Khóa luận tốt nghiệp toán Tìm hiểu về phương pháp lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV THỨ
HAI TRONG KHẢO SÁT Sự ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIÊU KHIEN
• • •
Người hướng dẫn: ThS. NGUYẼN TRUNG DŨNG Cơ
quan công tác:Khoa Toán,Trường ĐHSPHN 2
Họ và tên sinh viên: PHẠM HồNG DIỆU HUYEN Khoa:
Toán Ngành: Sư Phạm Toán Lốp: K36B
Xuân Hòa - 2014
Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành
nhất tới thầy giáo-Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình hướng dẫn em hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo trong khoa
toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá ữình học tập
tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện
khóa luận này.
Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên
Em là Phạm Hồng Diệu Huyền, sinh viên lớp k36B-Sư Phạm Toán. Đề tài nghiên
cứu của em là "Tìm hiểu về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định
của hệ điều khiển" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên - Thạc sĩ
Nguyễn Trung Dũng. Em xin cam đoan nội dung khóa luận được thực hiện hoàn toàn
do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân không ừùng lặp bất cứ một đề tài
nghiên cứu khoa học nào khác.
Các tài liệu tham khảo em đã đề cập chi tiết ữong nội dung khóa luận và đã được
giáo viên hướng dẫn thông qua.
Em xỉn chân thành cảm ơn!
Xuân Hòa, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Sinh Viên
LỜI CẢM ƠN

X N
Mục lục
Một số khái niệm và công cụ
toán học
Một số kết quả của hệ
phương trình vỉ phân thường
Hàm Lyapunov
Lóp hàm K
Đạo hàm Dini
Một số bất đẳng thức vi tích
phân
Sự ổn định Lyapunov
Định nghĩa sự ổn định
Lyapunov
Một số ví dụ
Phương pháp Lyapunov thứ 2
Minh hoạ hình học của phương
pháp Lyapunov thứ 2
Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định
và ổn định đều
Chương
1. 1.1
3
3
5
9
1
1
1
5

1
8
1
8
2
0
2
1.
2.
1.
3.
Chương
2. 2.

1.
2.
2.
2.3.
1.
2.3.
Điều kiện cần và đủ cho sự ổn định
mũ
Kết luận
Tài liệu tham khảo
LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Sự phát triển của Lý thuyết ổn định đã diễn ra rất nhanh chóng và phổ biến một
cách rộng rãi. Các kết quả về Lý thuyết ổn định được công bố trên rất nhiều tạp chí
khoa học, bởi vậy rất khó để phát hiện ra đâu là những tiến bộ thực sự, đặc biệt đối
với những nhà nghiên cứu mới muốn sử dụng kết quả của lý thuyết ổn định để áp

dụng trong những lĩnh vực khác. Đây cũng là mối quan tâm đối với các nhà nghiên
cứu và các học viên ừong lĩnh vực khác nhau. Do đó, tôi đã chọn đề tài "Tìm hiểu
về phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển"
nhằm hệ thống lại khái niệm và ý nghĩa của phương pháp này trong hệ điều khiển.
Khóa luận của tôi gồm hai chương
• Chương 1 Trình bày một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường,
hàm Lyapunov, đạo hàm Dini và một số bất đẳng thức vi phân.
• Chương 2 Trình bày định nghĩa sự ổn định Lyapunov, một số ví dụ về mối
quan hệ giữa các dạng ổn định, minh họa hình học của phương pháp
Lyapunov thứ 2

, điều kiện cần và đủ cho sự ổn định, ổn định đều và ổn định
mũ.
Dù rất cố gắng nhưng thời gian và năng lực của em còn hạn chế nên khóa luận khó
có thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và
các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!
2. Mục đích, nhiệm yụ
• ' • •
Hệ thống lại các khái niệm và những kết quả về sự ổn định Lyapunov. Đặc
biệt là phương pháp Lyapunov thứ hai trong khảo sát sự ổn định của hệ điều khiển.
3. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của phương pháp Lyapunov
thứ hai là nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển
5
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.
6
Chương 1
Một số khái niệm và công cụ

toán học
1.1. Một số kết quả của hệ phương trình vi phân thường
Xét hệ phương ữình dưới đây
dxị
(1.1.1)
ữong đó, t e / := (ti, Í2

), h > —00

, Í2

^ +°°, vector trạng thái x= (X\,X2

, ,x
n
)
T
£
n c IR", gi £ c [1X íl, M
1
], o £ Hệ (1.1.1) có thể viết dưới dạng vector
dx
T
^ =g(t,x),g= ( g l , g 2, - - - , g n ) ■
Giả sử các hàm gi thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là Vx,y € £2;Ví € I, 3 hằng
số L > 0 sao cho
n
l&( í
s
*)-&(íi:y )l £\ X j - y j \ .

7=1
^=8i{t,x
í
,X2, ,x
n
)i=l,n,
(1.1.
d g j { t
Rõ ràng, nếu
d


Lipschitz được thỏa
^ Kịj

= const, j =

1, n,

trên /xíl thì điều kiện
Định lý 1.1.1. (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm). Nếu g(t,x) = g
n
(t,x))
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, khi đó V(ío,*o) £ / X £2,3í* > 0, sao cho 3 1 nghiệm
7
duy nhất x(t,to,Xo) thỏa mãn phương trình vi phân (ịi.i. 2

|) vói điều kiện ban đầu
x(t,to,xo)=xo, (1.1.3)
dx(t,to,xo)

= g(t,x(t,t
0
,xo)),
dt
trên khoảng [to — t*,to +1*].
Định lý 1.1.2. (Định lí về sự liên tục và khả vi với bài toán giá trị ban đầu). Giả sử
rằng điều kiện của định lý (Ịi.i.iỊ) được thỏa mãn
x^(t) := x(t,to,x
ữ
), x^
2
\t) x(t,to,XQ ) là 2 nghiệm của (1.1.21

xác định trên [t
0
,h]
x


Khi đó, Ve > 0, 3Ỗ > 0 sao cho
-x^(t,t
0
,xo) < tính liên tục của
đx



‘ịj’

to

?°)

(i
;
j = l,n).
Dưới đây, chúng ta xét phương ữình vi phân phụ thuộc tham số
‘%=g{t,X,ỊÌ),
trong đó, X G ũ., t £ / và jU £ [jU-i, /i
2
] là một vector tham số.
Định lý 1.1.3. (Định lý về sự liên tục và khả vỉ của nghiệm theo tham số).
Giả sử g(t,x,ịì) ẽCỊ/xílx [jUi ,/ 12

] ,R
n
] ,g thỏa mãn điều kiện Lỉpschỉtz với mọi giá
trị jU e [jUi, H2

] ■Khi đó:
(1) Vío e /, Xo € n,jUo € [jUi, /X2] thì 3 hằng số p> 0 ,a > 0 sao cho khi 1/1 — /lo I ^ p,
nghiệm của phương trình
(Ị/.7.2Ị)

x(t)
=

x(t,to,Xo,n) xác định trên

[ío —

a;to + a\ phụ
thuộc liên tục vào ịII.
(2) , gi được giải tích đối với các biến, kéo theo x(t) := x(t,to,xo,Ịi) cũng giải tích
đối với ịII.
(3) Sự khả vi liên tục của gi đối với các biến
X ị ,
x
n
và Ịl, kéo THEO sự khả vi liên
tục của x(t) := x(t,to,xo,ịi) đối với ịi.
Ví dụ 1.1.1. : xét hệ tuyến tính bậc 2
d
2
x „ áx
^4 + Ẳ — +x = 0. (1.1.5)
àx
2
dt
Khi Ẳ = 0 phương trình ịl.l.5\) có họ nghiệm tuần hoàn:
(1.1.
_ v<
2
)
0
A
0
<
ỗ

—x^(t,to,xo) < e. Tức là tính liên tuc của §^(1,i = 1 ,n) kéo theo
8
x(t) =Asin(í + a)
X (t) = A cos (t 4- a),
trong đó, A và a là hằng số, khử t trong ịl.1.6

) thu được phương trình quỹ
đạo X
2
+X
2
= A
2
, MÔ TẢ 1 HỌ CÁC đường TRÒN KHI A THAY ĐỔI. Khỉ 0 < Ầ <
1, THEO Định lý ịl.l.2\

, quỹ đạo nghiệm của hệ ịl.l.óị

) xấp xỉ nghiệm của
ịl.1.5

1

) như mô tả hình 1.1
Hình 1.1: Minh họa sự phụ thuộc liên tục vào tham số
1.2. Hàm Lyapunov
Giả sử hàm w(x) eC [í2, R
1
], tức là w : £2 —» R
1

là liên tục ,
w(0) = 0; v(t,x) G С [/ X ßjM
1
], tức là v(t,x) : IX £2 —»■ R
1

là liên tục và
V(í,Ó) = 0

.
Đinh nghĩa 1.2.1. Hàm w (x) được gọi là xác định dương nếu
й,
(1) = <
>° v^ea^o
w
1

=0

vớix = 0

.
(1.1.
9
• w (x) được gọi ỉà nửa xác định dương nếu w{x)'^ồ với X E £1.
• w (x) được gọi là xác định ăm nếu —W (X) là xác định dương.
• w (x) được gọi là nửa xác định âm nếu w (x) ^ 0

.

• Hàm xác định âm và xác định dương được gọi là hàm xấc định dấu.
• Hàm nửa xác định âm và nửa xác định dương được gọi là hàm có dấu
không đổi.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm V(t,x) eC[/xfì,K
]
] ( hoặc w(i) GC [fí, M
1
] ) được gọi là thay đổi
dấu nếu 3t\,Í2 E I và JCi , X2

G £2 sao cho
V(h,
Xl
) > 0, VC(t
u
x
2
) < 0.(W(jci) < 0,W(jc
2
) < 0)
Ví dụ 1.2.1. w (jci ,-ЛГ2

) = 3xj + 2xị + 2

*1*2

là xác định dương.
ví dụ 1

. 2

. 2

. w(x 1

,X2

) = xỊ+xị + 2

* 1*2

= (*1

+X 2)

2



là nửa xác định dương.
Ví dụ 1.2.3. w(jci ,.* 2

) = xỊ+xị — ЗХ1

Х2

là hàm thay đổi dấu.
Ví dụ 1.2.4. V (t , X i ,*2) = xỊ sint + xị cost là hàm thay đổi dấu.
Đinh nghĩa 1.2.3. Hàm V(t,x) được gọi là xác định dương nếu 3 1 hàm xác định
dương w (X) sao cho

v(t,x) ^W(x) vàV(t,0) = 0.
Hàm v(t,x) được gọi là xác định âm nếu —V(t,x) là xác định dương. Hàm
v(t,x) ễC[/x HjR
1
] được gọi là nửa xác định dương nếu v(t,x) ^ 0. v(t,x) là NỬA XÁC
ĐỊNH ÂM NẾU V(T,X) ^ 0
Ý nghĩa của Định nghĩa (|l.2.3|)được mô tả ở hình (1.2)
Ví dụ 1.2.5. V(t,x 1

,* 2

) = (2 + е~
г
)(х\
2
+X2

2



+X\X2

) là xác định dương vì
v(t,x 1

,X
2
) = (2 + e
-í

)(xi
2
+X2

2



+X 1

X 2

) ^x
1
2
+x
2
2
+x
1
x
2
:= W(xix
2
). ỏ đây,
w(x\,X2

) là xác định dương, và V(í, 0

) = 0

.
Ví dụ 1

. 2

. 6

. v(t,x 1

,* 2

) = (е~
г
)(х\
2
+ ịx\X2

+X2

2
) là nửa xác định dương, vì không 3
1 hàm xác định dương w(x) sao cho V(t,xi, JC 2

) ^ w(x).
Định nghĩa 1.2.4. Hàm w(л) G с [м
л
, ж .

1

] được gọi là xác định dương và
R.u không bị chặn nếu w (л) xác định dương và w(л) —> + 0

O khỉ X
—> 00

.
1
Hình 1.2: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian
Định nghĩa 1.2.5. Hàm V(t,x) e c [ì X M", M .

1



] được gọi là xác định dương và
không bị chặn nếu 31 hàm xác định dương và không bị chặn W2

(*) sao cho V (t,x)
^ . Hàm v(t,x) được gọi là I.u.b nếu 3 hàm Wị (x) xác định dương sao cho
\V(t,x)\^W
l
(x).
ví dụ 1.2.7. V(jci ,X2) = a
2
xI
2

+ b
2
x2
2
+ abx\X2 cos(jci +X2)
^ \a
2
xI
2

+ \b
2
x2

2



+ \a
2
xI
2

+ \b
2
x2

2

- \ab\ 1

*111

*21

= \A
2
XỊ
2
+ \B
2
X2

2
+ \{\AXI \ -
IBX
2
\)
2
^ \a
2
xI
2

+ |è
2

*2

2



-> +°° , *1

2



+ *1

2



->• +°°,
w(0,0) = 0 . Vậy w(x) là hàm xác định dương và R.u.
ví dụ 1.2.8.
V(t,x

1
,*
2
) =
Y^xỊ +xị.sint
^
\xỊ
I +

\xị
I = w(
X
)
Dơ í?ớ, V (t , X i , X
2
) là một hàm I.u.b.
Mô tả hình học cho hàm xác định dương v(t,x) ^ w (jc ) được thể hiện trong
hình ị 1.2).
Biểu diễn hình học của hàm xác định dương với i.u.b
Hiĩin
1
Wí (x) ^ V (t,x) ^ W2

(jc), được thể hiện ở hình (1.3).
Giả sử w (x) xác định dương với ||jc|| < H. cấu trúc của w (x) rất phức tạp, và
có thể không đóng.
Hình 1.3: Biểu diễn hình học của hàm xác định dương thay đổi theo thời gian với I.u.b
Ví dụ 1.2.9. Xét
w
<*’*) = éỉ
+
-ềĩ- Khi 0 < c < W(X\,X2

) = c là
đường cong đóng, nhưng khi c ^ 1, w(x\X2

) = c
không đóng. Thật vậy khi c ^ 1
X

2
w (x\, 0) = -^2
= c
không có nghiêm hữu han đối với Xị
1 ~r
W ( 0 , x
2
) = j4 = c không có nghiệm hữu hạn đối với X
2
Vậy theo hướng Xị(X2

= 0) hoặc X\(X2

= 0) , W(X\,X2

) = c không đóng. Tuy
nhiên, khi 0 < c < 1, X2

= kxi, k / 0 là một số thực bất kỳ thì phương trình Vậy theo
hướng Jti (jC 2

= 0) hoặc X] (jC 2

= 0), w (jci ,* 2

) = c không đóng. Tuy nhiên, KHI 0
< C < 1, X2

= KX\ ,K ^ 0 LÀ MỘT SỐ THỰC bất KỲ THÌ PHƯƠNG TRÌNH
kxị ! xị _________

l+PxỊ
+
14*2
Có nghiệm hữu hạn
X í ,
do đó đường cong W(XI,X2

)
=
c và đường thẳng
X i —
kxi có
hữu hạn giao điểm. Tương tự, w(x\ ,* 2

) = c và X\ = kx2

(k / 0) có hữu hạn giao
điểm. Do đó, W (*1

,^ 2

) = c(0 < c < 1) là một đường đóng( nhìn hình 1.3)
1
1.3. Lốp hàm K
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về lớp hàm K và mối liên hệ giữa lớp hàm K và
hàm xác định dương.
Hình 1.4: v= c là 1 dường đóng gồm nhiều họ lân cận
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm (Ọ e [/?
+
,/?

+
], R
+
[0;+°o) hoặc (Ọ G c[[0,/ỉ] ,R
+
]khi đó (Ọ
được gọi là w_ hàm hoặc K- hàm nếu thỏa mãn:
(1) ọ là hàm tăng
(2) Kí hiệu ọ G K, <p(0) = 0.
Định nghĩa 1.3.2. Cho (Ọ E [i?
+
,i?
+
] và (Ọ e K, khỉ đó nếu lim (p(r) = +00

thì ọ(r)
được gọi là lớp hàm K, kí hiệu là (Ọ G KR.
Định lý dưới đây trình bày về mối liên hệ giữa hàm xácđịnh dương và hàm
thuộc lớp K .
Định lý 1.3.1. Cho ũ. := {X, ||JC|| ^ h}, cho w(x) € [íì,/?
1
],là một hàm xác định
dương bất kỳ. Khi đó 3 2 hàm <PI , <P2

€ K sao cho
9L(IMI)<W(*)<ẹfc(||x||). (1.3.7)
Chứng minh:Với h > 0 bất kì, ta CMR (|l.3.71 đúng với 11*11 < h. Đặt
(p{r) = inf w(;t).
r^ị\x\\^h
c>ì

1
RÕ ràng, ta có <p(0) = 0, ọ(r) > 0 với r > 0 và <p(r) là một hàm đơn điệu không giảm trên
đoạn [О, А]. Bây giờ ta chứng minh <p(r) là liên tục. Vì w(x) liên tục, Ve > 0,3ỗ(e) > 0
sao cho
ọ{rì) — <p{ri) = inf W(jc)— inf w(;t)
r
2
< 11*11 <A T\ < ||л:||
= inf iy(x) —W(xo)
11*11
^W(jci)-W(jtü)
< £ khi 11*1 — XoII < r
2
-r\ < ỗ(e).
Trong đó, ta lấy X\ = *0

khi *0

e z>2

:= {x\ĩ2

^ 11*11 < h}.
Khi *0

£ D\ {x\r\ < ||jc|| < h} ta lấy giao điểm của đường Ох0

và ||jc|| = Г2

như ở hình

(1.5). Đặt <PI (r) :=
r<
^p- ^ <p(r). Rõ ràng, ta có <Pi (0) = 0 và nếu о < Г\ < Г2

< h, ta có
4>1

(r,) =
r
-đM aihủ
=
,p
l(r2
).
Do đó, <p 1

(r) là hàm đơn điệu tăng và vì vậy <PI G к. Đặt
'î'(r) := max w(;t).
11*11
Khi đó ta có Ỹ(0) = 0. Bằng phương pháp tương tự, ta có thể chứng minh rằng Ỹ(r) là hàm
đơn điệu không giảm và liên tục. Đặt Ọ2

(r) 'Р(г) + kr(k > 0),
Ta có
< 02

(n) = lự{ri)+kri < wi
r
2

)+kri < \Ịf(r
2
)+kr2

= <P2

(r
2
).
Do đó, Ọ2

(r) là hàm đơn điệu tăng và Ọ2

(r) G K.Từ các kết quả
trên ta có
1
Hình 1.5: Mối liên hệ giữa hàm xác định dương và lớp hàm к
< P i ( I W I X < P ( I W I ) : =
N
i n f
INKIIÉN*
< „max W{Ẹ,) := 4{\\x\\) < flzGMI).
ины
Do đó, <p(|M|) < w(x) < <p(|M|).
Bằng phương pháp tương tự ta có định lý dưới đây.
Định lý 1.3.2. Cho VK(x) e С Ị/?",./?
1
] ỉà một hàm xác định dương và R.u bất kì,
khỉ đó tồn tại hai hàm <PI (r), Ỷi{r) e KR sao cho:
9i ( \ \ x \ \ ) < W ( x ) ^ Ọ 2( \ \ x \ \ ) .

1.4. Đạo hàm Dinỉ
Đặt I := [to,+°°),f(t) G С [/, IR
1
]. Với tel bất kì thì 4 đạo hàm dưới đây:
D
+
f ( t ) : = lim ị (f { t + h ) - f( t ) ) = lim sup\ { f { t + h ) - f ( t )) , (1.4.8)
й-» 0

+ h. h-> 0

+ Il
D+f(t):=

lim ị(f(t + h)-f(t))= lim

inf

ịự(t + h)

- f(t)),

(1.4.9)
и -0+ h. /í->0+ fl
Lóp
1
D f(t)

:= limị(f{t + h)-f(t))=

lim supị{f{t + h)

(1.4.10)
h—^0
—
h. Й-» 0- n
D - f ( t) : = lim ị ( f {t + h ) - f ( t) ) = lim i n f ị ( f ( t + h ) - f ( t ) ) , (1.4.11)
h^o-
h
/ỉ—>0 h
tương ứng gọi là đạo hàm phải ừên, phải dưới, trái trên và trái dưới của f(t) và được gọi là
các đạo hàm Dini.
Nhận xét: Nếu f(t) thỏa mãn điều kiện Lipschitz, thì 4 đạo hàm Dini là hữu hạn. Hơn thế
nữa, đạo hàm của f(t) tồn tại khi và chỉ khi 4 đạo hàm Dini bằng nhau. Cho một hàm liên
tục, mối quan hệ giữa sự đơn điệu và dấu của đạo hàm Dini được xác định như sau.
Định lý 1.4.1. Điều kiện cần và đủ đểf(t)

ễCỊ/ịR
1
], đơn điệu không giảm trên I

là
D

+



f(t

) ^ 0, với t

G I.
Chứng minh:
Điều kiện cần là rõ ràng vì Í2

^ h kéo theo f(t2

) ^ f(h)-
Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ.Trước tiên giả sử D
+
f(t) > 0 trên I. Nếu có 2 điểma,j8
£/vàa< ß sao cho/(a) >/(/3),khiđózljU thỏa mãn/(a) > ịi > f{ß) và điểm t G [a, Ị.3] sao cho
f(t) > ịi. Đặt ệ = Supịt : f(t) ^ jii} khi đó Ẹ G [a, ß] và sự liên tục của f(t) ta có f(Ẹ ) = Д.
Do đó, với te [ệ, ß] ta có
/(0-/(5)
<0
(1.4.12)
t-Ẹ
Do đó ta có D
+
f{ị) ^ 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy f(t) là hàm đơn điệu không
giảm.
Tiếp theo, giả sử rằng D
+
f(Ẹ ) > 0 khi đó với ệ > 0 bất kì ta có
D

+

(f(t)) + Ẹ(t)=D

+



f(t) +

Ẹ ^ Ẹ > 0. (1.4.13)
theo chứng minh trên thì /(í) + ặt là hàm đơn điệu không giảm. Với ệ tùy ý vì vậy f(t) là
hàm đơn điệu không giảm ữên I. Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.4.1. Nếu ta thay thế D
+
f(t) ^ 0 bởi D
+
f(t) ^ 0, khi đo đi€u ki€ĩi đu CUŨ định lý
ịỉ.4.1)

vẫn đúng. Tương tự nếu ta thay D

+



f(t)

^ 0 bởi D~f(t

) ^ 0 hoặc D_/(í) ^ 0 và
do đó, bất kì 1 trong 4 đạo hàm Dỉnỉ không âm thì f(t) là hàm không giảm.
Lóp
1
Dưới đây , ta xét đạo hàm Dini của 1 hàm dọc theo nghiệm của 1 phương trình
vỉphân. Xét hệ phương trình vi phân cho bởi
f=/(M), (1-4.14)
trong đó f(t,x)

E

c [I

X R

n



,R

n



].
Định lý 1.4.2. Giả sửv(t,x) E

c [/ X n,/?
1

] ,n c R

n



,

Oe n, V (t,x)

thỏa mãn điều kiện
Lipschitz đối với
X ,
tức là
\v(t,x)-v{t,y)

\ < L||jc-y|| ,Vx,y e € I.
Khỉ đó đạo hàm phải trên và đạo hàm phải dưới của v(t,x)

dọc theo nghiệm x(t)
của (1.4.141 có dạng dưới đây
D
+
V(t,x(t)) 1(1.4.14)
= lim y[V(t + h,x) + hf(t,x)-V(t,x))],

h->0+ h
D
+
V(t,x(t)) 1(1.4.14)

= lim y[V(t + h,x) + hf(t,x) — V(t,x))].

(1.4.16)
/1

-^0

+ h
Chứng minh Giả sử nghiệmX(t) xác địnhừong miền/ XÍ2 Với (t,x) £ IX ũ. (t + h,x +
hf(t,x)) E u,(t + h,x(t + h)) e u. Gọi L là hằng số Lipschitz của v(t,x) ữong / xíl. Sử dụng
khai ữiển Taylor và điều kiện Lipschitz, ta được
v(t+ h,x(t+ h))— V(t,x(t)) = V(t + h,x + hf(t,x) + he) — V(t,x)
< V ( t + h , x + h f ( t , x) + Lh [ é \ — V ( t , x ) ,
trong đó, £ —»• 0, khi h —»• +0. Do đó
D
+
V(t,x(t)) 1(14 14):= lim ị[V(t + h,x(t + h))-V(t,x(t))]
v
’ *->0

+ n
< lim y[V(t + h,x + hf(t,x))+Lh\e]—V(t,x)]

h^o+ h
= lim y[ v(t + h,x + hf(t,x)) — V(í,jc)]. (1.4.17)
0

+ h
Lóp
1

(1.4.1
Mặt khác,
v(t

+ h,x(t + h)) — V(t,x(t)) =

V (t

+ h,x

+ hf(t

,x) + he) — v(t,x)
>

v(t + h,x + hf(t,x)

—Lh[é\ — V(t,x).

(1.4.18)
Do đó,
£>
+
V(í,x(f)) 1(1.4.14):= limI ị[(V(t + h , x ( t + h ) ) - V ( t , x( t ) ) ]
1
fc-»o+n
>

lim y[(V(t + h,x + hf(t,x)) — V(t,

jc)]. (1.4.19)
0+ h
Kết hợp (1.4.17) với (1.4.19), ta có
D
+
V{t,x{t)) 1(1.4.14):
= lim y[V(t + h,x + hf(t,x)) — V(t,x)].

(1.4.20)
*->•0+ h
Vì vậy, (Ị1.4.15Ị) là đúng. Chứng minh của (Ị1.4.16Ị) được chứng minh tương tự. Do
đó, ta có
D

+

V(t,x(t))


1 ( 1 . 4 . 1 4 ) :
= lịm y[V(t + h,x + hf(t,x)) — V(t,x)].

(1.4.21)
*->•0+
h
Nhận xét: Nếu V(t,x) có đạo hàm cấp 1 liên tục đối với t, cùng với nghiệm x(t) của |
1.4.14Ị>, ta có
1(1.4.14) = D
+
V(t,x(t)) 1(1.4.14) (1.4.22)

=
D+V(t,x(t)) 1(1.4.14) (1.4.23)
= D~V(t,x(t)) 1(1.4.14)= D_V{t,x{t))1(1.4.14) (1-4.24)
d v d v d v
= ~^+gradV.f(t,x).

(1.4.25)
Theo Định lý (Ịl.4.1 >, v(t,x(t)) không giảm(không tăng) dọc theo nghiệm của
(Ị1.4.14Ị) khi và chỉ khi
D
+
V(t,x(t)) |(! .4


14
)> 0, (D

+



V{t,x(t))


1 ( 1 . 4 .
14

) < 0 ) .
Lóp
1

1.5. Một số bất đẳng thức vi tích phân
Trong phần này,chúng tôi đề cập đến 1 số bất đẳng thức vi tích phân, chúng rất quan
ữọng và có ý nghĩa với sự ổn định.
Định lý 1.5.1. Giả sử hàm ẹ(t)

là liền tục |t ^ t ^ b và đạo hàm phải dưới Dini D
+
(p(t)

tồn tại thỏa mãn bất đẳng thức vi phân
(1.5.26)
trong đó, F(t,x

) ẼC[/x ^,-R
1
] , ( t, <p(t))

ẽ/xíl nếu x<ĩ>(f) là nghiệm lớn nhất
I [t, b) của hệ phương trình
(1.5.27)
Khi đó (p(t) ^ 0(í)(t ^ í ^ b).
Định lý 1.5.2. Giả sử hàm f(t,x

) liên tục |/? = {(í, Jt) |í — t| ^ a — |jc — ệ I ^ b} và
không giảm đối với x,x = (ọ{t) là liên tục, và khỉ |f — f| ^ a, (t, <p(t)) £ R, (p{t)
thỏa mãn bất đẳng thức tích phân
/
ẹ(t)^ệ + f f(s, ẹ{s))ds,

+

h
T (1.5.28)
<P(T)^ệ,
và <í>(í) thỏa mãn phương trình vi phân trên T ^ t ^ T 4- h
% = / ( >, * ) x(x) = ị.
V
Khi đó, ta có bất đẳng thức
ẹ(t)^®(t),te [t,t + h\,
trong đó, h = min(a, M),M = max|/(f,jc)| .
t , x £ R
Hệ quả 1.5.1. (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman). Giả sử rằng g(t) và u(t)

là các
hàm thực không âm liên tục, vàclà

1 hằng số không âm. Khi đó nếu
(1.5.31)
Lóp
1
t
<
V
(1.5.2
9)
thì
là đúng.
Chứng minh Xét hệ
V(l

0

)

= c
fs(ĩ№)
có nghiệm V (t) = c.é°
} g ( ĩ № )
Ta có u(t

) ^ V( t)

— c.ẻ
ữ
Định lý 1.5.3. (Định lí so
sánh thứ nhất). Cho f(t,x)
và F(t,x

) là các hàm liên
tục trên GI, thỏa mãn bất
đẳng thức
(1.5.34)
Kí hiệu
X
= (p{t),y

=
<ĩ>(í) tương ứng là
nghiệm của các hệ
phương trình vi phân hệ

sau:
(1.5.35)
X(T) = Ẹ.
Khi đó ta có các kết quả
dưới đây:
ịl) (p(t)

< o(í), khi t > T
và t thuộc khoảng tồn tại
chung.
(2) (p{t)

> khi t<Tvàt
thuộc khoảng tồn tại
chung.
Chứng minh. Đặt g(í) =
<I>(í) — <p(t) vì
/
(1.5.3
(1.5.3
theo Định
1.
(1.5.3
g(r
) = O(t) -
ọ(r) = ậ -
ệ = 0 ,
g'(r) = <ỉ>
/
(T)-ọ

/
(T) =
F('r,ệ)-f(T,ệ) > 0. Do đó,
khiO < Í-T« l,g(f) > 0 đúng.
Nếu trong khoảng tồn tại
chung, tồn tại T > X sao cho
ẹ(t)
^<D(í).
(1.5.37
)
Đặt a =■ inf{t > T: ọ(t) ^ <£
(*)} vì vậy với T < oc,g(a)
= 0,g(f) > 0(t < t < °°).
Đ
ặ
t

a

=

ỉ
n
f

{
í

>

T
:

ẹ
{
t
)

>

<
D
(
í

D
o

đ
ó

,

g

(
a
)

^

0
.

N
ế
u

t
r
á
i

l
ạ
i
,
g(a) = <ti{a)-ẹ'{a) =
F(a,<ĩ>(a))-/(a,<p(a)) >0.
Vì g(a)
=
0, ta có <í>(a)
=
ọ(a),

điều này là mâu
thuẫn . Do đó, kết luận (1)
đúng. Bằng phương pháp
tương tự, ta chứng minh
được kết luận (2) cũng

đúng.
Định LÝ 1.5.4. (Định lí so
sánh thứ hai). Giả sử và
F(t,x)

liên tục trên G, và
thỏa mãn điều kiện
^F(t,x).
(1.5.38)
Cho

(f, ệ) £ G, và

X
=
(p(t)

và
X
=
< ĩ > ( f )
tương
ứng là nghiệm của các hệ
phương trình vi phân
'
<
*(*) = £,
và
trên [a,b]. Khi đó, các
khẳng định sau đúng:

(1) ẹ(t) ^ <í>(f) khi T b;
(2) (Ị>{t) ^ 4>(í) khi a<t ^ T.
Chương 2
Sự ổn
định
Lyapunov
2.1. Định nghĩa
sự ổn định
Lỵapunov
Ta xét hệ vật lí, được
mô tả bởi phương trình
vi phân thường dưới đây
^=*(»o
0

(2

-1

-
1

)
trong đó,£2 c R
n
,0 E £1,
G E c [ỉ X £l,R
n
]. Giả sử
rằng nghiệm bài toán

Cauchy trong (| 2

. 1

.lỊ ) là
duy nhất. Đặt
y - = ( y i , y 2, - , y
n
)
T
,
g(t,y) :=
(gi(t,y), ,gn(t,y))
T
■
Giả sử rằng ỹ = ọ(t) là 1
nghiệm của (|2.1.l|), bằng
phép biến đổi X = Y —
ọ(t) hệ (|2.1.lỊ) được đưa về
dạng