+ – + –

cosin

O

cotang

sin
tang
H

A

M

K

B

S

a

T

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 57

4. Hệ thức cơ bản:
22
sin cos1
aa
+=
;
tan.cot 1
aa
=
;
22
22
11
1tan;1cot
cossin
aa
aa
+=+=
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng



2. Công thức nhân đôi

sin22sin.cos
aaa
=


2222
cos2cossin2cos112sin
aaaaa
=-=-=-

2
2
2tancot1
tan2;cot2
2cot
1tan
aa
aa
a
a

-
==
-

sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+

sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
+=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+


tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-

tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
-
-=
+


Hệ quả:
1tan1tan
tan,tan
41tan41tan
papa
aa
aa
æöæö
+-
+=-=
ç÷ç÷
-+
èøèø


Góc hơn kém
p

Góc hơn kém
2
p

sin()sin
paa
+=-

sincos
2
p
aa
æö
+=
ç÷
èø

cos()cos
paa
+=-

cossin
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø

tan()tan
paa
+=

tancot
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø

cot()cot
paa
+=

cottan
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø


Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos()cos
aa

-=

sin()sin
paa
-=

sincos
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø

sin()sin
aa
-=-

cos()cos
paa
-=-

cossin
2
p
aa
æö
-=
ç÷

èø

tan()tan
aa
-=-

tan()tan
paa
-=-

tancot
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø

cot()cot
aa
-=-

cot()cot
paa
-=-

cottan
2
p

aa
æö
-=
ç÷
èø


Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 58


3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+

3
3
3
2
sin33sin4sin
cos34cos3cos
3tantan
tan3
13tan
aaa
aaa
aa
a
a
=-
=-
-
=
-


coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22

abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=
sinsin2cos.sin
22
abab
ab
+-
-=

sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
+
+=

sin()
tantan
cos.cos
ab

ab
ab
-
-=

sin()
cotcot
sin.sin
ab
ab
ab
+
+=

ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø

sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø



1
cos.coscos()cos()
2
1
sin.sincos()cos()
2
1
sin.cossin()sin()
2
ababab
ababab
ababab
éù
=-++
ëû
éù
= +
ëû
éù

=-++
ëû



Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 59

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.


Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
00
sin50.cos(300)
- b) B =
0
21
sin215.tan
7
p

c) C =
32
cot.sin
53
pp
æö

-
ç÷
èø
d) D = c
449
os.sin.tan.cot
5335
pppp

Bài 2. Cho
00
090
a
<<
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0
sin(90)
a
+ b) B =
0
cos(45)
a
-
c) C =
0
cos(270)
a
-
d) D =

0
cos(290)
a
+
Bài 3. Cho 0
2
p
a
<<
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos()
ap
+
b) B =
tan()
ap
-

c) C =
2
sin
5
p
a
æö
+
ç÷
èø
d) D =

3
cos
8
p
a
æö
-
ç÷
èø

Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
ABC
sinsinsin
++
b) B =
ABC
sin.sin.sin

c) C =
ABC
cos.cos.cos
222
d) D =
ABC
tantantan
222
++
Bài 5.
a)

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
a
, tính cos
a
, tan
a
, cot
a


·
Từ
22
sincos1
aa
+=

Þ

2
cos1sin

aa
=±- .
– Nếu
a
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
cos1sin
aa
=- .
– Nếu
a
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
cos1sin
aa
= .

·
Tính
sin
tan
cos
a
a
a
= ;
1
cot
tan
a

a
= .
2. Cho biết cos
a
, tính sin
a
, tan
a
, cot
a


·
Từ
22
sincos1
aa
+=

Þ

2
sin1cos
aa
=±- .
– Nếu
a
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin1cos

aa
=- .
– Nếu
a
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
sin1cos
aa
= .

·
Tính
sin
tan
cos
a
a
a
= ;
1
cot
tan
a
a
= .
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 60

3. Cho biết tan
a

, tính sin
a
, cos
a
, cot
a


·
Tính
1
cot
tan
a
a
= .

·
Từ
2
2
1
1tan
cos
a
a
=+
Þ

2

1
cos
1tan
a
a
=±
+
.
– Nếu
a
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1tan
a
a
=
+
.
– Nếu
a
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1tan
a
a
=-

+
.

·
Tính
sintan.cos
aaa
=
.
4. Cho biết cot
a
, tính sin
a
, cos
a
, tan
a


·
Tính
1
tan
cot
a
a
= .

·
Từ

2
2
1
1cot
sin
a
a
=+
Þ

2
1
sin
1cot
a
a
=±
+
.
– Nếu
a
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1cot
a
a
=
+

.
– Nếu
a
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1cot
a
a
=-
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

·
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

·
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

ABABAB
222
()2
+=+-
ABABAB
4422222
()2+=+-

ABABAABB
3322
()()
+=+-+
ABABAABB
3322
()()
-=-++
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

·
Đặt
txt
2
sin,01
=££

Þ

xt
2
cos
=
. Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.

·
Thiết lập phương trình bậc hai:
tStP

2
0
-+=
với
SxyPxy
;
=+=
. Từ đó tìm x, y.


Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) aa
00
4
cos,270360
5
=<< b)
2
cos,0
2
5
p
aa
=-<<

c) aa
5
sin,
132
p

p
=<<
d)
00
1
sin,180270
3
aa
=-<<
e) aa
3
tan3,
2
p
p
=<< f) tan2,
2
p
aap
=-<<

g)
0
cot1523
=+
h)
3
cot3,
2
p

apa
=<<
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 61

a)
aa
Akhiaa
aa
cottan3
sin,0
cottan52
p
+
==<<
-
ĐS:
25
7

b)
aa
Bkhiaa
aa
2
00
8tan3cot11
sin,90180
tancot3

+-
==<<
+
ĐS:
8
3


c)
aaaa
Ckhia
aaaa
22
22
sin2sin.cos2cos
cot3
2sin3sin.cos4cos
+-
==-
-+
ĐS:
23
47
-
d)
aa
Dkhia
aa
33
sin5cos

tan2
sin2cos
+
==
-
ĐS:
55
6

e)
aaa
Ekhia
aa
33
3
8cos2sincos
tan2
2cossin
-+
==
-
ĐS:
3
2
-

g)
aa
Gkhia
aa

cot3tan2
cos
2cottan3
+
==-
+
ĐS:
19
13

h)
aa
Hkhia
aa
sincos
tan5
cossin
+
==
-
ĐS:
3
2
-

Bài 3. Cho aa
5
sincos
4
+=

. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
Aaa
sin.cos
=
b)
Baa
sincos
=-
c)
Caa
33
sincos
=-

ĐS: a)
9
32
b)
7
4
± c)
417
128
±
Bài 4. Cho
aa
tancot3
-=
. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)
Aaa
22
tancot
=+
b)
Baa
tancot
=+
c)
Caa
44
tancot
=-

ĐS: a) 11 b)
13
±
c)
3313
±

Bài 5.
a) Cho xx
44
3
3sincos
4
+=
. Tính

Axx
44
sin3cos
=+
. ĐS:
7
A
4
=

b) Cho xx
44
1
3sincos
2
-=
. Tính
Bxx
44
sin3cos
=+
. ĐS: B = 1
c) Cho xx
44
7
4sin3cos
4
+=
. Tính
Cxx

44
3sin4cos
=+
. ĐS: CC
757
428
=Ú=
Bài 6.
a) Cho xx
1
sincos
5
+=
. Tính
xxxx
sin,cos,tan,cot
.
b) Cho
xx
tancot4
+=
. Tính
xxxx
sin,cos,tan,cot
.
ĐS: a)
4343
;;;
5534

b)
123
;;23;23
2
223
-
+-
-

hoặc
231
23;23;;
2
223
-
-+
-

Bài 7.
a)



Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 62

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).

Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
0000000000000
120;135;150;210;225;240;300;315;330;390;
420;495;2550

b)
71351051116132931
9;11;;;;;;;;;;
2443333664
pppppppppp
pp

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
Axxx
coscos(2)cos(3)
2
p
pp
æö
=++-++
ç÷
èø

b)
Bxxxx
73
2cos3cos()5sincot
22

pp
p
æöæö
= +-+-
ç÷ç÷
èøèø

c)
Cxxxx
3
2sinsin(5)sincos
222
ppp
p
æöæöæö
=++-++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

d)
Dxxxx
33
cos(5)sintancot(3)
22
pp
pp
æöæö
= ++-+-
ç÷ç÷
èøèø

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
0000
00
sin(328).sin958cos(508).cos(1022)
cot572tan(212)

=-
-
ĐS: A = –1
b) B
00
0
00
sin(234)cos216
.tan36
sin144cos126

=
-
ĐS:
B
1
=-

c)
C
00000
cos20cos40cos60 cos160cos180

=+++++
ĐS:
C
1
=-

d)
D
20202020
cos10cos20cos30 cos180
=++++
ĐS:
D
9
=

e)
E
00000
sin20sin40sin60 sin340sin360
=+++++
ĐS:
E
0
=

f)
xxxx
0000
2sin(790)cos(1260)tan(630).tan(1260)

++-++-
ĐS:
Fx
1cos
=+

Bài 4.
a)




VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.
Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

ABC
p
++=
và
ABC
2222
p
++=



Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

xxx
442
sincos12cos
-=-
b)
xxxx
4422
sincos12cos.sin
+=-
c)
xxxx
6622
sincos13sin.cos
+=-
Trn S Tựng Lng giỏc
Trang 63

d)
xxxxxx
882244
sincos14sin.cos2sin.cos
+=-+
e)
xxxx
2222
cotcoscos.cot
-=
f)
xxxx
2222

tansintan.sin
-=
g)
xxxxx
1sincostan(1cos)(1tan)
+++=++

h)
xxxxxxxx
22
sin.tancos.cot2sin.costancot
++=+
i)
xxx
xxx
sincos12cos
1cossincos1
+-
=
+

k)
x
x
x
2
2
2
1sin
1tan

1sin
+
=+
-

Bi 2. Chng minh cỏc ng thc sau:
a)
ab
ab
ab
tantan
tan.tan
cotcot
+
=
+
b)
aaa
aaaa
a
2
2
sincos1cot
sincoscossin
1cot
+
-=

-

c)
aa
aa
aa
22
sincos
1sin.cos
1cot1tan
=
++
d)
aaa
aa
aa
a
2
2
sinsincos
sincos
sincos
tan1
+
-=+
-
-

e)
aa
a
a

a
2
2
1cos(1cos)
12cot
sin
sin
ộự
+-
-=
ờỳ
ởỷ
f)
aaa
aaaa
224
2222
tan1cot1tan
.
1tancottancot
++
=
++

g)
aa
a
aa
2
2

1sin1sin
4tan
1sin1sin
ổử
+-
-=
ỗữ
-+
ốứ
h)
abab
abab
2222
2222
tantansinsin
tan.tansin.sin

=
i)
aa
a
aa
22
6
22
sintan
tan
coscot
-
=

-
k)
aa
aa
aa
aa
33
33
22
tan1cot
tancot
sin.cos
sincos
-+=+
Bi 3. Cho
xa
vụựiab
abab
44
sincos1
,,0.
+=>
+
Chng minh:
xx
abab
88
333
sincos1
()

+=
+
.
Bi 4. Rỳt gn cỏc biu thc sau:
a)
xxx
222
(1sin)cot1cot
-+- b)
xxxx
22
(tancot)(tancot)
+
c)
xxx
xxx
222
222
coscos.cot
sinsin.tan
+
+
d)
xayaxaya
22
(.sin.cos)(.cos.sin)
-++
e)
xx
ax

22
22
sintan
coscot
-
-
f)
xxx
xxx
224
224
sincoscos
cossinsin
-+
-+

g)
xxxx
22
sin(1cot)cos(1tan)
+++ h)
xx
x
xx
1cos1cos
;(0,)
1cos1cos
p
+-
-ẻ

-+

i)
xx
x
xx
1sin1sin
;;
1sin1sin22
pp
ổử
+-
+ẻ-
ỗữ
-+ốứ
k) xxxx
22
3
costansin;;
22
pp
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ

Bi 5. Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
a)
xxxx
4466

3(sincos)2(sincos)
+-+ S: 1
b)
xxxxx
88664
3(sincos)4(cos2sin)6sin
-+-+ S: 1
c) xxxx
4422
(sincos1)(tancot2)
+-++
S: 2
d)
xxxxx
22222
cos.cot3coscot2sin
+-+
S: 2
e)
xx
xxx
44
664
sin3cos1
sincos3cos1
+-
++-
S:
2
3

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 64

f)
xxxx
xx
2222
22
tancoscotsin
sincos

+ ĐS: 2
g)
xx
xx
66
44
sincos1
sincos1
+-
+-
ĐS:
3
2

Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
BAC
sinsin()

=+
b)
ABC
cos()cos
+=-

c)
ABC
sincos
22
+
= d)
BCAC
cos()cos(2)
-=-+

e)
ABCC
cos()cos2
+-=-
f)
ABC
A
3
cossin2
2
-++
=-
g)
ABC

C
3
sincos
2
++
= h)
ABCC
23
tancot
22
+-
=
Bài 7.
a)





VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+

sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-

cos()cos.cossin.sin
ababab

+=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+


tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-

tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
-
-=
+


Hệ quả:
1tan1tan

tan,tan
41tan41tan
papa
aa
aa
æöæö
+-
+=-=
ç÷ç÷
-+
èøèø


Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
000
15;75;105
b)
57
;;
121212
ppp

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
3
tansin,
352
pp
aaap

æö
+=<<
ç÷
èø
ĐS:
38253
11
-

b) khi
123
cossin,2
3132
pp
aaap
æö
-=-<<
ç÷
èø
ĐS:
(5123)
26
-

c) ababkhiab
11
cos().cos()cos,cos
34
+-==
ĐS:

119
144
-
d)
ababab
sin(),cos(),tan()
-++
khi ab
85
sin,tan
1712
==
và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
2114021
;;.
221221220

e)
abab
tantan,tan,tan
+
khi abab0,,
24
pp
<<+=
và ab
tan.tan322
=- . Từ đó
Trần Sĩ Tùng Lượng giác

Trang 65

suy ra a, b . ĐS:
222
-
; ababtantan21,
8
p
==-==

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
ooo
222
sin20sin100sin140
++
ĐS:
3
2

b) B =
ooo
22
cos10cos110cos130
++
ĐS:
3
2

c) C =

oooooo
tan20.tan80tan80.tan140tan140.tan20
++
ĐS: –3
d) D =
oooooo
tan10.tan70tan70.tan130tan130.tan190
++
ĐS: –3
e) E =
ooo
oo
cot225cot79.cot71
cot259cot251
-
+
ĐS:
3

f) F =
oo
22
cos75sin75
-
ĐS:
3
2
-
g) G =
o

0
1tan15
1tan15
-
+
ĐS:
3
3

h) H =
00
tan15cot15
+
ĐS: 4
HD:
000000
406020;806020
=-=+;
000000
506010;706010
=-=+
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xyxyxy
22
sin().sin()sinsin
+-=-
b)
xy
xy

xyxy
2sin()
tantan
cos()cos()
+
+=
++-

c) xxxxxx
22
tan.tantan.tantan.tan3
3333
pppp
æöæöæöæö
++++++=-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø

d) xxxx
32
cos.coscos.cos(13)
34644
pppp
æöæöæöæö
-++++=-
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø

e)
oooo

(cos70cos50)(cos230cos290)
++
oooo
(cos40cos160)(cos320cos380)0
+++=

f)
xx
xx
xx
22
22
tan2tan
tan.tan3
1tan2.tan
-
=
-

Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
aabkhibacosab
2tantan()sinsin.()
=+=+

b)
aabkhibab
2tantan()3sinsin(2)
=+=+

c)
abkhiabab
1
tan.tancos()2cos()
3
=-+=-

d)
k
abbkhiabka
k
1
tan().tancos(2)cos
1
-
+=+=
+

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
CABBA
sinsin.cossin.cos
=+

b)
C
ABAB
AB

0
sin
tantan(,90)
cos.cos
=+¹
c) ABCABCABC
0
tantantantan.tan.tan(,,90)
++=¹
d)
ABBCCA
cot.cotcot.cotcot.cot1
++=

Lng giỏc Trn S Tựng
Trang 66

e)
ABBCCA
tan.tantan.tantan.tan1
222222
++=

f)
ABCABC
cotcotcotcot.cot.cot
222222
++=
g)
o

CB
BCA
BACA
coscos
cotcot(90)
sin.cossin.cos
+=+ạ
h)
ABCABCABCABC
cos.cos.cossinsincossincossincossinsin
222222222222
=++
i)
ABCABC
222
sinsinsin12sinsinsin
222222
++=+
HD: a, b, c, d) S dng (A + B) + C = 180
0
e, f) S dng
ABC
0
90
222
ổử
++=
ỗữ
ốứ

g) VT = VP = tanA h) Khai trin
ABC
cos
222
ổử
++
ỗữ
ốứ

i) Khai trin
ABC
sin
222
ổử
++
ỗữ
ốứ
.
Chỳ ý: T
BCA
cossin
222
ổử
+=
ỗữ
ốứ

ị

BCABC

cos.cossinsin.sin
22222
=+

ị

ABCAABC
2
sin.cos.cossinsin.sin.sin
2222222
=+
Bi 7. Cho tam giỏc A, B, C. Chng minh:
a)
ABCABCnhoùn
tantantan33,.
D
++"
b)
ABCABCnhoùn
222
tantantan9,.
D
++"
c)
ABCABCnhoùn
666
tantantan81,.
D
++"
d)

ABC
222
tantantan1
222
++

e)
ABC
tantantan3
222
++
HD: a, b, c) S dng
ABCABC
tantantantan.tan.tan
++=
v BT Cụsi
d) S dng
abcabbcca
222
++++

v
ABBCCA
tan.tantan.tantan.tan1
222222
++=

e) Khai trin
ABC
2

tantantan
222
ổử
++
ỗữ
ốứ
v s dng cõu c)
Bi 8.
a)



Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 67

VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi

sin22sin.cos
aaa
=


2222
cos2cossin2cos112sin
aaaaa
=-=-=-

2
2

2tancot1
tan2;cot2
2cot
1tan
aa
aa
a
a
-
==
-



Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
53
cos2,sin2,tan2cos,
132
p
aaaapa
=-<<
b)
khi
cos2,sin2,tan2tan2
aaaa
=

c) khi
43

sin,cossin2,
522
pp
aaaa
=-<<
d) khi
7
cos2,sin2,tan2tan
8
aaaa
=

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
oooo
A
cos20.cos40.cos60.cos80
= ĐS:
1
16

b)
ooo
B
sin10.sin50.sin70
= ĐS:
1
8

c) C

45
cos.cos.cos
777
ppp
= ĐS:
1
8

d)
D
000
cos10.cos50.cos70
=
ĐS:
3
8

e)
oooo
E
sin6.sin42.sin66.sin78
= ĐS:
1
16

f) G
2481632
cos.cos.cos.cos.cos
3131313131
ppppp

= ĐS:
1
32

h)
ooooo
H
sin5.sin15.sin25 sin75.sin85
= ĐS:
2
512

i)
I
00000
cos10.cos20.cos30 cos70.cos80
=
ĐS:
3
256

k) K
963sin.cos.coscoscos
484824126
ppppp
= ĐS: 9
l) L
234567
cos.cos.cos.cos.cos.cos.cos
15151515151515

ppppppp
= ĐS:
1
128

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-

=
+

3
3
3
2
sin33sin4sin
cos34cos3cos
3tantan
tan3
13tan
aaa
aaa
aa
a
a
=-
=-
-
=
-


Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 68

m) M
sin.cos.cos
16168

ppp
= ĐS:
2
8

Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
aaaaa
P
a
23
sin
coscoscos cos
2
222
2.sin
2
==
b)
n
n
Q
nnn
21
cos.cos cos
212121
2

ppp
==
+++

c)
n
R
nnn
2421
cos.cos cos
2121212
ppp
==-
+++

Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xx
44
31
sincoscos4
44
+=+ b)
xxx
66
53
sincoscos4
88
+=+
c)

xxxxx
33
1
sin.coscos.sinsin4
4
-= d)
xx
xx
662
1
sincoscos(sin4)
224
-=-

e)
x
x
2
1sin2sin
42
p
æö
-=-
ç÷
èø
f)
x
xx
2
2

1sin
1
2cot.cos
44
pp
-
=
æöæö
+-
ç÷ç÷
èøèø

g)
x
x
x
1cos
2
tan.1
42
sin
2
p
p
p
æö
++
ç÷
æö
èø

+=
ç÷
èø
æö
+
ç÷
èø
h)
x
x
x
1sin2
tan
4cos2
p
æö
+
+=
ç÷
èø

i)
xx
x
cos
cot
1sin42
p
æö
=-

ç÷
-èø
k)
xx
xx
xx
22
22
tan2tan
tan.tan3
1tan.tan2
-
=
-

l)
xxx
tancot2cot
=-
m) xx
x
2
cottan
sin2
+=
n)
x
xvôùix
111111
coscos,0.

22222282
p
+++=<<

Bài 5.
a)



VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích

coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22
abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=

sinsin2cos.sin
22
abab
ab
+-
-=

sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
+
+=

sin()
tantan
cos.cos
ab
ab
ab
-
-=

sin()
cotcot
sin.sin
ab
ab

ab
+
+=

ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 69


2. Công thức biến đổi tích thành tổng


Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
abab
2sin().cos()
+-
b)
abab
2cos().cos()
+-

c)

xxx
4sin3.sin2.cos
d)
xx
x
13
4sin.cos.cos
22

e)
oo
xx
sin(30).cos(30)
+- f)
2
sin.sin
55
pp

g)
xxx
2sin.sin2.sin3.
h)
xxx
8cos.sin2.sin3

i)
xxx
sin.sin.cos2
66

pp
æöæö
+-
ç÷ç÷
èøèø
k)
abbcca
4cos().cos().cos()


Bài 2. Chứng minh:
a)
xxxx
4cos.coscoscos3
33
pp
æöæö
-+=
ç÷ç÷
èøèø
b)
xxxx
4sin.sinsinsin3
33
pp
æöæö
-+=
ç÷ç÷
èøèø

Áp dụng tính:

ooo
A
sin10.sin50.sin70
=
ooo
B
cos10.cos50.cos70
=

C
000
sin20.sin40.sin80
=

D
000
cos20.cos40.cos80
=

Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)
x
2sin42
+
b)
x
2
34cos

-

c)
x
2
13tan
-
d)
xxx
sin2sin4sin6
++

e)
xx
34cos4cos8
++
f)
xxxx
sin5sin6sin7sin8
+++

g)
xxx
1sin2–cos2–tan2
+
h)
oo
xx
22
sin(90)3cos(90)

+
i)
xxxx
cos5cos8cos9cos12
+++
k)
xx
cossin1
++

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
xxxx
A
xxxx
cos7cos8cos9cos10
sin7sin8sin9sin10
+
=
+
b)
xxx
B
xxx
sin22sin3sin4
sin32sin4sin5
++
=
++

c)
xxx
C
xx
2
1coscos2cos3
cos2cos1
+++
=
+-
d)
xxx
D
xxx
sin4sin5sin6
cos4cos5cos6
++
=
++

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A
2
coscos
55
pp
=+ b) B
7
tantan
2424

pp
=+
c)
ooo
C
222
sin70.sin50.sin10
= d)
oooo
D
22
sin17sin43sin17.sin43
=++

1
cos.coscos()cos()
2
1
sin.sincos()cos()
2
1
sin.cossin()sin()
2
ababab
ababab
ababab
éù
=-++
ëû
éù

= +
ëû
éù
=-++
ëû



sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 70

e)
o

o
E
1
2sin70
2sin10
=- f)
oo
F
13
sin10cos10
=-
g)
oo
oooo
G
tan80cot10
cot25cot75tan25tan75
=-
++

h) H
0000
tan9tan27tan63tan81
= +
ĐS: A
1
2
=
B
2(63)

=- C
1
64
= D
3
4
=

E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7131925
sinsinsinsinsin
3030303030
ppppp
ĐS:
1
32

b)
ooooo
16.sin10.sin30.sin50.sin70.sin90
ĐS: 1
c)
oooo
cos24cos48cos84cos12
+
ĐS:
1
2

d)
246
coscoscos
777
ppp
++ ĐS:
1
2
-

e)
23
coscoscos
777
ppp
-+ ĐS:
1
2

f)
57
coscoscos
999
ppp
++ ĐS: 0
g)
2468
coscoscoscos
5555

pppp
+++ ĐS: –1
h)
3579
coscoscoscoscos
1111111111
ppppp
++++ ĐS:
1
2

Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
oooo
tan9tan27tan63tan814
+=

b)
ooo
tan20tan40tan8033
-+=
c)
oooo
tan10tan50tan60tan7023
-++=
d)
ooooo
83
tan30tan40tan50tan60.cos20
3

+++=
e)
ooooo
tan20tan40tan80tan608sin40
+++=
f)
ooo642
tan2033tan2027tan2030
-+-=

Bài 8. Tính các tổng sau:
a)
Snk
1
coscos3cos5 cos(21)()
aaaaap
=++++-¹
b)
n
S
nnnn
2
23(1)
sinsinsin sin.
pppp
-
=++++
c)
n
S

nnnn
3
35(21)
coscoscos cos.
pppp
-
=+++
d) Svôùia
aaaaaa
4
111
,.
cos.cos2cos2.cos3cos4.cos55
p
=+++=
e)
n
S
xxx
x
5
1
1111
111 1
coscos2cos3
cos2
-
æöæöæöæö
=++++
ç÷ç÷ç÷

ç÷
èøèøèø
èø

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 71

ĐS:
n
S
1
sin2
2sin
a
a
= ; S
n
2
cot
2
p
= ; S
n
3
cos
p
=- ;

aa
S

a
4
tan5tan
15
sin
-
==- ;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
-
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng: xxx
3
1
sin(3sinsin3)(1)
4
=-
b) Thay
n
n
nn
aaaa

xvaøotínhS
3313
2
(1),sin3sin 3sin.
3
333
-
==+++
ĐS:
n
n
n
a
Sa
1
3sinsin.
4
3
æö
=-
ç÷
èø

Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos

2sin
= .
b) Tính
n
n
xxx
P
2
coscos cos.
2
22
= ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2sin
2
=
Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cotcot

sin2
=
b) Tính
n
n
Sk
1
1
111
(2)
sinsin2
sin2
ap
aa
a
-
-
=+++¹ ĐS:
n
S
1
cotcot2
2
a
a
-
=-
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
xxxx

2
tan.tan2tan22tan
=
b) Tính
n
n
nn
aaaaa
Sa
2212
21
tan.tan2tan.tan 2tan.tan
22
222
-
-
=+++
ĐS:
n
n
n
a
Sa
tan2tan
2
=-
Bài 13. Tính
x
2
sin2,

biết:
xxxx
2222
1111
7
tancotsincos
+++=
ĐS:
8
9

Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xxxx
cottan2tan24cot4
=
b)
xx
xx
2
12sin21tan2
1sin41tan2
-+
=


c)
x
x
xx

2
6
62
13tan
tan1
coscos
-=+
d)
xx
x
xxx
1sin2cos2
tan4
cos4sin2cos2
-
-=
+


e)
xxxxxx
tan6tan4tan2tan2.tan4.tan6
=

f)
x
xxx
x
sin7
12cos22cos42cos6

sin
=+++
g)
xxxxxx
cos5.cos3sin7.sincos2.cos4
+=

Bài 15.
a) Cho
abb
sin(2)5sin
+=
. Chứng minh:
ab
a
2tan()
3
tan
+
=

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 72

b) Cho
aba
tan() 3tan
+=
. Chứng minh:
abab

sin(22)sin22sin2
++=

Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
ABC
ABC
sinsinsin4coscoscos
222
++=
b)
ABC
ABC
coscoscos14sinsinsin
222
++=+
c)
ABCABC
sin2sin2sin24sin.sin.sin
++=

d)
ABCABC
cos2cos2cos214cos.cos.cos
++=

e)
ABCABC
222
coscoscos12cos.cos.cos

++=-
f)
ABCABC
222
sinsinsin22cos.cos.cos
++=+
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a) BCvaøBC
1
sin.sin.
32
p
-== ĐS: BCA,,
263
ppp
===
b) BCvaøBC
213
sin.cos.
34
p
+
+== ĐS: ABC
5
,,
3124
ppp
===
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)

ABC
cos2cos2cos21
++=-
b)
ABC
tan2tan2tan20
++=

c)
bca
BCBC
coscossin.sin
+= d)
Bac
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
AB
aAbBabtantan()tan
2
+
+=+ b)
BCBC
2
2tantantan.tan
+=

c)
AB
AB
AB
sinsin1
(tantan)
coscos2
+
=+
+
d)
CAB
C
2sin.sin
cot
2sin
=
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a) ABC
33
sinsinsin
2
++£ HD: Cộng
sin
3
p
vào VT.
b) ABC
3

coscoscos
2
++£
HD: Cộng
cos
3
p
vào VT.
c)
ABC
tantantan33
++³
(với A, B, C nhọn)
d) ABC
1
cos.cos.cos
8
£
HD: Biến đổi ABC
1
cos.cos.cos
8
-
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 73

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
xxx
x
xxx
224
4
224
sincoscos
tan
cossinsin
-+
=
-+
b)
xxxxx
2
(tan2tan)(sin2tan)tan
=
c)
x
xx
x
22
62cos4

tancot
1cos4
+
+=
-
d)
xxx
xxx
1cos1cos4cot
1cos1cossin
+-
-=
-+

e)
xx
xx
xx
22
sincos
1sin.cos
1cot1tan
=
++
f) xxx
00
coscos(120)cos(120)0
+-++=

g)

xx
x
xx
2cos2cos
4
tan
2sin2sin
4
p
p
æö
-+
ç÷
èø
=
æö
+-
ç÷
èø
h)
xx
xx
x
22
22
3
cotcot
22
8
3

cos.cos.1cot
22
-
=
æö
+
ç÷
èø

i)
xxxx
662
1
cossincos21sin2
4
æö
-=-
ç÷
èø
k) xxxx
44
cossinsin22cos2
4
p
æö
-+=-
ç÷
èø

Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a)
xxxx
4466
3(sincos)2(sincos)
+-+
b)
xxxxxx
642244
cos2sincos3sincossin
+++

c) xxxx
3
cos.coscos.cos
3464
pppp
æöæöæöæö
-++++
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø

d)
xxx
222
22
coscoscos
33
pp
æöæö
+++-

ç÷ç÷
èøèø

Bài 3. a) Chứng minh:
1
cotcot2
sin2
aa
a
-=.
b) Chứng minh:
xx
xxxx
1111
cotcot16
sin2sin4sin8sin16
+++=- .
Bài 4. a) Chứng minh:
tancot2cot2
aaa
=-
.
b) Chứng minh:
nnnn
xxxx
x
22
1111
tantan tancotcot
22

222222
+++=
Bài 5. a) Chứng minh:
xxx
222
141
4cossin24sin
=
b) Chứng minh:
nn
nn
xxxx
x
2
22222
2
11111

sin
4cos4cos4cos4sin
2
222
+++=- .
Bài 6. a) Chứng minh:
xxx
3
1
sin(3sinsin3)
4
=

b) Chứng minh:
nn
nn
xxxx
x
3313
2
1
sin3sin 3sin3sinsin
34
333
-
æö
+++=-
ç÷
èø
.
Bài 7. a) Chứng minh:
1tan2
1
cos2tan
a
aa
+=.
b) Chứng minh:
n
n
x
xx
xx

2
111tan2
11 1
cos2tan
cos2cos2
æöæöæö
+++=
ç÷
ç÷ç÷
èø
èøèø
.
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 74

Bài 8. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
a
a
a
= .
b) Chứng minh:
n
n
n
xxxx
x
2

sin
cos.cos cos
2
22
2sin
2
= .
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
ooooooooo
A tan3.tan17.tan23.tan37.tan43.tan57.tan63
.tan77.tan83
=
b) B
2468
coscoscoscos
5555
pppp
=+++
c) C
115
sin.cos
1212
pp
=
d) D
5711
sin.sin.sin.sin
24242424
pppp

=
HD: a)
o
A
tan27
= . Sử dụng
xxxx
00
tan.tan(60).tan(60)tan3
-+= .
b) B = –1 c) C
13
24
=- d) D
1
16
=
Bài 10. Chứng minh:
a)
231
coscoscos
7772
ppp
-+=

b)
oo32
8sin188sin181
+=

c)
84tan2tantancot
8163232
pppp
+++=
d)
oo
114
3
cos2903.sin250
+=

e)
ooooo
83
tan30tan40tan50tan60cos20
3
+++=
f)
ooooo
31
cos12cos184cos15.cos21.cos24
2
+
+-=-
g)
oooo
tan20tan403.tan20.tan403
++=
h)

391
coscos cos
1111112
ppp
+++=

i)
24101
coscos cos
1111112
ppp
+++=-

Bài 11. a) Chứng minh:
xxxxx
1
sin.cos.cos2.cos4sin8
8
= .
b) Áp dụng tính:
A
0000
sin6.sin42.sin66.sin78
=
, B
35
cos.cos.cos
777
ppp
= .

Bài 12. a) Chứng minh:
xxx
4
311
sincos2cos4
828
=-+.
b) Áp dụng tính: S
4444
357
sinsinsinsin
16161616
pppp
=+++. ĐS: S
3
2
=

Bài 13. a) Chứng minh:
x
x
x
1cos2
tan
sin2
-
= .
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 75

b) Áp dụng tính: S
222
35
tantantan
121212
ppp
=++.
Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
00
sin18,cos18
b)
A
202000
cos18.sin36cos36.sin18
=-

c)
B
2020
sin24sin6
=-

d)
C
000000000
sin2.sin18.sin22.sin38.sin42.sin58.sin62
.sin78.sin82
=

HD: a)
0
51
sin18
4
-
= . Chú ý:
00
sin54cos36
=

Þ

00
sin(3.18)cos(2.18)
=
b) A
1
16
= c) B
51
4
-
=
d) C
51
1024
-
= . Sử dụng:
xxxx

00
1
sin.sin(60).sin(60)sin3
4
-+=
Bài 15. Chứng minh rằng:
a) Nếu
ab
cos()0
+=
thì
aba
sin(2)sin
+=
.
b) Nếu
abb
sin(2)3sin
+=
thì
aba
tan()2tan
+=
.
Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a)
bBcCaBC
coscoscos()
+=-
b)

SRABC
2
2sin.sin.sin
=

c)
SRaAbBcC
2(coscoscos)
=++
d)
ABC
rR
4sinsinsin
222
=
Bài 17. Chứng minh rằng:
a) Nếu
BC
A
BC
sinsin
sin
coscos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
BB
C

C
2
2
tansin
tan
sin
= thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
= thì tam giác ABC cân.
Bài 18.
a)