Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình elliptic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
ĐÀO THỊ THẢO
XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Đồng thời, em xin
trân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại
trường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời
gian, trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho
nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vây, em
kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và
toàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Thảo
Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn
Bằng, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đề
tài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương

trình Elliptic” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân em.
Không trùng khớp với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện bản khóa luận này, em đã kế
thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Tác giả
Đào Thị Thảo
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 1
Mở đầu 4
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6
1.1 Một số khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng . . . . . 6
1.1.3 Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng . . 7
1.1.4 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phi tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Bài toán Cô-si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và dạng
chính tắc của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai . 8
1.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai của hàm hai biến . . . . . . . 10
1.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa . . . . . . . . . . 13
1
1.3.1 Khái niệm hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Biểu diễn Green của một hàm điều hòa . . . . . . 14
1.3.3 Các tính chất của hàm điều hòa . . . . . . . . . . 15
1.4 Các bài toán biên cơ bản đối với phương trình Laplace,
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên
đối với phương trình Laplace hai chiều . . . . . . 18
2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN
GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 26
2.1 Bài tập về một số khái niệm chung . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai của hàm hai
ẩn về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình - Giải bài
toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Bài tập về hàm điều hòa và các tính chất cơ bản của nó 42
2.4 Giải các bài toán biên đối với phương trình Laplace, Pois-
son bằng phương pháp tách biến Fourier . . . . . . . . . 47
2.4.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật . . . . . . 47
2
2.4.2 Giải bài toán biên trong miền tròn . . . . . . . . 53
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo 64
3
Mở đầu
Phương trình đạo hàm riêng lần đầu tiên được nghiên cứu vào giữa
thế kỉ XIX trong những công trình của những nhà toán học như Euler,
D’ Alembert, Lagrange và Laplace như một công cụ quan trọng để mô
tả các mô hình vật lí và cơ học. Từ khi xuất hiện cho tới nay, phương
trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng
dụng, thúc đẩy sự phát triển các tư tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực

toán học lí thuyết khác nhau.
Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương
trình đạo hàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bài
toán liên quan, các cách tiếp cận các bài toán đó Tuy nhiên, do tính
phức tạp của vấn đề, do thời gian hạn hẹp của chương trình đào tạo
người học chủ yếu phải tự tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của
giảng viên nên gặp không ít khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức và
ứng dụng. Qua quá trình học tập, nghiên cứu em nhận thấy rằng các tài
liệu về môn học này đều khá sâu và khó cho việc tự học. Vì thế em nghĩ
rằng nếu có một hệ thống bài tập thích hợp, cùng với sự định hướng
rõ ràng từ dễ đến khó, từ cơ bản đến trừu tượng thì sẽ giúp ích rất
nhiều cho người học trong việc lĩnh hội những tri thức khoa học này. Với
4
suy nghĩ đó và nhận được sự động viên, hướng dẫn của T.S Trần Văn
Bằng em đã chọn đề tài:
“Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải
về phương trình Elliptic”
làm khóa luận tốt nghiệp.
Luận văn được cấu trúc thành 02 chương. Chương 1 được dành để
trình bày các kiến thức cơ bản về việc phân loại phương trình đạo hàm
riêng, dạng chính tắc; khái niệm hàm điều hòa và các tính chất; các bài
toán biên cơ bản; các phương pháp giải Trong chương 2 của luận văn,
em sẽ trình bày một cách có hệ thống các bài tập tương ứng với các nội
dung lý thuyết, có hướng dẫn giải phù hợp.
5
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm chung
1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng
Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x

1
, x
2
, , x
n
) và các đạo hàm
riêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Nó có dạng
F (x
1
, x
2
, , x
n
, u, u
x
1
, , u
x
n
, u
x
1
x
1
, ) = 0, (1.1)
với x ∈ Ω ⊂ R
n
trong đó x = (x
1

, x
2
, , x
n
) là các biến độc lập. F là
hàm nào đó của các đối số của nó.
1.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp
cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm ∈ Ω.
Nói chung 1 phương trình ĐHR thường có vô hạn nghiệm.
6
1.1.3 Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng
Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo
hàm riêng có mặt trong phương trình.
Ví dụ 1.1. Ta có:
PTĐHR cấp 1:
F (x
1
, x
2
, , x
n
, u, u
x
1
, , u
x
n
) = 0.
PTĐHR cấp 2:

F (x, y, u, u
x
, u
y
, u
xx
, u
xy
, u
yy
) = 0.
1.1.4 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phi tuyến tính
Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng
L[u] = f (x), (1.2)
trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của
u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x.
Ví dụ 1.2. Phương trình:
a(x, y)u
xx
+b(x, y)u
xy
+c(x, y)u
yy
+d(x, y)u
x
+e(x, y)u
y
+g(x, y)u = f(x, y),
là phương trình tuyến tính cấp 2.
(i) Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất,

trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.
(ii) Một PTĐHR không tuyến tính thì được gọi là phi tuyến.
7
1.1.5 Bài toán Cô-si
Là bài toán tìm nghiệm u = Φ(x
1
, x
2
, , x
n
) của phương trình (1.1)
sao cho khi x
1
= x
0
1
thì u = ϕ(x
1
, x
2
, , x
n
) trong đó ϕ là một hàm cho
trước.
Ở đây ta cũng có thể thay vai trò x
1
bằng một trong các biến còn lại.
1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
và dạng chính tắc của nó
Ở trong phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về PTĐHR tuyến tính

cấp hai. Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế.
Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệt của PTĐHR tuyến tính cấp hai
là Elliptic, Hypebolic, Parabolic thông qua các lớp đại diện của chúng là
phương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyền
nhiệt.
1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát đối với
hàm u(x) = u(x
1
, x
2
, , x
n
):
n

i,j=1
a
ij
(x)u
x
i
x
j
+
n

j=1
b
j

(x)u
x
j
+ c(x)u = d(x), với x ∈ Ω, (1.3)
trong đó a
ij
, b
j
, c, d là các hàm liên tục đã cho trên Ω, a
ij
= a
ji
và các
a
ij
không đồng thời bằng không.
8
Đặt A = A(x) = [a
ij
(x)]
n×n
là ma trận vuông cấp n các hệ số của các
đạo hàm riêng cấp hai. Tại x cố định A có n giá trị riêng thực.
Gọi n
+
, n
−
, n
0
lần lượt là số giá trị riêng dương, âm, bằng 0. Khi đó,

ta nói:
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Elliptic tại x nếu A(x) có n giá trị
riêng cùng dấu. Tức là (n
+
= n hoặc n
−
= n).
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Hyperbolic tại x nếu A(x) có 1 giá trị
riêng trái dấu với n −1 giá trị riêng còn lại. Tức là (n
+
= n −1 và n
−
=
1 hoặc n
−
= n −1 và n
+
= 1).
+) Phương trình (1.3) thuộc loại Parabolic x nếu A(x) có 1 giá trị riêng
bằng 0 còn n−1 giá trị riêng còn lại cùng dấu. Tức là (n
+
= n−1 và n
0
=
1 hoặc n
−
= n −1 và n
0
= 1).
Phương trình (1.3) thuộc loại Elliptic, Hyperbolic hay Parabolic trên

miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω.
∗) Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (1.3) có
dạng:
a(x, y)U
xx
+ 2b(x, y)U
xy
+ c(x, y)U
yy
+ d(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0, (1.4)
với (x, y) ∈ R
2
, trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục 2 biến (x, y)
đã cho, a, b, c không đồng thời bằng không.
Ta xét một điểm (x
0
, y
0
) cố định. Phương trình (1.4) tại điểm (x
0
, y
0
)
được gọi là:
+) Thuộc loại Elliptic nếu tại điểm đó ∆ = b
2

− ac < 0.
+) Thuộc loại Hyperbolic nếu tại điểm đó ∆ = b
2
− ac > 0.
+) Thuộc loại Parabolic nếu tại điểm đó ∆ = b
2
− ac = 0.
9
1.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính cấp hai của hàm hai biến
Xét phương trình (1.4)
a(x, y)U
xx
+2b(x, y)U
xy
+c(x, y)U
yy
+d(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0, với (x, y) ∈ R
2
.
Xét phép đổi biến






ξ = ξ(x, y),
η = η(x, y),
thỏa mãn
D(ξ, η)
D(x, y)
=






ξ
x
η
x
ξ
y
η
y






= 0.
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm hàm hợp ta tính được:
u
x

= u
ξ
ξ
x
+ u
η
η
x
;
u
y
= u
ξ
ξ
y
+ u
η
η
y
;
u
xx
= u
ξξ
ξ
x
2
+ 2u
ξη
ξ

x
η
x
+ u
ηη
η
x
2
+ u
ξ
ξ
xx
+ u
η
η
xx
;
u
xy
= u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+ u
ξη
(ξ
x
η

y
+ ξ
y
η
x
) + u
ηη
η
x
η
y
+ u
ξ
ξ
xy
+ u
η
η
xy
;
u
yy
= u
ξξ
ξ
y
2
+ 2u
ξη
ξ

y
η
y
+ u
ηη
η
y
2
+ u
ξ
ξ
yy
+ u
η
η
yy
.
Thay các đạo hàm này vào (1.4) ta được phương trình:
a
∗
U
ξξ
+ 2b
∗
U
ξη
+ c
∗
U
ηη

+ d
∗
(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
) = 0, (1.5)
trong đó các hệ số là các hàm của ξ, η và
a
∗
= aξ
x
2
+ 2bξ
x
ξ
y
+ cξ
y
2
;
b
∗
= aξ
x
η
x
+ b(ξ
x
η

y
+ ξ
y
η
x
) + cξ
y
η
y
;
c
∗
= aη
x
2
+ 2bη
x
η
y
+ cη
y
2
.
10
Hơn nữa ta có ∆
∗
= (b
∗
)
2

− a
∗
c
∗
= J
2
∆. Từ các công thức xác định hệ
số trên đây, chúng ta đi tìm phép đổi biến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao
cho một trong các hệ số a
∗
, b
∗
, c
∗
trong (1.5) bằng không.
Chú ý rằng hệ số a
∗
, c
∗
có dạng tương tự nhau và có thể viết chúng
bởi
aζ
x
2
+ 2bζ
x
ζ
y
+ cζ
y

2
= 0 (1.6)
trong đó ζ thay cho ξ, η.
Để chọn được một trong các hệ số a
∗
, b
∗
, c
∗
= 0. Ta chọn ζ thỏa mãn
(1.6) khi đó chia hai vế cho ζ
y
2
thì phương trình trở thành
a

ζ
x
ζ
y

2
+ 2b

ζ
x
ζ
y

+ c = 0. (1.7)

Dọc theo đường cong thì ζ(x, y) bằng hằng số.
Ta có
dζ = ζ
x
dx + ζ
y
dy = 0.
Do vậy,
ζ
x
ζ
y
= −
dy
dx
và phương trình (1.7) sẽ trở thành
a

dy
dx

2
− 2b

dy
dx

+ c = 0. (1.8)
+) Nếu ∆ = b
2

− ac > 0 thì (1.8) có hai nghiệm
y

=
b ±
√
∆
a
.
Giải 2 phương trình ta có





Φ
1
(x, y) = c
1
,
Φ
2
(x, y) = c
2
.
11
Do vậy, ta có phép đổi biến ξ = Φ
1
(x, y), η = Φ
2

(x, y) thay vào (1.4)
được:
u
ξη
= N(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
).
Đây là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình loại Hyperbolic.
∗ Đặt α = ξ − η, β = ξ + η thì phương trình (1.4) có dạng:
u
αα
− u
ββ
= N(α, β, u, u
α
, u
β
).
Đây là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic.
+) Nếu ∆ = b
2
− ac = 0 thì (1.8) có một nghiệm
y

=
b
a
⇒ Φ(x, y) = c.

Đặt ξ = Φ(x, y), η = η(x, y) tùy ý sao cho J =
D(ξ, η)
D(x, y)
= 0
thay vào phương trình (1.4) ta được:
u
ξξ
= N(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
).
Đây là dạng chính tắc của phương trình loại Parabolic.
+) Nếu ∆ = b
2
− ac < 0 thì (1.8) có hai nghiệm phức
y

=
b ±i
√
−∆
a
.
Tích phân hai phương trình này ta có:
Φ
1
(x, y) + iΦ
2
(x, y) = c.

Đặt ξ = Φ
1
(x, y), η = Φ
2
(x, y) thay vào (1.4) ta được:
u
ξξ
+ u
ηη
= N(ξ, η, u, u
ξ
, u
η
).
Đây là dạng chính tắc của phương trình loại Elliptic.
12
1.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa
Phương trình Laplace là phương trình có dạng:
∆u := u
x
1
x
1
+ u
x
2
x
2
+ + u
x

n
x
n
= 0.
Ở bài trước khi ta phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai n biến ta dễ
dàng nhận thấy được phương trình Laplace thuộc loại Elliptic với giá trị
riêng dương n
+
= n.
Từ đó khi nghiên cứu về phương trình loại Elliptic thì người ta thường
nghiên cứu về hàm Laplace và hàm điều hòa.
1.3.1 Khái niệm hàm điều hòa
(i) Hàm u(x) được gọi là hàm điều hòa tại điểm x = (x
1
, x
2
, , x
n
) nếu
u có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục tại x và thỏa mãn phương
trình Laplace: ∆u(x) = 0.
(ii) Nếu Ω là miền bị chặn:
Hàm u(x), x = (x
1
, x
2
, , x
n
) được gọi là hàm điều hòa trong miền Ω
bị chặn nếu nó điều hòa tại mọi điểm ∈ Ω.

Ví dụ 1.3. Hàm u(x, y) = x
2
+ y
2
là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) ∈
R
2
, là hàm điều hòa trong miền Ω bị chặn trên R
2
.
(iii) Nếu Ω là miền không bị chặn:
Hàm u(x), x = (x
1
, x
2
, , x
n
) được gọi là hàm điều hòa trong miền
Ω không bị chặn nếu u là hàm điều hòa tại mọi điểm ∈ Ω và thỏa mãn
13
điều kiện về độ tăng khi |x| → ∞ sau đây:
|u(x)| ≤
c
|x|
n−2
, với c > 0 là hằng số.
Ví dụ 1.4. Hàm u(x, y) =
x
x
2

+ y
2
là hàm điều hòa tại ∀(x, y) = (0, 0);
là hàm điều hòa trong mọi miền trong R
2
không chứa điểm (0, 0).
Hàm u(x, y) = 2x + y + 1 là hàm điều hòa tại mọi điểm (x, y) ∈ R
2
; là
hàm điều hòa trong mọi miền giới nội Ω ⊂ R
2
nhưng không là hàm điều
hòa trong miền không giới nội bất kì trong R
2
vì nó không thỏa mãn về
điều kiện độ tăng tại vô cùng.
1.3.2 Biểu diễn Green của một hàm điều hòa
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
với biên ∂Ω đủ trơn và giả sử
u(x), v(x) là các hàm thuộc lớp C
2
(Ω) ∩ C
1
(
Ω).
Ta có:
công thức Green thứ nhất:

Ω

v∆udx =

∂Ω
v
∂u
∂ν
dS −

Ω
Du.Dvdx, (1.9)
công thức Green thứ hai:

Ω
(v∆u − u∆v)dx =

∂Ω
(v
∂u
∂ν
− u
∂v
∂ν
)dS. (1.10)
Ta sẽ sử dụng công thức Green thứ hai (1.10) để tìm biểu diễn tích phân
của u trong Ω. Từ đó dẫn ra biểu diễn tích phân của một hàm điều hòa
trong Ω. Ta có định lí sau:
14
Định lý 1.1. Giả sử u ∈ C
2
(Ω) ∩ C

1
(Ω) khi đó ta có biểu diễn sau:
u(y) =

∂Ω

u
∂Γ
∂ν
(x − y) −Γ(x − y)
∂u
∂ν

dS+

Ω
Γ(x − y)∆udx. (1.11)
Chứng minh. Xem [1], trang 62, 63.
Nhận xét 1.1. Trong trường hợp đặc biệt u là hàm điều hòa trong Ω
thì ∆u = 0. Nên ta có:
u(y) =

∂Ω

u
∂Γ
∂ν
(x − y) −Γ(x − y)
∂u
∂ν


dS. (1.12)
Công thức (1.12) được gọi là biểu diễn Green của hàm điều hòa nó cho
phép ta tính giá trị của hàm điều hòa u tại một điểm y trong miền Ω
theo các giá trị của u trên biên ∂Ω và theo các giá trị của đạo hàm theo
vectơ pháp tuyến ngoài
∂u
∂ν
ở trên biên ∂Ω.
1.3.3 Các tính chất của hàm điều hòa
Từ (1.12) ta thấy các hàm dưới dấu tích phân đều là các hàm khả vi
vô hạn và giải tích theo y nên u(y) cũng là hàm khả vi vô hạn và giải
tích trong Ω.
Định lý 1.2. Giả sử Ω là miền bị chặn với biên trơn u ∈ C
1
(Ω) là hàm
điều hòa trong Ω. Khi đó:

∂Ω
∂u
∂ν
dS = 0.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.6, trang 73.
Định lý 1.3. (Giá trị trung bình)
15
Giả sử hàm u ∈ C
2
(Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u = 0 trong Ω. Khi đó với
mọi hình cầu B = B
R

(y) ⊂⊂ Ω với ∀R > 0 ta có:
u(y) =
1
nω
n
R
n−1

∂B
u(x)dS =
1
ω
n
R
n

B
u(x)dx,
trong đó ω
n
là thể tích hình cầu đơn vị trong R
n
.
Định lí vẫn còn đúng khi ta thay dấu = bởi các dấu ≤ hoặc ≥ ở ∆u
thì ở kết luận tương ứng sẽ là ≥ hoặc ≤.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.1, trang 67.
Định lý 1.4. (Nguyên lí cực trị mạnh)
Giả sử hàm u ∈ C
2
(Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u ≥ 0 (∆u ≤ 0) trong Ω

và tồn tại y ∈ ∂Ω sao cho:
u(y) = sup
Ω
u(x) (u(y) = inf
Ω
u(x)).
Khi đó hàm u là hằng số. Đặc biệt, một hàm điều hòa khác hằng số
không thể đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tại các điểm trong của miền
Ω.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.2, trang 69.
Hệ quả 1.1. (Nguyên lí cực trị mạnh của hàm điều hòa trong miền bị
chặn)
Giả sử Ω là một miền bị chặn và u là hàm điều hòa trong Ω, u ∈
C
2
(Ω) ∩ C
0
(
¯
Ω). Khi đó
inf
∂Ω
u ≤ u(x) ≤ sup
∂Ω
u với x ∈ Ω.
16
Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Harnack)
Giả sử u là một hàm điều hòa không âm trong Ω. Khi đó với mọi
miền con bị chặn Ω


⊂⊂ Ω tồn tại một hằng số c = c(Ω

, Ω, n) sao cho
sup
Ω

u ≤ c inf
Ω

u.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.4, trang 71.
Định lý 1.6. Giả sử B = B
R
(y) là hình cầu tâm y bán kính R.
Giả sử u ∈ C
0
(B) là hàm điều hòa khác hằng số trong B và nhận giá
trị nhỏ nhất tại một điểm x
0
∈ ∂B. Nếu tại một điểm x
0
tồn tại đạo
hàm
∂u
∂µ
, ở đó µ là hướng tạo với vectơ pháp vectơ ngoài tới ∂B một góc
nhọn thì:
∂u
∂µ
(x

0
) < 0.
Chứng minh. Xem [1], định lý 2.4, trang 72.
1.4 Các bài toán biên cơ bản đối với phương trình
Laplace, Poisson
1.4.1 Các bài toán biên
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
. Chúng ta xét các bài toán biên cơ
bản sau đây đối với phương trình Laplace, Poisson.
(i) Bài toán biên thứ nhất (Dirichlet):
Là bài toán tìm hàm u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) của phương trình Laplace,
17
Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên:



∆u = 0|
Ω
u|
∂Ω
= ψ
hoặc




∆u = f(x)|
Ω
u|
∂Ω
= ψ
với f(x) ∈ C(Ω), ψ(x) ∈ C(∂Ω).
(ii) Bài toán biên thứ hai (Newmann):
Là bài toán tìm hàm u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
Ω) của phương trình Laplace,
Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên:



∆u = 0|
Ω
∂u
∂ν
|
∂Ω
= ψ
hoặc



∆u = f(x)|
Ω

∂u
∂ν
|
∂Ω
= ψ
với f (x) ∈ C(Ω), ψ(x) ∈ C(∂Ω),
∂u
∂ν
là đạo hàm theo hướng pháp vectơ
ngoài tới ∂Ω.
(iii) Bài toán biên thứ ba (bài toán biên hỗn hợp):
Là bài toán tìm hàm u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(Ω) của phương trình Laplace,
Poisson trong Ω thỏa mãn điều kiện biên:



∆u = 0|
Ω
(
∂u
∂ν
+ au)|
∂Ω
= ψ
hoặc




∆u = f(x)|
Ω
(
∂u
∂ν
+ au)|
∂Ω
= ψ
với f(x) ∈ C(Ω), a, ψ(x) ∈ C(∂Ω),
∂u
∂ν
là đạo hàm theo hướng pháp vectơ
ngoài tới ∂Ω.
1.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối
với phương trình Laplace hai chiều
Trong mục này chúng ta sẽ đề cập tới phương pháp tách biến Fourier
để giải một số bài toán biên đối với phương trình Laplace trong miền
18
chữ nhật và trong miền tròn.
Giải bài toán biên trong miền chữ nhật
Bài toán: Cho bài toán biên Dirichlet với phương trình Laplace trong
miền chữ nhật (0, L) × (0, M) có dạng sau:
∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, với (x, y) ∈ (0, L) × (0, M); (1.13)
với điều kiện biên

u(x, 0) = ϕ
1
(x); u(x, M) = ϕ
2
(x); 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = ϕ
3
(y); u(L, y) = ϕ
4
(y); 0 ≤ y ≤ M.
Ta sẽ tìm nghiệm của (1.13) dưới dạng tách biến. Ta chia bài toán
trên thành 4 bài toán sau:













∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);

u(x, 0) = ϕ
1
(x), u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = 0, u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M.
(1.14)













∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);
u(x, 0) = 0, u(x, M) = ϕ
2
(x), 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = 0, u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M.
(1.15)














∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);
u(x, 0) = 0, u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = ϕ
3
(y), u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M.
(1.16)
19














∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M);
u(x, 0) = 0, u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L;
u(0, y) = 0, u(L, y) = ϕ
4
(y), 0 ≤ y ≤ M.
(1.17)
Bốn bài toán trên có cách giải là như nhau. Ta sẽ trình bày cách
giải của bài toán (1.14) sau đó suy ra nghiệm của các bài toán còn lại.
Nghiệm của bài toán ban đầu chính là tổng nghiệm của bốn bài toán
trên.
Ta xét:
Bài toán biên thứ nhất: Giải bài toán biên Dirichlet với phương trình
Laplace trong miền chữ nhật (0, L) × (0, M ).














∆u = u
xx
+ u
yy
= 0, (x, y) ∈ (0, L) × (0, M); (1)
u(x, 0) = ϕ
1
(x), u(x, M) = 0, 0 ≤ x ≤ L; (2)
u(0, y) = 0, u(L, y) = 0, 0 ≤ y ≤ M. (3)
Ta tìm nghiệm không đồng thời bằng không của bài toán có dạng
tách biến:
u(x, y) = X(x).Y (y) = 0.
Thay vào phương trình ta có:
X

(x).Y (y) = X(x).Y

(y)
X

(x)
X(x)
= −
Y


(y)
Y (y)
.
Do vế trái là một hàm của x, vế phải là một hàm của y nên cả hai
phải là hàm hằng. Đặt giá trị đó là −λ ta nhận được phương trình vi
20
phân thường:
X

(x) + λX(x) = 0, (1.18)
Y

(y) − λY (y) = 0. (1.19)
Từ các điều kiện biên thuần nhất ta nhận được các điều kiện biên
cho các phương trình vi phân (1.18), (1.19) như sau:
X(0) = 0, X(L) = 0, (1.20)
Y (M) = 0. (1.21)
Giải bài toán biên (1.18) cùng với điều kiện biên (1.20) ta nhận được
nghiệm khác không ứng với các giá trị
λ = λ
k
= −

kπ
L

2
là:
X(x) = X
k

(x) = A
k
sin
kπx
L
với k = 1, 2, . . .
trong đó A
k
là các hằng số bất kì, λ
k
, X
k
tương ứng được gọi là giá trị
riêng và hàm riêng của bài toán biên (1.18), (1.20).
Với λ = λ
k
ta giải bài toán biên (1.19) cùng với điều kiện biên (1.21)
ta nhận được nghiệm:
Y (y) = Y
k
(y) = B
k
sh
kπ(M − y)
L
,
trong đó B
k
là các hằng số bất kì.
Như vậy, ta được các nghiệm:

u
k
(x, y) = X
k
(x)Y
k
(y) = b
k
sh
kπ(M − y)
L
sin
kπx
L
,
21
của phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất trong
(2) + (3), với b
k
là hằng số bất kì.
Đặt
u(x, y) =
∞

k=1
u
k
(x, y) =
∞


k=1
b
k
sh
kπ(M − y)
L
sin
kπx
L
,
ta có u là nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất trong
(2) + (3).
Bây giờ ta chỉ việc tìm các hệ số b
k
để u thỏa mãn nốt điều kiện không
thuần nhất trong (2) là: u(x, 0) = ϕ
1
(x) với 0 ≤ x ≤ L.
Điều này tương đương với:
∞

k=1
b
k
sh
kπM
L
sin
kπx
L

= ϕ
1
(x) với 0 ≤ x ≤ L.
Chứng tỏ b
k
sh
kπM
L
là hệ số Fourier sine của hàm ϕ
1
(x) trên đoạn [0, L].
Ta có:
b
k
sh
kπM
L
=
2
L
L

0
ϕ
1
(x) sin
kπx
L
dx
⇒ b

k
=
2
Lsh
kπM
L
L

0
ϕ
1
(x) sin
kπx
L
dx.
Vậy nghiệm tách biến của phương trình (1) cho bởi
u(x, y) =
∞

k=1
b
k
sh
kπ(M − y)
L
sin
kπx
L
, (1.22)
trong đó hệ số b

k
cho bởi
b
k
=
2
Lsh
kπM
L
L

0
ϕ
1
(x) sin
kπx
L
dx. (1.23)
22