lí thuyết và bài tập phần dao động tắt dần

Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 1

DAO ĐỘNG TẮT DẦN.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - ĐỊNH NGHĨA
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần.
II – NGUYÊN NHÂN
Nguyên nhân chung là do lực cản của môi trường và ma sát sinh ra ở trong hệ. Năng lượng tiêu hao dưới dạng
nhiệt tương ứng với sự giảm dần biên độ dao động.
III – KIỂU DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO LỰC MA SÁT KHÔ.
Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia cố định.
Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và kí hiệu là µ.
1. Phương trình động lực học của chuyển động của vật nặng

mx'' kx mg
   


F kx
 
: lực kéo về
(1.1)
Dấu trước số hạng cuối cùng là (+) trong khoảng thời gian vật chuyển động ngược chiều Ox, là dấu (-) trong
khoảng thời gian vật chuyển động cùng chiều Ox.
2. Vị trí cân bằng của vật trong quá trình dao động
Xét sự tương tự giữa chuyển động của vật với con lắc lò xo đặt thẳng đứng (định tính)



k

O

A

O
1

O

P




chiều
chuyển
động
ms
F


O

A

O
1



chiều chuyển động

B
ms
F


O

A

O
1

O
2

B
O
2

O

P


- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.

+ Trọng lực P không ảnh
hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F
ms
cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc.
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO
1

- Vai trò của P và F
ms
là
như nhau.
+ Trọng lực P không ảnh
hưởng tới chu kì dao động
của con lắc; lực F
ms
cũng
không ảnh hưởng tới chu
kì dao động của con lắc.
+ P làm VTCB của con lắc
được kéo xuống đoạn OO
2

Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 2

* Xét cụ thể chuyển động của vật nặng với điều kiện ban đầu : Vật được kéo đến tọa độ x = A

0
và thả không vận tốc
đầu. Trong quá trình chuyển động của vật, hợp lực tác dụng lên vật :

mg
mx'' kx mg k x kX
k

 
      
 
 


(1.2)
Như vậy, vật nặng chịu tác dụng của lực kéo về tỉ lệ với khoảng cách từ điểm O
1
(có tọa độ
1 0
mg mg
X 0 x 0 OO x
k k
 
      
) đến vật, và luôn hướng về O
1
. Vì vậy, vật sẽ thực hiện một nửa dao
động điều hòa với tần số góc
k
m

  , từ vị trí x = A
0
qua vị trí cân bằng mới O
1
và dừng lại tại vị trí đối xứng với vị
trí ban đầu qua O
1
. Vị trí này có tọa độ - A
0
+ 2x
0
. Biên độ dao động là A
0
– x
0
.
Khi vật tới vị trí này, nếu


dh msn
max
F F
thì vật chuyển động ngược trở lại theo chiều trục Ox và thực hiện
tiếp nửa dao động điều hòa với tần số góc
k
m
 
qua vị trí cân bằng O
2
(có tọa độ

2 0
mg
OO x
k

   
) và
dừng lại tại điểm có tọa độ A – 4x
0
. Trong giai đoạn này, chuyển động của vật cũng là điều hòa với cùng tần số góc ω
như giai đoạn trước nhưng vị trí cân bằng là O
2
và biên độ là A – 3x
0
.
Quá trình dao động được thực hiện cho tới khi vật dừng lại.

* Tọa độ của các vị trí biên :





*Tóm lại :
- Sau mỗi nửa chu kì, biên độ dao động giảm một lượng
0
2 mg
A 2x
k


  
, nghĩa là sau mỗi nửa chu kì, vị
trí biên nhích lại gần O một đoạn là 2x
0
.
- Sau mỗi chu kì, biên độ dao động giảm một lượng là 4x
0
.
3. Điều kiện để vật dừng lại hẳn
a) v = 0.
b)
 
kv msn
max
mg
F F k x mg x a a x a
k

          

(1.3)

O

A
0
O
1
O
2

-A
0
+ 2a
A
0
-4a
-A
0
+ 6a
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 3

B. BÀI TẬP
I. ĐỘ GIẢM CƠ NĂNG CỦA DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì.
Ta chỉ xét trường hợp dao động tắt dần chậm (ma sát nhỏ) , độ giảm biên độ sau mỗi chu kì

A A A'
  
rất nhỏ → A + A' ≈2A.
Phần trăm cơ năng bị mất sau một chu kì:



    

  
 
    
2
2
2
2
2
2 2
k A'
kA
A A' A A' A A'
W W - W' A
2 2
2.
kA
W W A A A
2
.

A

A

là phần trăm biên độ bị giảm trong một chu kì.
Bài 1: Một con lắc dao động tắt dần trong môi trường với lực ma sát rất nhỏ. Cứ sau mỗi chu kì, biên độ giảm đi 3%.
Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu phần trăm?
A. 3% B. 4,5% C. 6% D. 9%.
Lời giải
Do dao động tắt dần chậm vì lực ma sát nhỏ nên sau mỗi chu kì, phần trăm năng lượng của con lắc bị mất đi là :

W A
2. 2.3% 6%
W A
 
  


2. Phần trăm cơ năng bị mất sau n chu kì.
- Phần trăm biên độ bị giảm sau n chu kì : h
na
=
n
A A
A


- Phần trăm biên độ còn lại sau n chu kì :
n
na
A
1 h

A
 

- Phần trăm cơ năng còn lại sau n chu kì :
2
n n
nw
W A
h
W A
 
 
 
 

- Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau n chu kì :
n
nw
W-W
1 h
W
 

Bài 1: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần, sau ba chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm đi 10%. Phần trăm cơ
năng còn lại sau khoảng thời gian đó là
A. 6,3% B 81% C. 19% D. 27%
Giải
Theo bài ra sau 3 chu kì biên độ giảm đi 10% nên ta có :

3 3

2
2
3 3
A A A
10% 90%
A A
W A
0,9 0,81 81%
W A


  



 

   
 

 


Bài 2: Một con lắc lò xo đang dao động với cơ năng ban đầu của nó là 8J, sau 3 chu kì đầu tiên biên độ của nó giảm
đi 10%. Phần cơ năng chuyển thành nhiệt sau khoảng thời gian đó là :
A. 6,3J B. 7,2J C. 1,52J D. 2,7J
Giải
Phần trăm cơ năng còn lại sau 3 chu kì là :
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 4

2
3 3 3 3
3 3 3
A-A A W A
10% 90% 0,81
A A W A
W 0,81W 6,48 W W-W 1,52J

 
     

 

 

      



II. ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN
1. Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì. Biên độ dao động sau n dao động.
- Ta chỉ xét dao động tắt dần chậm nên độ giảm biên độ sau một chu kì rất nhỏ

A A A' A A' 2A
     

- Độ giảm cơ năng sau một chu kì bằng công của lực ma sát thực hiện trong chu kì đó :



  
2
2
ms
ms ms
k A'
4FkA k
F .4A A A' A A' F .4A A A
2 2 2 k
         

- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Độ giảm biên độ sau nửa chu kì:
ms
2F
A
2 k



- Biên độ dao động còn lại sau n chu kì: A
n

= A – n.∆A
Bài 1: Con lắc lò xo dao động theo phương ngang, lò xo nhẹ có độ cứng 100N/m, vật nhỏ dao động có khối lượng
100g, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,01. Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật qua vị trí cân bằng.
A. 0,04mm B. 0,02mm C.0,4mm D.0,2mm
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A =
3
ms
4F 4.0,01.10.0,1
0,4.10 m
k 100

 

- Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì :
A
0,2mm
2



Bài 2: Một vật khối lượng 100g nối với một lò xo có độ cứng 100(N/m). Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho
vật có thể dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 8cm rồi buông nhẹ. Lấy gia
tốc trọng trường 10m/s
2
. Khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nằm ngang là 0,2. Biên độ dao động của vật sau 5
chu kì dao động là:
A. 2cm B. 6cm C. 5cm D. 4cm
Giải
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :

4 mg
A 0,8cm
k

  

Biên độ dao động của vật sau 5 chu kì : A' = A – 5.∆A = 4cm.


2. Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động tắt dần
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 
- Tổng số dao động thực hiện được:
A
N
A



- Thời gian dao động :
m
t N.T N.2
k
   

Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 5

Bài 1: Một con lắc lò xo, m = 100g, k = 100N/m. A
0
= 10cm. g = 10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng
ngang là 0,1. Số dao động thực hiện được kể từ lúc dao động cho đến lúc dừng hẳn.
A. 25 B. 50 C. 30 D. 20
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Tổng số dao động thực hiện được : N = A/∆A = 25.

Bài 2: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có k = 100N/m, một đầu cố định, một đầu gắn vật nặng có
khối lượng m = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi vtcb 5cm rồi buông nhẹ cho vật dao động. Trong
quá trình dao động vật luôn chịu ác dụng của lực cản có đọ lớn bằng 1/100 trọng lực tác dụng lên vật. Coi biên độ của
vật giảm đều trong từng chu kì, g = 10m/s
2
. Số lần vật qua vtcb kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn bằng bao nhiêu?
A. 25 B. 50 C. 30 D. 20
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì : ∆A = 4F
ms

/k=0,2cm.
- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N 25
A
 


- Tổng số lần qua vtcb : 25.2 = 50 lần.

Bài 3: Một con lắc lò xo m = 100g, k = 100N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu là 10cm. g =
10m/s
2
. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng 0,1. Tìm thời gian dao động.
A. 5s B. 3s C.6s D.4s
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
ms
4F
A
k
 

- Tổng số dao động thực hiện được :
A
N
A



- Thời gian thực hiện dao động:
m
t N.T N.2
k
   
=5(s)
Bài 4: Một vật khối lượng m nối với lò xo có độ cứng k. Đầu còn lại của lò xo gắn cố định, sao cho vật có thể dao
động theo trục Ox trên mặt phẳng nghiêng so với mặt nằm ngang góc 60
0
. Hệ số ma sát 0,01. Từ vtcb truyền cho vật
vận tốc đầu 50(cm/s) thì vật dao động tắt dần. Xác định khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng
hẳn. Lấy gia tốc trọng trường 10m/s
2
.
Giải
- Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì:
0
ms
4F
4 mgcos60
A
k k

  

- Tổng số dao động thực hiện được :
0
A kA
N
A 4 mgcos60

 
 

- Thời gian dao động :
 
0
kA m
t N.T .2 5 s
4 mgcos60 k
     



Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 6

Bài 5: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10N/m, khối lượng vật nặng m = 100g dao động trên mặt phẳng ngang,
được thả nhẹ từ vị trí lò xo dãn 5cm. Hệ số ma sát trượt giữa con lắc và mặt bàn là µ = 0,1. Thời gian ngắn nhất
chuyển động thẳng của vật m từ lúc ban đầu đến vị trí lò xo không biến dạng là:
A. 0,177s. B. 0,157s. C. 0,147s. D. 0,182s.
Giải
+ Vị trí cân bằng mới O
1
cách O đoạn :

 

  
0
mg

x 0,01 m 1cm.
k

+ Thời gian ngắn nhất để vật di chuyển từ vị trí ban đầu (biên)
đến vị trí lò xo không biến dạng (O):

 
  
 
0 1 1
0 1
A O O O
A O
t t t
T
t 0,157 s
4

+ Tính
1
O O
t
.
Thời gian vật chuyển động từ O
1
đến O bằng thời gian
vật chuyển động tròn đều từ M đến M
1
.
Góc quét :

 
 
   
 
 
 

 
 
0
1
0 1
OO
90 arc cos 14,48
A OO

Thời gian chuyển động :
 
 
1
O O
14,48
t .T 0,025 s
2.180

+ Thời gian chuyển động :


     
0 1 1

A O O O
t t t 0,157 0,025 0,182 s

























A
0
O

1
O

Vị trí lò xo không biến dạng

M

M
1
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 7

III. QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG TẮT DẦN.

Bài toán: Một CLLX đặt trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng là µ. Ban đầu kéo
vật ra khỏi vị trí cân bẳng (Lò xo không biến dạng) một đoạn A
0
rồi buông nhẹ. Tính quãng đường vật đi được
từ lúc thả vật đến lúc dừng lại.
Bài giải:
Cách 1
+ Xác định vị trí
0
mg
x
k



+ Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động :

0
0
A
m,n
2x


* Nếu n > 5
→ S
ố lần 1/2 dao động là a = m + 1
* Nếu n ≤ 5 → Số lần 1/2 dao động là a = m.
+ Thời gian dao động là :
T
t a.
2


+ Quãng đường vật đi được :




S = 2A
0
.a – x
0
.(2 + 6 + 10 +…)
(trong ngoặc là cấp số cộng với công sai là 4; Công thức tính cấp số cộng :
 
n 1

n
S 2u n 1 d
2
 
  
 
)
→
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 

Cách 2
- Xác định vị trí
0
mg
x
k



- Tìm số lần vật thực hiện 1/2 dao động :
0
0
A
m,n
2x


+ Nếu n = 0 thì vật dừng lại tại O. Lúc đó
2
2
1 kA
kA mg.S S
2 2 mg
   


+ Nếu n khác 0:
- Sau mỗi nửa chu kì, vị trí biên nhích lại gần O một khoảng bằng 2a.
- Trong nửa chu kì cuối , vật sẽ chuyển động từ điểm M nào đó nằm ngoài đoạn O
1
O
2
đến điểm M’
nằm trong đoạn O
1
O
2
.
- Tọa độ vật khi dừng :
0
x A n.2a
 
với n là số nguyên lần nửa chu kì.
+ Vật dừng khi :
0
a x a a A n.2a a
       

. Giải bất phương trình trên để tính n từ đó suy ra
tọa độ vật khi dừng.
O
O
1
O
2
A
0
-A
0
A
1
2x
0
A
2
4x
0
6x
0
A
3
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 8

- Theo định luật bảo toàn năng lượng :
2 2
0
1 1

kA kx mg.S S ?
2 2
   


Cách 3
+ Tính x
o
=
mg
k

+ Gọi A là độ giảm biên độ trong 1/2 chu kì A =
2mg
k
= 2x
o

+ Xét tỉ số
A
o
∆A
= n + q (q < 1). Ta có các trường hợp sau:
1. q = 0 (A
o
chia hết cho ∆A): vật chắc chắn dừng lại ở VTCB (các bạn tự CM), khi đó
s =
A
o
2

∆A

2. q = 0,5 (A
o
là số ban nguyên lần ∆A): vật dừng lại ở vị trí có |x| = x
o
. Khi đó:
s =
A
o
2
– x
o
2
∆A

3. 0,5 < q < 1: Lúc này biên độ cuối cùng trước khi dừng của vật là A
n
= q.∆A = x
o
+ rΔA (r = q – 0,5). Vật sẽ
dừng trước khi qua VTCB. Ta có
1
2
k(A
n
2
– x
2
) = mg(A

n
– x)  A
n
+ x = = 2x
o

 x
o
+ rΔA + x = 2x
o
 x = x
o
– rΔA = (1 –2 r)x
o
. x=ΔA(1-q)
 s =
A
o
2
– x
2
∆A
với x tính được theo công thức trên
4. 0 < q < 0,5: Trước đó ½ chu kì, biên độ của vật là : A
n
= ∆A + p. Vật dừng lại sau khi qua VTCB 1 đoạn x. Ta
có
1
2
k(A

n
2
– x
2
) = mg(A
n
+ x)  A
n
– x = ∆A  x = p, Vậy
S=(A
0
2
-p
2
)/ ∆A
Bài 1: Con lắc lò xo nằm ngang có
k
m
= 100(s
2
), hệ số ma sát trượt bằng hệ số ma sát nghỉ và cùng bằng 0,1. Kéo vật
ra khỏi VTCB 1 đoạn A
o
rồi buông. Cho g = 10m/s
2
. Tìm quãng đường tổng cộng vật đi được trong các trường hợp
sau:
1. A
o
= 12cm 2. A

o
= 13cm 3. A
o
= 13,2cm 4. A
o
= 12,2cm

Áp dụng cụ thể cho bài toán trên:
∆A = 2cm ; x
o
= 1cm
1. A
o
= 12cm, chia hết cho A nên s =
12
2
2
= 72cm
2. A
o
= 13cm, chia cho A ra số bán nguyên, vật dừng cách VTCB1 đoạn x
o
nên
Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 9

s =
13
2
 1

2
2
= 84cm
3. A
o
= 13,2cm:
A
o
A
= 6,6. Biên độ cuối cùng là A
n
= 0,6.A = 1,2cm . Vật dừng lại trước khi qua VTCB
1
2
k(A
n
2
 x
2
) = mg(A
n
 x)  A
n
+ x = A  x = 2  1,2 = 0,8cm
s =
13.2
2
 0.8
2
2

= 86,8cm
4. A
o
= 12,2cm. Biên độ cuối cùng là A
n1
= 2,2cm  vật dừng cách VTCB một đoạn x = 0,2cm
s =
12.2
2
 0.2
2
2
= 74,4cm
* Các phần trên dùng công thức
2
0 0
S 2A .a 2.x .a
 
đều cho kết quả đúng.
Bài 2: Một con lắc lò xo gồm lò xo k = 100N/m và vật nặng m =160g đặt trên mặt phẳng nằm ngang. Kéo vật đến vị
trí lò xo dãn 24,0mm rồi thả nhẹ. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là µ = 5/16. Lấy g = 10m/s
2
. Từ lúc
thả đến lúc dừng lại, vật đi được quãng đường bằng
A. 43,6mm. B. 60,0mm. C. 57,6mm. D. 56,0mm.
Giải
* Ta có : x
0
= 5.10
– 3

(m)
*
0
0
A
24
2,4
2x 2.5
 
→ a = 2.
*


2 2
0 0
S 2A .a 2.x .a 2.24.2 2.5.2 56 mm
    

Bài 3: * Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0.02kg và lò xo có độ cứng k = 1N/m.Vật nhỏ được đặt trên bàn
nằm ngang dọc theo trục lò xo.Hệ số ma sát giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0.1.Ban đầu giữ vật đứng yên ở O, sau đó đưa
vật đến vị trí lò xo nén 10cm rồi buông, con lắc dao động tắt dần, g=10.Vật nhỏ dừng lại tại vị trí cách O ?
A. 1 cm. B. 2 cm. C. 3 cm. D. 4 cm.
Giải
+ Tọa độ vật khi dừng :
0 0 0 0 0 0
x A a.2x x x A a.2x x
       

Thay số vào bất phương trình trên, tính được :
2 a 3

 

+ Với a = 2 hoặc 3. Vật dừng tại |x| = x
0
= 2cm.
Bài 4: Một vật nhỏ đang dao động điều hòa dọc theo một trục nằm ngang trên đệm không khí có li độ x = 4cos(10πt
+
2

)cm. Lấy g = 10m/s
2
. Tại t = 0, đệm không khí ngừng hoạt động, hệ số ma sát µ = 0,1 thì vật đi được quãng
đường bằng bao nhiêu thì dừng?
A. 1 m. B. 0,8m. C. 1,2m. D. 1,5m
Giải
+ t = 0 thì x = 0. Vận tốc vật khi đó v = 40π (cm/s).
+ Biên độ dao động :
 
    
2 2
0 0 0 0
1 1
mv kA mg.A A 0,04 m
2 2

Dao động tắt dần.
Nguyễn Bá Linh – THPT Trần Hưng Đạo – Thanh Xuân. 10

+ Xét tỉ số :


0
0
A
20
2x
. Vật dừng tại O.
+ Quãng đường đi được :
 
 

2
0
1
mv
2
s 0,7896 m
mg

Bài 5: Một con lắc lò xo bố trí đặt nằm ngang, vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 160N/m. Lấy
g = 10m/s
2
. Khi vật đang ở vị trí cân bằng, người ta truyền cho vật vận tốc v
0
= 2m/s theo phương ngang để vật dao
động. Do giữa vật và mặt phẳng ngang có lực ma sát với hệ số ma sát µ = 0,01 nên dao động của vật sẽ tắt dần. Tốc độ
trung bình của vật trong suốt quá trình dao động là:
A. 63,7 cm/s. B. 34,6cm/s. C. 72,8cm/s. D. 54,3cm/s.
Giải
+ Chu kì dao động :
 


  
m
T 2 s
k 20

+ Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
 

  
4 mg
A' 0,25 mm
k

+ Sau 1/4 chu kì đầu tiên, biên độ của dao động là :

   
     
2 2
0 0 0 0
1 1
mv kA mg.A A 0,05 m 50 mm
2 2

+ Xét tỉ số : 
0
0
A
100
2x

. Vật dừng tại O.
- Quãng đường vật đi tới khi dừng :
 
 

2
0
1
mv
2
s 20 m
mg

- Thời gian chuyển động tới khi dừng :
 
   

0
A
T
t T 31,45 s
4 A'

+ Vận tốc trung bình :
 
  

s 20
v 0,6358 m / s
t 31,455