Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh toán lớp 7 theo các dạng, chuyên đề (3)

Các bài toán chọn lọc lớp VII của Russia năm học 03.04
ĐỀ BÀI
Bài 1. Trong một số có ba chữ số người ta nhân thấy rằng, nếu nhân hai chữ số
cuối của só đó với 7 thì được chính số đó. Hỏi đó là số nào?
Bài 2. Giả sử а = 3
2004
+ 2. hỏi số а
2
+ 2 – có phải là số nguyên tố không?
Bài 3. Các số dương а và b thoả mãn а
2
+ b = b
2
+ a. Có thể có а = b?
Bài 4. Giả sử các số (a – b + 2002), (b – c + 2002) и (c – a + 2002) — ba số
nguyên liên liếp . Tìm ba số đó.
Bài 5. Hãy xếp sắp thứ tự các số:
222
2
;
22
22
;
2
222
;
22
2
2
;
2

22
2
;
2
2
22
;
2
2
2
2
.
Bài 6. Chứng minh rằng xy + z = yz + x = zx + y, thì (x – y)(y – z)(z – x) = 0.
Bài 7. Chứng minh rằng
1
2
1
3
1
4
1
5
1
98
1
99
1
100
1
5

− + − + + − + >
.
Bài 8. Trong tam giác ABC góc С bằng 3 lần góc A. Trên cạnh AB lấy điểm
D, sao cho BD = BC. Tính đoạn CD, nếu AD = 4.
Bài 9 . ABCD – hình vuông. Тam giác АМD và AKB – đều ( xem hình). Hỏi các
điểm С, М và K có nằm trên đường thẳng hay không?
Bài 10. Trong tam giác АВС: ∠В = 20°, ∠С = 40°, Độ dài phân giác АМ bằng 2
см. Tính hiệu cạnh: ВС – АВ.

1
LỜI GIẢI.
Bài 1. Trong một số có ba chữ số người ta nhân thấy rằng, nếu nhân hai chữ số
cuối của só đó với 7 thì được chính số đó. Hỏi đó là số nào?
Trả lời: 350.
Giải:
Giả sử số đó là
abc
– khi đó
7 ⋅ =bc abc
. Vì
abc a bc= +100
,
Biến đổi ta được
3 50⋅ =bc а
.
Số 50 và 3 nguyên tố cùng nhau bởi thế а chia hết cho 3.
Ta có а = 6 hay а = 9, thi số
bc
không là số có hai chữ số
Bởi thế , а = 3;

bc
= 50.
Bài 2. Giả sử а = 3
2004
+ 2. hỏi số а
2
+ 2 – có phải là số nguyên tố không?
Trả lưòi Không , không đúng như thế.
Giải:
Ta biết số đã cho chia cho 3 dư 2, suy ra số đó có dạng :
a t= +3 2
,
ở đó t – là số tự nhiên ( trong trường hợp đã cho
t =3
2003
).
Khi đó
a t t t t t
2 2 2 2
2 3 2 2 9 12 6 3 3 4 2+ = + + = + + = + +( ) ( )
,
Là bội só của 3 với bất kỳ t.
Suy ra không thể là số nguyên tố.
Bài 3. Các số dương а và b thoả mãn а
2
+ b = b
2
+ a. Có thể có а = b?
Trả lời , không, vi dụ
a = 0 2,

,
b = 0 8,
.
Giải:
Для того, чтобы найти
a
и
b
, для которых верно данное равенство,
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:
a b a b
2 2
− = −
⇔
( )( )a b a b a b− + = −
⇔
( )( )a b a b− + − =1 0
.
Suy ra
a b=
hay
a b+ = 1
.
Trương hợp đủ để có đẳng thức là phải có
a b+ = 1
.
Bài 4. Giả sử các số (a – b + 2002), (b – c + 2002) и (c – a + 2002) — ba số
nguyên liên liếp . Tìm ba số đó.
Trả lời : 2001, 2002 и 2003.
Giải:

Giả sử n – 1; n и n + 1 – là ba số nguyên liên tiếp, khi đó tổng của chúng
bằng 3n,
Vì vậy (a – b + 2002) + (b – c + 2002) + (c – a + 2002) = 6006, thì n =
2002.
Nên , n – 1 = 2001; n + 1 = 2003.
Bài 5. Hãy xếp sắp thứ tự các số:
222
2
;
22
22
;
2
222
;
22
2
2
;
2
22
2
;
2
2
22
;
2
2
2

2
.
2
Giải:
Khảo sát các luỹ thừa xủa số có tận cùng là 2 ta có :

2
2
2
=
2
4
= 16 < 222 <
22
2
= 484 < 512 =
2
9
<
2
22
.
Suy ra
2
2
2
2
<
2
222

<
2
22
2
<
2
2
22
.
Sau đó đến các luỹ thừa:
22
2
2
=
22
4
>
16
4
=
2
16
=
2
2
2
2

Và
22

2
2
=
22
4
<
22
22
<
64
37
=
( )
2
6
37
=
2
222
;
222
2
<
256
2
=
2
16
=
2

2
2
2
.
Trả lời:
222
2
<
2
2
2
2
<
22
2
2
<
22
22
<
2
222
<
2
22
2
<
2
2
22

.
Bài 6. Chứng minh rằng xy + z = yz + x = zx + y, thì (x – y)(y – z)(z – x) = 0.
Giải:
xy + z = yz + x
⇔ xy – yz + z – x = 0
⇔ y(x – z) – (x – z) = 0
⇔ (x – z)(y – 1) = 0
⇔ x = z hay y = 1.
Tương tự từ đẳng thức xy + z = zx + y ta nhân được y = z hay x = 1,
Và từ đẳng thức yz + x = zx + y ta cũng nhận được x = y hay z = 1.
Nhu vậy x = z; y = z hay x = y, thì ta có đẳng thức
(x – y)(y – z)(z – x) = 0
Nếu : x ≠ z, y ≠ z и x ≠ y, khi đó x = 1, y = 1 и z = 1,
Thì , x = y = z – trái với giả thiết .
Vậy chỉ cần một x = z; y = z hay x = y, ta có điều phải chứng minh.
Bài 7. Chứng minh rằng
1
2
1
3
1
4
1
5
1
98
1
99
1
100

1
5
− + − + + − + >
.
Giải;
Tính :
1
2
1
3
1
6
− =
;
1
4
1
5
1
20
− =
;
1
6
1
20
13
60
12
60

1
5
+ = > =
,
Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thư nhất
Là một bất đẳng thức vậy vế trái lớn hơn vê phải.
Bài 8. Trong tam giác ABC góc С bằng 3 lần góc A. Trên cạnh AB lấy điểm
D, sao cho BD = BC. Tính đoạn CD, nếu AD = 4.
Trả lời : CD = 4.
Giải:
Giả sử ∠BAC =
α
, т\khi đó ∠BCA = 3
α
(xem hinh).
Vì tam giác DBC – cân,
nên ∠BDC = ∠BCD =
β
.
3
Khi đó ∠DСA = 3
α
. –
β
.
Vì ∠CDB – góc ngoài của tam giác ADС, nên ∠CDB = ∠DAC + ∠DСA.
Suy ra ,
β
=
α

+ (3
α
. –
β
) ⇔
β
= 2
α

Vậy , ∠DСA =
α
, ta có tam giác АDC – cân với cạnh đáy là АС.
Suy ra , СD = AD = 4.
Bài 9 . ABCD – hình vuông. Тam giác АМD và AKB – đều ( xem hình). Hỏi các
điểm С, М và K có nằm trên đường thẳng hay không?
Trả lời: Đúng , phải.
Giải:
Kẻ МK và MC chứng minh rằng ∠КМС – bẹt ( xem hình).
Tam giác КАМ и MDС – cân với cạnh đáy là КМ và MС tương ứng.
Ta biết ∠КAМ = ∠КAB + ∠BAМ = 60° + 30° = 90°,
còn ∠MDС = 30°.
Suy ra , ∠КМА = 45°, ∠DМС = 75°.
Ta có ,
∠КМС = ∠КМА +∠АМD +∠DМС = 45° + 60° + 75° = 180°,
Vậy С, М và K nằm trên đường thẳng.
Bài 10. Trong tam giác АВС: ∠В = 20°, ∠С = 40°, Độ dài phân giác АМ bằng 2
см. Tính hiệu cạnh: ВС – АВ.
Trả lời : 2 см.
4
Khảo sát tam giác đã cho АВС

( xem hình).
Vì ∠ВАС = 180° – (20° + 40°) = 120°,
lúc đó ∠ВАМ = ∠САМ = 60°.
Trên cạnh ВС lấy điểm D sao cho ВD = АВ,
khi đó CD = ВC – ВD = BC – АВ.
Trong tam giác cân BAD : ∠ВАD = ∠BDА = (180° – 20°) : 2 = 80°;
∠АМC – góc ngoài của tam giác ВАМ, bởi thế ∠АМC = 20° + 60° = 80°.
Vì ∠BDА = ∠АМC, nên ∆MAD – cân cạnh đáy là MD.
∠СAD = ∠ВАС – ∠BAD = 120° – 80° = 40°,
Thì ∠СAD = ∠DCA, nên ∆CAD – cân cạnh đáy AC.
Do đó , CD = AD = AM = 2 (см).
5