Đề cương hình học tam giác

c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
PH N M UẦ Ở ĐẦ
C I M CHUNG C A B MÔN HÌNH H CĐẶ Đ Ể Ủ Ộ Ọ
Ki n th c v b môn toán nói chung, b môn hình h c nói riêng đ c xây d ng theo m t h th ngế ứ ề ộ ộ ọ ượ ự ộ ệ ố
ch t ch : T h th ng Tiên đ đ n nh ngh a các khái ni m – nh lý – và H qu . ặ ẽ ừ ệ ố ề ế Đị ĩ ệ Đị ệ ả
i v i nh ng bài toán thông th ng, h c sinh ch c n v n d ng m t vài khái ni m, đ nh lý, h quĐố ớ ữ ườ ọ ỉ ầ ậ ụ ộ ệ ị ệ ả
đ gi i. ể ả
i v i nh ng bài toán khó, đ xác đ nh h ng gi i ( c ng nh đ gi i đ c )Đố ớ ữ ể ị ướ ả ũ ư ể ả ượ h c sinh c n n mọ ầ ắ
c không nh ng h th ng ki n th c ( lý thuy t ) mà cón c n n m ch c c h th ng bài t p , sđượ ữ ệ ố ế ứ ế ầ ắ ắ ả ệ ố ậ ử
d ng chúng nh nh ng “B “.ụ ư ữ ổ đề
Do ó gi i t t các bài toán hình h c, h c sinh c n :đ để ả ố ọ ọ ầ
a/N m ch c h th ng ki n th c v lý thuy t .ắ ắ ệ ố ế ứ ề ế
b/N m ch c h th ng bài t P .ắ ắ ệ ố ậ
c/Bi t cách khai thác gi thi t nh m :ế ả ế ằ
- c h t nh ng thông tin ti m n trong gi thi t, n m ch c, n m đ y đ cái ta có, cái ta ch a có.Đọ ế ữ ề ẩ ả ế ắ ắ ắ ầ ủ ư
T đó giúp ta xây d ng h ng gi i, v đ c đ ng ph c ng nh giúp ta có th gi i đ c bài toán b ng nhi uừ ự ướ ả ẽ ượ ườ ụ ũ ư ể ả ượ ằ ề
cách .
d/Bi t cách tìm hi u câu h i ( k t lu n ) :ế ể ỏ ế ậ
+N m ch cắ ắ các ph ng pháp ch ng minh t ng d ng toán ( trong ó c n h t s c l u ý nhươ ứ ừ ạ đ ầ ế ứ ư đị
ngh a các khái ni m )ĩ ệ
+Biêt a bài toán v tr ng h p t ng t .đư ề ườ ợ ươ ự
+N m c ý ngh a c a câu h i có th chuy n sang d ng t ng ng. Ví d ắ đượ ĩ ủ ỏ để ể ể ạ ươ đươ ụ để
ch ng minh bi u th c M không ph thu c v trí c a cát tuy n d khi d quay quanh i m O ta c nứ ể ứ ụ ộ ị ủ ế đ ể ầ
ch ng minh M = h ng s .ứ ằ ố
T đó c n c vào đi u ta có và đi u ta ph i ch ng minh đ đ nh h ng gi i và gi i bài toán . ừ ă ứ ề ề ả ứ ể ị ướ ả ả
Các bài toán nâng cao trong t p tài li u này đ c phân lo i , s p x p h th ng theo “Hình n n “ màậ ệ ượ ạ ắ ế ệ ố ề
đ u bài cho và trên c s đó phân thành nhi u nhóm khác nhau, qua đó giúp cho chúng ta có th tìm hi u chuyên sâuầ ơ ở ề ể ể
t ng ch đ và giúp cho chúng ta có th th c hi n đ c nh ng yêu c u nêu trên ừ ủ ề ể ự ệ ượ ữ ầ c ng nh giúp tra c u dũ ư ứ ễ
dàng h n .ơ
PH N A : TAM GIÁC Ầ
I.TAM GIÁC TH NG ƯỜ

1/ Tam giác t ng quát ổ
2/ Tam giác – Phân giác
3/ Tam giác – ng cao Đườ
4/ Tam giác – ng cao - Phân giác Đườ
5/ Tam giác - Trung tuy n ế
6/ Tam giác – Trung tuy n – Phân giác ế
7/ Tam giác – ng cao – Trung tuy n Đườ ế
8/ Tam giác – ng cao – Trung tuy n – Phân giác Đườ ế
9/ Tam giác – ng cao - Trung tr c Đườ ự
II/ TAM GIÁC C BI T :ĐẶ Ệ
PH N B : T GIÁC Ầ Ứ
1/ T giác ứ
2/ Hình thang
3/ Hình bình hành
4/ Hình ch nh t ữ ậ
5/ Hình vuông
PH N C : NG TRÒN Ầ ĐƯỜ

c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
M T S VÍ D Ộ Ố Ụ
PH N A : TAM GIÁCẦ
I.TAM GIÁC TH NG ƯỜ
CH 1 : TAM GIÁC T NG QUÁTỦ ĐỀ Ổ
I/ M T S B T NG TH C HAY DÙNGỘ Ố Ấ ĐẲ Ứ
1/ Các b t đ ng th c trong tam giác .ấ ẳ ứ
2/ B t đ ng th c Cô si ( Ap d ng đ i v i các s không âm )ấ ẳ ứ ụ ố ớ ố
3/ B t đ ng th c Bunhiacôpxkiấ ẳ ứ
Cho 2n s aố
1
; a

2
; …. ; a
n
; b
1
; b
2
; … ; b
n
ta có :
( a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ …. + a
n
b
n )
2
≤ ( a
1
2
+ a
2
2
+ … + a

n
2
) ( b
1
2
+ b
2
2
+ … + b
n
2
)
D u “ = “ x y ra ấ ả ⇔
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
4/ Giá tr l n nh t c a t ng hai s ị ớ ấ ủ ổ ố
a
2
+ b

2
≥ ½ ( a + b )
2
⇔ a + b ≤
)(2
22
ba +
. D u “=” x y ra ấ ả ⇔ a = b
5/ Giá tr l n nh t c a tích hai s ị ớ ấ ủ ố
a/
2
.
22
ba
ba
+
≤
. D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ a = b
b/ ( a + b )
2
≥ 2 ab Hay
2
)(
2
ba
ab
+
≤
. D u “=” x y ra ấ ả ⇔ a = b
6/ a/ a

2
+ b
2
+ c
2
< 2 ( ab + bc + ca )
b/ a
4
+ b
4
+ c
4
< 2 ( a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
c/ a
2
( b + c – a ) + b
2
( c + a – b ) + c

2
( a + b – c ) ≤ 3abc
7/ ( a+b-c )( b+c-a )( c+a-b ) ≤ abc
8/ a/
pcba
9111
≥++
b/ ( p – a ) ( p – b ) ( p – c ) ≤
8
abc
c/






++≥
−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111
d/
p
bp
ca

ap
bc
cp
ab
4≥
−
+
−
+
−
9/ a/ m
a
2
+ m
b
2
≥
8
9
2
c
b/ m
a
+ m
b
+ m
c
≤
2
9R

10/ a/
rhhh
cba
1111
=++
(1) b/ h
a
+ h
b
+ h
c
≥ 9r (2) c/
S
r
cbas
r
4
9111
2
9
≤++≤
II/ DI N TÍCH TAM GIÁCỆ
G i a , b , c là đ dài các c nh ; họ ộ ạ
a
, h
b
, h
c
là đ dài các đ ng cao , mộ ườ
a

, m
b
, m
c
là đ dài các đ ng trung ộ ườ
tuy n h t đ nh A , B , C ; p là chu vi ; R , r là bán kính đ ng tròn ngo i ti p và đ ng tròn n i ti p ế ạ ừ ỉ ườ ạ ế ườ ộ ế ∆
ABC .
1/ S = ½ h
a
.a = ½ h
b
.b = ½ h
c
.c .
2/ S = ½ absinC = ½ bcsinA = ½ acsinB .
3/ S = ½ pr =
R
abc
4
=
))()(( cpbpapp −−−
( tham kh o )ả
4/ S ≤
6
1
( ch
a
+ bh
c
+ ah

b
)
5/ Cho a , b , c là đ dài ba c nh c a tam giác , S là di n tích c a tam giác đó . Ch ng minh :ộ ạ ủ ệ ủ ứ
a/ a
2
+ b
2
+ c
2
≥
34S
b/ 2(ab + bc + ca ) ≥
34S
+ a
2
+ b
2
+ c
2

c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
6/ Ch ng minh r ng n u t t c các c nh c a m t tam giác đ u nh h n 1 thì di n tích c a tam giác nh ứ ằ ế ấ ả ạ ủ ộ ề ỏ ơ ệ ủ ỏ
h n ơ
4
3
.
III/ CHU VI TAM GIÁC
1/ Trong t t c các tam giác cùng c nh đáy và cùng góc đ nh đ i di n v i c nh y , tìm tam giác có chu vi l n ấ ả ạ ở ỉ ố ệ ớ ạ ấ ớ
nh t .ấ
2/ Trong t t c các tam giác có chung đáy và đ nh thu c đ ng th ng song song v i đáy , tìm tam giác có chu vi ấ ả ỉ ộ ườ ẳ ớ

nh nh t . ỏ ấ
3/ Tìm m t tam giác có chu vi nh nh t sao cho m t đ nh là đi m A cho tr c , còn hai đ nh B và C n m trên 2ộ ỏ ấ ộ ỉ ể ướ ỉ ằ
đ ng th ng dườ ẳ
1
, d
2
cho tr c . ướ
IV/ TAM GIÁC - THÊM M T S I U KI N Ộ Ố Đ Ề Ệ
1/ Cho ∆ ABC . T đ nh A, v phía BC k hai đ ng th ng, đ ng th ng AD t o v i AB m t góc C,ừ ỉ ề ẻ ườ ẳ ườ ẳ ạ ớ ộ
đ ng th ng AE t o v i AC m t góc b ng góc B . Ch ng minh ườ ẳ ạ ớ ộ ằ ứ ∆ ADE cân .
H NG D N ƯỚ Ẫ
A a/ N u góc A nh n .ế ọ
Xét ∆ ADB : ADB = 180
0
– ( B + C ) = A
Xét ∆AEC : AEC = 180
0
– ( B + C ) = A
ADE = B + C ; AED = B + C ; C – B = 2D = 60
0
⇒ AED = ADE ⇒ ∆ADE cân
E B C D
b/N u ế góc A tù .
Xét hai tam giác ABD và AEC : ADE = B + C ; AED = B + C ⇒ ∆ AED cân
c/ N u góc A = 90ế
0
thì D ≡ E
2/ Ch ng minh r ng n u các c nh a , b , c c a ứ ằ ế ạ ủ ∆ ABC th a mãn aỏ
2
= b

2
+ bc thì các góc A và B th a mãn ỏ
góc A = 2B .
H NG D NƯỚ Ẫ
B
c a
c b
D A C
Trên tia đ i c a tia AC l y D sao cho : AD = AB = c . T aố ủ ấ ừ
2
= b
2
+ bc ta suy ra :
a
cb
b
a +
=
Suy ra :
∆ CAB ~ ∆ CBD ⇒ CBA = CDB ; CAB = CBD = CBA + ABD
Nh ng A = 2 ABD ( theo cách d ng ) ư ự ⇒ ABC = ABD
⇒
BA
ˆ
2
ˆ
=
3/ Cho ∆ ABC có góc C tù và A = 2B . ng th ng qua B vuông góc v i BC c t AC t i D . G i M là Đườ ẳ ớ ắ ạ ọ
trung đi m c a AB . Ch ng minh r ng AMC = BMD .ể ủ ứ ằ
H NG D NƯỚ Ẫ

A
C
I
B
M
D
J
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
T C k đ ng th ng song song v i AB c t DM I , c t DB J . ừ ẻ ườ ẳ ớ ắ ở ắ ở Ta có :
)(
DM
ID
MB
IJ
AM
CI
==
. Mà
AM = MB nên CI = IJ . M t khác ặ ∆ CBJ vuông B nên IB = CI hay ICB = IBC . ở V i ICB = CBA ta có : ớ
IBC = CBA . Do đó IBA = CAB . Ch ng t ACIB là hình thang cân. T đó : AC = BI. Do đó : ứ ỏ ừ ∆ CMA = ∆
IMB (cgc) ⇒ AMC = BMD .
4/ ∆ ABC có tính ch t : t n t i P trong tam giác sao cho PAB = 10ấ ồ ạ
0
; PCA = 30
0
; PBA = 20
0
; PAC =
40
0

. Tính các góc B và C .
B H NG D NƯỚ Ẫ


P


A C
G i A’ là đi m đ i x ng c a A qua BP . Suy ra APA’ = 60ọ ể ố ứ ủ
0
và ∆ APA’ đ u .ề
G i E là giao đi m c a PC VÀ BA’ , ta có : ọ ể ủ
PEA’ = 120
0
= EA’C + ECA’ ⇒ T giác AA’EP n i ti p đ ng tròn .ứ ộ ế ườ
T đó ta có : AEA’ = APA’ = 60ừ
0
và do CEA’ = 60
0
nên ta suy ra BA’ là đ ng trung rt c c a AC . ườ ự ủ
V y A = C = 50ậ
0
, B = 80
0

BÀI TOÁN SUY LU NẬ
Ví d : Cho 7 đo n th ng , m i đo n th ng có đ dài m v i 1 ụ ạ ẳ ỗ ạ ẳ ộ ớ ≤ m < 13 và m nguyên . Ch ngứ
minh r ng có th ch n đ c 3 trong 7 đo n th ng y đ d ng tam giác . M nh đ trên còn đúng hayằ ể ọ ượ ạ ẳ ấ ể ụ ệ ề
không n u ch có 6 đo n th ng ?ế ỉ ạ ẳ
H NG D NƯỚ Ẫ

N u a , b , c là ba c nh c a m t tam giác thì bao gi c ng có a < b + c ( 1 ) ; b < c + a ( 2 ); ế ạ ủ ộ ờ ũ
c < a + b (3) . Gi s a ả ử ≥ b ≥ c thì (2) , (3) nghi m đúng nh v y ch còn đi u ki n ( 1 ) . V y ta rút ra ệ ư ậ ỉ ề ệ ậ
nh n xét sau : ậ
Ba s d ng đ c xem nh s đo c a ba c nh c a m t tam giác khi s l n nh t trong ố ươ ượ ư ố ủ ạ ủ ộ ố ớ ấ
ba s đó nh h n t ng c a hai s còn l i .ố ỏ ơ ổ ủ ố ạ
G i 7 đo n th ng đã cho là mọ ạ ẳ
1
; m
2
;… ; m
7
. Gi s mả ử
1
≤ m
2
≤ … ≤ m
7
< 13 .
N u không ch n đ c 3 trong 7 đo n th ng đó đ làm c nh c a tam giác thì t nh n xét trên ta có :ế ọ ượ ạ ẳ ể ạ ủ ừ ậ
m
3
≥ m
1
+ m
2
≥ 1 + 1 = 2
m
4
≥ m
2

+ m
3
≥ 1 + 2 = 3
m
5
≥ m
3
+ m
4
≥ 2 + 3 = 5
m
6
≥ m
4
+ m
5
≥ 3 + 5 = 8
m
7
≥ m
5
+ m
6
≥ 5 + 8 = 13
K t qu mế ả
7
≥ 13 ( trái gt ) , nh v y t n t i ba đo n th ng làm c nh c a m t tam giác .ư ậ ồ ạ ạ ẳ ạ ủ ộ
Kh ng đ nh trên không còn đúng n u ch s d ng 6 đo n th ng . Th t v y ph n ví d sau minh ẳ ị ế ỉ ử ụ ạ ẳ ậ ậ ầ ụ
h a đi u này : Ch n mọ ề ọ
1

= m
2
= 1 ; m
3
= 2 ; m
4
= 3 ; m
5
= 5 ; m
6
= 8 , khi đó không có ba đo n th ng nào ạ ẳ
th a mãn (1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) .ỏ
CH 2 : TAM GIÁC – PHÂN GIÁCỦ ĐỀ
1/ Cho ∆ ABC v i AB > AC . i m M ( khác A ) thu c đ ng phân giác trong và N ( khác A ) thu c đ ng ớ Đ ể ộ ườ ộ ườ
phân giác ngoài c a góc A . ủ Ch ng minh r ng :ứ ằ
a/ AB – AC > MB – MC
b/ AB + AC < NB + NC .
2/ Ba đ ng phân giác trong AD , BE , CF c a ườ ủ ∆ ABC g p nhau t i O . T O d ng OG vuông góc v i BCặ ạ ừ ự ớ
.
A’
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
a/Ch ng minh góc BOD = góc COG . b/Tính góc BOC theo A .ứ
c/Tính góc GOD theo góc B và góc C .
3/ Cho ∆ ABC , các đ ng phân giác AA’, BB’, CC’. G i L là giao đi m c a AA’ và B’C’ , K là giao đi m ườ ọ ể ủ ể
c a CC’ và A’B’ . Ch ng minh : BB’ là phân giác c a góc KBL .ủ ứ ủ
4/ Cho ∆ ABC có d dài 3 c nh là a,b,c và lộ ạ
a
, l
b
, l

c
là đ dài 3 đ ng phân giác ng v i các c nh BC , CA ,ộ ườ ứ ớ ạ
AB . Ch ng minh : ứ
cba
lllcba
111111
++<++

H NG D NƯỚ Ẫ
Chú ý và nh n xét :ậ
+ Ta có th t o ra m t đo n th ng b ng b+c b ng cáchể ạ ộ ạ ẳ ằ ằ
<2c t B v tia Bx // Ac c t AC t i E .ừ ẽ ắ ạ
+ Ta ch ng minh ứ
)1(
2
1
2
1
2
1
bcbc
cb
l
a
+=
+
>
( và t ng t ươ ự
l
a

v iớ

các tr ng h p còn l i ) b ng cách tính BE ( liên ườ ợ ạ ằ
quan đ n b , c , lế
a
) .
Qua B v đ ng th ng song song v i đ ng th ng AD c t CA t i E . ẽ ườ ẳ ớ ườ ẳ ắ ạ ∆ ABE cân t i E . Xét ạ ∆
ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c .
Xét ∆ CBE ta có : AD // BE ⇒
AC
CE
AD
BE
=
⇔
c
b
cbl
AC
CEAD
BE
a
2
)(
.
<
+
==
⇒
)1(

2
1
2
1
2
1
bcbc
cb
l
a
+=
+
>
Ch ng minh t ng t ta có : ứ ươ ự
)2(
2
1
2
11
cal
b
+>
)3(
2
1
2
11
abl
c
+>

L y (1) + (2) +(3) suy ra đi u ph i ch ng minh .ấ ề ả ứ
5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX . Ch ng minh r ng : ứ ằ
H NG D NƯỚ Ẫ
Nh n xét và chú ý :ậ
+ Bài toán cho các đ ng phân giác nên hãy chúườ
ý đ n tính ch t đ ng phân giác c a tam giác .ế ấ ườ ủ
+ Bài toán yêu c u ch ng minh m t b t đ ng th cầ ứ ộ ấ ẳ ứ
nên hãy chú ý đ n các B T trong đó chú ý đ n ế Đ ế
B T Côsi .Đ

Ap d ng b t đ ng th c Cosi cho 3 s d ng ụ ấ ẳ ứ ố ươ
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
;;
ta có :
Theo tính ch t đ ng phân giác : ấ ườ
3
3
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
ZA
CZ

YC
BY
XB
AX
≥++
c
a
b
c
a
b
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
=
Do đó
3
≥++
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
D u “=” x y ra khi và ch khi a = b = c t c ấ ả ỉ ứ ∆ ABC đ u .ề
6/ Cho ∆ ABC , ba đ ng phân giác trong AD , BE , CF . Ch ng minh đi u ki n c n và đ đ tam giác ABC ườ ứ ề ệ ầ ủ ể
đ u là Sề

DEF
= ¼ S
ABC
.
3
≥++
ZA
CZ
YC
BY
XB
AX
B
D
C
A
E
A
B
C
Y
Z
X
a
b
c
c
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
8/ Cho ∆ ABC có đ dài ba c nh là a , b , c . ộ ạ V các phân giác AD , BE , CF .Ch ng minh ẽ ứ
S

DEF
≤ ¼ S
ABC
, d u “=” x y ra ấ ả ⇔ ∆ ABC đ u .ề
TÍNH L N C A GÓCĐỘ Ớ Ủ
1/ Cho ∆ ABC , các đ ng phân giác trong BD , CE . Tính s đo các góc c a tam giác n u BDE = 24ườ ố ủ ế
0
, CED =
18
0
.
2/ Cho ∆ ABC , các góc B và C có t l 3 : 1 , phân giác c a góc A chia di n tích tam giác theo t s 2: 1 .ỉ ệ ủ ệ ỉ ố
Tính các góc c a tam giác .ủ
HAI NG PHÂN GIÁC ĐƯỜ
1/ Cho ∆ ABC có hai đ ng phân giác trong BD , CE c t nhau t i I . Bi t ID = IE . Ch ng minh r ng ho cườ ắ ạ ế ứ ằ ặ
∆ ABC cân t i A ho c BAC = 60ạ ặ
0
.
H NG D NƯỚ Ẫ
A
E’
D E
I
C B
AI là đ ng phân giác c a góc A . Khi đó hai ườ ủ ∆ IEA và ∆ IDA có th x y ra hai tr ng h p :ể ả ườ ợ
a/ ∆ IEA = ∆ IDA . Khi đó :
BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒ AB = AC ⇒
∆ ABC cân t i A .ạ
b/ ∆ IEA và ∆ IDA không b ng nhau ằ ⇒ ∆ ABC không cân A . ở
Không m t tính t ng quát ta gi s : C > B . ấ ổ ả ử L y đi m E’ trên AB sao cho IE’ = IE = ID . ấ ể ⇒ ∆

IE’E cân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA
Xét t giác ADIE có : D + E = 180ứ
0
⇒ A + DIE = 180
0
⇒ A + BIE = ICB + IBC
⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B . Mà BIE + DIE = 180
0
và A + B + C = 180
0
⇒ A + 2A = 180
0

⇒ A = 60
0
.
C C TRỰ Ị
1/ Cho ∆ ABC v i AB ớ ≤ AC và AD là đ ng phân giác trong . L y đi m M trên c nh AB và đi m N trên c nh ườ ấ ể ạ ể ạ
AC sao cho BM.CN = k không đ i ( k < ABổ
2
) . Xác đ nh v trí c a M , N sao cho di n tích c a t giác ị ị ủ ệ ủ ứ
AMDN là l n nh t .ớ ấ
H NG D NƯỚ Ẫ
Nh n xét : ậ
1/ BM + CN ≥
2 .BM CN
2/ S
AMDN
= S
AMD

+ S
ADN
3/ M
B E
H DH , DK vuông góc v i AB và AC . Ta có : DH = DK = h ng s ( AD là phân giác c a góc A ) ạ ớ ằ ố ủ
2S
AMDN
= 2S
ADM
+ 2S
ADN
= DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN )
= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)
Ap d ng b t đ ng th c Côsi cho hai s d ng BM , CN :ụ ấ ẳ ứ ố ươ
BM + CN ≥
kCNBM 2.2 =
, d u “ = “ x y ra ấ ả ⇔ BM = CN . Thay vào (1) ta đ c : ượ
2S
AMDN
≤ DH(AB+AC-
k2
)
Di n tích t giác AMDN l n nh t khi BM = CN = ệ ứ ớ ấ
k
< AB ≤ AC .
A
B C
D
H
M

K
N
H
1 đv
k
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
Lúc đó S
AMDN
= ½ (AB+AC -
k2
) . D dàng d ng đ c các đo n th ng BM , CN theo h th c ễ ự ượ ạ ẳ ệ ứ
BM
2
= CN
2
= k.1 ( trong đó 1 ch 1 đ n v dài ) .ỉ ơ ị
Cách d ng : Trên BC l y E sao cho BE = 1 . trên BF l y H sao cho BH = k . D ng đ ng ự ấ ấ ự ườ
tròn đ ng kính BE , d ng tia Hx vuông góc v i BE c t đ ng tròn t i M. BM có đ dài c n d ngườ ự ớ ắ ườ ạ ộ ầ ự
.
CH 3 : TAM GIÁC – NG CAOỦ ĐỀ ĐƯỜ
1/ Cho ∆ ABC có a > b > c . Ch ng minh :ứ
a/ h
a
< h
b
< h
c
b/ a + h
a
≥ b + h

b

2/ Cho ∆ ABC có ba c nh là a , b , c và ba đ ng cao là hạ ườ
a
, h
b
, h
c
. Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế
)(
1
)(
1
)(
1111
cppbppapp
hhh
cba
−
+
−
+
−
=++
thì tam giác ABC là tam giác đ u ( p là n a chu vi ề ử
c a ủ ∆ ABC .
3/ Ch ng minh r ng n u m t tam giác có 2 c nh không b ng nhau thì t ng c a c nh l n h n và ứ ằ ế ộ ạ ằ ổ ủ ạ ớ ơ
đ ng cao t ng ng l n h n t ng c a c nh nh và đ ng cao t ng ng . ườ ươ ứ ớ ơ ổ ủ ạ ỏ ườ ươ ứ
4/ Cho ∆ ABC có các đ ng cao AA’ , BB’ , CC’ . ườ Chi u A’ lên AB , AC , BB’ và CC’ t i I , J ,ế ạ
K , L . Ch ng minh 4 đi m I , J , K , L th ng hàng . ứ ể ẳ

5/ Cho ∆ ABC , đ ng cao AH . G i C’ là đi m đ i x ng c a H qua AB . G i B’ là đi m đ i x ng c aườ ọ ể ố ứ ủ ọ ể ố ứ ủ
H qua AC . G i giao đi m c a B’C’ v i AC và AB là I và K . Ch ng minh BI và CK là đ ng cao c a ọ ể ủ ớ ứ ườ ủ ∆
ABC .
NG CAO – CHU VI TAM GIÁCĐƯỜ
1/ Ch ng minh r ng m i ứ ằ ọ ∆ ABC ta đ u có : pề
2
≥ h
a
2
+ h
b
2
+ h
c
2
( p là n a chu vi tam giác ABC )ử
2/ Cho ∆ ABC . Xác đ nh các đi m M , N , P theo th t thu c các c nh BC , CA , AB sao choị ể ứ ự ộ ạ
chu vi ∆ MNP là nh nh t .ỏ ấ
NG CAO - B T NG TH C - C C TRĐƯỜ Ấ ĐẲ Ứ Ự Ị
1/ Cho 2 đi m A , B có đ nh và đi m M di đ ng sao cho ể ị ể ộ ∆ MAB có 3 góc nh n . G i H là tr c tâm ọ ọ ự
c a ủ ∆ AMB , K là chân đ ng cao v t M . Tìm giá tr l n nh t c a KH.KM .ườ ẽ ừ ị ớ ấ ủ
CH 4: TAM GIÁC – NG CAO - PHÂN GIÁCỦ ĐỀ ĐƯỜ
1/ ng cao và đ ng phân giác v t đ nh A c a Đườ ườ ẽ ừ ỉ ủ ∆ABC t o thành m t góc . Tính góc đo theo các góc B và C ạ ộ
c a tam giác ABC ( ho c ch ng minh ủ ặ ứ góc ó b ng n a hi u c a hai góc B và Cđ ằ ử ệ ủ )
H NG D NƯỚ Ẫ
A Chú ý vành n xét : ậ
+ D luôn n m gi a H và trung đi m M ( s ch ng minhằ ữ ể ẽ ứ
ph n sau )ở ầ
+ Tìm cách t o ra m t góc b ng B – C ho c tính B-C .ạ ộ ằ ặ
B H D E C

Cách 1 : T A v tia AE sao cho CAE = BAH . ừ ẽ Suy ra : HAD = DAE , HAE = 2 HAD
B = 90
0
– BAH
C = 90
0 –
HAE - CAE
B – C = HAE = 2 HAD
Cách 2 : B = 90
0
– BAH
C = 90
0 –
CAH
B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = 2 HAD
1.1/ Cho ∆ ABC và đ ng phân giác CE . T C k đ ng th ng vuông góc v i CE c t c nh AB kéo dài t i D.ườ ừ ẻ ườ ẳ ớ ắ ạ ạ
Ch ng minh r ng góc EDC b ng n a hi u c a các góc A và B . ứ ằ ằ ử ệ ủ
1.2/ u ng phân giác ngoài k t đ nh A c a Đ ờ ẻ ừ ỉ ủ ∆ ABC t o v i c nh BC m t góc 30ạ ớ ạ ộ
0
. Tìm hi u c a các góc Cệ ủ
và B ( Cho AB > AC ) .
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
1.3/ Ch ng minh r ng trong m t tam giác n u hi u các góc đáy b ng 90ứ ằ ộ ế ệ ở ằ
0
thì đ ng phân giác trong vàườ
đ ng phân giác ngoài c a góc đ nh b ng nhau . ườ ủ ở ỉ ằ
CH 5: TAM GIÁC - TRUNG TUY NỦ ĐỀ Ế
1/ Ch ng minh r ng trong m i tam giác ta có : ứ ằ ọ
5
4

(m
a
m
b
+ m
b
m
c
+ m
c
m
a
) < ab + bc + ca <
9
20
(m
a
m
b
+ m
b
m
c
+ m
c
m
a
)
H NG D N ƯỚ Ẫ
A

P N
G
Q
B M C
+ Trong m i tam giác ta có : mọ
a
+ m
b
+ m
c
< a + b + c
⇒ m
a
2

+ m
b
2
+ m
c
2
+ 2(m
a
+ m
b
+ m
b
m
c
+ m

c
m
a
) < a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2 ( ab + bc + ca ) ( 1 )
Do : m
a
2

+ m
b
2
+ m
c
2
=
4
333
222
cba ++

Nên ( 1 ) ⇔ 2(m
a
m
b

+ m
b
m
c
+ m
c
m
a
) <
4
222
cba ++
+ 2 ( ab + bc + ca )
<
2
cabcab ++
+ 2 ( ab + bc + ca )
⇔
5
4
(m
a
m
b
+ m
b
m
c
+ m
c

m
a
) < ab + bc + ca ( * )
+ K PQ // AM ; AM , BN , CP là 3 trung tuy n c a ẻ ế ủ ∆ ABC . ∆ PQG có 3 c nh là : ạ
3
1
m
a
;
3
1
m
b
;
3
1
m
c
và
3 trung tuy n là ế
4
a
;
4
b
;
4
c
.
Ap d ng b t đ ng th c ( * ) vào ụ ấ ẳ ứ ∆ PQG ta có :

5
4
(
)
4
.
44
.
44
.
4
accbba
++
<
3
1
m
a
.
3
1
m
b
+
3
1
m
b
.
3

1
m
c
+
3
1
m
c
.
3
1
m
a
⇔ ab + bc + ca <
9
20
(m
a
m
b
+ m
b
m
c
+ m
c
m
a
) .
2/ Cho ∆ ABC , trung tuy n AM . M t cát tuy n ế ộ ế ∆ quay quanh tr ng tâm G c t AB , AC t i P và Q .ọ ắ ạ

Ch ng minh : ứ
AQ
AC
AP
AB
+
không ph thu c v trí c a ụ ộ ị ủ ∆ .
3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC . M t đ ng th ng đi qua tr ng tâm G c a ộ ườ ẳ ọ ủ ∆ ABC , c t các c nhắ ạ
AB , AC l n l t t i E , F . Hãy xác đ nh v trí đi m E sao cho AE + AF đ t giá tr nh nh t . ( M r ng bàiầ ượ ạ ị ị ể ạ ị ỏ ấ ở ộ
trên )
4/ Cho ∆ ABC , trung tuy n AD . T đi m M b t k trên BD v đ ng th ng song song v i AD c t ABế ừ ể ấ ỳ ẽ ườ ẳ ớ ắ
t i E , c t AC t i F . Ch ng minh : 2AD = ME + MF . ạ ắ ạ ứ
H NG D N ƯỚ Ẫ
Chú ý và nh n xét :ậ
+ 2AD = ME + MF ⇔
2
=
+
AD
MFME

+ T o ra đo n th ng b ng ME + MF .ạ ạ ẳ ằ
B T NG TH C - C C TRẤ ĐẲ Ứ Ự Ị
1/ Có t n t i hay không m t tam giác có hai trung tuy n AD và CE nh h n n a c nh đ i di n .ồ ạ ộ ế ỏ ơ ử ạ ố ệ
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
H NG D NƯỚ Ẫ
B
AD < ½ BC ⇒ AD < DC ⇒ AD < DB ;
CE < ½ AB ⇒ EC < AE
Do đó : DCA < DAC ; DBA < DAB ⇒ DCA + DBA < DAC + DAB ⇒

180
0
– CAB < CAB ⇒ CAB tù nên CE > AC . i u Đ ề này mâu thu n ẫ
v i gi thi t , v y không t n t i tam giác th a ớ ả ế ậ ồ ạ ỏ mãn b t đ ng th c : CE +ấ ẳ ứ
AD < ½ ( AB + BC)
3/Ch ng minh r ng trong m t tam giác b t k ta có :ứ ằ ộ ấ ỳ
22
cb
m
acb
a
+
<<
−+
DI N TÍCHỆ
1/ Tìm t s di n tích c a tam giác ABC v i di n tích c a tam giác khác có c nh b ng các trungỉ ố ệ ủ ớ ệ ủ ạ ằ
tuy n c a ế ủ ∆ ABC .
B H NG D NƯỚ Ẫ

M S
BOF
= ½ OH.BF
F O S
ABC
= ½ CK.AB = ½ 3OH.2BF = 3OH.BF
⇒ S
BOF
= 1/6 S
ABC
A E C

Kéo dài BE thêm m t đo n ED = EO ộ ạ ⇒ T giác AOCD là hình bình hành . Ta có : OD = 2/3 BE ;ứ
CD = OA = 2/3 AM ; OC = 2/3 CF ⇒ ∆ CDO đ ng d ng v i tam giác có ba c nh b ng trung tuy n ồ ạ ớ ạ ằ ế
c a ủ ∆ ABC . G i S’ là di n tích c a tam giác này . Ta có : ọ ệ ủ
2
)
2
3
(
'
=
CDO
S
S
⇒ S’ = 9/4 S
CDO
. M t khác 6 tam giác nh OBF , OFA … có di n tích ặ ỏ ệ
b ng 1/6 Sằ
ABC
⇒ S
CDO
= 1/3S
ABC
⇒
9 1 3 4
' . .
4 3 4 ' 3
ABC
ABC ABC
S

S S S
S
= = ⇒ =

2/ Cho ∆ ABC có di n tích b ng đ n v . Trung tuy n CF . V AD ( D n m trên c nh BC ) c tệ ằ ơ ị ế ẽ ằ ạ ắ
CF t i M sao cho FM = ¼ CF . Tính di n tích c a ạ ệ ủ ∆ ABD .
CH 6: TAM GIÁC – TRUNG TUY N – PHÂN GIÁCỦ ĐỀ Ế
1/ Cho tam giác trong đó có m t góc tù . Thành cho r ng trung tuy n k t đ nh c a góc nh n c a tam giácộ ằ ế ẻ ừ ỉ ủ ọ ủ
đ ng th i có th là đ ng phân giác c a góc nh n đó . Cóng cho r ng đi u đó không th có đ c . H i b n nàoồ ờ ể ườ ủ ọ ằ ề ể ượ ỏ ạ
nói đúng ? Vì sao ?
B H NG D NƯỚ Ẫ
D
A C
Cách 1 : Trong ∆ ABC đ ng phân giác c a góc nh n A c ng là đ ng trung tuy n , do đó ườ ủ ọ ũ ườ ế ∆ ABC
cân t i A . Mà góc B > 90ạ
0
( gt ) ⇒ góc C = góc B > 180
0
( vô lý ) .
V y Công nói đúng . ậ
Cách 2 : Gi s Thành nói đúng t c là ả ử ứ
1
DB AB
DC AC
= =
⇒ AB = AC đi u này vô lý vì trái gi thi t , doề ả ế
đó Thành nói sai .
DE
A
C

D
H
K
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
2/ Cho ∆ ABC có BC < BA , đ ng trung tuy n BD , đ ng phân giác BE . ng th ng qua C vuôngườ ế ườ Đườ ẳ
góc v i BE F và c t BD G . Ch ng minh r ng DF đi qua trung đi m c a đo n th ng GE .ớ ở ắ ở ứ ằ ể ủ ạ ẳ
H NG D NƯỚ Ẫ
G i K là giao đi m c a CG v i AB , khi đó ọ ể ủ ớ ∆ BCK cân B nên F là trung đi m c a c a CK . T đó ở ể ủ ủ ừ
FD // AB và FD = ½ AK .
T ừ ∆ BGK ~ ∆ DGF ⇒
FD
BK
GD
GB
=
⇔
GB GD BK FD BD BF FD
GB BK GB BK
+ + +
= = =
suy ra
2 2
2
GB BK BK BC
BD FD BK AK BK BC AB
= = =
+ + +
(1) .
Ap d ng tính ch t đ ng phân giác trong ụ ấ ườ ∆ ABC ta có :
EA

EC
BA
BC
=
⇒
BC EC
BC AB CA
=
+
(2) ⇒
2 2 2
2
BC EC EC EC
BC AB CA CD CD
= = =
+
T (1 ) và (2) ta suy ra : ừ
CD
EC
BD
GB
=
⇒ GE // BC . Vì DF đi qua trung đi m c a BC nên nó c ngể ủ ũ
đi qua trung đi m c a GE .ể ủ
Cách 2 :
Ta có : ∆ KBC là tam giác cân t i B ạ ⇒ FK = FC ⇒ DF // AK và DF = ½ AK
22111 −=−=−
−
=−=−=
−

=
DF
AB
DE
AE
DE
DEAE
DE
AD
DE
DC
DE
DEDC
DE
CE
( Vì DF // AB)
=
GD
BG
DF
BK
DF
AKAB
DF
DFAB
==
−
=
− 2
⇒ GE // BC .

Vì M là trung đi m c a BC nên DF chia đôi GE .ể ủ
TÍNH L NĐỘ Ớ
1/ Tam giác ABC có đ ng trung tuy n BM và đ ng phân giác CD c t nhau t i K sao cho KB = KC . ườ ế ườ ắ ạ
Bi t BAC = 105ế
0
. Tính các góc ABC , ACB .
H NG D NƯỚ Ẫ

D ng AH ự ⊥ BC , n i HM . Khi đó MH = MA = MC suy ra MHC = MCH = 2BCK . Theo gi ố ả
thi t KB = KC ế ⇒ KBC = KCB . V y có MHC = 2KBC (1) . M t khác MHC = KBC + HMB (2) . T ậ ặ ư
(1 ) và (2) suy ra KBC = HMB hay ∆ HMB cân t i H ạ ⇒ MH = HB .
Gi s HA > HB , lúc đó ABH > BAH ả ử ⇒ BAH < 45
0
và ABH >45
0
. Vì BAH + CAH = 105
0
nên
CAH >60
0
. Tam giác AMH cân đ nh M suy ra AHM = HAM > 60ỉ
0
⇒ AMH < 60
0
. Do đ1o HA < MH =
D
B H
C
M
K

A
B
C A
K
G
E D
F
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
HB ( mâu thu n ) . T ng t n u HA < HB ta c ng g p đi u mâu thu n . V y HA = HB ẫ ươ ự ế ũ ặ ề ẫ ậ ⇒ ∆ AHB
vuông cân t i H . T đó ABC = 45ạ ừ
0
; ACB = 30
0
.
2/ Cho ∆ ABC v i AB ớ ≥ AC . G i AD , AM l n l t là đ ng phân giác , đ ng trung tuy n c a ọ ầ ượ ườ ườ ế ủ ∆ ABC .
Ch ng minh r ng :ứ ằ
22
ACAB
AMAD
BCACAB +
<≤<
−+
3/ Cho ∆ ABC v i AB > AC . i m M ( khác A ) thu c đ ng phân giác trong và N (khác A ) thu c đ ng ớ Đ ể ộ ườ ộ ườ
phân giác ngoài c a góc A . ủ Ch ng minh r ng :ứ ằ
a/ AB – AC > MB – MC
b/ AB + AC < NB + NC .
CH 7: TAM GIÁC – NG CAO – TRUNG TUY NỦ ĐỀ ĐƯỜ Ế
1/ Tính các góc c a m t tam giác bi t đ ng cao và đ ng trung tuy n xu t phát t m t đ nh chia góc đ nhủ ộ ế ườ ườ ế ấ ừ ộ ỉ ở ỉ
ra làm 3 ph n b ng nhau . ầ ằ
2/ Cho ∆ ABC có 3 góc nh n . G i AH là đ ng cao l n nh t trong 3 đ ng cao c a tam giác . ọ ọ ườ ớ ấ ườ ủ BE là trung

tuy n k t đ nh B . Bi t r ng AH = BE . Ch ng minh góc B nh h n ho c b ng 60ế ẻ ừ ỉ ế ằ ứ ỏ ơ ặ ằ
0
. Khi nào thì góc
B = 60
0
.
B H NG D NƯỚ Ẫ

I
H
K’’

C A
T E h EK’ ừ ạ ⊥ BC , EK’’ ⊥ AB . Ta có EK’ = ½ AH . Ma AH = BE ( gt )
⇒ EK’ = ½ BE ⇒ ∆ BK’E là n a tam giác đ u .ử ề
⇒ góc BEK’ = 60
0
, góc EBK’ = 30
0
.
H CI ạ ⊥ AB , ta có : EK’’//=1/2 CI .
EK’’ ≤ ½ AH ( AH là đ ng cao l n nh t )ườ ớ ấ
EK’’ ≤ ½ BE
⇒ góc EBA ≤ 30
0
Và góc B = EBC + EBA ≤ 60
0

Mu n góc B = 60ố
0

thì AH = CI ⇔ ∆ ABC cân và góc B = 60
0
⇔ ∆ ABC là tam giác đ u .ề
3/ G i P là trung đi m c nh BC c a ọ ể ạ ủ ∆ ABC và BE , CF là hai đ ng cao . ng th ng qua A vuông gócườ Đườ ẳ
v i PF c t đ ng th ng CF t i M . ng th ng qua A vuông góc v i PE c t đ ng th ng BE t i N .ớ ắ ườ ẳ ạ Đườ ẳ ớ ắ ườ ẳ ạ
G i K và G l n l t là trung đi m c a BM , CN . G i H là giao đi m c a đ ng th ng KF và GE . Ch ngọ ầ ượ ể ủ ọ ể ủ ườ ẳ ứ
minh r ng AH ằ ⊥ EF .
H NG D NƯỚ Ẫ
Ch ng minh : ứ ∆ AMI cân ⇒ KF là TB c a Đ ủ ∆ MBI
∆ ANI cân ⇒ EG là TB c a Đ ủ ∆ NIC
⇒ FH ⊥ AC ; EH ⊥ AB
CH 8: TAM GIÁC – NG CAO – TRUNG TUY N – PHÂN GIÁCỦ ĐỀ ĐƯỜ Ế
1/ Cho ∆ ABC v i các trung tuy n , phân giác , đ ng cao d ng t m t đ nh chia góc đ nh đó thành 4 ph nớ ế ườ ự ừ ộ ỉ ở ỉ ầ
b ng nhau . Tính các góc c a ằ ủ ∆ ABC .
A H NG D NƯỚ Ẫ

B H D M C
B c 1 : Ch ng minh D n m gi a H và M . B c 2 : Tính các góc c a tam giác .ướ ứ ằ ữ ướ ủ
A
E
60
0
30
0
K’
I
x
E
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
2/ Ký hi u lệ

a
, l
b
, l
c
, m
a
, m
b
, m
c
, h
a
, h
b
, h
c
t ng ng là đ dài các đ ng phân giác , đ ng trung tuy n , ươ ứ ộ ườ ườ ế
đ ng cao đ c k t i các c nh a , b , c c a tam giác ABC . Ch ng minh : ườ ượ ẻ ớ ạ ủ ứ
H NG D NƯỚ Ẫ
A
B C


D ng đ ng tròn ngo i ti p ự ườ ạ ế ∆ ABC , kéo dài đ ng phân giác AP c t đ ng tròn t i N . N là đi m ườ ắ ườ ạ ể
chính gi a c a cung BC do đó : MN ữ ủ ⊥ BC t i trung đi m M c a BC , hay AH//MN . Suy ra P n m trên ạ ể ủ ằ
đo n HM , do đó AH ạ ≤ AP ≤ AM , ngh a là : hĩ
a
≤ l
a

≤ m
a
.
T đó ta đ c hừ ượ
a
+ l
a
≤ 2m
a
.
Ch ng minh t ng t ta đ c : hứ ươ ự ượ
b
+ l
b
≤ 2m
b
;

h
c
+ l
c
≤ 2m
c
ý r ng hĐể ằ
i
+ l
i
= 2m
i

⇔ h
i
= l
i
= m
i
⇔ ∆ A
1
A
2
A
3
cân t i đ nh Aạ ỉ
I

Suy ra ch ng minh t ng t ta đ c 2 b t đ ng th c t ng t . ứ ươ ự ượ ấ ẳ ứ ươ ự
C ng t ng v các b t đ ng th c đó và áp d ng b t đ ng th c cô si cho 3 s d ng ta đ c :ộ ừ ế ấ ẳ ứ ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ
D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ ∆ ABC là tam giác đ u suy t các đ ng th c ề ừ ẳ ứ
h
i
+ l
i
= 2m
I
( i = 1 , 2 , 3 ) và
3/ Cho tam giác nh n ABC không đ u . K đ ng cao AH , trung tuy n BM , phân giác CL c a ACB . ọ ề ẻ ườ ế ủ
Trung tuy n BM c t AH và CL l n l t t i P và Q . CL c t AH t i R . Ch ng minh r ng ế ắ ầ ượ ạ ắ ạ ứ ằ ∆ PQR không
ph i là tam giác đ u .ả ề
CH 9 : TAM GIÁC – NG CAO - TRUNG TR CỦ ĐỀ ĐƯỜ Ự
1/ Cho ∆ ABC , O là giao đi m các đ ng trung tr c c a 3 c nh , H là tr c tâm c a tam giác , M là trung đi mể ườ ự ủ ạ ự ủ ể

c a BC . ủ
a/ Ch ng minh : AH = 2 OM . ứ
b/ Ch ng minh ba đi m H , O , G th ng hàng ( đ ng th ng Le ) .ứ ể ẳ ườ ẳ Ơ
2/ Cho tam giác ABC nh n có A = 60ọ
0
. G i H là tr c tâm c a ọ ự ủ ∆ ABC . G i M , N l n l t là giao đi m ọ ầ ượ ể
c a đ ng trung tr c c a BH và CH v i AB và AC . Ch ng minh r ng ba đi m M , N , H th ng hàng .ủ ườ ự ủ ớ ứ ằ ể ẳ
2
3
≥
+
+
+
+
+
aa
c
cc
b
bb
a
lh
m
lh
m
lh
m
M M
b
a

bb
a
m
m
lh
m
2
≥
+
3
2
3
.3.
2
1
)(
2
1
=≥++≥
+
+
+
+
+
a
c
c
b
b
a

a
c
c
b
b
a
aa
c
cc
b
bb
a
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
lh
m
lh
m
lh
m

a
c
c
b
b
a
m
m
m
m
m
m
;;
1
132
321
1
3
3
2
2
1
=
++
++
===
mmm
mmm
m
m

m
m
m
m
P
N
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
3/ Cho ∆ ABC có ABC = 30
0
; ACB = 20
0
. ng trung tr c c a AC c t BC E , c t tia BA F . Đườ ự ủ ắ ở ắ ở
Ch ng minh r ng AF = EF và AC = BE .ứ ằ
H NG D NƯỚ Ẫ
a/ G i K là giao đi m c a AC và EF . ọ ể ủ ∆ EAC cân t i E ạ ⇒ EAK = ECK = 20
0
. M t khác FAC = ặ
ABC + ACB = 50
0
⇒ FEA = 70
0
. (1) ; AEK = KEC = 90
0
– KCE = 70
0
(2) .
T (1) và (2) ta suy ra ừ ∆ FAE cân t i F ạ ⇒ AF = EF .
b/ Cách 1 :
H EH ạ ⊥ AF ( H ∈ AF ) . Ta có AK = EH ( do ∆ FAE cân ) . trong tam giác vuông BHE có B =
30

0
⇒ EH = ½ BE . M t khác AK = ½ AC ặ ⇒ AC = BE .
Cách 2 : Trên tia KE l y P sao cho ấ ∆ PAC là tam giác đ u . Ta có : FAP = FAC + CAP = ABC + ề
ACB + CAP = 50
0
+ 60
0
=110
0
; FEB = 90
0
+ ECK = 110
0
⇒ FAP = FEB . T đó suy ra ừ ∆ FAP = ∆
FEB ( g.c.g) ⇒ BE = AP = AC .
TÍNH L N C A GÓC .ĐỘ Ớ Ủ
1/ Cho ∆ ABC . D ng đo n th ng BD sao cho ABD = 60ự ạ ẳ
0
, BD = BA và tia BA n m gi a hai tia BC , ằ ữ
BD . D ng đo n th ng BE sao cho CBE = 60ự ạ ẳ
0
, BE = BC và tia BC n m gi a hai tia BA , BE . G i M làằ ữ ọ
trung đi m c a DE , P là giao đi m c a hai đ ng trung tr c c a các đo n th ng BA và BD . Tính các góc ể ủ ể ủ ườ ự ủ ạ ẳ
c a ủ ∆ CMP .
H NG D NƯỚ Ẫ
T gi thi t ta suy ra các ừ ả ế ∆ ABD và ∆ BCE đ u n m phía ngoài ề ằ ∆ ABC . trên tia đ i c a tia MP l y ố ủ ấ
đi m N sao cho MN = MP . Ta có ể ∆ PMD = ∆ NME ( c.g.c) ⇒ PD = NE và PD // NE , mà PD ⊥ AB ⇒
EN ⊥ AB . H EH ạ ⊥ BC ta có NEH = ABC ⇒ PBC = NEC . T đó ừ ∆ PBC = ∆ NEC (c.g.c ) ⇒ CP =
CN . M t khác PCB = NCE ặ ⇒ PCN = BCE 60
0

⇒ ∆ CPN là tam giác đ u . Vì M là trung đi m c a PN nên ề ể ủ
PMC = 90
0
; MPC = 60
0
; PCM = 30
0
.
D
B
C
A
E
N
M
P
E
A
B
C
F
K
P
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
TAM GIÁC CÂN
1/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) . T trung đi m H c a BC h HE vuông góc v i AC .G i O là trung đi mừ ể ủ ạ ớ ọ ể
c a HE . Ch ng minh r ng AO ủ ứ ằ ⊥ BE .
A H NG D NƯỚ Ẫ
D
E

F
B H C
Cách 1 : H BD ạ ⊥ AC . ∆ CDB ~ ∆ CEH ~ ∆ HEA
E và O là trung đi m c a c a các c nh t ng ng c a hai tam giác đ ng d ng CDB , HEA ể ủ ủ ạ ươ ứ ủ ồ ạ ⇒ ∆ CEB ~
∆ HOA ( ∆ CDB ~ ∆ HEA ⇒
HA
CB
HO
CE
HA
CB
HE
CD
=⇒=
2
2
)
⇒
HA
CB
BCHO
CE
=
⇒ ∆ CEB ~ ∆ HOA ⇒ CBE = HAO
Xét hai tam giác BHI và AKI cho ta : AKI = 90
0

Cách 2 : T H k HF // BE ừ ẻ ⇒ FE = FC ⇒ OF // HC ⇒ OF ⊥ AH .
Xét ∆ AHF có hai đ ng cao g p nhau t i O ườ ặ ạ ⇒ AO ⊥ HF hay AO ⊥ BE .
2/ Cho giác cân ABC ( AB = AC ) , trung tuy n CE . Kéo dài AB thêm m t đo n BD = AB . Ch ng ế ộ ạ ứ

minh : CE = 1 / 2 CD .
A H NG D NƯỚ Ẫ
E F’
B C
F Cách 1 : G i F là trung đi m c a CD , ta có : BF //= ½ ACọ ể ủ
⇒ BF = BE ; CBF = ACB ( so le trong )
⇒ CBF = ABC ⇒ ∆ BEC = ∆ BFC ( cgc ) ⇒ CE = CF ⇒ CE = ½ CD
Cách 2 : V trung tuy n BF’ . BF’ là đ ng trung bình c a ẽ ế ườ ủ ∆ ADC . BF’ = CE = ½ CD
3/ Cho tam giác ABC cân t i C . ạ K trung tuy n CM và phân giác AD . Tính góc C bi t AD = 2 CM . ẻ ế ế
F H NG D N ƯỚ Ẫ
C


A M B
D
K
O
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
V Ax ẽ ⊥ AB c t BC t i F . Ta có : CM = ½ FA ắ ạ ⇒ AF = AD ⇒ ∆ FAD cân t i F .ạ
⇒ F = MCB = MCA = ADC . Vì ADF = B + ½ A = 3/2 B ⇒ MCB = 3/2 B
Và : MCB + B = 90
0
⇒ 5/2 B = 90
0
⇒ B = 36
0
; C = 108
0
4/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) . D ng tia Bx trong tam giác và tia Cy ngoài tam gíac c t nhau t i M saoự ắ ạ
cho góc ABx b ng góc ACy . Ch ng minh góc BMA = góc AMy .ằ ứ

A’ H NG D NƯỚ Ẫ
A
M
B H C
Cách 1 : V tia Bx’ ngoài tam giác c t Cy t i A’ sao cho A’BA = ABX .ẽ ắ ạ
∆ A’BC cân t i A’ ạ ⇒ A , A’ cùng n m trên đ ng trung tr c c a BC ằ ườ ự ủ
⇒
A’A là phân giác c a BAM . ủ
⇒
A là giao đi m ba đ ng phân giác c a ể ườ ủ ∆ A’BM
⇒
i u ph i ch ng minh .Đ ề ả ứ
Cách 2 : Trên Cy l y H’’ sao cho CH’’ = BM ấ
∆ ABM = ∆ ACH’’ ⇒ AM = AH’’ và HAM = AMB ⇒ đpcm .
Cách 3 : H AH ạ ⊥ Bx , l y HH’ = BH . ấ
Xét ∆ BA’M có A là giao đi m phân giác trong và 2 đ ng phân giác ngoài ể ườ ⇒ đpcm .
5/ Cho ∆ ABC cân t i A , góc A = 80ạ
0
. Trong ∆ ABC l y m t đi m M sao cho góc MBC = 10ấ ộ ể
0
, góc
MCB = 30
0
. Tính góc AMB .
H NG D NƯỚ Ẫ
I
A
D
E
M

B C
H
Cách 1 : V đ ng cao AH . AH c ng là đ ng cao , đ ng phân giác , đ ng trung tr c .ẽ ườ ũ ườ ườ ườ ự
⇒ EBC = ECB = 30
0
⇒ EBM = 20
0
, ABE = 20
0
; EMB = 40
0
⇒ AEB = MEB = 120
0
.
⇒ ∆ AEB = ∆ MEB ⇒ AB = BM ⇒ AMB = 70
0
Cách 2 : V tam giác đ u BIC . ẽ ề ∆ BAI = ∆ CAI ⇒ BAI = 140
0
, IBA = 10
0

⇒ ∆ IBA = ∆ CBM ⇒ AB = MB ⇒ ∆ ABM cân t i B ạ ⇒ AMB = 70
0

H’’
y
H’
H
1
x

c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
6/ Cho ∆ ABC cân t i A có góc A = 80ạ
0
. trong tam giác l y đi m M sao cho góc ABM = 10ấ ể
0
, góc ACM
= 20
0
. Tính góc AMB .
A H NG D N ƯỚ Ẫ
M
H đ ng cao AH c t CM t i K .Ta có : KBC = KCB = 30ạ ườ ắ ạ
0

⇒
MBK = MBA = 10
0

⇒
BKM = 60
0
; MKA = HKC = 60
0

⇒
M là giao đi m hai đ ng phân giác trong c a ể ườ ủ ∆ ABC nên AM là phân giác c aủ
góc A ⇒ BAM = 20
0
⇒ AMB = 150
0

7/ Cho giác cân ABC ( AB=BC ) có góc BAC = góc BCA = 80
0
. T các đ nh A và C d ng 2 đ ng th ngứ ỉ ự ườ ẳ
c t các c nh đ i t i các đi m t ng ng D và E sao cho góc CAD = 60ắ ạ ố ạ ể ứơ ứ
0
, góc ACE = 50
0
. Tính góc ADE .
H NG D NƯỚ Ẫ
B
Ta có ∆ EAC có : AEC = ACE = 50
0
nên ∆ EAC cân t i A . V tia CF sao cho góc ACF = 60ạ ẽ
0
c t AD t i O .ắ ạ
⇒
∆ OAC là tam giác đ u ề ⇒ AOF = 120
0

⇒
OA = OC = AC ⇒ OE = OA ⇒ ∆ EAO cân .
Vì EAO = 20
0
⇒ EOA = 80
0
⇒ EOF = 40
0

Mà AFC = 40
0

⇒ ∆ FEO cân ⇒ EF = EO
∆ FOA = ∆ DOC ( g.c.g ) ⇒ OF = OD và FOD = 60
0

⇒
∆ FDA là tam giác đ u ề ⇒ ∆ EFD = ∆ EOD ( c.c.c)
⇒
FDE = EDO = 30
0

K
H
C
B
F D
E
O
A
C
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
8/ Cho ∆ABC cân t i A . H BM ạ ạ ⊥ AC . Ch ng minh r ng : ứ ằ
12
2
−







=
BC
AC
MC
AM
H NG D NƯỚ Ẫ
Tính MC , AM ⇒
MC
AM
Cách 1 : L y E đ i x ng v i C qua A . ấ ố ứ ớ ∆ BCE vuông t i B . Ta có : ạ
(1)
M t khác AM = AC – MC = ặ ( 2)

T (1) và (2) ta có : ừ
Cách 2 : H AH ạ ⊥ BC .Ta có : ∆ AHC ~ ∆ BMC ⇒
AC HC
BC MC
=

⇒ AC.MC = BC.HC =2HC.HC = 2HC
2
⇒ AC.MC
2
= 2HC
2
.MC
⇒
2
2
2

22






==
BC
AC
MC
HC
MC
AC
⇒
2
2






=
+
BC
AC
MC
MCAM
⇒

12
2
−






=
BC
AC
MC
AM
9/ Cho giác cân ABC ( AB=AC ) , A = 20
0
. G i O là giao đi m 3 đ ng trung tr c . BO c t AC ọ ể ườ ự ắ
t i D . Ch ng minh AD = BC . ạ ứ
A H NG D N ƯỚ Ẫ

B H C
Cách 1 : D ng tam giác đ u BIC , I n m trên AH . Ta có : IB = IC = BC ự ề ằ
Tam giác OAB cân ⇒ BAO = OBA = 10
0
⇒ OBI = 10
0

⇒
∆ AOD = ∆ BOI ( g.c.g )
⇒

AD = BI ⇒ AD = BC
Cách 2 : D ng tia Bx sao cho OBx = 10ự
0
c t đ ng tròn O t i E . ắ ườ ạ
A = ABE = 20
0
⇒ cung AE = cung BC ⇒ AE = BC .
D n m trên đ ng trung tr c c a AE nên ằ ườ ự ủ ∆ ADE cân . Ma EAC = EBC = 60
0

D
O
E
I
AC
BC
CE
BC
MC
2
22
==
AC
BCAC
AC
BC
AC
2
2
2

222
−
=−
1)(2
2
2
2
22
−=
−
=
BC
AC
BC
BCAC
MC
AM
E
A
B C
E
M
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
⇒ tam giác ADE là tam giác đ u . ề Vì AE = BC ⇒ AD = BC .
9/ Cho ∆ ABC cân t i A . Trên AB l y I , trên AC l y J sao cho AI = CJ . Ch ng minh IJ ạ ấ ấ ứ ≥ ½ BC .
A H NG D N ƯỚ Ẫ
I
J

a/ Cách 1 : H IH ạ ⊥ BC , JK ⊥ BC ⇒ IJ ≥ HK

V JL // AB ( L trên BC ) ẽ ⇒ góc B = JLC = C . ∆ BJC cân ⇒ JL = JC = AI ⇒ AILJ là hình
bình hành ⇒ AJ = IL = IB
⇒ ∆ BIL cân ⇒ HL = BH = ½ BL ; KL = KC = ½ LC
⇒ HK = BC – ( BH + KC ) = BC – ( ½ BL + ½ LC ) = BC – ½ BC = ½ BC ⇒ IJ ≥ ½ BC
Cách 2 :
BA
BI
BM
BH
=
và
CA
CJ
CM
CK
=
⇒
AC
CJBI
BM
CKBH +
=
+
1==
+
AC
AB
BM
CKBH
⇒ BH + CK = BM = ½ BC hay HK = ½ BC .

10/ Cho ∆ ABC cân t i A . ạ L y đi m D ( khác A ) sao cho AD // BC . Ch ng minh r ng ấ ể ứ ằ
DB + DC > AB + AC
11/ Cho ∆ ABC cân t i A . L y các đi m E , F (khác B , C ) trên đ ng th ng BC sao cho BAC =ạ ấ ể ườ ẳ
EAF . Ch ng minh r ng AE + AF > AB + AC ( 2 ) .ứ ằ
H NG D NƯỚ Ẫ
+ N u E , F đ u n m ngoài ho c có 1 đi m đ u mút đo n ế ề ằ ặ ể ở ầ ạ
BC thì (2 ) đúng .
+ N u E n m trong đo n BC ( v i E ho c g n B ho c g n C ) ế ằ ạ ớ ặ ầ ặ ầ
L y H , P trên BC sao cho AH ấ ⊥ BC , HE = HP ⇒ EAH = PAH . D th y AC là tia phân giác c a PAF . ễ ấ ủ
G i M là trung đi m c a PF . Theo bài toán 2 ta có AB + AC = 2AC ọ ể ủ ≤ 2AM < AP + AF = AE + AF .
12/ Cho ∆ ABC cân t i A . L y đi m M thu c c nh AB . ạ ấ ể ộ ạ
a/ Kéo dài m t đo n CN = BM . ộ ạ Ch ng minh r ng AM + MN + NA > AB + BC + CA .ứ ằ
b/ D ng đ ng th ng BP // CM c t tia AC t i P . Ch ng minh r ng AM + MP + PA > AB + BC + CA .ự ườ ẳ ắ ạ ứ ằ
H NG D NƯỚ Ẫ
a/ D ng MH ự ⊥ BC và NK ⊥ BC . Ta có : ∆ MBH = ∆ NCK
⇒ BH = CK ⇒ BC = HK .
Ta có : MN = ME + EN > HE + EK = HK .
T đó AM + AN > AB + AC + BC .ừ
b/ D ng ự ∆ CSP v i CS // AB ; PS // BC và PB c t đo n ớ ắ ạ
CS t i Q . ạ
Ta có : BM = CQ < CS = CP . M t khác CN = CQ < CP nênặ
MN < MP . T đó AM + MP + PA > AM + MN + AC + CN >ừ
AB + BC + CA .
L
C
B H M
K
A
B
E

E
F
C
F
H
P
P
C
A
B
M
F
H
K
N
S
Q
E
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
13/ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) ,
3=AB
, đ ng cao ườ
2=CH
. G i M là trung đi m c a HBọ ể ủ
, N là trung đi m c a CB . AN và CM c t nhau t i K . Ch ng minh : AK = 2 KM . ể ủ ắ ạ ứ
H NG D NƯỚ Ẫ
C
A B

O là tr ng tâm c a ọ ủ ∆ ABC . AH = 2HM =
2
3
.
H HP ạ ⊥ AN , HQ ⊥ KM . Kéo dài KM thêm m t đo n MK’ = KM . Ta có : H là tr ng tâm c a ộ ạ ọ ủ ∆ KAK’ ⇒
KH đi qua H’ là trung đi m c a AK’ . ể ủ
⇒ KA = 2KM ⇔ ∆ AKK’ cân ⇔ AKH = HKK’ ⇔ H’P = HQ
S
AOH
= 1/3 S
ACH
= 1/6 S
ABC
= 1/6.1/2
3

2
=
12
6
AO =
6
35
9
2
4
3
22
=+=+ HOAH
⇒ HP =

35
6
2
=
AO
S
AOH
S
CHM
=
8
6
4
3
.2
2
1
=
CM =
4
35
16
3
2
22
=+=+ HMCH
HQ =
35
6
2

=
CM
S
CHM
suy ra đi u ph i ch ng minh .ề ả ứ
DI N TÍCH Ệ
1/ Cho tam giác ABC cân t i C . Cho bi t ạ ế
AB
AC
= k ( k ≠ 1 ) . V các phân giác CM , AN , BP . ẽ G i Sọ
ABC

= S , S
MNP
= S
1
. Ch ng minh r ng : ứ ằ
a/
2
1
'








+=

k
k
S
S
b/ S’ <
4
S

H NG D N ƯỚ Ẫ
Nh n xét : ậ
k
NB
NC
AB
AC
==
; S
CNP
~ S
CAB
⇒
2
1






=

BC
NC
S
S
Q
H’
K
N
P
H M
K’
A
C
B
M
NP
H
K
S
1
S
2
S
3
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
a/ S
CPN
= S
1
; S

AMP
= S
2
; S
BMN
= S
3
. Ta có : S
2
= S
3 .
S’ = S – S
1
– S
2
– S
3

Vì AN là phân giác nên ta có :
k
AB
AC
NB
NC
==
Vì :
k
BN
CN
BN

BNCN
BN
CB
+=+=
+
= 11
và
1+
==
k
k
BN
BC
BN
CN
BC
CN

Tam giác CPN đ ng d ng v i tam giác ABC ồ ạ ớ ⇒
k
NB
NC
AB
AC
==
22
1
1







+
=






=
k
k
BC
CN
S
S
⇒
2
1
1






+

=
k
k
SS
1
1
.
2
1
.
2
1
+
===
kBC
BN
BCMH
MHBN
S
S
MBC
MBN
∆APM = ∆BMN ( c g c ) ⇒
1
1
.
2
1
.
2

1
2
2
+
====






==
+
kBC
BN
AC
AP
CM
PK
ABCM
AMPK
S
S
S
SS
APM
BMNAPM
⇒ S
APM
+ S

BMN
=
1+k
S

S
MNP
= S –
1+k
S
–
2
1






+k
k
S
=
( ) ( ) ( )
22
22
2
2
11
112

1
1
1
1
+
=






+
−−−++
=






+
−
+
−
k
k
S
k
kkkk

S
k
k
k
S
⇒
( )
( )
22
2
2
111
1








+=









+
=
+
=
+
=
k
k
k
k
k
k
k
Sk
S
S
S
MNP
b/ Ta có :
2
1
1
≥
+
+
k
k
( d u b ng x y ra khi và ch khi k =1 ) vì k ấ ằ ả ỉ ≠ 1 ⇒
2
1

1
>
+
+
k
k

⇒
4
1
1
2
>






+
+
k
k
⇒
4
1
2
>









+
k
k
⇒
4>
MNP
ABC
S
S
⇒ đpcm .
2/ T các đ nh B , C c a tam giác cân ABC ( AB = AC ) ta n i v i trung đi m O c a đ ng cao h t đ nhừ ỉ ủ ố ớ ể ủ ườ ạ ừ ỉ
A . Các đ ng th ng đó c t AB , AC t i E và D . Tính di n tích c a t giác AEOD n u di n tích c a tamườ ẳ ắ ạ ệ ủ ứ ế ệ ủ
giác ABC là S .
A H NG D N ƯỚ Ẫ
E D
B K C
N
M
O
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
t SĐặ
1
= S
AEOD

. Qua O d ng MN // BC . ự
S
DOE
= S
DME
( Có chung c nh đáy , đ ng cao b ng nhau ) ạ ườ ằ ⇒ S
AME
= S
1

S
AEM
= S
MEC
⇒ S
AEC
= 2S
AEM
= 2S
1
⇒ S
AOD
= S
AOE
= ½ S
1

S
AOC
= S

ACE
– S
AOE
= 2S
1
– ½ S
1
= 3/2 S
1
S
AOC
= ½ AO.CK = ½.1/2 AK .1/2 BC = 1/8 AK.BC = 1/8 S ⇒ 3/2S
1
= 1/8 S ⇒ S
1
= 1/6 S
3/ Cho tam giác ABC cân t i A . Các đi m M và N theo th t chuy n đ ng trên các c nh AB , AC sao cho ạ ể ứ ự ể ộ ạ
AM = CN . Xác đ nh v trí c a M và N đ :ị ị ủ ể
a/MN có giá tr nh nh t .ị ỏ ấ
b/Di n tích tam giác AMN có giá tr nh nh t .ệ ị ỏ ấ
H NG D N ƯỚ Ẫ
a/V MM’ , NN’ vuông góc v i BC . Ta có : MN ẽ ớ ≥ M’N’ = BC/2
Do đó : min MN = BC / 2 ⇔ MN // M’N’ ⇔ M , N là trung đi m c a AB , AC .ể ủ
b/G i I là trung đi m c a MN . Qua I k đ ng th ng song song v i BC c t AB , AC P và Q . ọ ể ủ ẻ ườ ẳ ớ ắ ở
IK là đ ng trung bình c a hình thang MM’N’N ườ ủ ⇒ IK //= ½ AA’ ⇒ P , Q là trung đi m c a AB , AC .ể ủ
Ta luôn có S
AMN
≤ S
APQ
( nh bài trên ) ư ⇒ S

AMN
≤ ¼ S
AB
TAM GIÁC CÂN – M T NG TH NG LUÔN I QUA M T I M C NHỘ ĐƯỜ Ẳ Đ Ộ Đ Ể Ố ĐỊ
1/ Cho ∆ ABC cân t i A . L y P trên đ ng th ng BC ( P khác B , C ) . G i M , N l n l t là đi m đ i x ngạ ấ ườ ẳ ọ ầ ượ ể ố ứ
c a P qua AB , AC . D ng hình bình hành MNPQ . Ch ng minh r ng Q lu n n m trên m t đ ng th ng ủ ự ứ ằ ơ ằ ộ ườ ẳ
khi P di chuy n trên đ ng th ng BC .ể ườ ẳ
H NG D NƯỚ Ẫ
+ Tr ng h p P n m trong đo n BC . G i C’ , B’ l n l t là đi m đ i x ng c a C và B qua AB , AC . ườ ợ ằ ạ ọ ầ ượ ể ố ứ ủ
Nh v y C’ , B’ c đ nh . G i W là giao đi m c a CC’ và BB’ . Ta có B , M , C’ th ng hàng ; C , N , B’ ư ậ ố ị ọ ể ủ ẳ
th ng hàng . K NQ // CC’ ( Q ẳ ẻ ∈ B’C’ ) và MK // BB’ ( K ∈ CC’) . Ap d ng đ nh lý Talét cho các đ ng ụ ị ườ
th ng song song ta có :ẳ
''
'
'
'
KC
KW
MC
BM
PC
BP
NC
NB
QC
QB
====
. T ừ
''
'

KC
KW
QC
QB
=
Suy ra QK // B’W t c M , K , Q th ng ứ ẳ
hàng . Do đó MPNQ là hình bình hành và Q n m trên đ ng th ng c đ nh B’C’ .ằ ườ ẳ ố ị
+Tr ng h p P n m ngoài đo n BC ch ng minh t ng t ta c ng đ c k t qu nh trên .ườ ợ ằ ạ ứ ươ ự ũ ượ ế ả ư
V y Q luôn n m trên đ ng th ng c đ nh B’C’ khi P di chuy n trên BC .ậ ằ ườ ẳ ố ị ể
N
A
C’
B’
Q
B C
M
P
K
W
N
M
A’
M’
A
B
C
N’
K
I
P

Q
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
TAM GIÁC UĐỀ
1/ Cho ∆ ABC có góc B = 45
0
, góc A = 15
0
. Kéo dài BC v phía C r i l y D trên đ ng kéo dài sao cho DCề ồ ấ ườ
= 2 CB . Tính góc ADB .
H NG D NƯỚ Ẫ



Cách 1 :
H DH ạ ⊥ CA . Ta có : CDH = 30
0
.
G i I là trung đi m c a DC ; ọ ể ủ ∆ CHI là tam giác đ u ề
⇒
CH = CB
⇒
∆ BCH cân t i C ạ
⇒
CBH = CHB = ½ C = 30
0

⇒
∆ BHA cân t i H ạ
⇒
HB = HA

⇒
∆ HAD vuông cân
⇒
HAD = 45
0

⇒
ADB = 75
0
Cách 2 :
H DH ạ ⊥ AC
∆ HCD là n a tam giác đ u ử ề ⇒ CH = ½ CD ⇒ CH = BC .
2/ Cho tam giác đ u ABC, đ ng cao AH. ề ườ Trên HC kéo dài l y HE = HA . T E k đ ng th ng t o v iấ ứ ẻ ườ ẳ ạ ớ
EB m t góc b ng 15ộ ằ
0
c t AB kéo dài t i F . Ch ng minh ắ ạ ứ ∆ BHF cân .
H NG D NƯỚ Ẫ
A
D
F
Cách 1 :
L y D đ i x ng v i E qua H .ấ ố ứ ớ
⇒ DAF = ACE = 15
0
( Vì DAH = D = 45
0
)
⇒
∆ DAE vuông cân t i A .ạ
⇒

DH = HA = HE
A và E cùng nhìn DF d i m t góc 15ướ ộ
0
nên t giác ADFE n i ti p đ c trong m t đ ng tròn , đ ng kínhứ ộ ế ượ ộ ườ ườ
DE .
⇒ DFE = 90
0
; BHF = 2E = 30
0

⇒
AFH = 30
0

B
H
C
E
D
B
C
I
H
A
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
⇒
∆ BHF cân t i B .ạ
Cách 2 : V tia Ax trong ẽ ∆ ABC sao cho BAx = 15
0
c t EF t i D . ắ ạ

∆ ADE là tam giác đ u vì có m i góc b ng 60ề ỗ ằ
0
. Do đó ta có : AD = AE .
⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ⇒ ABD = ACE = 120
0
⇒ FBD = 60
0
∆ ADH = ∆ EDH ⇒ AHD = EHD = ½ ( 360
0
– 90
0
) = 135
0

⇒ BHD = 45
0
. Mà BFD = 45
0
⇒ ∆ BFD = ∆ BHD ⇒ BF = BH .
3/ Cho tam giác đ u ABC và m t đi m D trên đo n BC . ng th ng qua D và song song v i AB c t ACề ộ ể ạ Đườ ẳ ớ ắ
t i F , DE // AC c t AB t i E . G i P là trung đi m c a BF , Q là trung đi m c a CE . Ch ng minh tam giácạ ắ ạ ọ ể ủ ể ủ ứ
PQD là tam giác đ u . ề
H NG D NƯỚ Ẫ
A
F
E
B C
Cách 1 :
BD = ED ; DF = DC ; BDF = CDE = 60
0

∆ BDF = ∆ EDC
⇒ BF = EC ⇒ BQ = PF = CQ = QE ; Và DP = DQ ( Hai trung tuy n t ng ng c a 2ế ươ ứ ủ
tam giác b ng nhau thì b ng nhau ) ; PDQ = 60ằ ằ
0

∆ BDP = ∆ EDQ ⇒ BDP = EDQ
60
0
+ EDP = 60
0
+ FDQ
⇒
EDP = FDQ
⇒
PDQ = 60
0

⇒
∆ PDQ là tam giác đ u .ề
Cách 2 : ( Dùng phép quay )
Quay ∆ EDC quanh tâm D , góc quay 60
0
, khi đó :
C ≡ F ; E ≡ B ⇒ CF = BF ; Q ≡ P . Do góc quay b ng 60ằ
0
nên
PDQ = 60
0
. Do đó ∆ PQD là tam giác đ u .ề

4/ Cho góc xPy = 120
0
và đi m A n m trên tia Px . D ng tam giác đ u ABC sao cho B thu c tia Py và C ể ằ ự ề ộ
thu c tia phân giác c a góc xPy . G i Q là giao đi m c a AB và PC . Ch ng minh r ng ộ ủ ọ ể ủ ứ ằ
PBPAPQ
111
+=
.
H NG D NƯỚ Ẫ
L y D trên tia đ i c a tia Py sao cho PD = PA . Do APD = Pấ ố ủ
1
= 60
0
nên tam giác APD là tam giác đ u ề ⇒
PD = PA = AD (1 ) . Ta có : P
1
= P
2
= P
3
= 60
0
. Trong ∆ ABD có PQ // DA nên theo L Ta lét ta Đ
có :
P
D
C
A
P
B

Q
D
x
y
3
2
1
Q
P
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
DA
PD
DA
PB
DA
PDPB
DA
DB
PQ
PB
+=
+
==
⇒
)2(
.
11
PBDA
PD
DAPQ

+=
T (1) và (2) ta suy ra : ừ
PBPAPQ
111
+=

5/ Cho tam giác đ u ABC , M là đi m n m trong tam giác đó sao cho MAề ể ằ
2
= MB
2
+ MC
2
. Hãy Tính góc BMC
.
H NG D NƯỚ Ẫ
S p x p b ba các đo n th ng MA , MB , MC v v trí các c nh c a tam giác vuông nh sau :ắ ế ộ ạ ẳ ề ị ạ ủ ư
Th c hi n phép quay Q , tâm C , góc quay 60ự ệ
0
theo chi u kim đ ng h . Qua phép quay , nh c a các đi mề ồ ồ ả ủ ể
B và M l n l t là A và M’ . khi đó ầ ượ ∆ CMM’ đ u , MB = M’A . T đó MAề ừ
2
= MB
2
+ MC
2
. Hay MA
2
=
MM’
2

+ M’A
2
. Nh v y AM’M = 90ư ậ
0
, suy ra AM’C = 90
0
+ 60
0
= 150
0
. Phép quay trên bi n ế ∆ CBM
thành ∆ CAM’ , t đó ừ ∆ CBM = G CAM’ , suy ra : BMC = AM’C = 150
0
.
6/ Cho tam giác đ u ABC , c nh a , tâm O . ng th ng qua O c t c t các c nh AB , AC , BC l n l tề ạ Đườ ẳ ắ ắ ạ ầ ượ
t i các đi m M , N , P . Ch ng minh r ng : ạ ể ứ ằ
2222
18111
aONOMOP
=++

H NG D N ƯỚ Ẫ

Ta có : ∆ IDO là tam giác đ u . ề ∆ BDO = ∆ AIO và chúng là các tam giác cân ⇒ OD = OE = OF = m =
1/3 a . Ap d ng đ nh lý Talet ta có : ụ ị
OD
BP
OM
PM
=

hay
22
2
2
.
1
BPOD
BP
OM
=
. Ta l i có : BPạ
2
= x
2
+ y
2
+ xy v i BM = x ; BP = y . Do đó ta có :ớ

)(
1
2222
xyyxm
y
OM ++
=
⇒
)(
)(1
224
22

2
xyyxm
mxy
OP ++
−
=
;
)(
)2()(1
226
222
2
xyyxm
ymxmy
ON ++
+−
=
T các h th c trên ta suy ra : ừ ệ ứ
2222
18111
aONOMOP
=++
A
B
C
M
M’
A
B
C

D
E
F
O
I
c ng hình h c-tam giácĐề ươ ọ
C C TRỰ Ị
1/ Cho đi m M di đ ng trên đo n th ng AB . V các tam giác đ u AMC , BMD v m t phía c a ABể ộ ạ ẳ ẽ ề ề ộ ủ
. Xác đ nh v trí c a M đ t ng di n tích hai tam giác đ u là nh nh t .ị ị ủ ể ổ ệ ề ỏ ấ
H NG D NƯỚ Ẫ
K
D
C
A B
G i K là giao đi m c a AC và BD . Các tam giác AMC, BMD đ ng d ng v i tam giác AKB.ọ ể ủ ồ ạ ớ
t AM = x , MB = y , AB = a . SĐặ
AMC
= S
1
; S
BMD
= S
2
; S
KAB
= S . Ta có :
2
1







=
a
x
S
S
;
2
2






=
a
y
S
S
nên
2
1
22
)(
2
2

2
2
2
22
21
==
+
≥
+
=
+
a
a
a
yx
a
yx
S
SS
D u “ = “ x y ra khi và ch khi x = y . Do đó min (Sấ ả ỉ
1
+ S
2
) = 1/2 S ⇔ M là trung đi m c a AB .ể ủ
Cách 2 :
Ta có :
4
3
2
1

x
S =
;
4
3
2
2
y
S =
suy ra S
1
+ S
2
=
4
3
(x
2
+ y
2
) ≥
4
3
.
2
)(
2
yx +
=
8

3
a
2
Min ( S
1
+ S
2
) =
8
3
a
2
⇔ x = y ⇔ M là trung đi m c a AB .ể ủ
BÀI TOÁN SUY LU N Ậ
Ví d : M t tam giác đ u đ c chia thành m t s h u h n các tam giác con . Ch ng minh r ng s ụ ộ ề ượ ộ ố ữ ạ ứ ằ ẽ
có ít nh t m t tam giác con có c ba góc đ u nh h n ho c b ng 120ấ ộ ả ề ỏ ơ ặ ằ
0
.
H NG D NƯỚ Ẫ
Gi s trong cách phân chia này có a đi m bên trong tam giác , b đi m n m trên c nh ( a , b ả ử ể ể ằ ạ
∈ N* ) . T ng s đo các góc có đ c t i t t c các đi m chia cùng v i 3 đ nh trên c nh tam giác là a . ổ ố ượ ạ ấ ả ể ớ ỉ ạ
360
0
+ b .180
0
+ 180
0
= ( 2a + b + 1 ) 180
0
.

Do đó s tam giác phân chia là 2a + b + 1 .ố
T i m i đ nh trên c nh c a tam giác có nhi u nh t 1 góc l n h n 120ạ ỗ ỉ ạ ủ ề ấ ớ ơ
0
. T i m i đ nh bên ạ ỗ ỉ ở
trong tam giác có nhi u nh t 2 góc l n h n 120ề ấ ớ ơ
0
.
Do đó t ng s goác l n h n 120ổ ố ớ ơ
0
nhi u nh t là 2a + b . Mà có 2a + b + 1 tam giác nên ph i ề ấ ả
có 1 tam giác mà c ba góc đ u nh h n ho c b ng 120ả ề ỏ ơ ặ ằ
0
.
Chú ý : K t lu n c a bài toán không đ i n u thay ế ậ ủ ổ ế ∆ ABC đ u b ng tam giác có c ba góc ề ằ ả
không v t quá 120ượ
0
.
M
y
x
S
1
S
2