Khóa luận tốt nghiệp toán XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
DƯƠNG THỊ ANH
XÂY DựNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG
DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải
Tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. Trần Văn Bằng
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng,
người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện
để em hoàn thành khóa luận.
Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ,
giúp đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học
tập và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên
Dương Thị Anh
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng
khóa luận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào
khác.
Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 05 năm 20lị Sinh viên
Dương Thị Anh
Mục lục

4
2.5.2. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần
nhất 56
Kết luận
Tài liệu tham khảo
5
59
60
Mở đầu
Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học
khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học được đánh dấu bởi
những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn.
Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của toán học. Cũng như
các môn học khác của toán học, phương trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ
sở phát triển của khoa học kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Nó
liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật
lí dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng. Ra đời từ những năm 60,
phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mình
trong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng. Phương trình đạo hàm
riêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Đặc biệt phương
trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng rất lớn trong khoa học và
trong thực tiễn. Như chúng ta đã biết việc giải các phương trình đạo hàm riêng
loại Hyperbolic rất khó khăn và phức tạp. Nếu có hệ thống phân loại bài tập
phương trình Hyperbolic thì người học sẽ tiếp thu kiến thức dễ hơn. Vì vậy,
với lòng yêu thích môn học này và để hiểu rõ hơn, khắc sâu hơn lí thuyết và
cách giải các phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic. Đồng thời giúp
người học tiếp thu hiệu quả kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nên nhờ
sự giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình của TS. Trần Văn Bằng em đã chọn
nghiên cứu đề tài:
"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình

Hyperbolic. "
Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1: trình bày
các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phân loại phương trình
đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng; bài toán hỗn
hợp; Chương 2: trình bày một cách hệ thống các bài tập có hướng dẫn giải về
phương trình Hyperbolic.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng. Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương trình
Hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần nhất trong
không gian n chiều. Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơ bản: bài toán Cauchy
và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng.
1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình
có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Nó có dạng
F{x\, x
2
, x
n
.Ị w, u
Xl
,u
Xn
1 Uxixi J ■•■) — 0; (1'1)
X E c K
n
, trong đó X = {xi, x
2
,x
n

) là các biến số độc lập, u là ẩn hàm của các
biến đó.
Ví dụ 1.1. Phương trình
d
2
u
= 2 X + y
dxd y
là phương trình đạo hàm riêng.
Một nghiệm của (1.1) trên Q là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần
thiết trên íỉ và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Nói chung một
phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm. Phương trình đạo hàm
riêng thường được phân loại theo các tiêu chí sau:
1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao càng
phức tạp).
2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói chung đơn
giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao thì càng phức
tạp).
3) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian thì
được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình
dừng). Kí hiệu biến thời gian là í, các biến còn lại là biến không gian.
Định nghĩa 1.2. cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của
đạo hàm riêng có mặt trong phương trình.
Ví dụ 1.2. Phương trình
d
2
u
= 2 X + y
dxdy
là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.

Định nghĩa 1.3. Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có
dạng
L[u\ = f{x), (1.2)
trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các
hệ số là các hàm của biến số độc lập X .
Nếu / = 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta
nói phương trình đó là không thuần nhất.
Ví dụ 1.3. +) u
t
+ cu
x
= 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.
+) a(x, y)u
x x
+ 2u
X
y + 3x
2
Uyy = 4e
x
là phương trình tuyến tính không
thuần nhất.
Định nghĩa 1.4. Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là
phi tuyến.
1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai
Định nghĩa 1.5. Phương trình có dạng:
X G được gọi là phương t r ìn h đạo hà m ri êng tu y ến t í nh cấp hai đối với
hàm u(x) = (XI,X
2

, ,x
n
), trong đó các hệ số a
i
j
ì
bj,c,d là các hàm liên tục
đã cho trên Q, ũịj = CLji và các ũịj không đồng thời bằng không.
Việc phân loại phương trình (1.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau. Gọi A(x) = [aịj(x)] là
ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai.
Tại mỗi X e íĩ cố định A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có đúng n
giá trị riêng thực. Ta nói:
+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic tại X nếu A(x) có n giá trị riêngcùng dấu;
+) Phương trình (1.3) thuộc loại hyperbolic tại X nếu A(x) có một giá
trị riêng trái dấu với n — 1 giá trị riêng còn lại;
+) Phương trình (1.3) thuộc loại parabolic tại X nếu A(x) có một giá trị
riêng bằng 0 còn n — 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;
+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trên
miền Q nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm lẽíì. Ví dụ
1.4. a) Phương trình Laplace.
n
A u = ^2 u
XiX i
= ũ ,x e R '
i= 1
là phương trình elliptic trên M
n
.
b) Phương trình truyền nhiệt.

Uị — Au = 0, (x, t) E M
:
là phương trình parabolic trên R
n+1
.
c) Phương trình truyền sóng.
n+1
Uịị — Au = 0, (X, t) £ M
là phương trình hyperbolic trên M
n+1
.
d) Phương trình
XịU
XlX l
+ U
X2 X 2
+ U
X2
= 0,X = (xi,x
2
) e M
2
thuộc loại elliptic trên miền Xi > 0, thuộc loại hyperbolic
trên miền Xị < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng
Xi = 0.
Đặc biệt khi n = 2, phương trình (1.3) có dạng:
n+ 1
a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u

xy
+ c(x, y)u
yy
+ d(x, y, u, u
x
, U y ) = 0, (1.4)
(x,y) ẽ M
2
, trong đó các hệ số a,b, c là các hàm liên tục của hai biến (x,y) đã
cho; a,b,c không đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x,y) ma trận các hệ số
của các đạo hàm riêng cấp hai là
Ị a A \b c)
CÓ các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai
det(A — XI) = A
2
— (a + c)A + ac — b
2
= 0
Đặt A = b
2
—
+) Nếu A < 0 thì (1.5) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.4) thuộc loại
elliptic;
+) Nếu A > 0 thì (1.5) có hai nghiệm trái dấu nên (1.4) thuộc loại hyperbolic;
+) Nếu A = 0 thì (1.5) có một nghiệm bằng không và một nghiệm khác
không, nên (1.4) thuộc loại parabolic.
1.3. Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic,
elliptic và parabolic
Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm
u(x) = u(x ị,x

2
, —,x
n
)
A =
(1.5)
ac
i,j= 1
X e ri, trong đó các hệ số ũịj là các hàm liên tục đã cho trên íỉ, CLịj = a
3 l
và các a,ịj không đồng thời bằng không.
Thực hiện phép đổi biến đối với (1.6).
Giả sử £ = £(a;) là một phép đổi biến thuộc lớp c
2
và không suy biến, tức là
0(6,6,
^0.
D(x
1:
x
2:

:
x
n
)
Khi đó ta có
n
= Ẻ
r,s=l

Thay các đạo hàm này vào (1.6) ta được phương trình
r,s= 1
trong đó
n
®r,s ^ ^

®
* ,j=l
Kí hiệu ii(£) = [õ„(£)]; A(a;) = [o
y
(a;)]; J(x) = [b
k l
(x)] với b
Khi đó (1.8) có dạng
i(0 = J{xỴ A{x)J{x).
Chứng tỏ A(£) và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng chỉ số
quán tính.
(1.6)
n
= Ệ
r= 1
3&
dxi ’
u
Ỡ
2
Í
Xj Xị
(1.8)
y

ÔXị
s,r
kl
(1.9)
Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x
ữ
thì (Ị1.7Ị) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tại điểm
£o = f (®o)-
Cố định X = x
ữ
ta có A(x
ữ
) là một ma trận hằng. Khi đó tồn tại một ma trận T
= [oikỉ\ sao cho ma trận T
t
A{x
ữ
)T có dạng
trong đó Àj G {1, —1,0}, ỉ = 1, 2,n.
Giả sử đã biết ma trận T. Thực hiện phép đổi biến tuyến tính
n
£k ^ ^ ĩl)
ỉ= 1
ta có:
J=Ễ
t
i = [“«] = T,
ƠXi
do đó A(£o) CÓ dạng đường chéo như trên và phương trình (1.7) lúc đó
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.6) tại điểm X Q .

Chú ý:
1) n > 2, không tìm được phép đổi biến đưa (1.6) về dạng chính tắc
trong một miền.
2) Khi ữij không phụ thuộc X thì ma trận các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai có dạng đường chéo như trên tại mọi điểm nên ta có:
(
\
Xi 0
0 A2
0 0 0

0 0 0
0
0
0 À„
\
/
+ Nếu (1.6) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:
n
—
l

i
=

1
+ Nếu (1.6) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:
n
+0(fi, ,u,u
Ễ

1
, ,u
ỄB
) = 0;
i= 1
+ Nếu (1.6) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:
71 — 1
$^«66 +ỡ -,«0 = 0.
2—1
* Cách đưa phương trình hyperbolic, elliptic, parabolic về
dạng chính tắc. Xét phương trình:
a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
X
y + c(x, y)u
yy
+ d(x, y, u, u
x
, U y ) = 0.
Giả sử £, ĩ ) là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của X , y . Xét phép
đổi biến
£ = i{x,y)
V =
v{x,y) thỏa mãn D&rj)
^0.
D{x,y)
(1.10)
Ta nhận được phương trình
a * U t f + 2b*u^

v
+ +d*(£,r],u, u^u^) = 0,
trong đó
a
b ^>y^ìx)
c
* =
ar
ìl +
2h r
)xri y + crf
Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:
a
d + 2&CxCy +
c
C — 0
là phương trình đặc trưng của (1.10), trong đó £ thay cho £ hoặc rj. Giải
(1.12) được đưa về giải phương trình vi phân thường:
2 o I _ n
a
\j) —
2
&( J ) + c = 0.
ax
a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên A
7
> 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phân biệt
dy b ± y/Ã dx

a
Tích phân hai phương trình này ta có hai tích phân tổng quát:
$1 (x,y) = Ci,
$2(3, ỉ/) = Cjị.
Đặt
£ = $1 (x,y) 77 =
$
2
{x,y)
thì ta có a* = c* = 0, b* Ỷ 0-
Khi đó (1.11) trở thành
26 *u
ị r ì
= -d*.
Chia hai vế cho 26* ta có
d*
26*
là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình
hyperbolic. Đặt
(1.12)
(1.13)
'dx '
£ — ^1 +
$2 77 = $1 - $2 thì ta có dạng chính tắc thứ
hai:
u££ 'ILiỊrỊYỊ D (£, 77, lí,
b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên A' < 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức
dy b ±

i\/Ã dx
a
và tích phân hai phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát
ộl (x, y) ± iệ
2
(x, y) = c.
Với phép đổi biến £ = ệi (x, y), 77 = 02 {x, y), ta sẽ nhận được dạng
chính tắc của phương trình elliptic là:
+
u
vv
= d
* (£> v, u, u
v
).
c, Trường hợp phương trình parabolic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại parabolic nên A’ = 0.
Khi đó phương trình (1.13) có nghiệm
dy_
=
b
dx a
và tích phân phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát
01 {x, y) = c.
14
Với phép đổi biến £ = ệi (x, y), ta sẽ nhận được dạng chính tắc của phương
trình parabolic là:
_ _d*
u
vv —

_

c
7'
1.4. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng
1.4.1. Định nghĩa
Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng là bài toán
tìm nghiệm u(x,t) e C
2
(M
n
X [0,+oo)) của phương trình truyền sóng
d
2
u
- Au = f ( x , í), X e R
n
, t > 0 (1.14)
thỏa mãn các điều kiện ban đầu
u ( x , 0) = Ộ Q ( X ) , X e M
n
, (1-15)
ỡĩl
^(s,0) = ^ i( a :) ,x er , (1.16)
trong đó / e ơ
2
(M
n
X [0, oo)) và 00) ội £ C^R") là các hàm đã cho.
Định lý 1.1. Bài toán Cauchy (Ị1.14Ị)- (Ị1.16Ị) có không quá một

nghiệm trong c
2
(R
n
X [0, oo)).
Chứng minh. Xem [1], Định lý 1.1, trang 114.
1.4.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy
a) Công thức Kirchhoff.
Xét bài toán
' d
2
u X d
2
V'
ơ u
- tí
e M
3
, t > 0,
u(x, 0) = ệo{x), du, . , , .
I dt
l
)
=
27T 



 |£ — 


 



 |£ — 

|£—a:|<aí |£—a;|<aí
/(£>
T
)
2T Ĩ Ũ J J \ /a
2
{t — r)
2
— Ị£ — x\
2
0 |£ — æ|<a(t— r)
a
:
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức Kirchhoff:
«Mího , 1 9 f MO
t
ề S +
iidt J
|Ễ-x|=í |£—x|=t
í \f — -T I)
-d£.
l £- z l
b) Công thức Poisson. Xét
bài toán:

(d
2
u
dt
2
u(x, 0) = 000*0,
ỠM ,
x
QỊ{X,0) = ậi{x).
- a
2
Au = f(x,t),
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức Poisson:
í
b ỉ
+TT
47T
ĩEt
2
,í> 0,
u
*hì I
dÇdr
.
c) Công thức D’Alembert. Xét bài toán:
(d
2
u
d ị 2
- a

2
Au = f(x,t),
m(z,0) = ộo{x)
:
du, * , . .
^(z,0) = ệi(x).
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức D’Alembert:
x+at
1 1 f
u(x,t) = ị[ệo(x - at) + ệo{x + at)] +Ỷ~ / 0i(O
d
£
x — a t
t x + a(t -T )
+
ầj /
0 x — aịt— r)
1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền
sóng
Xét bài toán:
W|S
T
= ^1,
ỡw
« = ^2- L L dv
2
trong đó Q c M
n
là miền bị chặn, với biên ỡfi trơn, Q
T

= ri X (0, T), 5r = dũ X
(0, T), T > 0, n
s
= n X ụ = s}.
Bài toán (1.17) gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất với điều kiện
ĩ ễ M , í > 0,
í a
2
u
dt
2
(1.17)
u(x , ữ) = ộ o( x ),^ ị (x ,0 ) = ộ i( x ),x <E ft,
- Au = /(M), (z,í) e QT, du
U\S
T
= ^1-
du
Bài toán (1.17) goi là bài toán biên ban đầu thứ haivối điều kiên = ^2-
N
ơv
1.5.1. Sự tồn tại nghiệm. Phương pháp tách biến
Bài toán l:Tìm nghiệm của phương trình:
d
2
u
ĩ
d
2
u

-ẻ
= a
ú'
ũ
<*<
L
’
t>ũ
’
u(x , 0) = ệ(x) , 0 < X < L,
du. ., . .
^(x,0) = iỊỉ(x),
w(0, t) = 0, t > 0, ^
u(L,t) = 0.
Lời giải Tìm
nghiệm
Thay vào phương trình
d
2
u od
2
u = a
dt
2
dx
2
ta có:
X(x).T"(t) = a
2
X"(x).T{t) hay

Vế trái của phương trình trên không phụ thuộc X, vế phải không phụ
thuộc t, do đó
T"{ t) _ X" {x) _
a
2
T(t) X{x)
X"{x) + XX (x) = 0, T"{t) + a
2
XT{t) = 0.
u(x,t) = X(x).T(t) Ỷ 0-
Từ đó suy ra
Từ điều kiện biên suy ra
' X(0) = 0,
X(L) = 0.
Để giải phương trình x "(x ) + XX (x) = 0, xét phương trình đặc trưng:
r
2
+ A = 0.
Xét 3 trường hợp sau:
a) À < 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình x"(x) + XX (x) — 0 là:
X{x) =
Cl
e
v
-
Xx
+ C
2
e-

V
-
Xx
.
X(0) = 0
X{L) = 0
cho ta
Cị + Ũ2 — 0
Cịe^~
X L
+ c
2
e~^~
X L
= 0
ta suy ra Ci = c
2
= 0. Tức là X(x) = 0.
Suy ra nghiệm u(x, t) chỉ có thể là nghiệm tầm thường,
b) A = 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình x"(x) + XX (x) = 0 là:
X(x) = Ci + C
2
X.
. ^ í X(0) = 0
Kiếm tra điều kiện < ta suy ra Ci = 0, c
2
= 0.
[ X{L) = 0
Suy ra X(x) = 0, ta lại chỉ được nghiệm tầm thường.

Từ điều kiện
c) A > 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình x" [x) + ÀX(z) = 0 là:
X(x) = CiCosy/Xx + c
2
sin \f\x.
Kiểm tra điều kiện
' X(0) = 0
X(L) = 0 ta
suy ra
X(0) = Ci = 0,
X(L) = c
2
sin V\L = 0.
Rõ ràng c
2
7^ 0, vì nếu c
2
= 0 thì X(x) = 0, ta chỉ có nghiệm tầm thường.
Vì c
2
Ỷ- 0 nên từ c
2
sin y/Xx = 0 cho ta:
k
2
TT
2
sin y/X L = 0 <=> À =
L

2
'
Bài toán có nghiệm:
X
k
(x) = CỊ. sin ^y-x, Cỵ — consí.
Li
Với A = ^ thì phương trìnhT"(t) + a
2
ẰT(t) = 0 có nghiêm là:
L
2
Tỵịt) = DỵCOS at + Eỵ sin , Dỵ,Eỵ — consí.
L/ L/
Do đó ta có các nghiệm của phương trình
d
2
u 2d
2
u
dt
2 a
dx
2
thỏa mãn các điều kiện biên
ií(0, t) = 0
u(L, t) = 0
k iĩ a t kĩĩ a t hĩ TX
là u
k

{x, t ) = (ữfcCOS— h b
k
sin — —) sin ——,
L/ Li Li
với a
k
= C
k
D
k:
bỵ = C
k
E
k
.
Do tính chất tuyến tính và thuần nhất của phương trình
d
2
u 2d
2
u
= a
d t
2
dx
2
kiĩat
™ “ kiĩat k ĩr a t kĩ rx
0
—

/C7ra
Vậy nghiệm của bài toán cho bởi:
, . ( knat
[x, t) = 2^1 a
k
cos— h b
k
sin
k=1 '
trong đó:
cũng là
sinu
k iĩ x
sin d x ,
Li
«Ả
:
k ĩĩ x
sin d x.
Li
L
Ị ộ (z) si
0
L
2 f
— ìp ( x ) si
Tra J 0