Khóa luận tốt nghiệp toán Một số phép co dãn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
NGUYỄN THỊ THU HỒNG
MỘT SỐ PHÉP CO DÃN
KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Đại số
Ngưòi hướng dẫn khoa học Th.s NGUYỄN THỊ BÌNH
Hà Nội – 2014
Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại Đại học Sư phạm Hà Nội
2. Có được bản khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS.
Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý giá để
em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.
Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người đọc em đã
rất cố gắng nhưng lượng thời gian ý, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung lượng hạn chế nên không
thể tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện. Rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để
đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hồng
Khóa luận tốt nghiệp "Một số phép co dãn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của ThS.
Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2014 Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Hồng
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất quan trọng trong

việc dạy học ở các trường học. Qua toán học giúp cho người học nâng cao khả năng
tư duy, suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Và qua
toán học cũng giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì
lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người dạy toán
nào không quan tâm.
Trong chương trình toán học phổ thông, đại số là một bộ phận lớn mà trong đó
phép biến đổi đồ thị hàm số, đặc biệt là phép co dãn đồ thị hàm số đóng vai trò khá
quan trọng. Vì vậy việc hiểu và nắm vững được nó là việc làm vô cùng cần thiết, là
tiền đề cho người học khi tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Hơn thế nữa, phép biến
đổi đồ thị hàm số hay gọi là phép biến đổi hàm số là vấn đề được sách giáo khoa
nước ngoài đặc biệt quan tâm, ngoài phép tịnh tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép
co dãn đồ thị theo chiều ngang hay chiều dọc. Trong khi đó, sách giáo khoa toán Việt
Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa
độ và cũng được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10 nâng cao,
có đưa ra đồ thị hàm số thể hiện phép co dãn nhưng không đề cập đến phép biến đổi
này.
Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet
ngày càng có nhiều tác giả với những tài liệu khác nhau
viết về chủ đề này. Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì
các dạng bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ
thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng. Vì vậy việc nghiên
cứu
chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến thức và giải bài tập.
Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của
ThS. Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "Một số phép co dãn" nhằm
làm rõ hơn vấn đề này và phân loại các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có một hệ
thống bài tập được phân loại rõ ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học
cũng như học tập trên lớp.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
MỞ

4
Nghiên cứu và phân loại một số phép co dãn đồ thị hàm số. Làm rõ sự biến đổi
đồ thị hàm số và một số bài tập liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số phép co dãn đồ thị hàm số và các bài tập liên quan.
4. Phương pháp nghiền cứu
Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp bao
gồm 4 chương:
Chương 1 : Một số kiến thức cơ sở Chương
2: Phép co dãn cơ bản Chương 3: Tích các
phép co dãn Chương 4: Các dạng bài tập và
ví dụ
NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIÉN THỨC cơ SỞ
1.1. Đồ thi hàm số
1.1.1. Khái niệm hàm số
Cho Del Một quy tắc f cho tương ứng mỗi X G D

với
một và chỉ một yet gọi là một hàm số.
Kí hiệu: f: D — >

M X
—» y
Tập D được goi là tập xác định của hàm số. Phần tử X goi là đối số (biến số).
Phần tửy e t tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu Y

—

/(X ) .
Tập hợp T

F

= { F ( X )

I Vx e Z)j gọi là tập giá trị của hàm số.
1.1.2. Khái niệm đò thị hàm số
Cho hàm số Y

= F ( X

) xác định trên D
Ta gọi tập hợp các điểm (х,/(л:)) với V X E D

là đồ thị của hàm số
y = № -
MỞ
5
Việc biểu diễn các điểm (X , F ( X

)) thuộc đồ thị hàm số У

= F ( X

) lên mặt
phẳng tọa độ O X Y

gọi là vẽ đồ thị của hàm số.

MỞ
6
Hình 1.1.3.1 b)
1.1.3. Một số đồ thị hàm số CO’ bản
1.1. 3.1. Đ ồ thị h àm số ỵ =
7
Hình 1.1.3.2 a)
Hình 1.1.3.2 b)
1.1.3. Một số đồ thị hàm số CO’ bản
1.1. 3.1. Đ ồ thị h àm số ỵ =
8
1.2. Tịnh tiến đồ thị hàm số
Cho hàm số Y = F ( X ) ,

với A , B >

0
Từ đồ thị hàm số Y — F ( X

) bằng phép tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị: +
Sang trái nếu A

> 0 + Sang phải nếu A

< 0 ta được đồ thị hàm số Y =

/(X +
A

).

Từ đồ thị hàm số Y — F { X

) bằng phép tịnh tiến theo trục
Oy b đơn vị: + Lên trên nếu B >

0 + Xuống dưới nếu B <

0
ta được đồ thị hàm số Y = F ( X

) + B .
1.3. Đối xứng đồ thị hàm số
Cho hàm số Y

— F ( X

).
Từ đồ thị hàm số Ỵ — F ( X ) ,
+

Bằng phép đối xứng trục Ox ta có đồ thị hàm số Ỵ —

—/(X ) +

Bằng phép đối
xứng trục Oy ta có đồ thị hàm số Y

=

/(—X )

Chương 2: PHÉP co DÃN cơ BẢN
Cho hàm số Y

— F ( X

) có đồ thị hàm số (C)
Xem xét sự co dãn của đồ thị hàm số này qua 2 dạng: co dãn theo chiều dọc và
co dãn theo chiều ngang
2.1. Dạng 1: y = f{ax), а ф ±\
Hình 1.1.3.3
1.1. 3.3. Đ ồ thị h àm số
9
2.1.1. Sự biến đổi đò thị
Đồ thị hàm số У

— F ( Ạ X )

đượcbiến đổi từ đồthị hàm số У

— F ( X )

qua một phép co dãn theo trục hoành(co dãn theochiều ngang) với hệ số
co dãn là 1/a.
Hay còn gọi là phép co dãn theo X - hướng.
• А

> 1 : phép co
• 0 < А

<

1 : phép dãn
• а<0: vẽ đồ thị hàm số Y — F { — A X

) bằng phép co hoặc dãn như trên sau đó
lấy đối xứng qua trục tung.
2.1.2. Tọa độ điểm
• Điểm có tọa độ thuộc đồ thị hàm số Ỵ = F ( X

) khi chuyển
sang đồ thị hàm số Ỵ — F ( A X )

sẽ có tọa độ ( X / A ;

y). Dễ thấy tung độ của
mọi điểm trên đồ thị không thay đổi.
• Điểm bất động: bất kỳ điểm nào trên trục Oy.
2.1.3. Một số ví dụ minh họa
V Í D U 2 . 1 . 1 .

Vẽ đồ thị hàm số У

=

(2л;)
2
từ đồ thị hàm số Y = X

2

.
Hướng dẫn và lời giải:
Ta thấy đồ thị hàm số У

= X

2

là đồ thị hàm số đơn giản dễ vẽ. Hàm
số y = (2xỴ có dạng y = f ị a x ) v ờ i f ( x ) = x
2
vầ a = 2 > \ . Do đó từ đồ
thị hàm số y =

X
2
ta thực hiện 1 phép co theo X - hướng với hệ số co là
l _ ì a 2
Như vậy đồ thị hàm số Ỵ = ( 2 X Ỵ

sẽ được vẽ dễ dàng nhờ việc co đồ thị hàm
số Y = X

2

với hệ số co là 1/2.
Lúc này mọi điểm thuộc đồ thì ban đầu sẽ thay đổi:
(x;y) (x/2;y)
(0;0) (0;0)
(1;1) -► (1/2;1)

(2:4) (1;4)
Ta có đồ thị:
1.1. 3.3. Đ ồ thị h àm số
1
=> Nhận xét: từ hình 2.1.1 ta có thể thấy với mỗi giá trị của y thì |x| giảm 2 lần từ đồ
thị trước sang đồ thì sau biến đổi. Tức là |xl nhỏ đi hay đồ thị co lại theo chiều ngang.
Như vậy ta cũng có thể tìm được phép co dãn theo chiều ngang và hệ số co dãn
của nó nếu biết đồ thị hàm số trước và sau phép co dãn này.
1.1. 3.3. Đ ồ thị h àm số
1
Lời giải:
+ Ỵ = X

3

' ■ = F

(Jt) có đồ thị hàm
số (C i)
có đồ thị hàm
số (C2).
rồi lấy đối xứng
= /
Ta có A

= ——<0 ta
vẽ đồ thị
hàm số
Y = F
2

qua Ox
( \ \

_ ’
+ Vẽ đồ thị hàm số Y = F

(C2).
Ta có A ' = L ~ , 0 < A ' < Ì ,

do đó từ đổ thị
(Ci) ta thực hiện phép dãn
với hệ số co dãn - = \ - = 2

được đồ thị (C2). A
+ Các điểm thuộc (Ci) chuyển sang (C2):
Ví du 2.1.2. Vẽ đồ thị hàm số y — —X từ đồ thị hàm số y = X
3
.
1
2
X
,
+ Lấy đối xứng (C2) qua Oy được (C2) là đồ
thị cần vẽ.
Ví du 2.1.2. Vẽ đồ thị hàm số y — —X từ đồ thị hàm số y = X
3
.
1
(x;y) -»■ (2x;y)
(0;0) (0;0)

(1;1) -»■ (2;1)
(2;8) (4;8)
+ Ta có đồ thị
+ Nhận xét: Từ đồ thị (Ci) sang đồ thị (C2) với mỗi giá trị của y thì Ixl tăng
lên 2 lần, hay đồ thị dãn theo chiều ngang.
V Í D U 2 . 1 . 3 .

Cho đường cong Y

= —. Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào
khi thực hiện phép co dãn theo trục hoành với hệ số co dãn:
a)
1
b) theo trục hoành Y — F

(ax) hay Y =

y—
c) X
d) Tức là ta nhận được đồ thị của hàm số Y — — .
e) X
a) Ta có hê số co dãn là — = ^-=>a = 2 mà 2>lnên ta có phép co theo
f) a 2
g) trục hoành y = f { a x ) hay y = ^~-
2.2. Dạng 2: y = af[x), аф±1
2.2.1. Sự biến đổi đò thị
h) Đồ thị hàm số 3; = a/(x)được biến đổi từ đồ thị hàm số у = f(x)
i) qua một phép co dãn theo trục tung (co dãn theo chiều dọc) với hệ số co dãn
là a.
j) Hay còn gọi là phép co dãn theo у - hướng.

• А

>

1 : phép dãn
• 0 <А

<

1 : phép co
• а < 0: vẽ đồ thị hàm số ỵ — —a/(jc) bằng phép co hoặc dãn như
k) trên sau đó lấy đối xứng qua trục hoành.
2.2.2. Tọa độ điểm
• Điểm có tọa độ (*;y) huộc đồ thị hàm số j = /(jc)khi chuyển
l) sang đồ thị hàm số У

= a/(x) sẽ có tọa độ (x;ợy). Dễ thấy hoành độ
của mọi điểm trên đồ thị không thay đổi.
• Điểm bất động: bất kỳ điểm nào trên trục Ox.
2.2.3. Một số ví dụ minh họa
m) V Í DU 2 . 2 . 1 .

Vẽ đồ thị hàm số У

— 4 X

2

từ đồ thị hàm số Y = X

2

.
n) Lời giải:
o) Hàm s ố y = 4 x
2
có dạng y = a f(x) v ới f(x) = x
2
và a = 4>1.
Do đó từ đồ thị hàm số У

= X

2

ta thực hiện 1 phép dãn theo у - hướng với hệ số
dãn là A = 4 .
p) Như vậy đồ thị hàm số У

— 4 X

2

sẽ được vẽ dễ dàng nhờ việc dãn đồ thị
hàm số У

= X

2

với hệ số dãn là 4.
q) Lúc này mọi điểm thuộc đồ thì ban đầu sẽ thay đổi:
a) (
x;y)
b)
c) (x;4
y)
d) (
0;0)
e) -»
■
f) (0;
0)
g) (
1;1)
h)
i) (1;
4)
j) (-
1;1)
k) —
>
l) (-
1;4)
s)
t) Hình 2.2.1
u) => Nhận xét: từ hình 2.2.1 ta có thể thấy với mỗi giá trị của X thì |yl tăng
4 lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi. Tức là lyl lớn hơn hay đồ thị dãn ra
theo chiều dọc.
v) Như vậy ta cũng có thể tìm được phép co dãn theo chiều dọc và hệ số co

dãn của nó nếu biết đồ thị hàm số trước và sau phép co dãn này.
w) VÍ D U 2 . 2 . 2 .

Vẽ đồ thị hàm số Y — —

^x
3
từ đồ thị hàm số Y — X

3

.
x) o
y) Lời giải:
z) + Ỵ =

JC
3
:= F ( X

) có đồ thị hàm số (C i)
m) Ta có đồ thị:
n)
aa)+ Y = — — X

3

= — — F ( X )

có đồ thị hàm số (C2)

ab)
ac) 1
ad) Ta có ữ = -i<0. ta vẽ đồ thi hàm số Y = — F ( X

) rồi lấy đối
xứng 0 8
ae) qua Oy
af) + Vẽ đồ thị hàm số Y —

^/(X) (C2)
ag) 8
ah)
ai)
aj) + Các điểm thuộc (Ci) chuyển sang (C2):
ak) (x;y) (x; |y)
al) (0;0) (0; 0)
am) (-2;-8) (-2;-l)
an) (2;8) -► (2;1)
ao) + Lấy đối xứng
(C2) qua Ox được (C2) là đồ thị cần vẽ.
ap) + Ta có đồ thị
o)
p)
q)
-9 -8 -7
Hình
5 6 7 8 9
X
aq) + Nhận xét: Từ đồ thị (Cl) sang đồ thị (C2 ) với mỗi giá trị của X thì lyl
của giảm đi 8 lần, hay đồ thị co theo chiều dọc.

ar) Ví dụ 2.2.3. Vẽ đồ thị hàm số y
2
—2y = ^—l từ đồ thị hàm số ỵ
2
= X
Lời giải:
as) +

Vẽ đồ thị hàm số X = Y

2

:= F ( Y

) (Cl)
at) + Ta có y
2
— 2y = ^ — l o x = 2 ( y — l)
2
au) + Suy ra ta vẽ đồ thị X = 2f(y ) (Cl )
av) => X = 2 F ( Y — L )

có đồ thị (C2) là đồ thị cần vẽ.
aw) Lúc này do vai trò X, y thay đổi cho nhau nên từ đồ thị (C1) ta
thực hiện phép dãn theo X - hướng hệ số dãn là 2 được đồ thị (Cl ).
ax) + Các điểm thuộc (Cl) chuyển sang (Cl ):
ay) (x;y) (2x;y)
az)
ba)
bb)+ Tịnh tiến (Cl ) theo chiều dương Oy 1 đơn vị ta được đồ thị (C2)

bc) V Í D U 2 . 2 . 4 .

Cho đường cong Y

= —. Hỏi ta sẽ đươc đồ thi của hàm số
bd) X
be) nào khi thực hiện phép co dãn theo trục tung với hệ số co dãn: a) 2 b)
Ị

bf) Lời giải:
a) Ta có hệ số co dãn là A

= 2 mà 2 > 1 nên ta có phép dãn theo trục tung
bg) 2
bh) y = afO)hayy =
bi) X
b) Ta có hệ số co dãn là A

= ^ R

mà 0<^T<1 nên ta có phép co theo trục
bj) 1
9 1
bk) tung J = af(jt) hay Y = — = ^ ~ -
bl) Tức là ta có đồ thi của hàm số y = .
bm)
J
2x
+ Ta có đồ thị:
2.3. Kết luận

bn) Cho đồ thị hàm số Y — F ( X

), các đồ thị hàm số sau là sự co dãn
của đồ thị hàm số Y — F ( X ) ,
bo) +

với 0<a^l
bp)
bq) Chương 3: TÍCH CÁC PHÉP co DÃN
3.1. Sự biến đổi đồ thị.
br) Cho hàm số Y

= F ( X

) có đồ thị hàm số (C), với a, b Ф

1.
bs) Đồ thị hàm số Y

= af (B X

) được biến đổi từ đồ thị hàm số Y

=
F ( X )

qua 2 phép co dãn là ph ép co d ãn th eo X - hướng v ới hệ số
co dãn là l /b và phép co dãn theo y - hướng với hệ số co dãn là a.
bt) + 0 < A

< 1 phép co theo y - hướng A

>

1 phép dãn theo y - hướng +
0 < b < 1 phép dãn theo X - hướng b > 1 phép co theo X - hướng + A

<

0
vẽ đồ thị hàm số Y

— — D Ì

(B X

) bằng phép co dãn như trên sau đó lấy đối
xứng qua Ox + B <

0 vẽ đồ thị hàm số Y

=

af ( — B X )

bằng phép co dãn như
trên sau đó lấy đối xứng qua Oy.
r) Hàm
sô
s) Sự biên đôi t) Tọa độ điêm

u) Y = Ỉ
( A X )
v) Co dãn theo X - hướng với hệ
sô
w) co
dãn là — A
x) +

0<a<l phép dãn + A >

1
phép co
y) (x;y) (x/a;y)
z) Điểm bất động:
điểm nằm trên Oy
aa) Y -

af
(jc)
ab) Co dãn theo y - hướng với hệ sô
co dãn là a
ac) + 0<a<lphépco + A >

1
phép dãn
ad) (x;y) (x/a;y)
ae) Điểm bất động:
điểm nằm trên Ox
af) + Với a < 0: sử dụng phép đối xứng.
3.2. Tọa độ điểm

bu) Hàm số Y

= af
( B X )

được biến đổi qua phép co dãn theo cả 2trục tọa
bv) độ nên điểm có tọa độe (c)thay đổi cả tungđộ và
hoành độ là
bw) tích của phép co dãn dạng 1 và dạng 2.
bx) Điểm có tọa độ (*;y) thuộc đồ thị hàm số у = /(я) khi chuyển sang đồ
thị hàm số Y = 2 Ẩ ( B X

) sẽ có tọa độ (x/b;ay). Cụ thể,
by) Or, y) G (С) -> сф ; у) G (С '") -> (x/ b ;
ay) G (С ■) hoặc (х; _у) е (С) —» (х;ау) е (С"’) —> (х/Ь;ау) е
(С"),
bz) Với (С’) là đồ thị hàm số Y
=

af (B X

),
ca) (С”) là đồ thị hàm số Y

=f ( B X ) ,
cb) (C’”) là đồ thị hàm số Y

= A F ( X ) .
3.3. Một số ví dụ minh họa
cc) V Í D U 3 . 1 .

Vẽ đồ thị hàm số Y

= ^ ( 2 X )

2

từ đồ thị hàm số Y

= X

2

.
cd) Hướng dẫn và lời giải:
ce) + y = x
2
: = /(x ) có đồ thị (C)
cf) + Y = ^ ( 2 X )

2

:=Ậ/(2 X )

có đồ thị (C’) là đồ thị hàm số cần vẽ +


Ta có 0 < a = — <1: phép co theo y - hướng với hệ số co ^
cg) B =

2 > 1 : phép co theo X - hướng với hệ số co ^
ch) => tò đồ thị (C) thực hiện 2 phép co dãn theo cả trục tung và trục
hoành với hệ số co đều là 1/2 được đồ thị hàm số (C’).
ci) + Các điểm thuộc (C) chuyển sang (C’)
cj) (x;y) ->• (x/2;y/2)
ck) (0;0) -► (l/2;l/2)
cl) (2;4) -► (1;2)
cm) + Ta có đồ thị hàm số
cn)
co) + Nhận xét: giá trị tuyệt đối của X và y của điểm thuộc đồ thị (C’) đều giảm 2
lần so với giá trị tương ứng của nó trên đồ thị (C). Chính là sự co dãn theo cả chiều
ngang và chiều dọc.
cp) Rõ ràng ta thấy Ỵ = ^ ( 2 X )

2

= 2 X

2

có dạng 2, là phép dãn theo y -
cq) hướng với hệ số dãn là 2, nhưng ta không làm theo cách này để thấy được
tích của phép co dãn như thế nào. Để thấy rõ hơn sự co theo 2 hướng thể hiện trên đồ
thị, ta sẽ thực hiện lần lượt 2 phép co như sau:
cr) + Co đồ thị (C) theo X - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm số Y =
( 2 X )

2

(C”)

ag)
cs)+ Co đồ thị (C”) theo y - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm số Y =
^ ( 2 X Ỷ

(C’) là đồ thị cần vẽ
ct) + Các điểm thuộc (C) chuyển sang (C”) sang (C’)
cu) (x;y) -» 0/2 ; Y )

->• 0/2; y/2)
cv) (0;0) -► (0;0) (0;0)
cw) (1;1) (1/2 ;1) (1/2; 1/2)
cx) (2;4) (1;4) (1;2)
cy) Hoặc ta có thể vẽ theo 2 phép co dãn sau:
cz) + Co đồ thị (C) theo y - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm
da) số Ỵ = Ị X

2

(C”)
db) + Co đồ thị (C”) theo X - hướng với hệ số co là 1/2 được đồ thị hàm
dc) số Y = ^ R { 2 X )

2

(C’) là đồ thị cần vẽ.
dd) Ví dụ 3.2. Vẽ đồ thị hàm số y = 2(2x+3)
2
.
de) +

Bước1: Vẽ đồ thị hàm số Y =
X

2

(C)
df) + Bước2: Vẽ đồ thị hàm số Ỵ =
(jc+3)
2
(Cl)
dg) + Bước3: Vẽ đồ thị hàm số У =
{ 2 Х + Ъ )

2

(Сг)
dh) + Bước4: Vẽ đồ thị hàm số Y =
2 ( 2 X + 3 )

2

(Сз)
di) Khi đó,
dj) + Bước 2: Tịnh tiến (C) 3 đơn vị theo chiều âm Ox +
Bước 3: Co (Cl) theo X - hướng hệ số 1/2
+ Ta có đồ thị
dk) + Bước 4: Dãn (C2) theo y - hướng hệ số 2 Ta
có đồ thị
dl)
dm)

dn)
do) CH Ú

v: Đồ thị của hàm số Y

- 2 ( 2 X + 3 )

1
—

2
dp) đồ thị hàm số y = X
2
qua các phép biến đổi sau:
1. co theo chiều ngang với hệ số 1/2
2. Tịnh tiến 3/2đơn vị theo chiều âm Ox
3. Dãn theo chiều dọc với hệ số 2.
1 Dãn theo chiều dọc với hệ số 8.
3.4. Nhận xét
• Từ đồ thị của 2 hàm số trước và sau phép co dãn dạng 1 và dạng 2 ta có thể
tìm được phép co dãn và hệ số co dãn, và ta cũng có thể làm điều tương tự
với tích của 2 phép co dãn nhưng việc này không phải là
ah)
x+
ị
có thể được vẽ