Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình hyperbolic (KL06372)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

DƯƠNG THỊ ANH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học

TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2014


Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Văn Bằng , người đã
tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập để hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp của mình.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn
thành khóa luận.
Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã ủng hộ, giúp
đỡ nhiệt tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Dương Thị Anh


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Văn Bằng khóa
luận được hoàn thành không trùng với bất kì công trình nào khác.
Trong khi thực hiện khóa luận em đã sử dụng và tham khảo các thành
tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Dương Thị Anh


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . . . . . .

5

1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . .

7

1.3. Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic, elliptic và
parabolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . . . . .

15

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền sóng . .
1.5.1. Sự tồn tại nghiệm. Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
18

Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về
phương trình Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1. Bài tập về một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm
riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. Bài tập về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3. Tìm nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5. Bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.5.1. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

48

2.5.2. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

2


Mở đầu
Toán học là một môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho các ngành
khoa học khác. Nó gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của toán học
được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào việc giải quyết
các bài toán thực tiễn. Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan
trọng của toán học. Cũng như các môn học khác của toán học, phương
trình đạo hàm riêng xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học kĩ
thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Nó liên hệ trực tiếp với các
bài toán vật lí vì quá trình nghiên cứu các bài toán vật lí dẫn đến các
bài toán phương trình đạo hàm riêng. Ra đời từ những năm 60, phương
trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được vị trí của mình
trong khoa học nói chung và trong toán học nói riêng. Phương trình đạo
hàm riêng được coi là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Đặc biệt

phương trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic có ứng dụng rất lớn trong
khoa học và trong thực tiễn. Như chúng ta đã biết việc giải các phương
trình đạo hàm riêng loại Hyperbolic rất khó khăn và phức tạp. Nếu có
hệ thống phân loại bài tập phương trình Hyperbolic thì người học sẽ
tiếp thu kiến thức dễ hơn. Vì vậy, với lòng yêu thích môn học này và
để hiểu rõ hơn, khắc sâu hơn lí thuyết và cách giải các phương trình
đạo hàm riêng loại Hyperbolic. Đồng thời giúp người học tiếp thu hiệu
quả kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nên nhờ sự giúp đỡ, hướng
dẫn nhiệt tình của TS. Trần Văn Bằng em đã chọn nghiên cứu đề tài:

3


"Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải
về phương trình Hyperbolic."
Nội dung của khóa luận được trình bày trong hai chương. Chương 1:
trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; phân
loại phương trình đạo hàm riêng; dạng chính tắc của phương trình đạo
hàm riêng; bài toán hỗn hợp;...Chương 2: trình bày một cách hệ thống
các bài tập có hướng dẫn giải về phương trình Hyperbolic.

4


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhằm giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình đạo
hàm riêng. Đặc biệt chúng ta tìm hiểu về một đại diện của lớp phương
trình Hyperbolic, đó là phương trình truyền sóng trong môi trường thuần
nhất trong không gian n chiều. Trong đó ta nghiên cứu hai bài toán cơ

bản: bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền
sóng.

1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm
riêng
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình
có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm. Nó có dạng
F (x1 , x2 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn , ux1 x1 , ...) = 0,

(1.1)

x ∈ Ω ⊂ Rn , trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) là các biến số độc lập, u là ẩn
hàm của các biến đó.
Ví dụ 1.1. Phương trình
∂ 2u
= 2x + y
∂x∂y
là phương trình đạo hàm riêng.
5


Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp
cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω.
Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm.
Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêu chí
sau:
1) Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càng cao
càng phức tạp).
2) Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nói
chung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càng cao

thì càng phức tạp).
3) Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theo thời gian
thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình
dừng). Kí hiệu biến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian.
Định nghĩa 1.2. Cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao
nhất của đạo hàm riêng có mặt trong phương trình.
Ví dụ 1.2. Phương trình
∂ 2u
= 2x + y
∂x∂y
là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.
Định nghĩa 1.3. Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó
có dạng
L[u] = f (x),

(1.2)

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của
u với các hệ số là các hàm của biến số độc lập x.
6


Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái
lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.
Ví dụ 1.3. +) ut + cux = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.
+) α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2 uyy = 4ex là phương trình tuyến tính không
thuần nhất.
Định nghĩa 1.4. Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính
thì được gọi là phi tuyến.

1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp hai
Định nghĩa 1.5. Phương trình có dạng:
n

n

aij (x)uxi xj +
i,j=1

bj (x)uxj + c(x)u = d(x)

(1.3)

j=1

x ∈ Ω được gọi là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai đối với
hàm u(x) = (x1 , x2 , ..., xn ), trong đó các hệ số aij , bj , c, d là các hàm liên
tục đã cho trên Ω, aij = aji và các aij không đồng thời bằng không.
Việc phân loại phương trình (1.3) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aij của
các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm như sau.
Gọi A(x) = [aij (x)] là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai.
Tại mỗi x ∈ Ω cố định A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có
đúng n giá trị riêng thực. Ta nói:
+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị riêng
7


cùng dấu;

+) Phương trình (1.3) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có một giá
trị riêng trái dấu với n − 1 giá trị riêng còn lại;
+) Phương trình (1.3) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có một giá trị
riêng bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;
+) Phương trình (1.3) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic) trên
miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω.
Ví dụ 1.4. a) Phương trình Laplace.
n

uxi xi = 0, x ∈ Rn

∆u =
i=1

là phương trình elliptic trên Rn .
b) Phương trình truyền nhiệt.
ut − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rn+1
là phương trình parabolic trên Rn+1 .
c) Phương trình truyền sóng.
utt − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rn+1
là phương trình hyperbolic trên Rn+1 .
d) Phương trình
x1 ux1 x1 + ux2 x2 + ux2 = 0, x = (x1 , x2 ) ∈ R2
thuộc loại elliptic trên miền x1 > 0, thuộc loại hyperbolic trên miền
x1 < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng x1 = 0.

8


Đặc biệt khi n = 2, phương trình (1.3) có dạng:

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.4)

(x, y) ∈ R2 , trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến
(x, y) đã cho; a, b, c không đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x, y)
ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai là


a b

A=
b c
có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai
det(A − λI) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0

(1.5)

Đặt ∆ = b2 − ac
+) Nếu ∆ < 0 thì (1.5) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.4) thuộc loại
elliptic;
+) Nếu ∆ > 0 thì (1.5) có hai nghiệm trái dấu nên (1.4) thuộc loại
hyperbolic;
+) Nếu ∆ = 0 thì (1.5) có một nghiệm bằng không và một nghiệm khác
không, nên (1.4) thuộc loại parabolic.

1.3. Dạng chính tắc của các phương trình hyperbolic,
elliptic và parabolic
Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm
u(x) = u(x1 , x2 , ..., xn ) :

9


n

aij (x)uxi xj + f (x, u, ux1 , ..., uxn ) = 0

(1.6)

i,j=1

x ∈ Ω, trong đó các hệ số aij là các hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji
và các aij không đồng thời bằng không.
Thực hiện phép đổi biến đối với (1.6).
Giả sử ξ = ξ(x) là một phép đổi biến thuộc lớp C 2 và không suy biến,
tức là
D(ξ1 , ξ2 , ..., ξn )
= 0.
D(x1 , x2 , ..., xn )
Khi đó ta có

n

uxj =

uξr
r=1

n

uxi xj

∂ξr
;
∂xj

∂ξr ∂ξs
=
uξr ξs
+
x
x
j
i
r,s=1

n

∂ 2 ξr
uξr
.
∂x
∂x
i
j
r=1

.
Thay các đạo hàm này vào (1.6) ta được phương trình
n

a
˜rs uξr ξs + g(ξ1 , ξ2 , ..., ξn , u, uξ1 , ..., uξn ) = 0,

(1.7)

r,s=1

trong đó

n

a
˜r,s =

aij
i,j=1

∂ξr ∂ξs
=a
˜s,r .
∂xj ∂xi

(1.8)

∂ξl
˜
Kí hiệu A(ξ)
= [˜
ars (ξ)]; A(x) = [aij (x)]; J(x) = [bkl (x)] với bkl =

.
∂xk
Khi đó (1.8) có dạng
˜
A(ξ)
= J(x)t A(x)J(x).

(1.9)

˜
Chứng tỏ A(ξ)
và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng chỉ
số quán tính.
10


Vậy nếu (1.6) thuộc loại elliptic (hay parabolic, hyperbolic) tại điểm x0
thì (1.7) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng parabolic, hyperbolic) tại
điểm ξ0 = ξ(x0 ).
Cố định x = x0 ta có A(x0 ) là một ma trận hằng. Khi đó tồn tại một
ma trận T = [αkl ] sao cho ma trận T t A(x0 )T có dạng


...
0 0 
 λ1 0



 0 λ2 . . .

0
0




..
..
.


.
.
.
.




... 0 
 0 0
.
.
.




0 ...
...

0 λn
trong đó λi ∈ {1, −1, 0}, i = 1, 2, ..., n.
Giả sử đã biết ma trận T. Thực hiện phép đổi biến tuyến tính
n

ξk =

αik xi , k = 1, 2, ..., n,
i=1

ta có:
J =[

∂ξk
] = [αki ] = T,
∂xi

˜ 0 ) có dạng đường chéo như trên và phương trình (1.7) lúc đó
do đó A(ξ
được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.6) tại điểm x0 .
Chú ý:
1) n > 2, không tìm được phép đổi biến đưa (1.6) về dạng chính tắc
trong một miền.
2) Khi aij không phụ thuộc x thì ma trận các hệ số của các đạo hàm
riêng cấp hai có dạng đường chéo như trên tại mọi điểm nên ta có:

11


+ Nếu (1.6) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:

n−1

uξn ξn −

uξi ξi + g(ξ1,..., ξn , u, uξ1 , ..., uξn ) = 0;
i=1

+ Nếu (1.6) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:
n

uξi ξi + g (ξ1 , ..., u, uξ1 , ..., uξn ) = 0;
i=1

+ Nếu (1.6) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:
n−1

uξi ξi + g (ξ1 , ..., u, uξ1 , ..., uξn ) = 0.
i=1

* Cách đưa phương trình hyperbolic, elliptic, parabolic về dạng chính tắc.
Xét phương trình:
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0.

(1.10)

Giả sử ξ, η là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y.
Xét phép đổi biến

 ξ = ξ(x, y)
 η = η(x, y)

thỏa mãn
D(ξ, η)
= 0.
D(x, y)
Ta nhận được phương trình
a∗ uξξ + 2b∗ uξη + c∗ uηη + d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) = 0,
trong đó
a∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 ;
b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ;
c∗ = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 .
12

(1.11)


Khi đó ta có phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:
aζx2 + 2bζx ζy + cζy2 = 0

(1.12)

là phương trình đặc trưng của (1.10), trong đó ζ thay cho ξ hoặc η. Giải
(1.12) được đưa về giải phương trình vi phân thường:
a(

dy
dy 2
) − 2b( ) + c = 0.
dx
dx

a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆ > 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phân biệt
√
dy
b± ∆
=
dx
a
Tích phân hai phương trình này ta có hai tích phân tổng quát:
Φ1 (x, y) = c1 ,
Φ2 (x, y) = c2 .
Đặt

 ξ = Φ1 (x, y)
 η = Φ (x, y)
2

thì ta có a∗ = c∗ = 0, b∗ = 0.
Khi đó (1.11) trở thành
2b∗ uξη = −d∗ .
Chia hai vế cho 2b∗ ta có
uξη

d∗
=− ∗
2b

13

(1.13)


là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình hyperbolic.
Đặt

 ξ = Φ1 + Φ2
 η =Φ −Φ
1

2

thì ta có dạng chính tắc thứ hai:
uξξ − uηη = D∗ (ξ, η, u, uξ , uη ).
b, Trường hợp phương trình elliptic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại hyperbolic nên ∆ < 0.
Khi đó phương trình (1.13) có 2 nghiệm phức
√
b±i ∆
dy
=
dx
a
và tích phân hai phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát
φ1 (x, y) ± iφ2 (x, y) = C.
Với phép đổi biến ξ = φ1 (x, y) , η = φ2 (x, y) , ta sẽ nhận được dạng
chính tắc của phương trình elliptic là:
uξξ + uηη = d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) .
c, Trường hợp phương trình parabolic trong một miền.
Do phương trình thuộc loại parabolic nên ∆ = 0.

Khi đó phương trình (1.13) có nghiệm
dy
b
=
dx a
và tích phân phương trình này ta nhận được tích phân tổng quát
φ1 (x, y) = C.
14


Với phép đổi biến ξ = φ1 (x, y) , ta sẽ nhận được dạng chính tắc của
phương trình parabolic là:
uηη = −

d∗
.
c∗

1.4. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền
sóng
1.4.1. Định nghĩa
Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng là bài toán tìm nghiệm
u(x, t) ∈ C 2 (Rn × [0, +∞)) của phương trình truyền sóng
∂ 2u
− ∆u = f (x, t), x ∈ Rn , t > 0
2
∂t

(1.14)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu
u(x, 0) = φ0 (x), x ∈ Rn ,

(1.15)

∂u
(x, 0) = φ1 (x), x ∈ Rn ,
∂t

(1.16)

trong đó f ∈ C 2 (Rn × [0, ∞)) và φ0 , φ1 ∈ C(Rn ) là các hàm đã cho.
Định lý 1.1. Bài toán Cauchy (1.14)- (1.16) có không quá một nghiệm
trong C 2 (Rn × [0, ∞)).
Chứng minh. Xem [1], Định lý 1.1, trang 114.

15


1.4.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy
a) Công thức Kirchhoff.
Xét bài toán

3 ∂ 2u

∂ 2u


−


2 = f (x, t),
2

∂t
∂x

i=1
i

x ∈ R3 , t > 0,

u(x, 0) = φ0 (x),





∂u

 (x, 0) = φ1 (x).
∂t

Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức Kirchhoff:
u(x, t) =

1
4π

φ1 (ξ)
1 ∂

dS +
t
4π ∂t
|ξ−x|=t

+

φ0 (ξ)
dS
t
|ξ−x|=t

f (ξ, t − |ξ − x|)
dξ.
|ξ − x|

1
4π
|ξ−x|≤t

b) Công thức Poisson.
Xét bài toán:
 2
∂ u


− a2 ∆u = f (x, t),


2


 ∂t
u(x, 0) = φ0 (x),





 ∂u (x, 0) = φ1 (x).
∂t

x ∈ R2 , t > 0,

Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức Poisson:
u(x, t) =

1
2πa

φ1 (ξ)
a2 t2 − |ξ − x|2

dξ+

1 ∂
2πa ∂t

|ξ−x|≤at

φ0 (ξ)

a2 t2 − |ξ − x|2
|ξ−x|≤at

t

1
+
2πa

f (ξ, τ )
0 |ξ−x|≤a(t−τ )

a2 (t − τ )2 − |ξ − x|2
16

dξdτ .

dξ


c) Công thức D’Alembert.
Xét bài toán:
 2
∂ u


− a2 ∆u = f (x, t),


2


 ∂t
u(x, 0) = φ0 (x),
x ∈ R, t > 0,





 ∂u (x, 0) = φ1 (x).
∂t
Nghiệm của bài toán trên cho bởi công thức D’Alembert:
x+at

1
1
u(x, t) = [φ0 (x − at) + φ0 (x + at)] +
2
2a

φ1 (ξ)dξ
x−at

t x+a(t−τ )

1
+
2a

f (ξ, τ )dξdτ.

0 x−a(t−τ )

1.5. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình
truyền sóng
Xét bài toán:


∂ 2u


− ∆u = f (x, t), (x, t) ∈ QT ,

2

∂t



 u(x, 0) = φ (x), ∂u (x, 0) = φ (x), x ∈ Ω,
0
1
∂t



u|ST = Ψ1 ,







∂u


= Ψ2 .
∂υ

(1.17)

trong đó Ω ⊂ Rn là miền bị chặn, với biên ∂Ω trơn, QT = Ω × (0, T ),
ST = ∂Ω × (0, T ), T > 0, ΩS = Ω × {t = s} .
Bài toán (1.17) gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất với điều kiện
17


u|ST = Ψ1 .
Bài toán (1.17) gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai với điều kiện

∂u
= Ψ2 .
∂υ

1.5.1. Sự tồn tại nghiệm. Phương pháp tách biến
Bài toán 1:Tìm nghiệm của phương trình:
 2
2
∂ u

2∂ u


=a
, 0 < x < L, t > 0,

2
2

∂t
∂x





u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ L,


∂u
(x, 0) = ψ(x),

∂t





u(0, t) = 0, t ≥ 0,





 u(L, t) = 0.
Lời giải
Tìm nghiệm
u(x, t) = X(x).T (t) = 0.
Thay vào phương trình
2
∂ 2u
2∂ u
=a
∂t2
∂x2
X (x)
T (t)
ta có: X(x).T (t) = a2 X (x).T (t) hay 2
=
.
a T (t)
X(x)
Vế trái của phương trình trên không phụ thuộc x, vế phải không phụ

thuộc t, do đó
T (t)
X (x)
=
= −λ.
2
a T (t)
X(x)
Từ đó suy ra


 X (x) + λX(x) = 0,
 T (t) + a2 λT (t) = 0.

18


Từ điều kiện biên suy ra

 X(0) = 0,
 X(L) = 0.
Để giải phương trình X (x) + λX(x) = 0, xét phương trình đặc trưng:
r2 + λ = 0.
Xét 3 trường hợp sau:
a) λ < 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình X (x) + λX(x) = 0 là:
√

X(x) = c1 e

−λx

+ c2 e

√
− −λx

.

Từ điều kiện


 X(0) = 0
 X(L) = 0
cho ta


 c1 + c2 = 0
√
√
 c e −λL + c e− −λL = 0
1
2

ta suy ra c1 = c2 = 0. Tức là X(x) ≡ 0.
Suy ra nghiệm u(x, t) chỉ có thể là nghiệm tầm thường.
b) λ = 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình X (x) + λX(x) = 0 là:
X(x) = c1 + c2 x.

 X(0) = 0
Kiểm tra điều kiện
ta suy ra c1 = 0, c2 = 0.
 X(L) = 0
Suy ra X(x) ≡ 0, ta lại chỉ được nghiệm tầm thường.
19


c) λ > 0.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình X (x) + λX(x) = 0 là:
√

√
X(x) = c1 cos λx + c2 sin λx.
Kiểm tra điều kiện

 X(0) = 0
 X(L) = 0
ta suy ra
X(0) = c1 = 0,
√
X(L) = c2 sin λL = 0.
Rõ ràng c2 = 0, vì nếu c2 = 0 thì X(x) = 0, ta chỉ có nghiệm tầm
thường.
√
Vì c2 = 0 nên từ c2 sin λx = 0 cho ta:
√

k2π2
sin λL = 0 ⇔ λ = 2 .
L
Bài toán có nghiệm:
Xk (x) = Ck sin

kπ
x, Ck − const.
L

k2π2
Với λ = 2 thì phương trình T (t) + a2 λT (t) = 0 có nghiệm là:
L
kπ

kπat
Tk (t) = Dk cos at + Ek sin
, Dk , Ek − const.
L
L
Do đó ta có các nghiệm của phương trình
2
∂ 2u
2∂ u
=a
∂t2
∂x2

thỏa mãn các điều kiện biên
u(0, t) = 0
u(L, t) = 0
20


kπat
kπx
kπat
+ bk sin
) sin
,
L
L
L
với ak = Ck Dk , bk = Ck Ek .
là uk (x, t) = (ak cos

Do tính chất tuyến tính và thuần nhất của phương trình
2
∂ 2u
2∂ u
=a
∂t2
∂x2
∞

∞

nên hàm u =

uk =
k=1

(ak cos
k=1

kπat
kπat
kπx
+ bk sin
) sin
cũng là
L
L
L

nghiệm của phương trình đó.
Theo điều kiện ban đầu:
∞

ak sin
k=1
∞

k=1

kπx
= φ(x), x ∈ [0, L] ,
L

kπa
kπx
bk sin
= ψ(x), x ∈ [0, L] .
L
L

Suy ra


2 L
kπx


φ(x) sin
dx,

 ak =
L0
L

2 L
kπx


 bk = kπa ψ(x) sin L dx.
0
Vậy nghiệm của bài toán cho bởi:
∞

u (x, t) =

ak cos
k=1

kπat
kπx
kπat
+ bk sin
sin
,
L
L
L

trong đó:
L

2
ak =
L

φ (x) sin

kπx
dx,
L

0
L

2
bk =
kπa

ψ (x) sin
0

21

kπx
dx.
L


Bài toán 2: Tìm nghiệm của phương trình:
 2

2
∂ u

2∂ u

=
a
+ g(x, t), 0 < x < L, t > 0,

2
2

∂t
∂x





u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L,


∂u
(x, 0) = 0,

∂x






u(0, t) = 0, t ≥ 0,




 u(L, t) = 0.
Nghiệm của bài toán trên được tìm dưới dạng chuỗi:
∞

Tk (t) sin

u(x, t) =
k=1

kπx
,
L

trong đó
t

Tk (t) =

2
kπa



g(ξ, t) sin


0



L

kπa
kπξ 
(t − τ ) sin
dξ dτ.
L
L

0

Bài toán 3: Tìm nghiệm của phương trình:
 2
2
∂ u

2∂ u

=
a
+ g(x, t), 0 < x < L, t > 0,

2
2


∂t
∂x



 u(0, t) = 0; u(L, t) = 0, t ≥ 0,


u(x, 0) = φ(x), 0 ≤ x ≤ L,





 ∂u (x, 0) = ψ(x).
∂t
Nghiệm của bài toán trên là tổng các nghiệm của bài toán 1 và bài toán
2.
Nghiệm của bài toán trên có dạng:
∞

u (x, t) =
k=1

kπx
+
Tk (t) sin
L

∞

ak cos
k=1

22

kπat
kπat
kπx
+ bk sin
,
sin
L
L
L